专题---分式型函数
分式型函数的最值求法及简单应用
分式型函数的雏形是反 比例 函数 ） ， ＝ （ ｋ ≠
０ ） ， 通过对函数 图像 的平移 ， 可得到形式为“ Ｙ ＝ 口＋
时， － 等号成立． １
所 以函数的最小值为 ２ √ ＋ ３ ， 此时 ＝ √ ＋ ２ ．
由于函数形 式符合了基本 不等式的“ 一正数 ，
二定值 ， 三相等” 的要求 ， 于是顺理成章 的借助基本 不等式完成了本题 （ ２ ）仍然可整理 孥 化为（ １ ） 中的函数形式， 但由 于ｔ 的范围限制， 故基本不等式在本题中不能使用了， 并目 该 函 数不 是初等函数， 故必厮 Ｕ 用导数说明 单调性
处不 展开说 明．
（ ＞ ２ ） ； （ ３ ≤ ≤５ ） ．
６ Ｏ・
＜ 数学之友 ）
２ ０ １ ５年第 ２ Ｏ期
解 法二 ： ‘ ． ‘ ∈Ｒ， ． ‘ ． 分子 分 母 Ｉ
＝
时， 要 注恿
０的情 况分 开讨论 ：
② ｔ ∈ 【 一 丢 ， 。 ） ｕ （ 。 ， 】 时 ， ， ， ＋ ＿ ＝ ＝ ＿
．
．
． ＞ ０时， ＋ ≥２ （ 当且仅 当 ：１ 时， 等号
一
ｔ＝ 一
成立） ’ ． ． ． ＋ ． ＝ １ －
ｌ ≥１ ， ｙ Ｅ（ ０ ， １ ］ ．
．
‘
１
・
．
・ 菇＜ ０时 ， ＋ ≤一 ２ （ 当且仅 当 ＝一１ 时，
一
所以， 综上， 函数的最小值为 一１ ， 此时 ＝ ３；
这类函数与“ ” 型的处理方式有一定相 同之 处， 第一步也是“ 分 离常数” ， 然后转化 为 “ ” 型
＝ ， 一 耥 （ ２ 一 一 １ ） ２ ＝ 一 （ ２ 一 一 １＜ ） ２ 、 ｏ ｕ ’
一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数的对称中心一次分式型函数，即函数的分子和分母都是一次函数的函数表达式。
其一般形式为f(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c、d为常数，且c和d不能同时为0。
在这篇文章中，我们将讨论一次分式型函数的对称中心及其性质。
我们来定义一次分式型函数的对称中心。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，当满足f(-d/c)存在时，我们称点(-d/c, f(-d/c))为该函数的对称中心。
接下来，我们将讨论一次分式型函数对称中心的性质。
首先，我们可以证明一次分式型函数的对称中心一定在直线x = -d/c上。
这是因为在该直线上，分母为0，但分子不为0，从而可以得到一个有定义的函数值。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，如果它的对称中心存在，那么它一定是该函数的一个不动点，即f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))。
这是因为对称中心的横坐标等于f(x)的自变量x，纵坐标等于f(x)的函数值。
进一步地，我们可以通过函数的图像来观察一次分式型函数的对称中心。
以f(x) = (2x + 1)/(3x + 2)为例，我们可以通过绘制函数的图像来找到其对称中心。
在图像上，我们可以看到一条直线x = -2/3，该直线与函数的图像有一个交点，即对称中心。
这个交点的坐标为(-2/3, -1/3)。
一次分式型函数的对称中心还具有以下性质：1. 对称性：对称中心将函数图像关于直线x = -d/c进行对称。
这意味着当点P(x, y)位于函数图像上时，对称中心A(-d/c, f(-d/c))关于直线x = -d/c的对称点P'也在函数图像上。
2. 不动点性质：对称中心满足f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))，即函数在对称中心处的函数值等于对称中心的坐标。
3. 发散性：对称中心是一次分式型函数的“奇点”，即在对称中心处，函数的值可能趋于无穷大或无穷小。
分式型函数求极限的方法总结
黑龙江科学HEILONGJIANG SCIENCE第12卷第7期2021年4月Vol. 12Apr. 2021分式型函数求极限的方法总结孔敏，王娟，梁登星(北京科技大学天津学院，天津301811)摘要：对分式型函数求极限的方法进行总结，以％T%和为例进行说明。
对分式型函数而言，要先判断分母的极限，再判断 分子的极限,要选择正确简单的做题方法，注意洛必达法则的使用条件。
关键词：分式型函数;极限；方法总结中图分类号：0171 -4 文献标志码：B 文章编号：1674-8646(2021 )07 -0128 -02Summary of Fraction Function Ultimate MethodKong Min , Wang Juan , Liang Dengxing(Tianjin College , University of Science and Technology Beijing, Tianjin 301811 , China)Abstract : The research summarizes the fraction function ultimate method , and explains through the example of x —%0 and . For fraction function , it is necessary to judge the extremity of the denominator first , and then judge theextremity of numerator. It is suggested to conectly select simple problem solving method , and pay attention to the service conditions of L' Hospital's rule.Key words : Fraction function ； Extremity ； Method summaiy0引言为0时,根据无穷大和无穷小的关系，取分式函数的倒 数求极限。
新教材高一数学典型问题解题策略专题10 分离变量与分式函数-(含答案)
新教材高一数学典型问题解题策略专题10 分离变量与分式函数【方法点拨】1. 部分分式-------将假分式化为一个整式与一个真分式的和称作部分分式，其实质就是通分的逆过程.部分分式的常用方法有凑配法、换元法、长除法等.2. 分离变量-------求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离.3. 分离函数-------遇到函数的零点个数判断、零点所在区间等，常需要通过分离函数，如函数()()()F x f x g x =-的零点就是函数()y f x =与函数()y g x =交点的横坐标，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点的个数、交点横坐标所在区间问题.上述三种方法在解题中应用广泛，用法灵活多变，需在用中不断体会其“妙”、“神”，逐步提高自身的解题能力.【典型例题】例1 函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值是 . A.2； B. 7； C. 9； D. 10. 【答案】C【分析】直接部分分式，再使用基本不等式. 【解析一】（换元法）令1(0)x t t +=>，则1x t =-则()()22171105445t t t t y t t t t-+-+++===++由基本不等式得44t t +≥=，当且仅当4t t=，2t =，即1x =，等号成立 所以当1x =时，函数27101x x y x ++=+的最小值是9，选C.【解法二】（凑配法）()()22117111071011x x x x y x x +-++-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦==++()()()2151441511x x x x x ++++==+++++（下略）. 【解法三】（长除法）同数的长除法，如图226171010x x x x x xx x +++++++6 6 6 4则()27101(6)4x x x x ++=+++，即271044(6)(1)5111x x x x x x x ++=++=++++++（下略）. 例2 （多选题）（2020-2021·江苏徐州高一上学期期中名校联考）关于x 的一元二次方程21+(+1)0()2x m x m Z +=∈有两个根12x x 、，且满足12013x x <<<<，则实数m 的值是（ ）. A ．－2； B ．－3； C ．－4； D ．－5. 【答案】BC【分析】分离参数得1(+1)+2m x x -=，转化为1()+2f x x x=与()(+1)g x m =-有两个交点，其横坐标为【答案】【分析】题中已知为超越方程，解方程的根是不可能的，应分离函数，转化为两函数图象有两个不同交点问题.种情况讨论，结合图象找出关键点得出关于a 的不等式（组）求解，可得出实数a 的取值范围. 【解析】()()()()2222log 2log log 11log 11aa a a a f x x x x x a x x x x =-+=-+--=----， 则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 当1a >时，312x <<，则1012x <-<，此时()1log 1log log 102a a a x -<<=，则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不成立；当01a <<时，如下图所示：由图象可知，若不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则20113log 122a a <<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1116a ≤<. 因此，实数a 的取值范围是1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【巩固练习】1. 函数()2211x y x x +=>-的最小值是( )＋2－2D. 22. 若关于x 的方程220x mx -+=在区间()1,4内有两个解，则实数m 的取值范围是_________.3. 已知二次函数24y x x m =-+, m 为实数.（1）若此函数有两个不同的零点，一个在(,1)-∞内,另一个在(2,)+∞内，则m 的取值范围是_____________ (2)若此函数的两个不同零点都在区间()1,+∞内，则m 的取值范围是____________．4.已知关于x 的方程2x kx x =-有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是______5.若关于x 的不等式2log 0m x x -< 在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数m 的取值范围是______.A ．10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦； B ．1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭； C ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭； D ．1,116⎛⎫⎪⎝⎭.【答案与提示】1.【答案】A【分析】先将函数变形可得y=221xx+-=（x﹣1）+31x-+2，再利用基本不等式可得结论．【解析】y=221xx+-=（x﹣1）+31x-+2∵x＞1，∴x﹣1＞0∴（x﹣1）+31x-x+1时，取等号）∴y=221 xx+ -故选A．2.【答案】)⎡⎣3.【答案】(,3)-∞，(3,4)4.【答案】1 02k<<【提示】1,021,02,0xxk xxR x⎧>⎪-⎪⎪=-<⎨-⎪=⎪⎪⎩，画图得出k的取值范围．5.【答案】B．。
2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程
专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。
2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。
3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。
【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：1nn aa-=。
5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。
函数详解之分式函数
函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ， 故a 的取值范围是]2,(--∞； （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分 令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分 当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论． 解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。
分式函数初步
分式函数初步分式函数是一个有理函数，指分子和分母都是多项式的函数。
在高中数学的学习中，分式函数是一个重要的内容，同时也是相对难度较大的一个知识点。
本文将介绍分式函数的基础知识和相关概念。
一、分式函数的定义分式函数是指具有形式为 $f(x) = \dfrac{a(x)}{b(x)}$ 的函数，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 都是多项式函数，且 $b(x) \neq 0$。
分式函数的定义域是所有能够使得分母不为零的实数。
二、分式函数的性质1. 零点和极值分式函数的零点是指使分子等于零的 $x$ 值，也就是 $a(x) = 0$ 的解。
分式函数的极值是指存在的最大值或最小值，通常是$x$ 无限趋近于某个值时，函数趋近于的值。
2. 水平渐近线和垂直渐近线分式函数的水平渐近线可以通过分式函数的通分化得到，垂直渐近线是指分母为零的直线，即 $b(x) = 0$ 的解。
3. 奇偶性分式函数的奇偶性取决于分子的奇偶性。
如果分子是偶函数，那么分式函数就是偶函数；如果分子是奇函数，那么分式函数就是奇函数。
三、分式函数的简单操作1. 通分通分是将两个分式函数化成相同的分母，这样就可以进行加减运算。
例如，若要将 $\dfrac{1}{x+2}$ 和 $\dfrac{x-1}{x+2}$ 通分，可以将第一个分式函数乘以 $\dfrac{x-1}{x-1}$，从而得到$\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，然后将第二个分式函数乘以$\dfrac{1}{1}$，从而得到 $\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，最后将两个分式函数相加即可。
2. 分解因式分解因式就是将一个分式函数化为两个或多个分式函数之积的形式。
例如，要将 $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 分解因式，可以将分子分解为 $(x+1)(x-1)$，则 $\dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1$。
中考数学专题复习四--分式方程和不等式
中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（ ） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为 。
均值不等式的应用——分式二次型函数求最值
1平均值不等式平均值不等式是一类重要的不等式，通常用来证明最大值和最小值及求解最大值和最小值等相关问题。
简单说，平均值不等式一般式如下：$$\begin{align*}\frac{x_1+x_2+x_3+.....+x_n}{n}\geqq\sqrt[n]{x_1x_2x_3....x_n}\end{align*}$$上式中$n$为等式右边的$x_i$（$i=1,2,3,...,n$）的个数。
2分式二次函数求最值分式二次函数的定义为：$$f(x)=\frac{a_1x^2+a_2x+a_3}{b_1x^2+b_2x+b_3}$$其中$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$均为常数。
求函数$f(x)$的极值点，通常有两种方法：一种是求函数$f(x)$的导函数$f'(x)$并解出导函数等于0的解；另一种就是使用平均值不等式求函数$f(x)$的极值。
在此使用平均值不等式来证明分式二次函数求最值。
$$\begin{align*}\frac{a_1x^2+a_2x+a_3}{b_1x^2+b_2x+b_3}\geqq\sqrt[2]{(a_1x^2+a_2x+a_3)\ast(b_1x^2+b_2x+b_3)}\end{align*}$$根据平均值不等式，令两边取对数：$$\begin{align*}\ln(a_1x^2+a_2x+a_3)-\ln(b_1x^2+b_2x+b_3)\geqq0 \end{align*}$$再令$y=a_1x^2+a_2x+a_3$,将以上等式转化为：$$\begin{align*}f''(y)=(a_1-b_1)y+(a_2-b_2)\geqq0\end{align*}$$因此，等式右边单调递增，此时$y$取最大或最小时，则等式右边$x$可取得最大值或最小值，即：$$\begin{align*}\frac{a_1x^2+a_2x+a_3}{b_1x^2+b_2x+b_3}\end{align*}$$也可取得极大值或极小值，证毕。
分式函数的性质与应用
分式函数的性质与应用分式函数，也称为有理函数，是由多项式函数的分子与分母组成的函数。
在数学中，分式函数具有许多独特的性质与应用。
本文将探讨分式函数的一些基本性质，并展示其在实际问题中的应用。
一、分式函数的基本性质1. 定义域和值域分式函数的定义域由分母不等于零的解构成。
对于一个简单的分式函数f(x) = 1/x，其定义域为R-{0}，即实数集去掉零。
而值域则由分式函数在定义域上的取值范围决定。
2. 垂直渐近线对于分式函数f(x) = p(x)/q(x)，当分母q(x)等于零时，f(x)的图像可能趋于无穷大或无穷小。
分子p(x)和分母q(x)的最高次幂项决定了垂直渐近线的位置。
例如，当分式函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1)时，存在垂直渐近线x = 1。
3. 斜渐近线斜渐近线是指当x的取值趋于正无穷或负无穷时，分式函数趋于一个常数L。
斜渐近线可以找到通过计算分子和分母的次数来确定。
例如，当分式函数f(x) = (2x^2 + 3x + 1)/(x + 1)时，存在斜渐近线y = 2x + 1。
4. 零点分式函数的零点是使得分子等于零的x值。
这些值可以帮助我们确定函数的图像与方程的解。
例如，当分式函数f(x) = (x^2 - 4)/(x + 2)时，存在零点x = -2和x = 2。
5. 奇偶性根据分式函数的定义，当分子和分母具有相同的奇偶性时，函数是偶函数；当分子和分母具有相反的奇偶性时，函数是奇函数。
例如，当分式函数f(x) = (x^3 - x)/(x^2 + 1)时，是奇函数。
二、分式函数的应用1. 金融学中的应用分式函数可以用来解决金融学中的一些问题，例如利息的计算。
假设我们有一个年利率为r的银行账户，每年计算一次复利。
那么，该账户的本金与时间的关系可以用分式函数来表示，f(t) = P(1 + r)^t，其中P是初始本金，t是时间。
2. 物理学中的应用分式函数可以用来描述一些物理现象，如速度、加速度和阻力。
分式函数的图像与性质
ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。
如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。
x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。
如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。
3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。
如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
第七课----一次与分式函数
6.函数
y 3x x2
的单调区间
{y|y≠-1}
是 (-∞,-2),(-2,+∞) ，值域是
对
称中心为___(-_2_,-_1_)______
7(-.2已,2知)则函a数=__y___ax___aa2=x-2 的对称中心为
8.已知函数 y a x 在(-2,+∞) x2
上是减函数，求a的取值范围. a>-2
一次函数 反比例函数 一次分式函数
对勾函数
一次函数
一、定义：形如y=ax+b(a≠0)的函数 二、定义域：R 三、值域：R 四、单调性：a>0增；a<0减 五、奇偶性：b=0,奇函数；b≠0,非奇非偶 六、图象：一条直线
1.若函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的增函 数，则a的取值范围是__a_>_1_/2______
(-2,1)
反比例函数
一、定义：形如y=k/x(k≠0)的函数 二、定义域:(-∞,0)∪(0,+∞) 三、值域：(-∞,0)∪(0,+∞) 四、单调性：k>0,在(-∞,0) ，(0,+∞)都递 减； k<0,在(-∞,0),(0,+∞)上都递增 五、奇偶性：奇函数
六、图象：双曲线
函数y=(ax+b)/(cx+d)(c≠0,a,b不同时为0）
a 0, (,2 y x a(a 0) x
a ] [2
a ,)
4.单调性:a<0时,在(-∞,0),(0,+∞)都是增函数
a>0时，增区间为，(, a ), ( a,)
减区间为(-a,0),(0,a)
5.奇偶性：奇函数
- 10
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专题04 分式与分式方程-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第1期)(原卷版)
专题04 分式与分式方程一．选择题1．（2022·天津）计算1122a a a ++++的结果是（ ） A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2a a + 2．（2022·浙江杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式()111v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ） A ．fv f v-B ．f v fv-C ．fv v f-D ．v f fv-3．（2022·四川眉山）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1B ．22a a +C ．224a a -D ．2a a + 4．（2022·湖南怀化）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．（2022·四川凉山）分式13x+有意义的条件是（ ） A ．x ＝－3B ．x ≠－3C ．x ≠3D ．x ≠06．（2022·四川南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A B ．C D ．7．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x 棵．则下列方程正确的是（ ） A ．40030050x x=- B ．30040050x x=- C ．40030050x x=+ D ．30040050x x=+ 8．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x 天，下面所列方程中错误的是（ ）A ．2x 1x x 3+=+ B ．23x x 3=+ C ．11x 221x x 3x 3-⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭D ．1x 1x x 3+=+ 9．（2022·四川德阳）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 10．（2022·四川遂宁）若关于x 的方程221mx x =+无解，则m 的值为（ ） A ．0B ．4或6C ．6D ．0或411．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量 D ．篮球的数量二．填空题12．（2022·湖北黄冈）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是________． 13．（2022·浙江湖州）当a ＝1时，分式1a a+的值是______． 14．（2022·湖南怀化）计算52x x ++﹣32x +＝_____． 15．（2022·四川自贡）化简：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________． 16．（2022·四川泸州）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．17．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11b a b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________．18．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为__________． 19．（2022·浙江金华）若分式23x -的值为2，则x 的值是_______．20．（2022·四川成都）分式方程31144x x x-+=--的解是_________． 21．（2022·重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．22．（2022·湖南衡阳）计算：2422a a a +=++_________． 23.（2022·浙江台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-24．（2022·四川成都）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________． 25．（2022·湖南常德）方程()21522x x x x +=-的解为________．三．解答题26．（2022·江苏宿迁）解方程：21122x x x =+--．27．（2022·四川泸州）化简：22311(1).m m m m m -+-+÷28．（2022·新疆）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭，其中2a =．29．（2022·四川乐山）先化简，再求值：211121x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x30．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1x 值代入求值．211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭．31．（2022·陕西）化简：212111a a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．32．（2022·湖南株洲）先化简，再求值：2111144x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+++⎝⎭，其中4x =．33．（2022·江苏扬州）计算：(1)(02cos 45π︒+ (2)22221121m m m m +⎛⎫+÷⎪--+⎝⎭34．（2022·江西）以下是某同学化筒分式2113422x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎭的部分运算过程： (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．35．（2022·重庆）计算：(1)()()(2)x y x y y y +-+-；(2)2244124m m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭-+．36．（2022·江苏连云港）化简：221311x x x x -+--．37．（2022·四川达州）化简求值：222112111a a a a a a a ⎛⎫-+÷+ ⎪-+--⎝⎭，其中31a．38．（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．39．（2022·四川凉山）先化简，再求值：524(2)23m m m m-++⋅--，其中m 为满足－1＜m ＜4的整数．40．（2022·山东滨州）先化简，再求值：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-41．（2022·重庆）计算：(1)()()224x x x ++-；(2)2212a a bb b -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．42．（2022·山东泰安）（1）若单项式14m n x y -与单项式33812m nx y --是一多项式中的同类项，求m 、n 的值；（2）先化简，再求值：211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =．43．（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．44．（2022·湖南怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W 元，请写出W关于a的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？45．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．46．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？47．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．48．（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？49．（2022·四川广元）先化简，再求值：22x x +÷（1﹣211xx--），其中x是不等式组()211532x xx x⎧-<+⎨+≥⎩的整数解．50．（2022·湖南娄底）先化简，再求值：3242244xxx x x⎛⎫++÷⎪--+⎝⎭，其中x是满足条件2x≤的合适的非负整数．。
中考数学专题复习课件 --- 第六讲一元一次方程与分式方程
【解析】选A.把x=2代入方程2x+3m-1=0,解得m=-1.
2.(2010 ·东营中考)分式方程 (A)-3 (B)2 (C)3
1 3 的解是( x2 x
)
(D)-2
【解析】选C.原方程去分母,得x=3x-6,解得x=3,经检验x=3是
原方程的根,或者把选项代入原方程检验即可.
3.(2010·河北中考)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了 1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张，根据题意，
去分母，得(2x-8)-4=8, 去括号，得2x-8-4=8, 移项，合并同类项，得2x=20, 系数化为1，得x=10.
【纠错空间】上述解题过程出现了三个常见错误： (1)不会利用分式的符号法则对分式进行等值变形，这个法则 是“分式的分子、分母和分式本身的符号，任意改变两处， 分式的值不变”，按此法则，下列变形应该是：
3
检验：当 x 26 时，x-7≠0,且原方程的左右两边相等，
∴原方程的解为 x 26 .
3
3
x 1.(2010·江西中考)解方程： 2 x2
4 1. x2 4
【解析】 去分母，得(x-2)2+4=x2-4, 解得x=3. 检验：当x=3时，x2-4≠0, ∴x=3是原方程的解.
【解析】设原计划每天修水渠 x 米.
3 根据题意得： 600 3 600 20, x 1.8x
解得：x=80, 经检验：x=80是原分式方程的解. 答：原计划每天修水渠80米.
解分式方程常见的错误
【例】解分式方程 2x 8 4 8.
x7 7x 2x 8 4Байду номын сангаас【错误解析】变形，得 8 , x 7 x 7
(2024年)分式课件
2024/3/26
1
2024/3/26
• 分式基本概念与性质 • 分式化简与求值 • 分式方程及其解法 • 分式在几何中的应用 • 分式在函数中的应用 • 分式在生活实际问题中的应用
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01
分式基本概念与性质
2024/3/26
3
分式定义及表示方法
2024/3/26
分式定义
分式是两个整式相除的商式，其 中分子是被除数，分母是除数， 分数线相当于除号。
拆分法
对于某些复杂的分式，可以将其拆分成几个简单的分式之和或差，从而方便进行化简。
8
分式求值技巧
01
代入法
当分式中包含字母时，可以将已知的字母值代入分式，然后进行计算。
2024/3/26
02
整体法
对于某些复杂的分式求值问题，可以将整个表达式看作一个整体，然后
进行运算。
03
特殊值法
在某些情况下，可以通过取特殊值的方法来简化计算。例如，当分式的
03
运用分式求解二次函数的最值问题，理解最值的求解
方法和步骤。
2024/3/26
21
复杂函数图像中分式识别和处理
1 2
复杂函数图像中的分式识别
学习如何在复杂函数图像中识别出分式的存在， 并分析其对函数图像的影响。
分式的处理技巧和方法
掌握处理复杂函数中分式的技巧和方法，如分离 常数法、配方法等。
3
分式在函数性质分析中的应用
03
利用分式求解一次函数与反比例函数的交点，掌握相关计算方
法和技巧。
20
二次函数与分式关系探讨
二次函数中的分式形式
01
研究二次函数中分式的表达形式，以及分式对二次函
最新高考文科一轮复习07-08.幂函数和分式函数(讲义+习题)
和
2.解分式函数题时，难在化简，常见的化简的手段有
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【经典例题】
例 1: 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）y
3
x 2；（2）y
1
x 3；（3）y
2
x 3；（4）y
x 2；（5）y
x 3；（6）y
1
x2
.
（A） （B）
（C） （D）
（E） （F）
例 4：设
f
(x)
x x
3 2
, ,
(x (x
a) a)
，若存在实数
b
，使得函数
g
(
x)
f (x) b 有两个零点，则 a 的取值范围
例 5：函数 f (x) 5x 3 (x 1,3, x 1) 的值域是
3x 1
3
例 6：函数 y 4 3sin x 的值域是_____________________． 2 sin x
（）
A．
B．
答案：A
C．
D．
9 n 2.函数 y＝|x| (n∈N 且 n>9)的图像可能是( )
[答案] C
9
9
n
n
[解析] ∵f(－x)＝|－x| ＝|x| ＝f(x)，∴函数为偶函数，图像关于 y 轴对称，故排除 A、B.令 n＝18，
1
1
2
2
则 y＝|x| ，当 x≥0 时，y＝x ，由其在第一象限的图像知选 C.
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例 7：求下列函数的最大值: y 4x 2 1 (x 5) 4x 5 4
初中数学：分式方程应用题专题练习附详解(精)
（1）实际购买时，该农产品多少元每千克？
（2）据预测，该农产品的市场价格在实际购买价的基础上每天每千克上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品，每天需要支出各种费用合计为280元，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．则将这批农产品存放多少天后一次性全部出售，该公司可获得利润19600元？
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在健康大药房累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有1000名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
经检验，x=40原方程的解，
∴x+8=48．
答：每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．
（2）
解：设购买y件甲种商品，则购买（80-y）件乙种商品，
根据题意得：48y+40（80-y）≤3600，
解得：y≤50．
答：最多可购买50件甲种商品．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×购买数量，列出关于y的一元一次不等式．
3．第十一届江苏书展在苏州国际博览中心设有400个展台，并在全省多地线上、线下同步举行．本届书展设置了“读经典、学四史、童心向党和百年辉煌”等活动．为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加 ．
高考数学巧解：非线性目标函数---分式型
高考数学巧解：非线性目标函数---分式型典例1．已知实数,x y 满足{0134x y x y ≥≥+≤，则231x y x +++的取值范围是（ ）A ．2[,11]3B ．[3,11]C ．3[,11]2 D ．[1,11]解：232(1)1.11x y y x x +++=+++其中11y x ++表示两点(,)x y 与(1,1)--所确定直线的斜率，由图知，min max 10114,5,13410PB PA k k k k ----======----所以11y x ++的取值范围是1[,5],4231x y x +++的取值范围是3[,11].2选C.典例2．设点(),P x y 在不等式组1{2060x x y x y ≥-≤+-≤所表示的平面区域内，则2299xyz x y =+的取值范围为（ ）A ．183,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．453,342⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4518,3413⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1845,1334⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：目标函数229199xy z x y x y y x==++，画出可行域如下图所示，由图可知，yx的取值范围是[][],2,5OA OC k k =，令y t x =，则目标函数化为()[]()292,59t f t t t =∈+，()()()()229339t t f t t +--+'=，故函数在[]2,3上递增，在[]3,5上递减，且()()()183452,3,513234f f f ===，故目标函数的取值范围是453,342⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点评：本题主要考查线性规划求解最值问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查换元法和导数法求最值的方法.首先根据线性约束条件画出可行域，求出斜率型yx的取值范围.然后对目标函数进行划归与转化，换元后利用导数可以求出目标函数的值域.变式题1．设实数满足约束条件，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．0D ．1变式题2．若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-≤⎩……，则ln ln z y x =-的最大值为（ ）A ．2B ．2ln 2C ．ln 2-D ．ln 2闯关题：1．已知实数x 、y 满足100x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则21x y z x +-=的取值范围是（ ）A ．[]1,0-B ．[]1,2-C ．[)1,3D ．[)1,-+∞2．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知变量x ，y 满足约束条件60203x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数11x Z x y -=+-的最大值( ) A ．25B ．35C ．23D ．344．已知点(),M a b 在由不等式组0,0,2x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则42163a b a +++的最大值是（ ） A ．4B ．245C ．163D ．2035．已知变量x 、y 满足220110x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则42x y x +++的取值范围是（ ）A ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设,x y 满足不等式组2,,0,x y y x a y +≤⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，且4yx +的最大值为12，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知动点(),P x y 满足20030x y y x y -⎧⎪⎨⎪+-⎩……„，则12y x ++的取值范围是___________.8．已知，满足，则的取值范围为 ．9．已知x ，y 满足约束条件104020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22y x z xy -=的取值范围为______.10．实数x ，y 满足121y y x x y m≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则yx 的最小值为_______．参考答案变式题1．A 可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以.因此（当且仅当时取等号），选A.变式题2．D 由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：ln ln lny z y x x=-=Q z ∴取最大值时，yx 最大yx的几何意义为：(),x y 与原点连线的斜率 由上图可知，点C 与原点连线斜率最大由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩得：()1,2C max 2y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ max ln 2z ∴= 闯关题：1．C 解：作出不等式组100x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩对应的平面区域如图，21x y z x +-=Q ，12y z x -∴=+，令1y k x-=，2z k ∴=+ 则k 的几何意义为区域内的点到定点(0,1)D 的斜率， 由图象知CD 的斜率最小，此时(1,0)C ，对应的斜率0111k -==-， 当过D 的直线和y x =平行时，直线斜率1k =，但此时取不到， 故11k -<…，13z ∴≤<，[)1,3z ∴∈故选：C ．2．D目标函数()12123112111x yx y yzx x x++++++===+⨯+++，设11ykx+=+，则k的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D--连线的斜率，若目标函数231x yzx++=+的最小值为32，即12z k=+的最小值是32，由3122k+=，得14k=，即k的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D的直线经过()3,0B a时，直线的斜率k最小，此时011314ka+==+，得314a+=，得1a=.故选：D.3．C如图所示：画出可行域，11111xZyx yx-==+-+-，1ykx=-表示(),x y到()1,0的斜率.当1ykx=-最小时，11xZx y-=+-最大，根据图像知：当3,1x y==时，11xZx y-=+-有最大值为23.故选：C.4．D42164(3)2(2)242333a b a b bwa a a++++++===++++作出可行域，分析可得：点(,)a b与点(3,2)--确定的直线的斜率范围是：24[,]53从而可以求得w的取值范围是：2420[,]53则42163a ba+++的最大值是203.故选：D5．B作出不等式组220110x yxx y-+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()22421222x y x y y x x x ++++++==++++Q，代数式22y x ++的几何意义为可行域中的点(),P x y 与点()2,2A --连线的斜率，由图象可知，当点P 与可行域的顶点()0,1B 重合时，直线PA 的斜率最大，此时42x y x +++取得最大值52. 当点P 与可行域的顶点()1,0D 重合时，直线PA 的斜率最小，此时42x y x +++取得最小值53.因此，42x y x +++的取值范围是55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.6．B结合可行域可知2a ≥-，4yx +表示可行域内的点(,)P x y 与点(4,0)Q -连线的斜率， 直线20x y +-=与直线y x a =+的交点为点(1,1)22a aA -+，当1,122a a x y =-=+时，4yx +取到最大值12，即1122142a a +=-+，解得2a =，所以实数a 的值为2.故选：B. 7．1[,1]5作出可行域如图，12y x ++表示(),P x y 与()21--，连线的斜率k ，当直线过点()1,2时，k 最大，此时()()21112k --==--，当直线过点()3,0时，k 最小，此时()()011325k --==-- k 的最小值为15，故答案为：1[,1]5.8．可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，所以，因此9．16[,0]15-作出不等式组表示的平面区域，如图所示：y x 表示点(,)x y 与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图得，当直线经过点53(,)22A 时，yx 取得最小值为35；当直线经过点(2,2)B 时，yx取得最大值为1. 22=,y x y x z xy x y -=-令13,(1)5y k z k k x k ==-≤≤又因为21'10z k =+>因此函数13(1)5z k k k =-≤≤单调递增， 因此：当1k =时，max 0z =；当35k =时，min 1615z =-故答案为：16[,0]15- 10．17先做121y y x ≥⎧⎨≤-⎩的区域如图可知在三角形ABC 区域内，由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值， 此时直线为()22y x x =--=+， 作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点， 由212y x y x =-⎧⎨=+⎩，得35x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=，所以点C 的坐标为()7,1．yx等价于点(,)x y 与原点连线的斜率， 所以当点为点C 时，yx取得最小值，最小值为17，故答案为：17.。
一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数的对称中心在数学中，分式型函数是一种特殊的函数形式，其表达式为分子和分母都是多项式的比值。
这种函数在数学和工程领域有着广泛的应用，其中对称中心是一个重要的概念。
对称中心是指分式型函数的图像关于某个点对称。
具体来说，如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，都有f(a-x) = f(a+x)，那么a就是函数的对称中心。
在函数图像中，对称中心可以看作是一个镜像轴，将图像分成两部分，两部分关于对称中心对称。
对称中心的概念可以帮助我们更好地理解和分析分式型函数的性质。
下面我们通过几个例子来说明对称中心的作用。
考虑函数f(x) = 1/x。
这是一个常见的分式型函数，其图像是一条双曲线。
我们可以发现，对于任意的实数a，都有f(a-x) = 1/(a-x) = 1/(a+x) = f(a+x)，即函数的对称中心为a=0。
这意味着在图像中，关于y轴对称的点对应的x值之和为0。
这个性质对于分式型函数的对称性分析非常重要。
考虑函数f(x) = (x^2-1)/(x-1)。
这也是一个分式型函数，其图像是一条抛物线。
我们可以发现，对于任意的实数a，都有f(a-x) = ((a-x)^2-1)/(a-x-1) = (a-x+1)/(a-x-1) = (a+x-1)/(a+x+1) = f(a+x)，即函数的对称中心为a=1。
这意味着在图像中，关于x=1这条直线对称的点对应的x值之和为2。
这个性质对于分式型函数的图像研究非常有帮助。
考虑函数f(x) = (x^3-8)/(x^2-4)。
这是一个稍微复杂一些的分式型函数，其图像是一条闭合的曲线。
我们可以发现，对于任意的实数a，都有f(a-x) = ((a-x)^3-8)/((a-x)^2-4) = (a-x+2)/((a-x-2)(a-x)) = (a+x-2)/((a+x-2)(a+x)) = f(a+x)，即函数的对称中心为a=2。
这意味着在图像中，关于x=2这条直线对称的点对应的x 值之和为4。
分式函数的图像与性质
高一数学选修课系列讲座〔一〕-----------------分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，123x y x -+=+等。
二、学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1 画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
小结：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“别离常数〞的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质： 〔1〕定义域： ； 〔2〕值域： ；〔3〕单调性：单调区间为 ；〔4〕渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；〔5〕奇偶性：当 时为奇函数； 〔6〕图象：如下图x O yxO y问题2：(0)by ax abx=+≠的图像是怎样的？例2、根据y x=与1yx=的函数图像，绘制函数1y xx=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
小结：分式函数(,0)by ax a bx=+>的图像与性质：〔1〕定义域：；〔2〕值域：；〔3〕奇偶性：；〔4〕单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；〔5〕渐近线：以轴和直线为渐近线；〔6〕图象：如右图所示例3、根据y x=与1yx=的函数图像，绘制函数1y xx=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。