第二章-信息论基本概念(1)
信息论名词解释
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信息论部分基本概念和名词术语消息(或称为符号):信息的数学表达层,它虽不是一个物理量,但是可以定量地加以描述,它是具体物理信号的进一步数学抽象,可将具体物理信号抽象为两大类型:自信息量:一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量成为自信息量,定义为其发生概率对数的负值。
平均互信息:表达平均互信息量的熵I(X;Y), 是确定通过信道的信息量的多少,因此称它为信道传输率或传信率。
I(X;Y)就是接收到符号Y后平均每个符号获得的关于后平均每个符号获得的关于X的信息量——平均意义上每传送一个符号流经信道的平均信息量。
离散平稳无记忆信源:假定随机变量欲裂的长度是有限的,如果信源输出地信息序列中,符号之间的无相互依赖关系,则称这类信源为离散平稳无记忆信源。
信源冗余度:信源熵的相对率为信源实际的信息熵与同样符号数的最大熵的比值:η=H无穷/H0,定义信源的冗余度为1减去信源熵的相对率η,即ξ=1-η。
信道容量:信道在单位时间上能够传输的最大信息量。
平稳信源:概率分布函数与时间起点无关,平稳信源是有记忆的,记忆的长度有限。
香农信息:信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。
无记忆信道:在某一时刻信道的输出消息仅与当时的信道输入消息有关,而与前面时刻的信道输入或输出消息无关。
有记忆信道:在任意时刻信道的输出消息不仅与当时信道的输入消息有关,而且还与以前时刻的信道输入消息和(或)输出消息有关。
信道疑义度(含糊度) H(X|Y):表示在输出端接收到Y后,发送端X尚存的平均不确定性。
这个对X尚存的不确定性是由于干扰引起的。
信道散布度H(Y|X):表示在已知X后,对于输出Y尚存的平均不确定性;平均失真度:定义平均失真度为失真函数的数学期望,及d(xi,yi)在X和Y 得联合概率空间P(XY)中的统计平均值:D=E[D(xi,yi)] ,起是在平均的意义上,从总体上对整个系统失真情况的描述。
失真函数d(xi,yj):是人为规定的,给出规定时应该考虑解决问题的需要以及失真可能引起的损失、风险和主观上感觉的差别等因素。
信息论基本概念_OK
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X:a1 a2
aq
p(akm1 / a a k1 k2 akm )
同时满足:
k1,k2, ,km,km1 1,2, ,q
q
p(akm1 / ak1 ak2
km1 1
akm ) 1
k1,k2, ,km 1,2, ,q
【注】当m=1时,为一阶马尔可夫信源。
4
•对于具有M个不同的状态空间,M2个转移概率可排成一转移矩阵:
P(1 | 1) P(1| 2) P
P(2 |1) P(M |1) P(2 | 2) P(M | 2)
• 每行元素代表同一P起(1| 始M )状P态(2 |到MM) 个 不P(同M 终| M止) 状态的转移概率; • 每列元素代表M个不同起始状态到同一终止状态的转移概率;
马尔可夫信源-非平稳离散信源中的一类特殊信源。
是由信源发出的各个符号之间的关连性构成一个整体消息。这种关连性用符号
的转移概率(条件概率)表示:
如:BOY P(B)
P(O|B)
P(Y|BO)
若马尔可夫信源发出每个符号都取决于它与前面的K个符号之间的关连性,也 就是该信源是以转移概率P(Xi|Xi-k, Xi-k+1, …, Xi-1)发出每个符号,这种信源称作K阶 马尔可夫信源。
p(Ei ) p(E j / Ei ) logp(E j / Ei )
i1 j 1
qm q
p(Ei ) p(ak / Ei ) logp(ak / Ei )
i1 k 1
其中p(Ei )(i 1, 2, , qm )是m阶马尔可夫信源稳定后的状态极限概率,
p(E j / Ei )是状态之间的一步转移概率。 18
第二章 信息论基本概念
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一个信源总是包含着多个符号消息,各个符号消息又按概率 空间的先验概率分布,它的不确定度是各个符号的不确定度的数 学期望(即概率加权的统计平均值) 它的熵(平均不确定度)H(X)定义为: H(X)= E[I(x)]= P(X)I(X) =- P(X)log2P(X) X
X
若信源X中的符号的概率空间简化表示为: X1,X2, „,XN X,PX= P1, P2,„, PN 则熵(平均不确定度)H(X)可写成: N H(X)=- PilogPi 注意:∵ I(X)为非负, P(X)为非负,且0≤P(X)≤1 ∴ H(X)也为非负
0.8 0.2
其中X1表示摸出的球为红球事件,X2表示摸出的球为白球事件
若告知摸出的是红球,则事件的自信息量为 I(X1)=-logP(X1)=-log20.8 bit 若告知摸出的是白球,则事件的自信息量为 I(X2)=-logP(X2)=-log20.2 bit 若取回后又放回摸取,如此摸取n此,红球出现的次数nP(X1), 白球出现的次数为nP(X2),则总信息量为 I=nP(X1)I(X1)+nP(X2)I(X2) 而平均随机摸取一次所获得的信息量为 H(X)= 1/n [nP(X1)I(X1)+nP(X2)I(X2)] =-[P(X1)logP(X1)+P(X2)logP(X2)] 2 =- P(Xi)logP(Xi)
符号xi对联合事件符号yj zk之间的互信息量定义为: I(xi ; yj zk)= logP(xi|yj zk)/ P(xi) „„„„*
三. 条件互信息量 含义:在给定zk条件下,xi与yj之间的互信息量
条件互信息量I(xi ; yj|zk)定义为: I(xi ; yj|zk)= logP(xi|yj zk)/ P(xi|zk) 从上式,可使*式写成: I(xi ; yj zk)= I(xi ; zk) + I(xi ; yj|zk) 推导如下: I(xi ; yj zk)= log P(xi|yj zk)/ P(xi)
信息论编码 第二章信息度量1
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50个红球,50个黑球
Y
20个红球,其它4种 颜色各20个
Z
问题:能否度量、如何度量??
2.3.2信源熵数学描述
信源熵
• 定义:信源各个离散消息的自信息量的数学期望 (即概率加权的统计平均值)为信源的平均信息 量,一般称为信源的信息熵,也叫信源熵或香农 熵,有时也称为无条件熵或熵函数,简称熵。 • 公式: n 1 H ( X ) = E[ I ( xi )] = E[log2 ] = −∑ p( xi ) log2 p( xi ) p( xi ) i =1 • 熵函数的自变量是X,表示信源整体,实质上是无 记忆信源平均不确定度的度量。也是试验后平均 不确定性=携载的信息 信息量为熵 • 单位:以2为底,比特/符号 • 为什么要用熵这个词,与热熵的区别?
3
( 2)
∑ p ( x ) = 1, ∑ p ( y
i =1 m i j =1
n
m
j
) = 1,∑ p ( xi / y j ) = 1,
i =1 n
n
概 率 复 习
∑ p( y
j =1 n
j
/ xi ) = 1, ∑ ∑ p ( xi y j ) = 1
j =1 i =1 m
m
( 3) ( 4) (5)
1
对天气x1 ,Q p( x1 / y1 ) = 0,∴不必再考虑x1与y1之间 信息量
对天气 x 2 : I ( x 2 : y 1 ) = log
2
p ( x 2 / y1 ) = log p ( x2 )
2
1/ 2 = 1( bit ) 1/ 4
同理 I ( x 3 : y 1 ) = I ( x 4 : y 1 ) = 1( bit ), 这表明从 y 1 分别得到了
第二章-信息论基本概念(2)(1)
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前面所述熵为单符号信源情况, 前面所述熵为单符号信源情况,是最简单的离散 信源。事务是普遍联系的,两个随机变量 , 之间 信源。事务是普遍联系的,两个随机变量X,Y之间 也是相互联系的,比如: 在某种程度上 也是相互联系的,比如:
1、 离散无记忆信源 扩展信源 、 离散无记忆信源(扩展信源 扩展信源) 概率空间: (1)定义:若单符号离散信源 概率空间: )定义:若单符号离散信源X概率空间
X a1 , a2 , L , ai , L , aq P( X ) = p(a ), p(a ),L , p(a ),L , p(a ) , ∑ p(ai ) = 1 i 2 i q 1
0( p )
q
X
[例] 二进制对称信道 例
1( p )
q q
q
0
Y
1
H ( X ) = H ( p) = − p log p − p log p
I(X;Y)
H (Y / X ) = H (q) = −q log q − q log q
H (Y ) = H ( pq + pq)
0
1-H(q) 0.5 I(X;Y) H(p) 1 p
5. 数据处理定理 I(X;Z) ≤ I(X;Y) I(X;Z) ≤ I(Y;Z) [意义 信息不增原理 意义] 信息不增原理 原理—— 意义 处理, 每经一次 处理,可能丢失一部分信息 X Y P(Z/;Y) = H(X) – H(X/Y) = H(Y) – H(Y/X) H(XY) = H(X) + H(Y/X) = H(Y) + H(X/Y) I(X;Y) = H(X) + H(Y)- H(XY) -
通信原理知识要点
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通信原理知识要点第一章概论1 、通信的目的2 、通信系统的基本构成●模拟信号、模拟通信系统、数字信号、数字通信系统●两类通信系统的特点、区别、基本构成、每个环节的作用3 、通信方式的分类4 、频率和波长的换算5 、通信系统性能的度量6 、传码速率、频带利用率、误码率的计算第二章信息论基础1 、信息的定义2 、离散信源信息量的计算(平均信息量、总信息量)3 、传信率的计算4 、离散信道的信道容量5 、连续信道的信道容量:掌握香农信道容量公式第三章信道与噪声了解信道的一般特性第四章模拟调制技术1 、基带信号、频带信号、调制、解调2 、模拟调制的分类、线性调制的分类3 、 AM 信号的解调方法、每个环节的作用第五章信源编码技术1 、低通、带通信号的采样定理(例 5 - 1 、例 5 -2 )2 、脉冲振幅调制3 、量化:●均匀量化:量化电平数、量化间隔、量化误差、量化信噪比●非均匀量化: 15 折线 u 律、 13 折线 A 律4 、 13 折线 A 律 PCM 编码(过载电压问题- 2048 份)5 、 PCM 一次群帧结构( P106 )6 、 PCM 系统性能分析7 、增量调制 DM 、增量脉码调制 DPCM :概念、特点、与 PCM 的比较第六章数字基带信号传输1 、熟悉数字基带信号的常用波形2 、掌握数字基带信号的常用码型3 、无码间干扰的时域条件、频域条件(奈奎斯特第一准则)4 、怎样求“等效”的理想低通()5 、眼图分析(示波器的扫描周期)6 、均衡滤波器第七章数字调制技术1 、 2ASK 、 2FSK 、 2PSK 、 2DPSK 的典型波形图2 、上述调制技术的性能比较3 、 MASK 、 MFSK 、 MPSK 、 MDPSK 、 QPSK 、 QDPSK 、 MSK ( h=0.5 )、APK 的含义、特点4 、数字调制技术的改进措施第七章复用与多址技术1 、复用与多址技术的基本概念、分类、特点、目的(区别)2 、同步技术的分类、应用第九章差错控制技术1 、常用的差错控制方式( ARQ 、 FEC 、 HEC )、优缺点2 、基本概念3 、最小码距与检错纠错能力的关系4 、常用的简单差错控制编码(概念、特点、编写)5 、线性分组码:基本概念、特点6 、汉明码的特点6 、循环码●概念●码字的多项式描述、模运算、循环多项式的模运算●循环码的生成多项式●根据生成多项式求循环码的:码字、(典型)生成矩阵、监督多项式、(典型)监督矩阵较大题目的范围1 、信息量的度量2 、信道容量的计算3 、 13 折线 A 律 PCM 编码4 、均衡效果的计算5 、数字调制波形的绘制6 、 HDB3 编码、解码7 、循环码重点Part I 基础知识1. 通信系统的组成框图 , 数字 / 模拟通信系统的组成框图。
第二章基本信息论1_信源不确定性-精品文档
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X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例 3 : p ( X ) 0 . 1 0 . 1 0 . 1 0 . 1 0 . 1 0 . 1 0 . 1 0 . 1 0 . 1 0 . 1
信息速率和信道容量的概念,离散有噪
信道的熵速率,可疑度的物理解释,连 续有噪信道的信道容量
三种多用户信道模型及其信道容量 信源编码原理,等长编码和变长编码
常用的信源编码:山农费诺编码、哈夫
曼编码和L-D编码
本章作业
P113: 1-9,11,15,17,20,21
2.1 信源及信源的不确定性
发生概率小的事件不确定性大, 发生概率大的事件不确定性小 4)两个独立事件的联合信息量应等于它们分别 信息量之和
三、信息度量
信源消息 x i 的自信息量:
Ix () l o g p () x i i
表示信源发出一个消息 x i 所含有(或所提供)的 非平均自信息量
ห้องสมุดไป่ตู้
也表示通信发生前,信源发送消息 x i 的不确定度。
n
p (x gp (x i )lo i)
即信源的非平均不确定度
条件自信息量
I (/ x ) l o g p (/ x ) i y j i y j
y 已 知 的 条 件 下 , 发 生 x 所 带 来 的 信 息 量 j i
信宿接收到消息 y j 后,对信源发送消息 x i 尚存的不 确定度。
从信宿端看,信息量的定义:
I(信息量)=不肯定程度的减少量
log p( xi / y j ) p( xi )
信息论基础课件2[1][1].1.1- 2
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a2
…
ar p(ar)
p(a2) …
0 p(a i ) 1i 1,2, r
p(a i ) 1
信息论与编码-信源熵
需要注意的是,大写字母X,Y,Z代表随机变量,指 的是信源整体,带下标的小写字母代表随机事件的 某一结果或信源的某个元素。两者不可混淆。
信息论与编码-信源熵
(4) 如p(xi)=1,则I(xi) =0 ;(必然事件不含有任何不确定 性,所以不含有任何信息量)
(5) 自信息量也是一个随机变量,它没有确定的值。
信息论与编码-信源熵
例2、 设有12枚同值硬币,其中有一枚为假币,且只知道假币
的重量与真币的重量不同,但不知究竟是轻是重。现采 用天平比较两边轻重的方法来测量(因无法码)。问至 少需要称多少次才能称出假币? 解:用天平每称一次能获得一定的信息量,能消除部分的不 确定性。测量若干次后,能消除全部不确定性,获得全部信 息,也就能确定出假币。 设“在12枚同值硬币中,某一枚为假币”该事件为a, p(a ) 1 / 12 则 p 又设“假币是重、或是轻”该事件为b,则(b) 1 / 2
(5)当X与Y相互独立时,
p( y j / xi ) p( y j ), p( xi / y j ) p( xi ), p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
( 6) p( x i / y j ) p( x i y j )
p( x i y j )
i 1
n
p( y j / xi )
i 1 n j 1 i 1 j 1 i 1
n
m
n
m
n
p( xi y j ) p( y j ), p( xi y j ) p( xi )
信息论基础教学课件ppt信息论基础概述信息论基础概论
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§1.2.1 通信系统模型
例如,奇偶纠错 将信源编码输出的每个码组的尾补一个1或0 当传输发生奇数差错,打乱了“1”数目的奇偶性,就 可以检测出错误。
34
§1.2.1 通信系统模型
(a) 无检错
(b) 可检错 (奇校验) (c) 可纠错(纠一个错)
图1.4 增加冗余符号增加可靠性示意图
35
§1.2.1 通信系统模型
信源的消息中所包含的信息量 以及信息如何量度
核心 问题
29
§1.2.1 通信系统模型
编码器(Encoder)
编码器的功能是将消息变成适合于信道传输的信号 编码器包括:
信源编码器(source encoder) 信道编码器(channel encoder) 调制器(modulator)
信源编码器
信道编码器
调制器
功能:将编码器的输出符号变成适合信道传输的信号 目的:提高传输效率 信道编码符号不能直接通过信道输出,要将编码器的输 出符号变成适合信道传输的信号,例如,0、1符号变成 两个电平,为远距离传输,还需载波调制,例如,ASK, FSK,PSK等。
36
§1.2.1 通信系统模型
信道(channel)
13
§1.1.2 信息的基本概念
1949年,Weaver在《通信的数学》中解释香农的工 作时,把通信问题分成三个层次: 第一层:通信符号如何精确传输?(技术问题) 第二层:传输的符号如何精确携带所需要的含义?(语义问题) 第三层:所接收的含义如何以所需要的方式有效地影响行为? (效用问题)
14
§1.1.2 信息的基本概念
§1.1.2 信息的基本概念
信息的三个基本层次:
语法(Syntactic)信息 语义(Semantic) 信息 语用(Pragmatic)信息
《信息论》课程介绍
![《信息论》课程介绍](https://img.taocdn.com/s3/m/bf54e4ef32d4b14e852458fb770bf78a64293a48.png)
《信息论》课程介绍【原创实用版】目录1.信息论的定义与重要性2.信息论的发展历程3.信息论的应用领域4.《信息论》课程的主要内容5.学习信息论的意义与价值正文1.信息论的定义与重要性信息论是一门研究信息传输、存储、处理和利用的学科,它涉及数学、统计学、计算机科学、通信技术等多个领域。
在信息时代,信息论为我们提供了理论基础和技术方法,以实现信息的高效、安全、可靠传输和处理。
信息论在现代通信、计算机科学、数据挖掘、密码学等领域具有重要意义。
2.信息论的发展历程信息论的发展始于 20 世纪 40 年代,美国数学家香农(Claude Shannon)发表了著名的《通信的数学理论》,奠定了信息论的理论基础。
此后,信息论在通信技术、计算机科学等领域得到广泛应用和发展。
如今,信息论已经成为一门重要的学科,吸引了众多学者和研究者。
3.信息论的应用领域信息论在许多领域都有广泛的应用,例如通信技术、计算机科学、数据挖掘、密码学、机器学习等。
在通信技术方面,信息论为无线通信、光纤通信等提供了理论支持;在计算机科学方面,信息论为数据压缩、数据加密等技术提供了理论依据;在数据挖掘方面,信息论为数据分析、知识发现等提供了有效方法。
4.《信息论》课程的主要内容《信息论》课程主要涉及以下几个方面的内容:(1)信息论的基本概念和定义,包括信息的定义、熵的定义、信息传输速率等;(2)信息论的基本理论,包括香农定理、信源编码、信道编码等;(3)信息论的基本方法,包括数据压缩、数据加密、信道编码等;(4)信息论的应用领域,包括通信技术、计算机科学、数据挖掘、密码学等。
5.学习信息论的意义与价值学习信息论具有重要的意义和价值,它可以帮助我们更好地理解信息的传输、存储、处理和利用,提高我们在信息时代的竞争力。
此外,信息论也为我们提供了理论基础和技术方法,以实现信息的高效、安全、可靠传输和处理。
《信息论》课程介绍
![《信息论》课程介绍](https://img.taocdn.com/s3/m/fa0fc643a7c30c22590102020740be1e650ecc06.png)
《信息论》课程介绍摘要:一、课程背景二、课程目标三、课程内容1.信息论基本概念2.信息熵与信息量3.信道容量与信源编码4.信道编码与解码5.信息论在实际应用中的发展四、课程学习方法与要求正文:《信息论》课程是一门理论性较强的课程,主要研究信息传输、信息处理、信号检测等领域的基本理论。
通过本课程的学习,学生将掌握信息论的基本概念、基本原理和计算方法,了解信息论在实际应用中的发展,提高解决实际问题的能力。
一、课程背景信息论是20 世纪40 年代由香农(Claude Shannon)创立的,它是一门研究信息、通信、计算等领域的理论基础。
信息论不仅关注信息的量度,还关注信息传输的效率和可靠性等问题。
随着信息技术的迅速发展,信息论已成为现代通信技术、数据压缩、信号处理等领域的理论基石。
二、课程目标通过本课程的学习,学生将能够:1.理解信息论的基本概念、基本原理和计算方法;2.掌握信息熵、信息量、信道容量等基本概念,并会进行计算;3.了解信源编码、信道编码和解码的基本原理和方法;4.熟悉信息论在实际应用中的发展,提高解决实际问题的能力。
三、课程内容本课程主要包括以下内容:1.信息论基本概念:包括信息、熵、信息量、信道容量等基本概念,以及它们之间的关系。
2.信息熵与信息量:详细介绍信息熵的定义、性质和计算方法,以及信息量的概念和计算方法。
3.信道容量与信源编码:介绍信道容量的定义、性质和计算方法,以及信源编码的基本原理和方法。
4.信道编码与解码:介绍信道编码的基本原理和方法,以及解码的原理和过程。
5.信息论在实际应用中的发展:介绍信息论在通信技术、数据压缩、信号处理等领域的应用和发展。
四、课程学习方法与要求1.认真阅读教材,掌握课程的基本概念、基本原理和计算方法;2.积极参与课堂讨论,提高解决实际问题的能力;3.完成课后习题,巩固所学知识;4.结合实际应用,加深对课程内容的理解。
第二章信息论
![第二章信息论](https://img.taocdn.com/s3/m/402be363182e453610661ed9ad51f01dc281571c.png)
无记忆信源 X的各时刻取值相互独立。
有记忆信源 X的各时刻取值互相有关联。
补充解释 信源和信宿
信源亦称信息源,它能够形成和发送一组有待于传输
给接收端的消息或消息序列。
信宿即信息接受者,它能够接收信息并使信息再现从
而达到通信的目的。
说明:
信源和信宿是多方面的,既可以是人,也可以是 物
信源和信宿是相对的 信源发出的信息对于信宿来说是不确定的
第二节 信息论基础知识
一、通信系统模型 1、通信系统模型
申农认为通信应该是信息在系统中识别、 传输、变换、存储、处理、显示的过程。因此 通信系统必须是一个发送与接收,输入与输出 两者相互联系的不可分割的统一体。
通信系统模型
通信的基本问题是在彼时彼地精确地或近似地再现此时此 地发出的消息。 各种通信系统,一般可概括为下图所示的统计模型:
信源
信源编码器 信道编码器
等效信源 等效信宿
信宿
信源译码器 信道译码器
等效干扰 信道
信
干
道
扰
源
这个模型包括以下五个部分: 1.信源 信源是产生消息的源。
2. 编码器 编码器是将消息变成适合于 信道传送的信号的设备。
信源编码器,提高传输效率
编码器
信道编码器,提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
维纳从控制和通信的角度研究了信息问题,以自动 控制的观点解决了信号被噪声干扰时的处理问题,建立 了“维纳滤波理论”,从而扩大了信息论的研究范围。
申农信息论
申农使信息论成为了一门独立的学科,主要解决 了信息编码问题和如何提高通信的效率和可靠性。
《通信中的数学理论》和《在噪声中的通信》集 中了申农的研究成果,系统的论述了信息理论,奠定 了现代信息论的基础。
信息论
![信息论](https://img.taocdn.com/s3/m/382bab1c6edb6f1aff001f22.png)
– 信息论是一门应用概率论、随机过程、数理 统计和近代代数的方法,来研究广义的信息 传输、提取和处理系统中一般规律的学科。 – 它的主要目的是提高信息系统的可靠性、有 效性、保密性和认证性,以便达到系统最优 化;
– 它的主要内容(或分支)包括香农理论、编码 理论、维纳理论、检测和估计理论、信号设 计和处理理论、调制理论、随机噪声理论和 密码学理论等。
• 1948年,维纳(N.Wiener)
在《控制论--动物和机器中通信与控制问题》一 书中,指出:“信息是信息,不是物质,也不是能 量”。将“信息”上升到“最基本概念”的位置。 后来,维纳在《人有人的用处》一书中提出: “信息是人们适应外部世界并且使这种适应反作用 于外部世界的过程中,同外部世界进行互相交换的 内容的名称。”
第一章
绪论
1.1 信息的概念
• 信号:是信息的物理表达层,是三个层次中最具体的层次。 它是一个物理量,是一个载荷信息的实体,可测量、可描述、 可显示。 • 消息:(或称为符号)是信息的数学表达层,它虽不是一个 物理量,但是可以定量地加以描述,它是具体物理信号的进 一步数学抽象,可将具体物理信号抽象为两大类型: 离散(数字)消息,一组未知量,可用随机序列来描述: X=(X1…Xi…Xn) 连续(模拟)消息,未知量,它可用随机过程来描述: X( t, ω) • 信息:它是更高层次哲学上的抽象,是信号与消息的更高 质、能量混同起来。所以,维纳关于信 息的定义是不确切的。
– 1948年,香农(C.E.Shannon)
发表了一篇著名的论文,“通信的数学理论”。 他从研究通信系统传输的实质出发,对信息作了 科学的定义,并进行了定性和定量的描述。
信息是事物运动状态或存在方式的不确 定性的描述。
信源编码器:将信源的输出进行适当的变换,以提高 信息传输的效率。
信息论第二章
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主要内容: 主要内容: 一、自信息量 平均自信息量( 二、平均自信息量(熵)及性质 教学要求: 教学要求: 一、了解信息论的基本内容 会自信息量、互信息量、 二、会自信息量、互信息量、平均自 信息量的计算
引言
有效性和可靠性是通信系统中研究的中心问 信息论是在信息可度量基础上, 题,信息论是在信息可度量基础上,研究有效地 和可靠地传递信息的科学。因此,概率论、 和可靠地传递信息的科学。因此,概率论、随机 过程是信息论研究的基础和工具。 过程是信息论研究的基础和工具。
( )
I ( xi y j ) = I ( xi ) + I ( y j )
小结
1、出现概率小的随机事件所包含的不确定性大,也就是它 出现概率小的随机事件所包含的不确定性大, 的自信息量大。出现概率大的随机事件所包含的不确定性小, 的自信息量大。出现概率大的随机事件所包含的不确定性小, 也就是它的自信息量小。在极限情况下,出现概率为1 也就是它的自信息量小。在极限情况下,出现概率为1的随 机事件,其自信息量为零。 机事件,其自信息量为零。 随机事件的不确定性在数量上等于它的自信息量, 2、随机事件的不确定性在数量上等于它的自信息量,两者 单位也相同。 单位也相同。 信宿收到从信道传来的所消息携带的信息量后, 3、信宿收到从信道传来的所消息携带的信息量后,可以全 部或部分消除信宿对信源发出消息的不确定性。特别地, 部或部分消除信宿对信源发出消息的不确定性。特别地,当 信宿收到的信息量等于信源包含的不确定性(即自信息量) 信宿收到的信息量等于信源包含的不确定性(即自信息量) 就可以唯一地确定信源发出的消息。 时,就可以唯一地确定信源发出的消息。 例如:当某随机事件x 出现的概率为P 1/8时 例如:当某随机事件xi出现的概率为P(xi)= 1/8时,它包 含3比特的不确定性;当信宿能收到3比特的信息量,就能唯 比特的不确定性;当信宿能收到3比特的信息量, 一的确定信源发出的是消息x 一的确定信源发出的是消息xi。
信息论基础第2章
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若
U
(t
,
)
a.e.
0,
a.e.
当t T /2时
U (t,) U (t,), 当 t T / 2时
这里,U (t, )为一周期性随机过程;
“a.e.”为almost everywhere, 几乎处处含义下相等(收敛)
2019/10/14
P.10
常用的展开式 (续):
类似于周期性确知信号,在时域内可做下列付氏级数展开:当 t T / 2 时,
b
a R(t1t2 ) (t2 )dt2 (t1 )
下面简要介绍积分方程的概念,所谓积分方程,是指未知函数在积 分号内的方程式,我们这里讨论的是最常见的线性积分方程。即一 般积分方程可写为:
b
a(x)(x) f (x) a K (x, )( )d
2019/10/14
对消息序列信源有:
UL
pu
U u1U unL p(u1) p(unL )
2019/10/14
P.5
2)实际信源 (续)
例:最简单L=3的三位PCM信源:这时L=3, n=2, 即i={0,1},则有:
U3 p(u)
U
000,U p03 ,
2019/10/14
P.14
常用的展开式 (续):
U
(t
,
)
a.e
ai ()i (t)
则
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi
(
)
a.e
b
a U (t,)i (t)dt
第二章-信号分析与信息论基础
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4、随机过程的数字特征 随机过程的数字特性,比如,随机过程的数学期望、
方差及相关函数等。 1)数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
可把t1直接写成t。随机过程的 数学期望被认为是时间t的函数。
2.1 确知信号分析
信号是通过电的某一物理量(如电压或电流)表 示出的与时间t之间的函数关系。 确知信号:能用函数表达式准确表示出来的信号。它 与时间的关系是确知的。 随机信号:与上述相反。
通信中传输的信号及噪声都是随机信号。
2.1.1 周期信号与非周期信号 周期信号:满足条件 s(t)=s(t+T0) -∞<t<∞,T0>0 非周期信号:不满足上述条件。 功率信号:信号在(0,T)内的平均功率S(式2-2)值为 一定值。 能量信号:当T→ ∞时,式(2-3)是绝对可积的。
解: Γ[COS ω0 t]= π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] 冲激 强度为π,根据卷积定理:
Γ[f(t)COS ω0 t] =(1/2 π)F(ω)* {π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] }
=(1/2) [F(ω- ω0)+ F(ω+ω0)]
2.1.3 信号通过线性系统
线性系统:输出信号与输入信号满足线性关系(允许
说,如果对于任意的n和τ,随机过程ξ(t)的n维概率
密度函数满足:
则称ξ(t)是平稳随机过程。
6、广义平稳过程 广义平稳概念:若一个随机过程的数学期望及方差 与时间无关,而其相关函数仅与τ有关,则称这个随
信息论基础
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• 符号 i的自信息量定义为 符号a 的自信息量定义为: 1 I (ai ) = log p(ai ) • 自信息量是对单个符号不确定性的测度
什么是互信息量
• 发送变量 X~P(ai),接收变量 ,接收变量Y~P(bj) • ai和bj的互信息量定义为: 的互信息量定义为:
什么是信道
• 信道的含义 信道的含义 • 信道的模型和分类 信道的模型 模型和
信道的含义
• 信道是指通信系统把载荷消息的信号从一个地 方传输到另一个地方的媒介 方传输到另一个地方的媒介 • 常见信道 常见信道主要有明线、电缆、波导、光纤、无 线电波传播空间等 • 信道除了传送信号以外,还有存储信号 存储信号的作用 存储信号 • 信道中还存在噪声源产生的干扰 干扰,信道的输出 干扰 一般是叠加了干扰的信号 • 信道的特性可以用概率空间来描述
I ( X ;Y ) = H ( X ) − H ( X / Y ) = H (Y ) − H (Y / X ) = H ( X ) + H (Y ) − H ( XY )
疑义度 噪声熵 联合熵 想一想
平均互信息量与条件熵和联合熵的关系
想一想
• 在什么条件下平均互信息量 在什么条件下平均互信息量I(X;Y)=0,其 , 通信意义是什么 是什么? 通信意义是什么? • 平均互信息量 平均互信息量I(X;Y)可不可能取负值,其 可不可能取负值 可不可能取负值, 通信意义又是什么P(ai)和Y~P(bj)是两个随机变量,它们的联 是两个随机变量, 和 是两个随机变量 合熵定义为: 合熵定义为: 1 H ( XY ) = ∑ p (ai b j ) log p (ai b j ) i, j • 联合熵是对两个联合信息不确定性的测度
《信息论基础》课程教学大纲
![《信息论基础》课程教学大纲](https://img.taocdn.com/s3/m/c566ce3ffd4ffe4733687e21af45b307e871f97f.png)
《信息论基础》课程教学大纲一、《信息论基础》课程说明(一)课程代码:14131054(二)课程英文名称:informationtheory(三)开学对象:信息管理与信息系统专业(四)课程性质:信息论是20世纪40年代后期从长期通讯实践中总结出来的一门学科,是研究信息的有效处理和可靠传输的一般规律的科学。
本课程是信息管理与信息系统本科的专业课。
它应用近代数理统计方法研究信息传输、存贮和处理,并在长期通信工程实践中不断发展。
因而它是一门新兴科学,亦称为通信的数学理论。
建立在通信理论的数学知识基础之上的信息论在数据压缩、调制解调器、广播、电视、卫星通信,计算机存储,因特网通讯,密码学等方面有着广泛的用途。
要使学生领会信息论的基本思想,具备解决实际问题的能力。
从而学习信息论基础,是将信息论渗透到并应用于更广泛的各种科学技术领域的必经之路,也有助于进一步发展和深化信息概念与信息理论。
先修课程为概率论与数理统计(五)教学目的:本课程就是信息管理与信息系统本科生的专业课,使用概率论与随机过程等数学方法研究信息的测度、信道容量以及信源与信道编码等理论问题;主要目的就是使学生介绍shannon信息论的基本内容,掌控其中的基本公式和基本运算,培育利用信息论的基本原理分析和化解实际问题的能力,为进一步自学通信和信息以及其他有关领域的高深技术打下较好的理论基础。
(六)教学内容:掌握熵与互信息的概念,性质与计算;掌握离散信源熵的计算;掌握离散信源编码定理与huffman编码方法;掌握特殊离散无记忆信道与高斯信道容量的计算;掌握信道编码定理;理解r(d)函数与有失真的信源编码定理.(七)学时数、学分数及学时数具体分配学时数:36分数:2学时数具体内容分配:教学内容第一章绪论第二章信源和信息熵第三章信道与信道容量第四章率为杂讯函数第五章编码定理合计210481236合计210481236讲授实验/课堂教学(八)教学方式:使用多媒体教学方式(九)考核方式和成绩记载说明考试方式将融合平时作业、平时考核(40%)、期末考试(60%)的各个环节。
信息论基本概念
![信息论基本概念](https://img.taocdn.com/s3/m/9fa5f6f06037ee06eff9aef8941ea76e58fa4ab1.png)
信息论基本概念信息论是一门研究信息的量度、传输和处理等问题的学科,它涉及到计算机科学、数学和通信科学等多个领域。
在信息爆炸的时代,掌握信息论基本概念对于我们理解信息的本质和提高信息处理能力都具有重要意义。
一、信息的定义及其测度信息可以被定义为消息的不确定性减少所需的代价。
信息量的测量单位是比特,即二进制(0或1)一位对信息的贡献。
比如说,一个硬币抛掷的结果是正面还是反面,完全不知道的概率是50%,这种不确定性可以被一个二进制位来表示。
因此,信息量为1比特。
二、熵概念“熵”是信息论的一个重要概念,与热力学的熵有一定的相似性。
在信息论中,熵是一个用来衡量信息平均不确定性的量度。
对于一个含有n个符号的信息源,每个符号的概率分别为p1,p2,...,pn。
那么它的熵就是:H = - p1 * log2(p1) - p2 * log2(p2) - ... - pn * log2(pn)其中,log2表示以2为底的对数。
我们可以看出,当其中某个符号的概率变化时,它的贡献也会随之改变,所以熵可以被看作是一个信息源的不确定性的度量。
三、信息传输能力在信息传输中,非常关键的一点是如何通过有限的信道来传输尽可能多的信息。
信息论中,香农信道容量就是用来衡量在给定的信噪比下一个信道所能达到的最大每秒传输比特数的量度。
香农信道公式为:C = B * log2 (1+ S/N)其中,B为信道的带宽,S/N为信号功率和噪声功率的比。
四、信道编码信息在通过信道传输的过程中,只有在成功地被接收端所解码才能保持完整。
为了提高信息传输的正确性,可以进行信道编码。
信道编码的目标是通过在信息中添加一些冗余的比特来提高传输的可靠性。
而从信道编码的角度来看,一个好的编码方案应该是能够提高数据的熵,并且能够容忍某些误码的存在。
五、信息压缩信息压缩是另一个信息论中非常重要的领域。
它的核心是通过去除信息中的冗余部分,从而实现信息的压缩,使得存储、传输或处理信息的时间和空间成本都得到大幅度降低。
信息论第二章课件及习题答案
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2013-8-1
2
§2.1 离散型随机变量的非平 均信息量(事件的信息量)
(本章将给出各种信息量的定义和 它们的性质。)
I ( xk ; y j )
loga rkj qk w j
定义2.1.1(非平均互信息量) 给定 一个二维离散型随机变量 {(X, Y), (xk, yj), rkj, k=1~K; j=1~J} (因此就给定了两个离散型随机 变量 {X, xk, qk, k=1~K}和{Y, yj, wj, j=1~J})。 事件xk∈X与事件yj∈Y的互信息 量定义为I(xk; yj)
2013-8-1
3
§2.1 离散型随机变量的非平 均信息量(事件的信息量)
(本章将给出各种信息量的定义和 它们的性质。)
I ( xk ; y j )
loga loga rkj qk w j P(( X , Y ) ( xk , y j )) P( X xk ) P(Y y j )
2013-8-1 17
图2.2.1
H(X) 1.0
0.5
0
2013-8-1
0.5
1
P
18
§2.2 离散型随机变量的平均 自信息量(熵)
定义2.2.2(条件熵) 给定一个二维离散型 随机变量 {(X, Y), (xk, yj), rkj, k=1~K; j=1~J}。
称如下定义的H(X|Y) 为X相对于Y的条件 熵。
2013-8-1 13
§2.1 离散型随机变量的非平 均信息量(事件的信息量)
小结 非平均互信息量I(xk; yj)。 非平均自信息量h(xk),h(yj)。 条件的非平均自信息量h(xk|yj), h(yj|xk)。 联合的非平均自信息量h(xk, yj)。 相互关系: I(xk; yj)≤min{h(xk),h(yj)}。 h(xk|yj)=h(xk)-I(xk; yj) 。 h(xk, yj)=h(yj)+h(xk|yj)=h(xk)+h(yj|xk)。 h(xk, yj)=h(xk)+h(yj)-I(xk; yj)。
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{
离散信源 连续信源
2
1. 连续信源 连续信源是指发出在时间和幅度上都是连续分布的 连续消息(模拟消息)的信源,如语言、图像、图 形等都是连续消息。
2. 离散信源 离散信源是指发出在时间和幅度上都是离散分布的 离散消息的信源,如文字、数字、数据等符号都是 离散消息。 发出单个符号的无记忆信源 离散无记忆信源 发出符号序列的无记忆信源 离散信源 发出符号序列的有记忆信源 离散有记忆信源 发出符号序列的马尔可夫信源
这三个信息量单位之间的转换关系如下:
1 nat=log2e
l.433 bit, l Hartley =log 10 3.322 bit
2
12
3. 不确定度
定义:随机事件的不确定度在数量上等于它的自信息量.
说明:
a. 两者的单位相同,但含义却不相同。 b. 具有某种概率分布的随机事件不管发生与否,都存 在不确定度,不确定度表征了该事件的特性,而自 信息量是在该事件发生后给予观察者的信息量。
18
解:信源符号的自信息量:
1 I ( x1 ) log2 1.415 3/8
1 I ( x2 ) I ( x3 ) log2 2 1/ 4
单位都是 bit/符号
1 I ( x4 ) log 3 1/8
信源无记忆,发出的符号串中各符号统计独立,由自信 息量的可加性,符号串自信息量等于各符号自信息量之和:
p( xi ) 0, p( xi ) 1
i 1
p( xi )为符号 x i的先验概率。
6
概率空间
X x1 P p( x ) 1
xn p( x2 ) p( xn ) x2
状态空间X中各状态 xi 相互独立。
举例(二进制信源):
第二章 信息论的基本概念
第一节 信源的描述和分类 第二节 离散信源的信息论概念 第三节 离散信源的熵
1
第一节 信源的描述和分类
一、香农信息论的基本点
用随机变量或随机矢量来表示信源,运用概率论和 随机过程的理论来研究信息。
二、信源的分类
按照信源发出的消息在时间上和幅度上的分布情况 可将信源分成离散信源和连续信源两大类 信源
20
(7)在布袋中放入81枚硬币,它们的外形完全相同。
已知有一枚硬币与其它80枚硬币重量不同,但不知
这个硬币比其它硬币的重量是重还是轻。问确定随
意取出的一枚硬币恰好是重量不同硬币的所获得的 信息量是多少?并进一步确定它比其它硬币是重还
是轻所需要的信息量是多少?
解: (a) P(A)=1/81,I(A)=-lbP(A)=6.34(bit)。 (b) P(B)=1/2,P=P(A)×P(B)=1/162;
符号),意味着其不确定性可用2位二进制数字来度 量(00、01、10、11)。 若取4为对数底,自信息量为1(四进制单位/符号), 意味着其不确定性可用1位四进制数字来度量(0、1、
2、3)。
16
(4)英文字母中“e‖ 出现的概率为0.105,“c‖出现的概
率为0.023,“o‖出现的概率为 0.001。分别计算它们的
11
d. 自信息量单位的确定
• • • • 在信息论中常用的对数底是 2 ,信息量的单位为比特 (bit),用log2或lb表示;( bit /符号) 若取自然对数,则信息量的单位为奈特( nat ),用 loge或ln表示;(nat/符号) 若以 10为对数底,则信息量的单位为哈脱莱 (Hartley), 用log10或lg表示;(hartley/符号) 若对数底为r,则信息量的单位为r进制用单位/符号。
15
(3)具有四个取值符号的随机变量 X [ x1 , x2 , x3 , x4 ] 各符号概率相等,均为1/4,各符号的自信息量:
1 I ( x1 ) I ( x2 ) I ( x3 ) I ( x4 ) lb 2(bit / 符号) 4
注:
bit的含义是二进制数字(0、1),自信息量为2(bit/
8
(一)
本节的重点内容: 1. 信息量?
自信息量
2. 自信息量? 3. 不确定度? 4. 联合自信息量? 5. 条件自信息量?
9
(一)
1. 信息量
自信息量
I(信息量)=不确定程度的减少量 即 收信者收到一个消息后,所获得的信息量等于收到 信息前后不确定程度减少的量。(举例)
2. 自信息量
定义:一个随机事件的自信息量定义为其出现概率 对数的负值:
i 1 j 1 N M
二元联合符号的自信息量称为联合自信息量:
I ( xi , y j ) lbp( xi , y j )
同理,三元联合符号的联合自信息量:
bit/二元符号
I ( xi , y j , zk ) lbp( xi , y j , zk )
bit/三元符号
22
注意:
a. 当(xi,yj)相互独立时,有P(xi,yj)=P(xi)P(yj),那
解:将棋子方格从第一行开始按顺序编号,得到一个序号集合
{zl | l 1, 2,
,64}
棋子落入的方格位置可以用取值于序号集合的随机变量Z来描述
Z {zl | l 1, 2, ,64}
26
(1)由于棋子落入任一方格都是等可能的,则
1 p( zl ) l 1,2, 64
,64
棋子落入某方格的不确定性就是自信息量
定义两种条件自信息量:
p( y j | xi )
bit/符号 bit/符号
I ( xi | y j ) lbp( xi | y j ) I ( y j | xi ) lbp( y j | xi )
注意:
在给定yj条件下,随机事件xi所包含的不确定度在数值上 与条件自信息量相同,但两者含义不同。
I 14I ( x1 ) 13I ( x2 ) 12I ( x3 ) 6I ( x4 ) 87.81(bit / 符号)
平均一个符号的自信息量:
I / 45 87.81/ 45 1.95(bit / 符号)
19
(6)同时抛掷一对质地均匀的骰子,每个骰子各面
朝上的概率均为1/6,试求:
(a)事件“3和5同时发生”的自信息量? (b)事件“两个1同时发生”的自信息量? (c)事件“两个点数中至少有一个是1‖的自信息量?
解: (a) 存在两种情况:甲3乙5,甲5乙3。 P(A)=1/36×2=1/18,I(A)=-lbP(A)=4.17(bit)。
(b) 存在一种情况:甲1乙1。
P(B)=1/36,I(B)=-lbP(B)=5.17(bit)。 (c) P(C)=1-5/6×5/6=11/36,I(C)=-lbP(C)=1.17(bit)。
24
条件自信息量物理意义: 条件自信息量的物理意义,要根据具体情况来做出相应的解释 如果X是观察输入,Y是观察输出:
p( xi | y j )
后验概率
I ( xi | y j ) lbp( xi | y j ) p( y j | xi ) 转移概率
在观察到符号yj的条件下xi还剩下的不确定性
I ( xi ) log p( xi )
10
说明:
a. 自信息量 I ( xi ) 是非负的。
b. 对于离散无记忆信源,符号串中各符号统计独 立,符号串自信息量具有可加性:
I logp( xi )
i
c. 因为概率 p( xi ) 越小,x i的出现就越稀罕,一旦出
现,所获得的信息量也就较大。由于 xi是随机出 现的,它是X的一个样值,所以是一个随机量。 而 I ( xi ) 是 xi 的函数,它必须也是一个随机量。
的自信息量为:
I(0)= I(1)= - log2 (1/2)=log22=1 bit/符号
( 2 )若是一个 m 位的二进制数,因为该数的每一位可 从0, 1两个数字中任取一个,因此有2m个等概率的可 能组合。所以I= -log2(1/2m)=m bit/符号,就是需要m 比特的信息来指明这样的二进制数。
么就有 I(xi,yj)=I(xi)+I(yj)。 b. (xi,yj) 所包含的不确定度在数值上也等于它们的 自信息量。
23
5. 条件自信息量
定义: 联合随机变量 XY {( xi , y j ) | i 1,2...N; j 1,2,...M } 有两种条件概率
p( xi | y j )
{
{ {
3
•
离散无记忆信源 离散无记忆信源所发出的各个符号是相互独立的,发出 的符号序列中的各个符号之间没有统计关联性,各个符 号的出现概率是它自身的先验概率。 离散有记忆信源 离散有记忆信源所发出的各个符号的概率是有关联的。 发出单个符号的信源 发出单个符号的信源是指信源每次只发出一个符号代 表一个消息; 发出符号序列的信源 发出符号序列的信源是指信源每次发出一组含二个以 上符号的符号序列代表一个消息。
5
三、先验概率及概率空间的形式 一般信源可用一个概率空间来描述,信源的不确 定程度可用该概率空间的可能状态数目及其概率 来描述。
先验概率
一个离散信源发出的各个符号消息的集合为: 它们的概率分别为:
n
X {x1, x2 ,, xn } ——状态空间
P { p( x1 ), p( x2 ),, p( xn )}
自信息量。
解:“e‖的自信息量 I(e)= - lb0.105=3.25 (bit/符号) “c‖的自信息量 I(c)= -lb0.023=5.44 (bit/符号)
“o‖的自信息量 I(o)= -lb 0.001=9.97 (bit/符号)
17
(5)某离散无记忆信源(DMS,Discrete Memoryless Source)的概