四川省成都市石室中学高2015届“一诊”模拟考试数学(文)试题

四川省成都市石室中学高2015届“一诊”模拟考试
数学（文）试题
考试时间：120分钟 总分 150分
一．
选择题（第题5分，共50分）
1.已知集合{
}
2
4B x x =≤，则集合R B =ð（）
A.()2∞，+
B.[)2∞，+
C.()()2-∞⋃∞，-2，+
D.(][)22-∞⋃∞，-，+
2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =（）
A ．9
B ．10
C ．12
D ．13
3.已知a b ，
均为单位向量，且它们的夹角为60，那么a b -=（） A.1
D.1
2
3.设a b R ∈，，是虚数学单位，则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（） A ．21 B ．26 C ．30 D ．55 5．()(
)
12
2
2
1910log log 24⎛⎫-- ⎪⎝+⎭
的值等于（）
A ．2-
B ．0
C ．8
D ．10
6．已知α是平面，,m n 是直线，则下列命题正确的是（）
A ．若,,m n m α∥
∥则n α∥ B ．若,,m n αα⊥∥则m n ⊥C ．若m m n α⊥⊥，，则n α⊥ D ．若m n αα，∥∥，则m n ∥
7．如果实数x y ，满足等式()2
2
32x y +=-，那么
y
x
的最大值是（） A ．
1
2
B
C
D
8．关于x 的议程2160mx x -+=在[]110
x ∈，上有实根，则实数m 的取值范围是（）
A ．[]8，17
B ．(]1，8
C ．(][)88-∞-⋃+∞，
， D ．5885
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 9．点12F F ，为椭圆()22
2210b x y a b
a +>>=的左右焦点，若椭圆上存在点A 使12AF F 为正三角形，那么椭圆的
离心率为（） A
B ．12
C ．1
4
D
1 10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨
-<⎪⎩，，
≤≤，设方程()()2x
b x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为
1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（）
A ．122x x +=
B ．1219x x <<
C ．()()340661x x <--<
D ．34925x x <<
第II 卷（非选择题，共100分）
二．
填空题（第题5分，共25分）
11．已知是虚数单位，则复数31i
i
+-的共轭复数是。

12．若4cos 5α=-
，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

13．若0+2=1m n m n >，，且，则
11
m n
+的最上值为。

14．直线21ax by +=与圆2
2
1x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点
()00Q ，之间距离的最大值为。

15．正方体1111ABCD A B C D -为棱长为1，动点P Q ，分别在棱
1BC CC ，上，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ，
设,BP x CQ y ==，其中[]01x y ∈，，
，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
P
Q
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B
A
①当0x =时，S 为矩形，其面积最大为1；
②当1
2x y ==时，S 为等腰梯形； ③当13
24
x y ==，时，S 为六边形；
④当11122x y ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
，，时，设S 与棱11C D 的交点为R ，则112RD y =-。

三． 解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）
16．某种零件质量标准分为1，2，3，4，5五个等级。

现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
（I ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰好有2个，求m ，n ;
（II ）在（I ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率。

17．设ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知1
12cos 4
a b C ===，，， （I ）求ABC 的周长；（II ）求()cos A C -的值。

17．为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素x y ，的含量（单位：毫克）。

下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（I ）当产品中微量元素x y ，满足1755x y ，且≥≥时，该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（II ）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）。

18．如图1，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点。

该四棱锥的正（主）侧图和侧（左）视图如图2所示。

（I ）证明：AE ∥平面PFC ；
（II ）证明：平面PFC ⊥平面PCD 。

图2
侧（左）视图
2
2
2
1
122
正（主）视图
图1
F P
E
D
C
B
A
19．正项等差数列{}n a 中，已知12315a a a ++=，且1232513a a a +++，，
构成等数列{}n b 的前三项。

（
I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）求数列{}n n
a b 的前n 项和n T 。

20．已知椭圆C 的左，右焦点分别为())
120F F ，，且该椭圆过点1⎛- ⎝。

（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）已知定点112A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，过原点O 的直线与曲线C 交于M N ，两点，求MAN 面积的最大值。

21．已知函数()ln x
g x x
=
，()()f x g x ax =-。

（I ）求函数()g x 的单调区间；
（II ）若函数(
)f x 在区间()1∞，+上是减函数，求实数a 的最小值； （III ）若函数()()2
h x g x bx =-恰有两个零点，求实数b 的取值范围。