新人教版七年级数学下平行线的判定及其性质
七年级数学下《平行线及其判定》笔记
七年级数学下《平行线及其判定》笔记
一、平行线的定义
平行线是指在同一平面内，两条直线没有交点，或者说两条直线之间的距离处处相等。
二、平行线的判定定理
1.同位角相等：当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线
平行。
2.内错角相等：当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线
平行。
3.同旁内角互补：当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（即角度和
为180°），则这两条直线平行。
三、应用实例
1.交通标志：在公路上，车道线通常都是平行的，这些线可以帮助驾驶员判断车
辆是否在正确的车道上行驶。
2.建筑设计：在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性，通常会使用平行线来构
建平行的梁和柱子。
3.机械制造：在机械制造中，为了确保机器的精确度，常常需要使用平行线来检
测和调整机器的部件。
四、注意事项
1.平行线必须在同一平面内定义。
2.平行线的判定定理必须同时满足，不能只满足其中一条。
3.在实际应用中，要结合具体情境判断两条线是否平行。
五、练习与巩固
1.判断题：给出一些线段的图片，判断它们是否平行。
2.选择题：给出一些关于平行线的描述，选择正确的判定定理。
3.应用题：结合实际问题，例如计算平行线的距离、判断两条线是否平行等。
人教版七年级数学课件《平行线的判定》
B.①③
C.①④
D.③④
2.如图，下列条件中,能判断直线.l1//l2的是( B )
A.∠2=∠3
C.∠4+∠5=180°
B.∠1=∠3
D.∠2=∠4
达标检测
人教版数学七年级下册
3.如图，下列条件中，能判断直线l1//l2的是( C )
A.∠1=∠2
C.∠1+∠3=180°
B.∠1=∠5
D.∠3=∠5
得∠1=∠2(等量代换)，
内错角相等，两直线平行
所以_________(________________________)．
AE∥GF
针对练习
人教版数学七年级下册
已知如图所示，∠ = ∠，点、、在同一条直线上，
∠ = ∠ + ∠，且平分∠，试说明 ∥ 的理由．
复习回顾
人教版数学七年级下册
如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.
知识精讲
人教版数学七年级下册
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
起着什么样的作用？
知识精讲
人教版数学七年级下册
可以看出，画直线AB的平行线CD，实际上就是过点P画与∠2
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
4.如图，下列结论中正确的是( C)
A.若∠1=∠4，则m//c
B.若∠1=∠2，则a//b
C.若∠1+∠3=180，则n//c
D.若∠2+∠3=180°，则m//n
达标检测
人教版数学七年级下册
5.如图(1)，光线AB,CD被一个平面镜反射，此时
∥
CD
∠1=∠3,∠2=∠4，则AB // _____,BE_____DF.
人教版数学七年级下册5.3.1 第1课时 平行线的性质 -课件
4
b
2
∴ 2+ 4=180°
线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
应用格式:
∵a∥b（已知）
∴∠2+∠4=180 °
a
1
4
b
2
（两直线平行，内错角相等）
c
典例精析
例 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°， ∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补. D
C
于是∠D=180 °-∠A=180°-
100°=80°
A
B
∠所C以=梯18形0的°另-∠外B两=1个80角°分-1别15是°8=06°5°、 65°.
四、平行线的判定与性质 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是
什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
如图，已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
解 ∵ a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
a
1
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
3
b
2
∴ ∠2=∠3(等量代换).
c
总结归纳
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
应用格式:
∵a∥b（已知）
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( 已知 )
D
∴∠A=_∠__C_P_E__ ( 两直线平行,同位角相等)
A
∵AC∥DF( 已知 )
F C
P E
图１ B
∴∠D=_∠__C_P_E_ ( 两直线平行,同位角相等 )
(新人教版)数学七年级下册：5.3.1《平行线的性质(第2课时)》教学设计(两套)
5.3.2平行线的性质(第2课时)平行线的性质(二)教学目标1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.3.能够综合运用平行线性质和判定解题. 重点、难点重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念. 难点:平行线性质和判定灵活运用. 教学过程 一、复习引入1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)2.平行线的性质有哪些.3.完成下面填空.已知:如图,BE 是AB 的延长线,AD ∥BC,AB ∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____, ∠A=______,∠CBE=________.4.a ⊥b,c ⊥b,那么a 与c 的位置关系如何?为什么?cb二、进行新课1.例1 已知:如上图,a ∥c,a ⊥b,直线b 与c 垂直吗?为什么?学生容易判断出直线b 与c 垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:(1)要说明b ⊥c,根据两条直线互相垂直的意义, 需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?通过什么途径得来?(2)已知a ⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗?让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理. 2.实践与探究(1)下列各图中,已知AB ∥EF,点C 任意选取(在AB 、EF 之间,又在BF 的左侧).请测量各图中∠B 、∠C 、∠F通过上述实践,试猜想∠B 、∠F 、∠C 之间的关系,写出这种关系,试加以说明.E D C B AFECBAFECBA(1) (2) 教师投影题目:学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助? 教师视学生情况进一步引导:①虽然AB ∥EF,但是∠B 与∠F 不是同位角,也不是内错角或同旁内角. 不能确定它们之间关系.②∠B 与∠C 是直线AB 、CF 被直线BC 所截而成的内错角,但是AB 与CF 不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C 作CD ∥AB,这样就能用上平行线的性质,得到∠B=∠BCD.③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD 与EF 平行,你能做到这一点吗?以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.FEDCB A作CD ∥AB,因为AB ∥EF,CD ∥AB,所以CD ∥EF(两条直线都与第三条直线平行, 这两条直线也互相平行).所以∠F=∠FCD(两直线平行,内错角相等).因为CD ∥AB.所以∠B=∠BCD(两直线平行,内错角相等).所以∠B+∠F=∠BCF. (2)教师投影课本P23探究的图(图5.3-4)及文字.①学生读题思考:线段B 1C 1,B 2C 2……B 5C 5都与两条平行线的横线A 1B 5和A 2C 5垂直吗?它们的长度相等吗?②学生实践操作,得出结论:线段B 1C 1,B 2C 2……,B 5C 5同时垂直于两条平行直线A1B5和A 2C 5,并且它们的长度相等.③师生给两条平行线的距离下定义.学生分清线段B 1C 1的特征:第一点线段B 1C 1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段B 1C 1同时垂直这两条平行线. 教师板书定义:(像线段B 1C 1)同时垂直于两条平行线, 并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.F EDCBA教师画AB ∥CD,在CD 上任取一点E,作EF ⊥AB,垂足为F.学生思考:EF 是否垂直直线CD?垂线段EF 的长度d 是平行线AB 、CD 的距离吗? 这两个问题学生不难回答,教师归纳:两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变. 3.了解命题和它的构成.(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③对顶角相等;④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断. (2)给出命题的定义.判断一件事情的语句,叫做命题.教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画AB ∥CD”没有判断成分,不是命题.教师让学生举例说明是命题和不是命题的语句. (3)命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……”形式. 师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句. 第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设， “结果仍是等式”是结论。
新人教版七年级数学下册平行线及判定
③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线
平行。
(╳)
D 2、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行。
AB∥ CD，AD∥ BC。 A
B
巩固练习
下列说法正确的是（ D ）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交， 垂直，平行三种。
B、在同一平面内，不垂直的两直线必平行。 C、在同一平面内，不平行的两直线必垂直。 D、在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直。
5.2 平行线及其判定 5.2.2 平行线的判定
平行线的画法
一放 二靠 三移 四画
从画图过程，三角板起到什么作用？
要判断直线a //b，你有办法了吗?
平行线的判定定理1: 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么两直线 平行。简单地说： 同位角相等，两直线平行。 如图： ∵ ∠1=∠2（已知）
C
相交的两
Hale Waihona Puke 条直线。 abB
直线AB平行
AB D
CD 于直线CD
a b 直线a平行
于直线b
平面内的两条直线除平行 外还有什么位置关系？
同一平面内的两条不重 合的直线的位置关系只有两种：
相交或平行
课内练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由。
①不相交的两条直线是平行线。
(╳)
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线。(╳)
E
A
B
4
C
7
D
F
两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单地说:同旁内角互补,两直线平行.
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言
2024年新人教版 七年级数学下册 全册教案可打印下载
2024年新人教版七年级数学下册全册教案可打印一、教学内容1. 第五章：相交线与平行线5.1 两条直线的位置关系5.2 平行线的判定与性质5.3 生活中的平行线2. 第六章：数据的收集与整理6.1 数据的收集6.2 数据的整理与表示6.3 概率初步二、教学目标1. 理解并掌握相交线与平行线的性质及其在实际中的应用。
2. 学会进行数据的收集、整理和表示，并能够运用概率知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：平行线的判定与性质的理解数据的整理与概率的计算2. 教学重点：两条直线的位置关系及平行线的应用数据的收集、整理和表示方法四、教具与学具准备1. 教具：直尺、量角器、三角板数据收集表格、统计图表2. 学具：练习题、草稿纸数据收集与整理工具（如计算器、调查问卷等）五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中的相交线和平行线现象，激发学生对本章学习的兴趣。
2. 例题讲解：讲解相交线与平行线的判定方法和性质，配合实际例题进行分析。
3. 随堂练习：分组讨论并解决实际问题，巩固所学知识。
4. 数据的收集与整理：引导学生进行数据收集、整理和表示的实践操作，解释概率初步概念。
六、板书设计1. 相交线与平行线的判定与性质2. 数据的收集、整理与表示方法3. 概率初步概念及计算七、作业设计1. 作业题目：练习题5.1、5.2、6.1、6.2各2题。
附加题：设计一份调查问卷，收集数据并整理成统计图表。
2. 答案：练习题答案将在课后统一发放。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：2. 拓展延伸：鼓励学生探索生活中的相交线和平行线现象，以及数据的收集与整理的实际应用。
推荐相关阅读材料，加深学生对概率概念的理解。
重点和难点解析1. 教学内容的选择与安排2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的确定4. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解5. 板书设计6. 作业设计及答案解析7. 课后反思与拓展延伸一、教学内容的选择与安排在教学内容的选择上，应确保章节的连贯性和逻辑性，将抽象的数学概念与生活实际相结合。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。
其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。
人教版七年级数学下册第五章《平行线的性质1
2、问题探索 问当下题直图2线）A，B前与面C所D不发平现行的时式（子如都
不成立。这说明只有AB∥CD 时，前面的式子才能成立．
如果改变AB和CD的 位置关系，即直线AB 与CD不平行，那么你 刚才发现的结论
还成立吗？请同学们 动手画出图形，并用 量角器量一量各角的 大小，验证一下你的 A 结论．
教学内容
平行线的性质
教学目标
1、知识目标：使学生理解平行线的性质，能初步运用平行 线的性质进行有关计算．
2、能力目标：通过本节课的教学，培养学生的概括能力和 “观察－猜想－证明”的科学探索方法，培养学生的辩证思 维能力和逻辑思维能力．
3、情感目标：培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数 学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．
还有一些说不出名字的角， 如 ∠1与 ∠6等，书上没有 定义．
E
A
41 32
B
C
8ห้องสมุดไป่ตู้ 76
D
F
∠1= ∠5， ∠ 2=∠6， ∠ 3=∠7， ∠4= ∠8；
∠2= ∠8， ∠3=∠5， ∠ 1=∠7， ∠4=∠6；
∠2+ ∠5=180°， ∠3+ ∠8=180°， ∠1+ ∠6=180°， ∠4+ ∠7=180°；
问题4
（1）具有相等关系的两个 角，有的是同位角，有的 是内错角，如∠1与 ∠5等
（都1是）同具位有角相； 等∠2关与系∠的8等 两都角是内有错怎角样。的还位有置一些关说 系回不∠呢答出7，名？）∠字（4的与请角∠甲，6组等如．同∠学1与 （（22））互具有补互的补两关角系又的有两个 怎角样，的有位的是置同关旁系内呢角？，如 （∠请2与乙∠组5同等都学是回同答旁）内角；
人教版七年级下册数学知识点汇总
一、相交线与平行线1. 相交线•邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角互补。
•对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
对顶角相等。
•垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
垂线的性质包括：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
2. 平行线•定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。
•平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论是，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
•平行线的性质：o两直线平行，同位角相等。
o两直线平行，内错角相等。
o两直线平行，同旁内角互补。
•平行线的判定：o同位角相等，两直线平行。
o内错角相等，两直线平行。
o同旁内角互补，两直线平行。
3. 平移•定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移不改变物体的形状和大小。
•对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
连接各组对应点的线段平行且相等。
二、平面直角坐标系•有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做(a,b)。
•平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
•坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别在x 轴、y轴上，对应的数a、b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
三、三角形•三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
•高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
•中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
七年级下册数学平行线及其判定
七年级下册数学平行线及其判定一、平行线的定义平行线是在同一个平面内，永远也不会相交的两条直线。
这意味着它们在任何地方都不会相交，无论是在无穷远的地方还是在我们能够看到的范围内都不会相交。
平行线具有一些特定的性质，我们可以通过这些性质来判定两条线是否平行。
二、平行线的性质1.直线上的任意一点到另一条直线的距离平行线的性质之一是，如果一条直线上的任意一点到另一条直线的距离是定值，那么这两条直线就是平行线。
这意味着，如果两条直线之间的距离是一定的，那么它们就是平行线。
这个性质在平行线的判定中非常有用。
2.同一平面内的两条平行线在同一个平面内，如果两条直线被一条直线所截，使得同侧的内角之和为180°，那么这两条直线是平行线。
3.平行线的交错内角和对应角当两条平行线被一条直线所截时，交错内角相等，对应角相等。
这是另一种判定两条直线是否平行的方法。
如果两条直线所形成的角相等，那么这两条直线就是平行线。
4.平行线的平行线如果两条直线分别和一条第三直线平行，那么这两条直线也是平行的。
这个性质可以用来判定一些图形中的平行线关系。
三、平行线的判定方法1.距离判定法距离判定法是一种常见的平行线判定方法。
这种方法通过计算一条直线上的任意一点到另一条直线的距离来判断这两条直线是否平行。
如果这个距离是一个定值，那么这两条直线是平行的。
2.角度判定法角度判定法是另一种常用的平行线判定方法。
这种方法通过观察两条直线所形成的角来判断这两条直线是否平行。
如果这些角相等，那么这两条直线是平行的。
3.运用平行线的性质除了上述的判定方法外，还可以通过利用平行线的性质来判断两条直线是否平行。
比如通过观察交错内角和对应角是否相等来判断两条直线是否平行。
四、平行线的应用1.几何图形中的平行线在几何图形中，平行线的概念非常常见。
例如，在矩形、平行四边形、三角形等图形中，平行线的性质经常得到应用。
2.实际问题的建模在解决实际问题时，平行线的概念也经常得到应用。
人教版七年级数学教案：5.2平行线及其判定
在今天的课堂中，我尝试了多种教学方法，希望让学生更好地理解和掌握平行线及其判定的知识。首先，通过日常生活中的实例导入新课，我发现同学们对此产生了浓厚的兴趣，这为后续的学习奠定了良好的基础。但在讲授过程中，我也发角、内错角等概念上存在一定的困惑。
此外，在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在讨论主题上稍显偏离，没有完全聚焦在平行线的实际应用上。在今后的教学中，我应更加注重引导学生围绕主题展开讨论，提高讨论的针对性和实效性。
在总结回顾环节，我发现同学们对本节课的知识点有了较为全面的掌握，但仍有个别同学存在疑问。为此，我计划在课后进行个别辅导，帮助他们消除困惑，确保每个人都能跟上教学进度。
2.教学难点
a.平行线判定方法的推理过程；
-对于同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定方法，学生可能难以理解其中的逻辑关系，需要教师通过具体实例和图示进行详细讲解。
b.画平行线的实际操作；
-在实际操作过程中，学生可能会出现画线不准确、方法不熟练等问题，需要教师耐心指导，反复练习，帮助学生掌握正确的方法。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行线的基本概念、判定方法和在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平行线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行线的判定方法和画法这两个重点。对于难点部分，如同位角、内错角等概念，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行线相关的实际问题。
七年级-人教版-数学-下册-第1课时--平行线的性质
c
a
3
1
b
2
猜想：∠1＝∠2．
如图，已知直线 a∥b，c 是截线．试说明∠1＝∠2．
c
解：∵a∥b，
a
3
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
1
又∠1＝∠3(对顶角相等)，
b
2
∴∠1＝∠2．
归纳
性质 2：两条_平__行__线__被第三条直线所截，_内__错__角__相等． 简单说成：两直线平行，__内__错__角__相等．
符号语言： ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2．
E
A
B
1
C
2
D
F
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 2 的掌握．
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 2 的掌握．
思考
由“两直线平行，同位角相等”，我们可以推出平行线关于
同旁内角的什么性质？ a b
c 3 14 2
猜想：∠2＋∠4＝180°．
如图，已知直线 a∥b，c 是截线．试说明∠4＋∠2＝180°．
平行线相交，度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：
角 度数
角 度数
∠1 ∠2 ∠3 ∠4 120° 60° 120° 60°
∠5 ∠6 ∠7 ∠8 120° 60° 120° 60°
c 21 a
34
6 5b 78
∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什
么关系？
同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7．
c
每对同位角的度数都相等． 由此猜想两条平行线被第三条直线截得 的同位角有什么关系．
21 a 34
6 5b 78
猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
七年级下册数学平行线及其判定
七年级下册数学平行线及其判定平行线及其判定一、什么是平行线在数学中，平行线指的是两条线段在共线的情况下，两条线段的端点不重合，其余点在这两条线段上都存在。
它们在每一条垂直于这两条线段的直线上，都有两个相对对称的直线，这样它们才能称之为平行线。
二、平行线判定1、直角三角形平行线判定一个直角三角形有两条斜边，如果其中任意一条斜边与直角边平行，则另外一条斜边也必定与直角边平行，因此斜边两条线段相互也是平行的。
2、锐角三角形平行线判定对于锐角三角形，根据角平行定理，其中任意两条边所对的角是相等的，那么当两条边所在的直线交于相同的角点时，这两条边所在的线段就是平行线。
3、同长角相等平行线判定倘若一个四边形有两条对角线，其中任意两个角的长度和两个角的大小都相等，那么对角线所在的线段便是平行的。
4、直角三角形内连接平行线判定如果一个三角形是直角三角形，它的两个斜边上各准备了一条连接线，则两条连接线在垂直于直角边的水平线上，一定是平行的，因为斜边所在的两条线段也是平行线。
三、平行线的性质（1）平行线恒有相同距离，任何两个任意点（包括其端点）到平行线的投影都有相同的距离；（2）平行线内任何一条线段，到两个平行线的投影都有相同的距离；（3）平行线之间任何一点的投影到平行线的端点都有相同的距离；（4）在两个平行的线段上的一点，它到两条平行线的距离都是相等的。
四、结论平行线是数学中一个重要的概念，它在解决几何问题中有着重要的作用。
因为之前的分析，我们可以得出，平行线有其特殊的性质，其中比较重要的是恒有相同距离，可以给几何问题带来极大的方便，可以帮助我们准确地判断两条线段是否是平行线。
人教版七年级下数学 小专题 平行线的性质与判定(含解析)
小专题(一)平行线的性质与判定1．填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠2( )．∵∠1＝∠2，∴∠DCB＝∠1( )．∴GD∥CB( )．∴∠3＝∠ACB( )．2．如图，已知EAB是直线，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．3．如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2.4．已知：如图，AD∥EF，∠1＝∠2.求证：AB∥DG.5．(蓟县期中)已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝100°，OK平分∠DOH，求∠KOH的度数．6．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．7．如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．8．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝130°，∠FEC＝15°，求∠ACF的度数．9．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3.请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．10．已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，且∠AEF＝66°，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF的度数；(2)若已知直线AB∥CD，求∠P的度数．12．(萧山区月考)如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线l3上有一点P.(1)如图1，若P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由；(2)若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合，如图2和3)，试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系，不必写理由．小专题(一)平行线的性质与判定1．填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠DCB＝∠1(等量代换)．∴GD∥CB(内错角相等，两直线平行)．∴∠3＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．2．如图，已知EAB是直线，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．解：∠B＝∠C.理由：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C.∴∠B＝∠C.3．如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2.证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC.∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠E.∴DE∥AB.∴∠1＝∠2.4．已知：如图，AD∥EF，∠1＝∠2.求证：AB∥DG.证明：∵AD ∥EF ， ∴∠1＝∠BAD. ∵∠1＝∠2， ∴∠BAD ＝∠2. ∴AB ∥DG .5．(蓟县期中)已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝100°，OK 平分∠DOH ，求∠KOH 的度数．解：∵∠1＋∠2＝180°，∴AB ∥CD.∴∠GOD ＝∠3＝100°.∴∠DOH ＝180°－∠GOD ＝180°－100°＝80°. 又∵OK 平分∠DOH ，∴∠KOH ＝12∠DOH ＝12×80°＝40°.6．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线，CM ⊥CN ，求∠BCM 的度数．解：∵AB ∥CD ， ∴∠BCE ＋∠B ＝180°. ∵∠B ＝40°，∴∠BCE ＝180°－40°＝140°. ∵CN 是∠BCE 的平分线，∴∠BCN ＝12∠BCE ＝12×140°＝70°.∵CM ⊥CN ，∴∠BCM ＝90°－70°＝20°.7．如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠1＋∠GED＝180°，∠DEF＝∠EFG＝55°.由折叠知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠1＝180°－∠GED＝70°，∠2＝110°.8．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝130°，∠FEC＝15°，求∠ACF的度数．解：∵AD∥BC，∴∠ACB＋∠DAC＝180°.又∵∠DAC＝130°，∴∠ACB＝50°.∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.∴∠BCE＝∠FEC＝15°.又∵CE平分∠BCF，∴∠BCF＝2∠BCE＝30°.∴∠ACF＝∠ACB－∠BCF＝20°.9．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3.请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．解：AD平分∠BAC.理由：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠ADC＝∠EGC＝90°.∴∠3＝∠2，∠E＝∠1.∵∠3＝∠E，∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAC.10．如图所示，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由．解：AB∥DE.理由：过点C作FG∥AB，∴∠BCG＝∠ABC＝80°.又∠BCD＝40°，∴∠DCG＝∠BCG－∠BCD＝40°.∵∠CDE＝140°，∴∠CDE＋∠DCG＝180°.∴DE∥FG.∴AB∥DE.11．如图，直线l1，l2均被直线l3，l4所截，且l3与l4相交，给定以下三个条件：①l1⊥l3；②∠1＝∠2；③∠2＋∠3＝90°.请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明．解：已知：l1⊥l3，∠1＝∠2.求证：∠2＋∠3＝90°.证明：∵∠1＝∠2，∴l1∥l2.∵l1⊥l3，∴l2⊥l3.∴∠3＋∠4＝90°.∵∠4＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.12．已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，且∠AEF＝66°，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF 的度数；(2)若已知直线AB ∥CD ，求∠P 的度数． 解：(1)∵∠AEF ＝66°，∴∠BEF ＝180°－∠AEF ＝180°－66°＝114°. 又∵EP 平分∠BEF ，∴∠PEF ＝∠PEB ＝12∠BEF ＝57°.(2)过点P 作PQ ∥AB. ∴∠EPQ ＝∠PEB ＝57°. ∵AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，∠DFE ＝∠AEF ＝66°. ∴∠FPQ ＝∠PFO. ∵FP 平分∠DFE ， ∴∠PFD ＝12∠DFE ＝33°.∴∠FPQ ＝33°.∴∠EPF ＝∠EPQ ＋∠FPQ ＝57°＋33°＝90°.13．(萧山区月考)如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1，l 2交于点C 和D ，直线l 3上有一点P.(1)如图1，若P 点在C ，D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化，并说明理由； (2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时(P 点与点C ，D 不重合，如图2和3)，试直接写出∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，不必写理由．解：(1)当P 点在C ，D 之间运动时， ∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD. 理由：过点P 作PE ∥l 1， ∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2∥l 1.∴∠PAC ＝∠APE ，∠PBD ＝∠BPE.∴∠APB ＝∠APE ＋∠BPE ＝∠PAC ＋∠PBD.(2)当点P 在C ，D 两点的外侧运动时，在l 2下方时，则∠PAC ＝∠PBD ＋∠APB ； 在l 1上方时，则∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB.。
2022-2023学年人教版七年级下册数学：5.3.1平行线的性质(2)说课稿
2022-2023学年人教版七年级下册数学：5.3.1平行线的性质（2）说课稿一、教学目标1.知识与技能：–掌握平行线的性质：平行线的定义、平行线的判定条件。
–能够判断两条线段是否平行。
2.过程与方法：–通过引入学生日常生活中的场景，激发学生的学习兴趣；–引导学生观察、发现规律，培养学生的思维能力和观察力；–利用演绎法和归纳法进行知识的传递和归纳。
3.情感态度与价值观：–培养学生积极思考和动手实践的能力；–培养学生对数学知识的兴趣和好奇心；–培养学生合作学习的意识和团队精神。
二、教学重难点1.教学重点：–平行线的概念与性质：平行线的定义、平行线的判定条件。
–判断两条线段是否平行的方法。
2.教学难点：–平行线与垂直线之间的关系。
三、教学过程1. 导入新课通过观察一个图形，让学生来判断两根线段是否平行。
引导学生思考并给出自己的判断依据，引入平行线的概念。
2. 探究平行线的性质•引导学生回顾上节课所学习的平行线的定义，让学生复述并展示出来。
•通过给出几个示例，让学生观察线段的位置关系，引导他们尝试总结得出判定两条线段平行的条件。
•引导学生根据已掌握的知识，对给出的几组线段进行判断是否平行。
•分析并总结判断线段平行的方法和条件。
3. 练习和巩固•让学生在黑板上写出用于判断线段平行的条件，并帮助学生梳理知识。
•给学生发放练习册，让学生在课堂上独立完成相关习题。
•点评学生的作业，解答学生存在的问题。
4. 拓展应用•设计一些更加复杂的问题，让学生综合运用平行线的性质进行解答。
•鼓励学生思考，提高解决问题的能力。
5. 总结与展望•对本节课的学习内容进行总结和回顾，强调平行线的性质和判定方法。
•展望下节课的内容，告知学生将学习平行线的性质（3）。
四、板书设计平行线的性质•定义：平行线是在同一个平面内，不相交且无论如何延长也不会相交的两条直线。
•判定条件：1.两条平行线上的任意一对相交线段对顶角相等；2.两条平行线上的任意一对对顶角相等。
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知识点一、平行线的概念
1. 平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
谈重点：
（1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；
（2）必须是两条直线；
（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。
2. 平行线的表示方法
图7 D
C B
A
平行用“∥”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作AB 平行于CD。
知识点二、平行公理及其推论
1. 平行线的基本性质
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
知识点三、平行线的判定与性质
1. 平行线的判定方法
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
几何语言：
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
几何语言：
平行线及其性质判定
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
几何语言：
（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
几何语言：
（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
几何语言：
2. 平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简记：两直线平行，同位角相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简记：两直线平行，内错角相等。
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简记：两直线平行，同旁内角互补。
例题1如图，已知∠AMF=∠BNG=75°，∠CMA=55°，求∠MPN 的大小
P
N M A
B E F G
H
例题2如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，CP平分∠ACM，求∠PCM
例题3如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小
例题4如图，已知：∠BAP与∠APD 互补，∠1=∠2，说明：∠E=∠F
例题5如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？用式子表示并证明
例题6 如图，已知AB∥CD，说明：∠B＋∠BED＋∠D=360°
A B A B
E F E
C D C D
例题7. 小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？说明你的理由。
例题8如图，∠ADC=∠ABC，∠1＋∠2=180°，AD为∠FDB的平分线，说明：BC为∠DBE的平分线。
例题9 如图，DE ，BE 分别为∠BDC ， ∠DBA 的平分线，∠DEB=∠1＋∠2
（1）说明：AB ∥CD （2）说明：∠DEB=90°
随堂训练
一. 选择题
1. 如图1，直线a 、b 相交，∠1＝120°，则∠2＋∠3＝（ ）
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
a
b
12
3
a
b
12
3
4
图1 图2 图3 2. 如图2，要得到a ∥b ，则需要条件（ ）
A. ∠2＝∠4
B. ∠1＋∠3＝180°
C. ∠1＋∠2＝180
D. ∠2＝∠3
3. 如图3，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 两直线平行，同位角相等
4. 如图4，AB∥ED，则∠A＋∠C＋∠D＝（）
A. 180°
B. 270°
C. 360°
D. 540°
A B
C
D
E
图4
5．下列说法正确的是（）
A. 两条不相交的直线叫做平行线
B. 同位角相等
C. 两直线平行，同旁内角相等
D. 同角的余角相等
6．如果∠1和∠2是两平行线a，b被第三条直线c所截的一对同位角，那么（）
A. ∠1和∠2是锐角
B. ∠1＋∠2=180°
C.
1
2∠1＋
1
2∠2=90° D. ∠1=∠2
7．如图5，AB∥CD，则结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠1＋∠3=∠2＋∠4中正确的是（）
A. 只有（1）
B.
只有（2）
C. （1）和（2） C. （1）（2）（3）
8．如图6，AB∥CD，若∠3是∠1的3倍，则∠3为（）
A. ο
45 B. ο
135 C. ο
120 D. ο
90
图5 图6 图7 9．如图7，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是（）
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
10．如图8，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=110°，则∠ECD的度数为（）
A 110° B. 70° C. 55° D. 35°
图8 图9
11．如图9，如果DE∥BC，那么图中互补的角的对数是（）
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
二. 填空题
1．如图10，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5:1，则∠DBA＝________度，∠CBD 的补角是_________度。
2．如图11，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段_____的长，点B到CD边的距离是线段_____的长，图中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。
图10 图11
3．如图12，当∠1＝∠_____时，AB∥CD；当∠D＋∠_____＝180°时，AB∥CD；当∠B ＝∠_____时，AB∥CD。
D5
4
3
2
1C
B
A
图12 图13
4．如图13，AB∥CD，直线l平分∠AOE，∠1＝40°，则∠2＝___________．
5．若两个角的两边分别平行，而一个角比另一个角的3倍少30°，则两个角的度数分别是__________。
6．如图14，补全下列推理过程：
∵∠1=∠2
∴（）∥（）（）
∴∠D=（）（）
又∵∠D=∠3（已知）
∴∠（）=∠（）
∴（）∥（）（
）
图14 图15
7．如图15，AD∥BC，∠1=60°，∠2=50°，则∠A=（），∠CBD=（），∠ADB=（），∠A＋∠ADB＋∠2=（）
8．图16，由A测B的方向是（），由B测A的方向是（）
图16 图17
9．如图17，a∥b，AB⊥a垂足为O，BC与b相交于点E，若∠1=43°，则∠2=（）。
10．如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，则这两个角的度数分别是（）和（）
11．在同一平面内有三条直线a、b、c，已知a∥b，且c⊥a，则b与c的位置关系是（）。
三. 解答和证明
1、如图18，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，你能发现BE和CF有怎样的位置关系么？并证明你的结论。
图18
2、如图19，AB∥CD，∠ABE=∠FCD，∠F=40°，求∠E的度数。
图19
3．已知：如图20，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．说明∠P＝90o．
图20。