高等数学等价无穷小替换-极限的计算
等价无穷小代换在求极限过程中的应用
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高 等 数 学 研 究
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等 价 无 穷 小 代 换 在 求 极 限 过 程 中 的 应 用
价 。
推 论 设 ａ ， ， ｙ是 自变 量 同 一变 化 过 程 中 的 无 穷 小 量 ， ａ 且 ～ａ ， ～ ， 则
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维普资讯
第 ５卷 第 ３期
李 秀 敏 、 灵 色 ： 价 无 穷 小 在 求 极 限 过 程 中 的 应 用 王 等
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高等数学等价无穷小替换_极限的计算
⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。
【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。
最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。
下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。
定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。
显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。
【高等数学】等价无穷小代换
【高等数学】等价无穷小代换定义1. 若 x \to x_0 时，函数f(x) \to 0 , 则称函数f(x) 为 x \to x_0 时的无穷小。
注. x_0 可以是 \pm \infty ；无穷小说的是“函数”，唯一的常数无穷小是 0，其实不是常数 0 而是 0 函数。
•有限个无穷小的和仍是无穷小；(无限个不一定)•有限个无穷小的乘积仍是无穷小；(无限个不一定)•有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
无穷小与函数极限的关系：\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Leftrightarrow \quadf(x) = A +\alpha(x), \, \,其中, \alpha(x) 为 x \to x_0 时的无穷小。
二. 无穷小的阶同样是无穷小，在 x \to x_0 时，都趋于 0，但趋于 0 的速度快慢可能是不一样的，为了描述此事，引入无穷小的阶的概念。
定义2. 设 f(x) 和 g(x) 都是 x \to x_0 时的无穷小，（i）若 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 ，则称f(x) 为 g(x) 的高阶无穷小，此时也称 g(x) 为 f(x) 的低阶无穷小；结合该例来记： \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0 , 故 x \to 0 时， x^2 是 x 的高阶无穷小， x 是 x^2 的低阶无穷小。
（ii）若 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l, \quad ( l \neq 0, \infty) , 则称 f(x) 为 g(x) 的同阶无穷小；特别地，若 l = 1 , 则称 f(x) 与 g(x) 为等价无穷小。
三. 等价无穷小代换等价无穷小代换，是求极限过程中经常用到的一种方法，它实际上就是泰勒公式展开的前一项或前两项。
其原理，是基于“等价无穷小”的定义以及“极限的乘法、除法运算法则”：定理1. 设 f(x) 与 g(x) 为 x \to x_0 时的等价无穷小，则（i）若\lim_{x \to x_0} f(x) h(x) =A ，则 \lim_{x\to x_0} g(x) h(x) =A ；（ii）若 \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} = A , 则\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = A证明: f(x) 与 g(x) 为 x \to x_0 时的等价无穷小，则\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1（i）由极限的乘法运算法则，\lim_{x \to x_0} g(x) h(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{f(x)} \cdot f(x) h(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) h(x) = 1 \cdot A = A（ii）由极限的除法运算法则，\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = A注. 该定理表明求极限时，表达式 f(x)g(x) 的乘法因子 f(x) 可替换为等价无穷小的 g(x) ;表达式 \frac{h(x)}{f(x)} 的除法因子 f(x) 可替换为等价无穷小的 g(x) .特别注意:用等价无穷小代换求极限时，乘积项可以直接代换，和差项不能直接代换，可以整体代换。
关于等价无穷小的代换法求极限探讨
利用等价无穷小的代换求极限是一种非常重要的方法,如果运用得当,能起到化繁为简,化难为易的作用。
但在很多高等数学的教材中只给出了等价无穷小在商极限运算中的运用。
虽然教学中强调对于积和商可以用等价去穷小的代换计算极限,对于和差运算该方法失效。
由于对于积运算没有相应的性质定理,因此对学生而言到底什么时候可以用什么时候不能用还是比较含糊的。
基于此,对等价无穷小的代换法在和差积商中的运算进行探讨,明确等价无穷小代换求极限的方法的适用范围是很有必要的。
1 无穷小的和、差、积、商运算中等价无穷小的代换法(i)无穷小的商之等价无穷小代换法定理1 设 ，，，是自变量在同一变化过程中的无穷小量, ~~ ，,且 lim存在,则极限 lim 存在且[1]lim lim。
定理表明在求两个无穷小之比的极限时,可以用对应的等价无穷小对分子或分母进行整体代换。
如果用来代替的无穷小选得适当的话,可以使计算简化。
例112213321002(1)12limlim 1cos 3x x x x x x(ii)无穷小为乘积因子的等价无穷小代换法定理2 设 ,, ，是自变量在同一变化过程中的无穷小量,~ ，~ ,则 .~. 。
证明:因为.lim lim .lim 1.。
定理3 设 ，是自变量在同一变化过程中的无穷小量,~ ，()f x 为自变量在这一变化过程中的另一函数,且lim ()f x 存在,则极限 lim ()f x 存在且 lim ()lim ()f x f x 。
证明:因为lim ()lim ().limlim ()f x f x f x定理说明对于无穷小与函数的乘积的极限可以用相应的无穷小的等价代换求极限。
例23322111limsin lim .51515x x x x x x x x x x定理4 设 , ，,是自变量在同一变化过程中的无穷小量, ~~ ，,()f x 为自变量在这一变化过程中的另一函数,且()lim f x存在,则极限 ()lim f x 也存在且 ()()limlim f x f x证明:()()lim=lim .lim limf x f x()limf x以上定理表明对于无穷小为乘积因子的极限也可以用等价无穷小代换求极限。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
用等价无穷小代换求幂指函数的极限
Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。
但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。
一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。
在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。
课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。
大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。
如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。
鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。
2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。
对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。
而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。
2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。
例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。
例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。
本科高数高等数学极限的巧妙解题30例析
高数极限巧解例析求解函数的极限，历来是高数考试的必考内容，这其中，00型与∞∞型的未定式求极限，更是考察测试的重点方向。
在此例析一些解题诀窍，与众网友共同探讨交流。
一、巧用等价无穷小替换求极限1. 1lim(arcsin arctan )x x x→∞⋅ 解：本题求极限，如果用好等价无穷小替换，将会非常轻松，易如反掌。
解法如下：11arctan~()x x x→∞ ∴原式＝arcsin lim0x xx→∞=（arcsin 22x ππ≤≤注意：-，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。
） 2.2cot (tan sin )lim x x x x x →- 解：本题属于0型未定式，可能很多人第一个想到的就是用洛必达法则，这道题如若用该法则求导，计算量将会非常大，算式也会变得十分复杂，极易出错。
有兴趣的同学不妨试一试，看看求导后的函数表达式会是怎样的。
对于本题，如果采用等价无穷小替换求极限，将会容易得多，具体解题过程如下： 由于cos cot sin x x x =，1tan sin sin (1)cos x x x x-=-所以可得原式＝2cos 1sin (1)sin cos lim x x x x x x →⋅- ＝21cos lim x xx →- [注：21cos ~(0)2x x x -→] ＝222limx x x → ＝123. 3332lim ln()1n n n n →∞+- 解：本题求极限，首先用倒代换将函数变形，然后再运用等价无穷小替换。
详细步骤如下： 令31n t= ，则原式＝33321lim ln()11n n n n→∞+-＝0112lim ln()1t t t t→+- ＝0113lim ln()1t t t t t→-+- ＝013lim ln(1)1t t t t →+- [注：33ln(1)~(0)11t t t t t+→--] ＝013lim[()()]1t t t t→- ＝3（注意：本题不可用洛必达法则求极限，因为n 属于离散变量，不能求导。
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨
用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨作者：冉金花
来源：《科技资讯》2019年第27期
摘; 要：等价无穷小替换是求极限中常用的方法之一，正确的使用可以大量地减少计算量。
该文探讨了函数乘积、商的极限和商的极限中分子、分母为和差项时等价无穷小替换的使用条件，特别给出了3项无穷小的和项的等价替换条件并给出了证明，还给出了相应的实例。
关键词：等价无穷小; 替换; 极限; 和差项
中图分类号：G64 ; ;文獻标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）09（c）-0222-02
等价无穷小替换是求极限中常用的方法之一，正确地使用等价无穷小替换求极限可以大量地减少计算量，但在使用时往往也会出现一些常见的误区，该文主要从函数乘积、商的极限和分式极限中分子、分母为和差项时对等价无穷小的替换条件进行探讨。
3; 结语
综上，可以知道使用等价无穷小替换求极限时需要遵循以下规则。
（1）乘除项等价替换时，是分子或分母的整体代换，或因式替换，即替换后不可出现和差的情形。
（2）和差项等价替换时需替换的几个无穷小的等价无穷小应该是同阶或等价的，且最终的和差项不能被抵消为0。
总之，等价无穷小替换求极限虽然方便，但在替换之前需验证是否满足定理及推论里的条件，否则将会产生错误。
参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：53.
[2] 魏国祥，张隆辉，成明山.关于等价无穷小替换求极限方法的推广[J]. 四川教育学院学报，2008，24（5）：111-112.
[3] 吴维峰.对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨[J].潍坊教育学院学报，2008，21（2）：22-23.。
x-lnx等价无穷小替换公式
x-lnx等价无穷小替换公式摘要：1.等价无穷小替换公式的概念与意义2.等价无穷小替换公式的应用步骤3.等价无穷小替换公式在极限计算中的作用4.举例说明等价无穷小替换公式的运用5.总结与展望正文：一、等价无穷小替换公式的概念与意义在高等数学中，等价无穷小替换公式是一种求极限的方法，它将复杂函数的极限问题转化为简单函数的极限问题。
所谓等价无穷小，指的是当自变量趋于某个值时，两个函数的比值趋于1。
在这种情况下，我们可以说这两个函数是等价无穷小的。
等价无穷小替换公式就是利用这种等价关系，将原函数中的部分替换为与之等价的函数，从而简化极限问题的求解。
二、等价无穷小替换公式的应用步骤1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项。
2.验证等价无穷小关系，即验证两个函数的比值趋于1。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分，得到一个新的函数。
4.求解新函数的极限，得到原函数的极限。
三、等价无穷小替换公式在极限计算中的作用等价无穷小替换公式在极限计算中的作用主要体现在以下几点：1.简化极限问题：通过将复杂函数替换为简单函数，降低了求解难度。
2.提高计算效率：利用等价无穷小替换公式，可以避免复杂的数学推导和计算。
3.拓宽求解范围：对于一些直接求解困难的极限问题，通过等价无穷小替换公式，可以转化为更容易求解的问题。
四、举例说明等价无穷小替换公式的运用例如，求极限：当x趋于0时，sinx/x的极限为1。
解析：1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项：sinx和x。
2.验证等价无穷小关系：当x趋于0时，sinx/x的极限为1，满足等价关系。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分：将sinx替换为x，得到新函数x/x。
4.求解新函数的极限：当x趋于0时，x/x的极限为1。
因此，原函数sinx/x的极限也为1。
五、总结与展望等价无穷小替换公式是高等数学中求解极限的一种重要方法。
通过寻找合适的等价无穷小项，将原函数简化，从而降低求解难度。
在实际应用中，掌握好等价无穷小替换公式，能够帮助我们更快地解决各种极限问题。
高等数学等价无穷小替换
无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
用等价无穷小代换求函数极限
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求 函数代数和的极限 ，使 问题简化 。但求 此类题时一
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第１ ８卷第 ２ 期 ２０年 ６月 ０ ０
临沧 师范高等专科学校学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅｓＣ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＬｉｃｎ ａｈ ｒ＇ ｏｌ ｅ ｅ
Ｖｏ ．１ ． １ ８ Ｎｏ ２
Ｊ ｎ ．０ ９ ｕ ｅ２ ０
用等价无穷小代换求 函数极限
苏有 菊
由以上说 明等价无 穷小量的代换方法对求 函数 的 极限起到 了简化运算过 程的作用 ，将 一些 不易求解 的
极 限 问 题 化 繁 为 简 ， 化 难 为 易 ，从 而 得 到 解 决 。 因
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此 ，掌握 以上方法 ，可以使得 函数极 限的计算更加容
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例 ：求 解 ：当 一 ０时 ， ｓ ｘ～ ， 卜 ＣＳ ～ ｉ ｎ ＯＸ
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￥ 收稿 日期 ：２０ － ３ ０ ０９ ０ － ６
作者简介 ： 苏有菊（ ８ １ 卜 ９
等价无穷小替换,极限的计算[资料]
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无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
高等数学等价无穷小替换
无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时，Λ、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大 1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如,,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:定理 10lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则 0lim ()lim(())x x xx f x A x α =+)(lim 0x A x x α→+=.A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如n n 1,,∞→.11不是无穷小之和为个但n n定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→x x x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x ®当时都是无穷小，观察各极限：x x x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x x x sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sin limx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义:设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作 (3)lim (0,0),.k C C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1.tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x → 证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4x x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ；（2）x arcsin ～x ；（3）x tan ～x ；（4）x arctan ～x ；（5）)1ln(x +～x ；（6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ（9）1x a -～ln a x * 用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-=3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设证：αβlim )lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''= 例3 （1）.cos 12tan lim 20x x x -→求；（2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当故原极限202(2)lim12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220x x x -→=21- 例4.2sin sin tan lim3x xx x -→求错解:.~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx x x x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
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讲义无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时，Λ、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α=+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→Θ)cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1x a -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβΘ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim 0xx x x +-→求解: ),(5tan x o x x +=Θ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=-原式22015()()2lim 3()x x o x x o x x o x ®+++=+xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xxx x x x424lim 22--=→x x x()()()2222lim2--+=→x x x x 2=又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373lim lim 142422x x x x x x x x xx +-+-==-+-+，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110ΛΛ又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n nn n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，()0131arctan lim 2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求解：)32(lim 21-+→x x x Θ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x Θ又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== 由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x)1(lim )(lim 0x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin x yx x?当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0Λ=+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(0Λ==k k x π取,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证. 例xx f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x.01lim==+∞→A xx 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =x xx g sin )(=都是无穷小量但=+∞→)()(lim x f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x （2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “0”型，拆项。