中考数学之定值探究(通用版)
初三中考复习专题：定值问题
初三数学讲义 专题探究：定值类问题教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析在几何问题中，当一些几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这种几何问题称之为几何定值问题. 定值问题由于所求证的问题不明确、具体,而使人难已下手,给问题解决带来困难.近年来,该类问题在各省市中考试题中频频出现,为便于广大师生复习教学,现对其归类例析.一、线段长度为定值例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。
（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH ＝，GP ＝，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长。
分析:解决此题时,首先要根据线段GH 的特征,添出辅助线,找出与其有关的长度为定值的线段间的联系,从而获得问题的解决.图一BOAGPHE二、线段长度为定值例 在给定的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 边上的动点，点1O 、2O 分别是AED ∆和BEC ∆的外心。
求证：21O O 的长为一定值。
变式练习 如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。
求证：DE 为定长。
三、角的度数为定值例 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。
求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。
ACB DEEDABCPM A O BS T例题．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是 APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE ＝43，求△ABC 的周长.四、面积为定值例. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.CP DOBAEFE 图10图9C'B'A'C'B'A'OBDBDAC C A真题练习1．（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．2．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=218错误！未找到引用源。
中考数学 定值问题 ppt课件
A
E4 2 B
1 O
F3
D
在以AB为直径的半圆上任意取一点C，过C 点作切线CP交AB的延长线于点P，∠APC的 平分线交AC于点D 求证：∠PDC为定值.
C
D
A
O
×
×
B
P
或最短时点P的位置；如果不发生变化，请给
出你的证明．
C’
C
A P
O1
O2
P
B D’ D
已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2,
点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,
P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P
作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
（1）求四边形CDFP的 D 周长；
C P
A( 2,0)
B
CAO45
AO
Mx
C 第25题图①
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴 负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针匀速 旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也 恰好与⊙B第一次相切。问：直线AC绕点A 每秒旋转多少度？
y
B
B
1
AOD
( 2,0)
Mx
C 第25题图①
（3）如图②，过A、O、C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上 一点，连接EC、EA、EO，当点E在劣弧AO上运动时(不 与A、O两点重合)， E C E A 的值是否发生变化？如果不
M
E
F
AO
B
已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2, 点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P 作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
（2）试探索P在线段 D
2024年中考数学常见几何模型(全国通用)圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型(原卷版)
专题35圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。
实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。
而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角（视角）模型【模型解读】已知点A ，B 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的动点，则当C 在何处时，∠ACB 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边OM 相切于点C 时，∠ACB 最大。
【模型证明】如图1，设C’是边OM 上不同于点C 的任意一点，连结A ，B ，因为∠AC ’B 是圆外角，∠ACB 是圆周角，易证∠AC ’B 小于∠ACB ，故∠ACB 最大。
在三角形AC’D 中，’’=+ADB AC D DAC’ADB AC D 又=ACB ADB ∵’ACB AC D【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
A． 2,0B．例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形是BC上一个动点，若∠DPM(1)如图，O 的半径为1，①已知点(1,1)A ，直接写出点已知直线2y ，直接写出直线2y 关于O 的“视角”；合条件的B 点坐标；(2)C 的半径为1，①点C 的坐标为若直线关于C 的“视角”为60 ，求k 的值；②圆心C 在模型2.定角定高模型（探照灯模型）定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。
浙江专版中考数学专题8最值与定值问题精讲本课
最值与定值问题
专题解读
最值问题是初中数学的重要内容，具有较大的灵活性，也 是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中 考的热点问题，它主要考查学生对平时所学内容的综合运 用能力，关键要用数学思想方法为指导，找准问题的切入 点，建立合适的解决问题的数学模型，寻找解决问题的捷 径，从而把问题由难转化为易，由复杂转化为简单，使问 题得到解决．
类型四 运用三边之间的关系求最值
例 4.(2021·凉山州)如图，等边三角形 ABC 的边长为 4， ⊙C 的半径为 3 ，P 为 AB 边上一动点，过点 P 作⊙C 的切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为____3________．
【解析】连结 CP，CQ，作 CH⊥AB 于 H，如图，∵等边三角
C．5 3 2
D．6 5 5
【解析】作 QM⊥x 轴于点 M，Q′N⊥x 轴于 N，设 Q(m，－
1 2
m ＋ 2) ， 则
PM
＝
m
－
1
，
QM
＝
－
1 2
m＋2，可证
△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN＝QM＝－12 m＋2，Q′N＝PM
＝m－1，∴ON＝1＋PN＝3－12 m，
∴Q′(3－12 m，1－m)，∴OQ′2＝(3－12 m)2
(2)小明在研究的过程中发现PPEC 是一个确定的值．回答这个确 定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
解：(1)连结 OD，DB，∵点 E 是线段 OB 的中点，DE⊥ AB 交⊙O 于点 D，∴DE 垂直平分 OB，∴DB＝DO.可证 ∠BCD＝∠BDC＝12 ∠DBO.∴∠DBO＝60°，∴∠CDB＝ 30°.∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；
中考数学专题训练：定值和最值问题解析版
定值问题解析版1、如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动.点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t=2秒时PQ=52. （1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ 中，由勾股定理得：PC=()2222PQ CQ 252-=-=4，∴OC=OP+P C=4+4=8。
又∵矩形AOCD ，A （0，4），∴D（8，4）。
t 的取值范围为：0＜t ＜4。
（2）结论：△AEF 的面积S 不变化。
∵AOCD 是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。
∴CE CQ AD DQ =，即CE t 84t =-，解得CE=8t4t-。
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t ，则CF=CD+DF=8－t 。
S=S 梯形AOCF ＋S △FCE －S △AOE =12（OA+CF ）•OC+12CF•CE－12OA•OE =12 [4＋（8－t ）]×8+12（8－t ）•8t 4t -－12×4×（8＋8t 4t-）。
化简得：S=32为定值。
所以△AEF 的面积S 不变化，S=32。
（3）若四边形APQF 是梯形，因为AP 与CF 不平行，所以只有PQ∥AF。
2020年中考数学压轴题专题9 动态几何定值问题学案(原版+解析)
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
中考数学动态几何题中的定值型问题赏析
中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。
定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。
解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量．一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。
以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略 一、长度定值 例1．（2010山东聊城）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．125B ．65C ．245D ．不确定解析：因为四边形ABCD 是矩形，由勾股定理得AC =BD =5.过点P 分别作AC 、BD 的垂线PE 、PF ，容易得△PDF ∽△BDA ， ∴PD PF BD AB =，即53PD PF =，∴35PF PD =， 同理35PE PA =，∴PE +PF ＝312()55PA PD +=．故答案为A 。
点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如P 与A 重合、P 与B 重合或P 为AD 的中点等特殊情形下，求出PE ＋PF 的值探求答案． 二、角度定值 例2．（2010年广东广州）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）略分析：（1）连接OA ，OP 与AB 的交点为F ，则△OAF 为直角三角形，且OA ＝1，OF ＝12，借助勾股定理可求得AF 的长，根据垂径定理求得AB ；（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判定∠CAB ＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE ＋∠DBA 是定值，而∠DAE ＋∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半，只需看∠AOB 值即可。
2020年九年级中考数学专题-定点定值问题(无答案)
中考数学复习提纲—定点定值问题班级 姓名 号数_______一、定点问题——由字母参数产生的定点 例1．阅读以下内容，然后解决问题 无论m 为任何实数，函数的图像总会经过的点是（ ）.A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）方法1：变换主元法①x x x y x y -=+-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩1020132，解得 这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程或方程组求出定点坐标。
方法2：特殊值法任意给m 赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。
y x x y x =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2222，解得所以，无论m 为何值时，该二次函数的图像恒过定点（1，3）。
故应选A 。
练习． 一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过定点________________ 抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线必定经过______和____ 二、定值问题1.线段长度为定值例2．若直线y=8k 与二次函数L ：y=kx 2﹣4kx+3k （k ≠0）交于E 、F 两点。
（1）直接抛物线的对称轴直线__________；（2对于不同的k 的值，线段EF 的长度是否发生变化？如果不会， 请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．练习2．如图，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E.连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG=GH=HE.在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请写出出该线段的长度. 2. 角度为定值例3．如图二次函数y ＝x 2+bx ﹣3的图象与x 轴分别相交于A 、B 两点，点B 的坐标为（3，0），与y 轴的交点为C ，动点T 在射线AB 上运动，在抛物线的对称轴l 上有一定点D ，其纵坐标为2，l 与x 轴的交点为E ，经过A 、T 、D 三点作⊙M ．（1）求二次函数的表达式；y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4． D （1，BOACE HG D2）．（2）在点T的运动过程中，∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解
九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解知识点，重点，难点所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。
平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。
一般来说，求解定值问题的方法有：图形分析法。
画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。
特殊位置法。
不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。
参数计算法。
图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。
例题精讲例1：如图，已知⊙O 及弦AB ，P 为⊙O 上任一点，PA 、PB 分别交AB 中垂线于E 、F ，求证：OE ·OF 为定值。
分析 若在⊙O 上的点P 运动到特殊位置点Q ，则点E ，点F 都和Q 点重合，于是得到OE ·OF =OQ 2，由此可推想，该定值可能为⊙O 半径的平方。
证明 因为OE 是弦AB 的中垂线，所以 AQ BQ=，所以∠AOE=∠BOE ， 所以 1.2mAOE AB ∠=又因为 1,2m PAB BP ∠= 1,2m PBA AP ∠=∠EPB =∠PAB ＋∠ABP ，所以∠AOE = ∠EPB ，所以A 、O 、F 、P 四点共圆，所以∠OFB =∠OAE .又因为∠FOB =∠AOE ，所以△FOB ∽△OAE ，所以,OF OB OA OE =即OE ·OF ＝OA ·OB .因为OA =OB ，所以OE ·OF =OA 2（定值）。
专题14 线段定值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(原卷版)
专题14 线段定值问题1．（2021·福建龙岩·中考二模）抛物线2y ax b =+经过点(4,0)A ，(0,4)B -，直线EC 过点(4,1)E -，(0,3)C -，点P 是抛物线上点A ，B 间的动点（不含端点A ，B ），过P 作PD x⊥轴于点D ，连接PC ，PE ． （1）求抛物线与直线CE 的解析式： （2）求证：PC PD +为定值；（3）若PEC 的面积为1，求满足条件的点P 的坐标．2．（2020·湖南·长沙市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2ax +a +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．点P 为x 轴上的一个动点． （1）求点D 的坐标；（2）如图1，当点P 在线段AB 上运动时，过点P 作x 轴的垂线，分别交直线AD 、BD 于点E 、F ，试判断PE +PF 是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． （3）如图2，若点P 位于点A 的左侧，满足∠ADP =2∠APD 且AP =132+AB 时，求抛物线的解析式．3．（2020·湖北·武汉中考三模）如图1，抛物线y＝ax2过定点M（52，2516），与直线AB：y＝kx+1相交于A、B两点．（1）若k＝﹣12，求△ABO的面积．（2）若k＝﹣12，在抛物线上的点P，使得△ABP的面积是△ABO面积的两倍，求P点坐标．（3）将抛物线向右平移两个单位，再向下平移两个单位，得到抛物线C2，如题图2，直线y＝kx﹣2（k+12）与抛物线C2的对称轴交点为G，与抛物线C2的交点为P、Q两点（点P在点Q的左侧），试探究22PG QG+是否为定值，并说明理由．4．（2021·湖北·武汉实外九年级月考）已知，如图，抛物线y＝14-x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过A、C两点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标；（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y＝x﹣114，若平移后的抛物线与直线y＝x﹣2交于M、N两点．①求证：MN的长度为定值；②结合（2）的条件，直接写出△QMN的周长的最小值5．（2020·湖南·长郡中学九年级期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标．6．（2021·江苏·南通市九年级月考）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7．（2020·广东·广州市九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+(m 为常数)的图象与x 轴交于点A (3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x =1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++(a b c ，，为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ，，222M ()x y ，两点，试探究1212M P M PM M ⋅是否为定值，并写出探究过程．8．（2020·广东·廉江市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左侧），且OA =3，OB =1，与y 轴交于C （0，3），抛物线的顶点坐标为D （﹣1，4）． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D 作直线DE ∥y 轴，交x 轴于点E ，点P 是抛物线上B 、D 两点间的一个动点（点P 不与B 、D 两点重合），P A 、PB 与直线DE 分别交于点F 、G ，当点P 运动时，EF +EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．9．（广东·广州市南沙区中考一模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(01)-，，点B 的坐标为(4)1-，，顶点C 在第一象限内，抛物线212y x bx c =-++（b c 、常数）的顶点P 为正方形对角线AC 上一动点．（1）当抛物线经过AB 、两点时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线与直线AC 相交于另一点Q （Q 非抛物线顶点，且Q 在第一象限内），求证：PQ 长是定值；（3）根据（2）的结论，取BC 的中点N ，求NP BQ +的最小值．10．（2021·河北保定·中考一模）如图，抛物线2:2L y ax ax a k =-++（a ，k 为常数且0a >）经过点()1,0C -，顶点为M ，经过点()0,4P a +的直线m 与x 轴平行，且m 与L 交于点A ，B （B 在A 的右侧），与L 的对称轴交于点F ，直线:n y ax a =+经过点C ．（1）用a 表示k 及点M 的坐标；（2）BP AP -的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）当直线n 经过点B 时，求a 的值及点A ，B 的坐标； （4）当1a =时，设ABC ∆的外心为点N ，则 ①求点N 的坐标；②若点Q 在L 的对称轴上，其纵坐标为b ，且满足AQB ACB ∠<∠，直接写出b 的取值范围．11．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于除原点O 和点A ，且其顶点B 关于x 轴的对称点坐标为()2,1． （1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F ，使得抛物线2y ax bx c =++上的任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线2y =-的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F 的坐标；②过点F 的直线l 与抛物线2y ax bx c =++交于,M N 两点．证明：当直线l 绕点F 旋转时，11MF NF+是定值，并求出该定值； （3）点()3,C m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点,P Q ，使四边形PQBC 周长最小，直接写出,P Q 的坐标．12．（2021·北京·北大附中九年级期末）如图1，抛物线M 1：y ＝﹣x 2+4x 交x 正半轴于点A ，将抛物线M 1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M 2，M 1与M 2交于点B ，直线OB 交M 2于点C ． （1）求抛物线M 2的解析式；（2）点P 是抛物线M 1上AB 间的一点，作PQ ⊥x 轴交抛物线M 2于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使△CPQ 的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB 向下平移，交抛物线M 1于点E ，F ，交抛物线M 2于点G ，H ，则EG HF的值是否为定值，证明你的结论．13．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1 图2 图3 （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）判断ACD △的形状，并说明理由．（用三种不同的方法）（3）如图2，在抛物线上有一动点P ，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交直线AC 于点N ，在线段PN 、MN 中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P 的坐标．（4）在抛物线上是否存在一点P ，使PA PC =，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（5）如图3，在抛物线的对称轴上的一点151,4H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点H 的任一条与y 轴不平行的直线l 交抛物线于点M 、N ，说明MH NHMN⋅是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．14．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点（x ，y ）的坐标值：（2）如图1，直线1y kx =+()0k <与抛物线交于P ，Q 两点，交抛物线对称轴于点T ，若QMT 的面积是PMT 面积的两倍，求k 的值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，ABD 的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．。
2022年全国中考数学分类解析汇编专题8定值问题
2 012年全国中考数学分类解析汇编专题8：定值问题解答题1.〔2022江西南昌8分〕如图，二次函数L 1：y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A ．B 两点〔点A 在点B 左边〕，与y 轴交于点C ．〔1〕写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔2〕研究二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k 〔k≠0〕．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②假设直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：〔1〕∵抛物线()22y x 4x 3x 21=-+=--，∴二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标〔2，﹣1〕。
〔2〕①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A 〔1，0〕，B 〔3，0〕两点。
②线段EF 的长度不会发生变化。
∵直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，∴kx 2﹣4kx+3k=8k ，∵k≠0，∴x 2﹣4x+3=8。
解得：x 1=﹣1，x 2=5。
∴EF=x 2﹣x 1=6。
∴线段EF 的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。
【分析】〔1〕抛物线y=ax 2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a ＞0时，抛物线的开口向上；a ＜0时，抛物线的开口向下。
抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。
〔2〕①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②联立直线和抛物线L 2的解析式，先求出点E 、F 的坐标，从而可表示出EF 的长，假设该长度为定值，那么线段EF 的长不会发生变化。
2.〔2022江苏苏州9分〕如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合.在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合， 连接CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连接PD.正方形ABCD 的边长为1cm ，矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm.设正方形移动时间为x 〔s 〕，线段GP 的长为y 〔cm 〕，其中0≤x≤2.5.⑴试求出y 关于x 的函数关系式，并求出y =3时相应x 的值；⑵记△DGP 的面积为S 1，△CDG 的面积为S 2．试说明S 1－S 2是常数；⑶当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长.【答案】解：〔1〕∵CG ∥AP ，∴∠CGD=∠PAG ，那么tan CGD=tan PAG ∠∠。
中考数学（通用版）复习专题学案：规律探究问题
规律探究问题【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.类型一数式规律型【技法梳理】对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.举一反三1. (2015·山东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:1√2第1行√32√5√6第2行√72√23√10√112√3第3行√13√14√154√173√2√192√5第4行……根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).2. (2015·山东临沂)请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是().A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n【小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律.比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.类型二图形变化规律型典例2(2015·四川内江)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.【解析】根据图象规律得出每6个数为一周期,用2015先减2再除以6,根据余数来决定第2015个图形.因为(2015-2)÷6=335……2,故第2015个图形与第2个图象相同,故答案是正方形.【全解】正方形【技法梳理】本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.举一反三3. (2015·湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放2015个时,实线部分长为.(1)(2)(3)(第3题)4. (2015·珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA4的长度为.(第4题)5. (2015·湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2015再到2015,箭头的方向是以下图示中的().(第5题)【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.类型三坐标变化规律型典例3(2015·广东梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 014的坐标是.【解析】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3),∵2015÷6=335……4,∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹.点P的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).【全解】 (8,3)(5,0)【技法梳理】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.举一反三6. (2015·湖北荆门)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是().(第6题)7. (2015·山东潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2015次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().(第7题)A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)【小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四数形结合规律型典例4(2015·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点,B(0,4),则点B2015的横坐标为.故答案为10070.【全解】10070【技法梳理】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.举一反三8. (2015·四川内江)如图,已知A1,A2,A3,…,A n,A n+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,A n,A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1,B2,B3,…,B n,B n+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,A n B n+1,B n A n+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,P n.△A1B1P1,△A2B2P2,△A nB n P n的面积依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n为().(第8题)9. (2015·山东威海)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,则依此规律,点A2015的纵坐标为().(第9题)【小结】此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.类型一1. (2015·山东烟台)将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10,按下面的方式进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为().A. (5,2)B. (5,3)C. (6,2)D. (6,5)2. (2015·湖北咸宁)观察分析下列数据:0,-√3,√6,-3,2√3,-√15,3√2,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是.(结果需化简)3. (2015·贵州铜仁)一列数:0,-1,3,-6,10,-15,21,…,按此规律第n个数为.4. (2015·甘肃白银)观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……猜想13+23+33+…+103=.类型二5. (2015·湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第5个图中共有点的个数是().(第5题)A. 31B. 46C. 51D. 666. (2015·湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由个▲组成.(第6题)7. (2015·广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有.…(第7题)类型三8. (2015·湖南邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E 点,…,依此类推,这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41.(第8题)9. (2015·甘肃天水)如图,一段抛物线y=-x(x-1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为().(第9题)类型四10. (2015·四川遂宁)已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推….若△ABC的周长为1,则△A n B n C n的周长为.(1)(2)(3)(第10题)11. (2015·江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为.(第11题)12. (2015·广东佛山)(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)](2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2)(3) (第12题)参考答案【真题精讲】2. A解析:(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3,…,依此类推(1-x)(1+x+x2+…+x n)=1-x n+1.3.方法一:由图形可得出:摆放一个矩形实线长为3,摆放2个矩形实线长为5,摆放3个矩形实线长为8,摆放4个矩形实线长为10,摆放5个矩形实线长为13,即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2,第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3,∵摆放2015个时,相等于在第1个的基础上加1007个2,1006个3,∴摆放2015个时,实线部分长为3+10072+10063=5035.故答案为5035.方法二:第①个图实线部分长 3,第②个图实线部分长 3+2,第③个图实线部分长 3+2+3,第④个图实线部分长 3+2+3+2,第⑤个图实线部分长 3+2+3+2+3,第⑥个图实线部分长 3+2+3+2+3+2,……从上述规律可以看到,对于第n个图形,当n为奇数时,第n个图形实线部分长度为4. 8解析:∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1,∴AA1=OA=1,OA1=√2OA=√2.∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=√2,OA2=√2OA1=2.∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=√2OA2=2√2.∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2√2,OA4=√2OA3=4.故答案为4.5. D解析:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环, 2013÷4=503……1,∴2013是第504个循环组的第2个数.∴从2013到2015再到2015,箭头的方向是.故选D.7. A解析:∵正方形ABCD,点A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴M的坐标变为(2,2).∴根据题意得,第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第2015次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2015,2),即(-2012,2).故答案为A.8. D解析:本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键.根据图象上点的坐标性质得出点B1,B2,B3,…,B n,B n+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1,S2,S3,…,S n,进而得出答案9. D解析:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,【课后精练】1. C2.-3√54. 552解析:本题的规律为:从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+3+…+n)2.5. B6. 3n+17. 485解析:本题考查图形的变化规律.由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中53+2=17个正三角形,第三个图形中173+2=53个正三角形,由此得出第四个图形中533+2=161个正三角形,第五个图形中1613+2=485个正三角形.8. 289. (9.5,-0.25)12. (1)已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点, 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,(第12题)∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(SAS).∴AD=CF(全等三角形对应边相等),∠A=∠ECF(全等三角形对应角相等).∴AD∥CF.∵点D是AB的中点,∴AD=BD.∴BD=CF且BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴DF∥BC且DF=BC(平行四边形的对边平行且相等).。
中考二轮复习专题之定值问题
中考数学二轮复习之定值问题一、线段长度为定值例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。
（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH ＝x ，GP ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长。
变式练习1、如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。
求证：DE 为定长。
2、如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，旋转角为θ，当A 点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转．旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）当A 点第一次落在直线y ＝x 上时，求A 、B 两点坐标（直接写出结果）；（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.二、角的度数为定值例 、 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。
求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。
EDABCPM A S T θMN B y=xyxOCA三、面积为定值例. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.真题练习1．已知关于x 的二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0） （1）求c 的值；（2）求a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y =1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，当0＜a ＜1时，求证：S 1－S 2为常数，并求出该常数．2．如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒（t ＞0），抛物线y =x 2+bx +c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点为 A （1，0），B （1，－5），D （4，0）．（1）求c ，b （用含t 的代数式表示）：（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB ，CD 交于点M ，N ．①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，要S =218 错误！未找到引用源。
定值问题的证法
四、定值问题的证法定值问题在初中平面几何中已经多次遇到，只不过没有明确它们是“定值”而已！如：底边固定，顶点在与底边的直线上移动，则三角形的面积为定值； 点在弓形弧上移动，则对底边所张的视角为定值；过圆内一定点任意作弦，则弦被该点所分的两部分之积为定值； ……由此可见，定值问题反映出某种“动态”之下不变的量，正是这种不变的量，才使我们深刻地理解并掌握该“动态”的规律，因此，定值问题有着十分丰富的内容，由它还可以引发出一些生动的故事，引起人们对几何产生浓厚的兴趣．许多定值问题有时摇身一变，而成为我们欲定的轨迹，有些定值命题又可用来求极大、极小值，由于这多种用途，很有必要掌握它们的证法．定值问题常用的证明思路：定值问题，实质上也是一个等量问题．因此，前面介绍的各种方法，都可运用在定值问题中，但针对定值的特点，还应注意以下几个方面．1、探求有时，定值问题中并没有具体给出定值来，这时就需要以特殊位置先求这个定值．特殊情况随题而异，通常以动线处于平行、垂直的位置较易算之；对变动的三角形，则又以正的、等腰、直角为宜；涉及到圆，则圆心、切线、公共弦……又有很多性质好为我们利用．2、转化设法转化成已知的定值问题． 3、途径当定值问题不能转化时，通常可沿如下三条途径去试着论证． (1)证任一情形与某特殊情形有相同之值； (2)证任二情形有相同之值；(3)把任一情形的值用题中给定的常量表示出来．这最后一条，正是以前所讲的计算方法，不过在这里，计算之初，有时要先设一个参变量，以体现“动态”之动，然后以参变量为媒介，计算欲定之值，最后化简得出欲算之值不含该参变量，就表明它在“动态”之中确实不变．例3.12 已知⊙O 1、⊙O 2，每一圆的圆心在另一圆周上，A 、B 是二圆之交点，过B 任作一割线分别交二圆于M 、N ，B 在M 、N 之间． 试求：切圆于M 、N 之二切线间的夹角．探索：从题意看，随割线的位置不同，所求之角若变化，这样是求不出的，因此所求之角应与割线无关，故不妨以特殊位置先定其大小．相对于公共弦AB ，宜取与它垂直的割线M 0N 0，如图3-83，这时，由∠ABM 0=∠ABN 0=90o可知，AM 0、AN 0分别过各圆之圆心．故△AM 0N 0是正△，因而易知所求之角应为120o．依此证之如下：证法1：与特殊值皆等如上之探索，先作一特殊割线M 0N 0，再作任一割线MN ，如图3-84．图 3-83图 3-84∵ ∠M 0AM =∠M 0BM =∠N 0BN =∠N 0AN ，∴ ∠MAN =∠M 0AN 0=60o．由弦切角定理，∠TMN +∠TNM =∠MAB +∠NAB =∠MAN =60o．∴ ∠MTN =120o(定值)． 证法2：任二值相等将上述证法中的M 0N 0换成任意位置M 1N 1，如图3-85，则照搬上述过程，可证出∠MTN =∠M 1T 1N 1，即二切线之夹角为定值．证法3：算出任一个由每个圆心在另一圆上可知：∠AO 1B =∠AO 2B =120o． 对任一割线MN ，如图3-86，皆有：o 11602AMN AO B ∠=∠=，o 21602ANM AO B ∠=∠=，∴ △AMN 是正三角形⇒∠MAN =60o．∴ αβ+=60o ⇒∠MTN =120o(定值)．本例的三种证法，体现了上面所述的证定值问题的三种途径．不过，单凭第二种，只能肯定是定值，而未能定出具体值，但任二情形当然也包括特殊的，故如探索，即可定出．最后补充一点：如图3-87，B 不在M 、N 之间．∵ ∠AMN =180o -∠AMB =180o-∠AO 2B =180o -120o =60o，o 21602ANB AO B ∠=∠=，∴ △AMN 是正三角形⇒∠MAN =60o．又 ∠AMT =∠ABM ，∠ANT =∠ABM ，∴ A 、M 、N 、T 四点共圆⇒∠MTN =∠MAN =60o．即，如果题中省略“B 在M 、N 之间”，则二切线MT 、NT 的夹角是60o或120o．例3.13 定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆周上滑动，SP ⊥AB 于P ，M 是ST 之中点．求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角． 探索：题中没给出角的大小，故应以特殊位置S 0T 0探求． 相对于AB ，以S 0T 0∥AB 为宜，因为这时具有对称性，如图3-88，容易看出：∠S 0P 0M 0=∠S 0OM 012=∠S 0OT 0．图3-85图3-86图3-870图 3-88依此看来，弦长一定，所对的圆心角也定，而定角正是这弦长一定的产物．依此，可得如下两种证法．证法1：化归为圆心角如图3-89，连结OM 、OS 、OT ，则有：OM ⊥ST ⇒S 、P 、O 、M 四点共圆⇒SPM SOM ∠=∠，而 12SOM SOT ∠=∠．∴ 12SPM SOT ∠=∠=定值．证法2：化归为圆周角为使定角移至圆周角，先画出全圆周，再延长SP 交另一半圆周于Q ，再连TQ ，如图3-90，则由中位线定理知：PM ∥QT ．故 ∠SPM =∠SQT =定值．例3.14 已知：正△ABC 的边长为1，如图3-91，等腰△DBC 的顶角∠BDC =120o ，以D 为顶点任作一个60o的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ．求证：△AMN 的周长等于2．分析：因2AB BC +=，容易看出：△AMN 的周长等于2⇔MN BM CN =+， 于是，只需证后式即可．为此，在MN 上取点E ，无论是使M DE M DB ∠=∠，还是使ME MB =，或是使DE ⊥MN ，企望直接用全等形去证：E 把MN 分成的两段恰与BM 、CN 分别相等，因缺一条件而遇到困难．既然直接去证困难，我们改用间接去证．证法1：同一法如图3-92，作M D E M D B ∠=∠，且使DE DB =，则有：△MDE ≌△MDB ⇒M ED M BD ∠=∠=90o． ∵ DB DC =， ∴ DE DC =． 又 NDE MDE MDN ∠+∠=∠=60o．NDC MDB ∠+∠=120o MDN -∠=60o．∴ NDE NDC ∠=∠． ∴ △NDE ≌△NDC ⇒NED NCD ∠=∠=90o．∴ M 、E 、N 三点共线，即E 在MN 上． 再由两组全等形知：BM EM =，CN EN =， ∴ MN BM CN =+．证毕．既然把MN 分成两段去证有难度，何不反过来，把BM 、CN 合成一段！即有：证法2：作出线段和如图3-93，延长MB 至F ，使BF CN =，连结DF ．则易知：Rt △BDF ≌Rt △CDN ⇒BDF CDN ∠=∠，DF DN =．从而有 MDF MDN ∠=∠=60o．图 3-89图3-90图3-91图 3-92图 3-93∴ △MDF ≌△MDN ，∴ MN MF BM CN ==+．证毕．作出图3-93中的辅助线还有下列方式：作BDF CDN ∠=∠，使DF DN =(或使DF 交MB 的延长线于F )，或将△CDN 绕点D 逆时针旋转120o，然后去证都行的通，自行不妨一试．当然，也可在NC 的延长线上作出MB ，但无本质区别．如果一时引不出辅助线，也可采用计算的办法，因为本例中含有直角等一些特殊角．证法3：计算如图3-94，设BM a =，CN b =，在△CDN 中，由余弦定理：222o 2cos60MN AM AN AM AN =+-⋅⋅22(1)(1)(1)(1)a b a b =-+---- 221()a b a b ab =++-+-在△BDC 中，易算得BD CD ==故tan α，tan β=．又tan 60tan()o αβ==+=，∴ 1()3a b ab -+=，∴ 22222()MN a b ab a b =++=+，即 MN BM CN =+． 引申：对本例细加分析，就可看出它的来源，并加以推广．首先，从证法1中容易看出：自D 作DE ⊥MN于E ，如图3-95，则有DE DB DC ==，故以D 为圆心，以DB 为半径画圆，则BMNC 正是与此圆相切的折线，切点为B 、E 、C ．于是，原题的条件和结论：12MDN BDC ∠=∠，△AMN 的周长等于2AB ，都是十分显然的，因此，原命题之逆也是一个定值问题，即有：例3.15 已知：正△ABC 的边长为1，如图3-91，等腰△DBC 的顶角∠BDC =120o，∠MDN 的两边分别交AB 、AC 于M 、N ．若△AMN 的周长等于2，则∠MDN 为定值(60o)．从图3-95中进一步可看出，保持相切关系不变，当切点B 或C 在圆上滑动时，如图3-96，则正三角形变为等腰三角形，此时，12MDN BDC ∠=∠，△AMN 的周长等于2AB ，仍然成立．再隐去相切之圆，可得到如下推广：例3.16 已知等腰△ABC 中，AB AC =，D 与A 在BC 之异侧，且BD ⊥AB ，CD ⊥AC ，M 、N 分别在AB 、AC 上．则12MDN BDC ∠=∠⇔△AMN 的周长等于2AB ．这再一次表明：深挖一下题目的背景和来源，有利于我们加深理解并加以推广．图3-94图3-95图 3-96如前所述，定值问题也可用来解决极值问题，对此，请看一道赛题． 例3.17 设定点A 位于定圆⊙O 外，自A 引⊙O 的二切线AB 、AC ，再在劣弧 BC上任取一点P ，过P 引切线分别与AB 、AC 相交于M 、N ，如图3-97．试问：P 点在劣弧 BC上移动到何处时，△AMN 的面积最大？并证明之．证法1：利用定值 由上例可知：△AMN 的周长为定值．而周长为定值的三角形以正三角形的面积为最大．又因∠MAN 为定角，故△AMN 只能以等腰时的面积为最大，因此，当P 处于 BC的中点时，△AMN 的面积为最大． 证法2：计算如图3-97，设⊙O 的半径为r ，△AMN 的面积为S ．则：S ABOC BMNCO =-四边形的面积五边形的面积2MNO ABOC S ∆=-四边形的面积，由于四边形ABOC 的面积为定值，12MNO S r MN ∆=⋅，故当MN 最小时，S最大．记BOM α∠=，CON β∠=，则有：tan MP BM r α==，tan PN CN r β==， 所以，(tan tan )tan()(1tan tan )MN MP PN r r αβαβαβ=+=+=+-，其中，1tan()tan tan 2r r BOC r BOA αβ+=∠=∠AB =为定值，而cos cos sin sin 2cos()1tan tan cos cos cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβ-+-==-++，故知当αβ=时，MN 达到最小值．此时易知，P 是 BC的中点． 所以，当P 滑动到 BC的中点时，△AMN 的面积最大． 进而，我们还可以求出△AMN 面积的最大值来： 如图3-98，当△AMN 的面积S 最大时，易知P 也是MN 与AO 的交点．设AO a =，则cos()cos OB rBOA OA aαβ+=∠==， ∴ 221tan tan 1r a rr a a rαβ-==++． 又tan()tan AB BOA OB αβ+=∠= ∴2r MN r a r ==+最小图 3-97图 3-98∴ 12S AP MN =⋅=最大最小 当然，MN 的最小值也可由△AMP ∽△AOB 求出：MP APBO AB =⇒BO AP MP AB ⋅===⇒2MN MP ==最小．此外，还有定位问题，即在动态之中，某些动线恒过定点等，它们也很有趣．请看下节的例3.26．。
抛物线中的定值、最值问题探究——以2017_年遵义市中考数学第27_题为例
抛物线中的定值、最值问题探究以２０１７年遵义市中考数学第２７题为例包胜利(通渭县陇川学校ꎬ甘肃定西７４３３１９)摘㊀要:抛物线中的定值问题和最值问题是个难点ꎬ主要涉及动点及动点的路径问题ꎬ所利用的结论主要是两点之间线段最短以及垂线段最短.文章以２０１７年遵义市的一道中考题为例ꎬ先利用网络画板进行实验探究ꎬ然后给出试题的多种解法.关键词:定值ꎻ最值ꎻ动点ꎻ相似三角形中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０５－０００２－０３收稿日期:２０２３－１１－１５作者简介:包胜利(１９７５.１０－)ꎬ男ꎬ甘肃省通渭人ꎬ本科ꎬ中小学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中最值问题大致分为几何最值和代数最值两类.几何最值是指在一定条件下ꎬ求几何图形中某个确定的几何量(如长度㊁角度㊁面积等)的最大值或最小值ꎬ而代数最值是指求一些简单的代数式或与实际问题相关(如用料最省㊁成本最低㊁能耗最少㊁产值最高㊁利润最高等)的问题.１几何最值问题的求解思路在初中阶段ꎬ解决几何最值问题的依据有两个ꎬ一是两点之间ꎬ线段最短ꎻ二是垂线段最短.由这两个依据延伸出以下常用的结论:三角形任意两边之和大于第三边ꎬ任意两边之差小于第三边ꎻ过圆内一点的所有弦中ꎬ垂直于过这点的直径的弦最短ꎻ直径是圆中最长的弦.因此ꎬ几何方法求最值的思路是:将几何图形中的最值转化成基本的几何模型 两点之间ꎬ线段最短 和 垂线段最短 .其关键是抓住运动变化中不变的相关量(长度㊁角度㊁面积)与变化的相关量比较大小.即通过平移㊁旋转㊁轴对称将多条线段首尾相连转化到两定点之间的线段上ꎬ实现 折 转 直 ꎬ利用 两点之间ꎬ线段最短 说明最小.或者将问题转化为一定点到一条定直线的距离ꎬ利用 垂线段最短 即可得出最小值.２几何最值案例分析２.１试题呈现如图１ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－ａ－ｂ(ａ<０ꎬａꎬｂ为常数)与ｘ轴交于ＡꎬＣ两点ꎬ与ｙ轴交于Ｂ点ꎬ直线ＡＢ的函数关系式为ｙ＝８９ｘ＋１６３.(１)求该抛物线的解析式与Ｃ点坐标.(２)已知点Ｍ(ｍꎬ０)是线段ＯＡ上的一个动点ꎬ过点Ｍ作ｘ轴的垂线ｌ分别与直线ＡＢ和抛物线交于ＤꎬＥ两点ꎬ当ｍ为何值时ꎬΔＢＤＥ恰好是以ＤＥ为底边的等腰三角形[１](３)在(２)问条件下ꎬ当ΔＢＤＥ恰好是以ＤＥ为底边的等腰三角形时ꎬ动点Ｍ相应位置记为点Ｍᶄꎬ将ＯＭᶄ绕原点Ｏ顺时针旋转得到ＯＮ(旋转角在０ʎ到９０ʎ之间).①探究:线段ＯＢ上是否存在定点Ｐ(Ｐ不与ＯꎬＢ重合)ꎬ无论ＯＮ如何旋转ꎬＮＰＮＢ始终保持不变?若２存在ꎬ试求出Ｐ点坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由[２].②试求出此旋转过程中ꎬＮＡ＋３４ＮＢ的最小值[３].图１㊀中考题图２.２探究实验第(２)问:如图２ꎬ拖动点Ｍꎬ观察ＢＥ和ＢＤ测量值的变化ꎬ是否存在相等的情形ꎬ有几种情况?第(３)问:如图３所示ꎬ拖动点Ｎꎬ观察对应测量值ꎬ可以发现:当点Ｐ的坐标为(０ꎬ３)时ꎬＮＰＮＢ＝３４(定值)ꎻ当ΔＮＯＰʐΔＢＯＮ时ꎬＮＡ＋３４ＮＢ存在最小值ꎬ即求ＮＡ＋ＮＰ的最小值.图２㊀探究等腰三角形图３㊀探究最小值问题２.３思路分析(１)根据已知条件求出ＡꎬＢ坐标ꎬ用待定系数法可求出抛物线解析式.(２)作ＢＦʅｌꎬ与ｌ交于Ｆ点ꎬ根据等腰三角形的性质得到ＥＦ＝ＦＤ＝１２ＤＥꎬＦＭ＝ＯＢ＝１６３ꎬ列方程即可得到结论.图４㊀探究定值问题(３)对于问题１ꎬ如图４所示ꎬ探究ＮＰＮＢ的定值是一个比值ꎬ可联想相似三角形或三角函数ꎬ寻找与固定点(点ＭᶄꎬＯꎬＢ)有关的三角形ꎬ即探究以点ＯꎬＰꎬＢꎬＮ为顶点组成的某两个三角形是否相似ꎬ由此猜想ＮＰＮＢ可能的比值.若ΔＮＢＰʐΔＯＢＮ时ꎬＮＢＯＢ＝ＮＰＯＮꎬ可得ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬ根据已知条件无法求出点Ｐ的坐标.若әＮＯＰʐәＢＯＮ时ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬＮＰＮＢ不变ꎬ根据已知条件ＯＮ２＝ＯＰ ＯＢꎬ可以求出点Ｐ坐标是确定的.对于问题２ꎬ求两条线段和的最小值ꎬ首先想到 将军饮马 问题模型ꎬ即 ＰＡ＋ＰＢ 型最短问题ꎬ但两条线段系数不为１.因此将３４ＮＢ的系数转化为系数是１的线段ꎬ由问题１知ＮＰＮＢ＝ＯＰＯＮ＝３４ꎬ得到ＮＰ＝３４ＮＢꎬ将ＮＡ＋３４ＮＢ转化为两个定点ＡꎬＰ间折线段和的最小值问题ꎬ即求ＮＡ＋ＮＰ的最小值.２.４解法探究(１)因为直线ｌ:ｙ＝８９ｘ＋１６３与ｘ轴交于Ａ(－６ꎬ０)ꎬ与ｙ轴交于Ｂ０ꎬ１６３æèçöø÷ꎬ将ＡꎬＢ坐标代人抛物线方程可得３６ａ－６ｂ－ａ－ｂ＝０ꎬ－ａ－ｂ＝１６３ꎬ{解得ａ＝－８９ꎬｂ＝－４０９.ìîíïïïï所以该抛物线的解析式为ｙ＝－８９ｘ２－４０９ｘ＋１６３.由直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－５２可知点Ｃ坐标(１ꎬ０).(２)解法１㊀如图５所示ꎬＥＭʅｘ轴ꎬＭ(ｍꎬ０)ꎬ则Ｄｍꎬ８９ｍ＋１６３æèçöø÷ꎬＥｍꎬ－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３æèçöø÷.３ΔＢＤＥ是以ＤＥ为底边的等腰三角形ꎬ作ＢＦʅｌꎬ与ｌ交于Ｆ点ꎬ所以ＤＦ＝１２ＤＥ.因为ＤＥ＝－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３æèçöø÷－８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝－８９ｍ２－４８９ｍꎬ由ＤＦ＋ＤＭ＝ＦＭ可得ꎬ１２－８９ｍ２－４８９ｍæèçöø÷＋８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝１６３ꎬ整理得ｍ２＋４ｍ＝０ꎬ解得ｍ１＝－４ꎬｍ２＝０(不合题意ꎬ舍去).图５㊀解法１图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀解法２图解法２㊀如图６所示ꎬ因为点Ｍ(ｍꎬ０)ꎬ且ｌʅｘ轴ꎬ所以Ｄｍꎬ８９ｍ＋１６３æèçöø÷.当ＤＥ为底时ꎬ作ＢＧʅＤＥ于Ｇꎬ则ＥＧ＝ＧＤ＝１２ＥＤꎬＧＭ＝ＯＢ＝１６３ꎬ所以１２－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３＋８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝１６３ꎬ解得ｍ１＝－４ꎬｍ２＝０(不合题意ꎬ舍去).(３)解法１㊀对于问题１ꎬ存在点Ｐꎬ使ＮＰＮＢ始终保持不变.如图７所示ꎬ因为øＮＯＰ＝øＢＯＮꎬ所以当øＯＮＰ＝øＯＢＮ时ꎬәＯＮＰʐәＯＢＮꎬ此时ＮＰＮＢ＝ＯＰＯＮ＝ＯＮＯＢ＝４１６３＝３４ꎬ始终保持不变ꎬ所以ＯＰ＝３４ＯＮ＝３４ˑ４＝３ꎬ存在点Ｐ(０ꎬ３).结论:无论ＯＮ如何旋转ꎬ总存在Ｐ(０ꎬ３)ꎬ使ＮＰＮＢ始终保持不变.对于问题２ꎬ由问题１知ꎬＮＰ＝３４ＢＮꎬ其中Ｐ(０ꎬ３)ꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢ＝ＮＡ＋ＮＰꎬ所以当ＡꎬＮꎬＰ共线ꎬ即图７㊀第(３)问图当Ｎ点旋转到ＡＰ上时ꎬＮＡ＋３４ＮＢ的值最小ꎬ最小值即为ＡＰ＝３２＋６２＝３５.解法２㊀对于问题１ꎬ存在点Ｐꎬ使得ＮＰＮＢ始终保持不变.因为ＯＮ＝４ꎬＯＢ＝１６３ꎬøＮＯＰ＝øＢＯＮꎬ所以当ΔＮＯＰʐΔＢＯＮ时ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬ所以ＮＰＮＢ始终保持不变ꎬ即ＯＰ＝３ꎬ所以Ｐ(０ꎬ３).对于问题２ꎬ由问题１知ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝３４ꎬ所以ＮＰ＝３４ＮＢꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢ＝ＮＡ＋ＮＰꎬ所以此时ＮꎬＡꎬＰ三点共线ꎬ如图７所示ꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢæèçöø÷ｍｉｎ＝３２＋６２＝３５.３结束语探求定值一般是先分清问题的不变量与变量ꎬ而定值往往与这些不变量中的某些量(或它们的代数式)有关ꎬ常将一般问题特殊化ꎬ运用特殊情形(即用特殊值㊁特殊位置㊁特殊图形等)探求定值.参考文献:[１]陆丽丽.巧构造妙转化:另类线段和的最值问题[Ｊ].上海中学数学ꎬ２０１９(１０):１９－２１ꎬ４３.[２]孙玉军ꎬ罗勇ꎬ李圣波.２０１７年中考 图形的变化 专题解题分析[Ｊ].中国数学教育ꎬ２０１８(Ｚ１):１１５－１２３.[３]李玉荣.三类新型最值问题的解法探究:以近年中考试题为例[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０１９(２１):３１－３４.[责任编辑:李㊀璟]４。
2020年九年级中考数学专题-定点定值问题(无答案)
中考数学复习提纲—定点定值问题班级 姓名 号数_______一、定点问题——由字母参数产生的定点 例1．阅读以下内容，然后解决问题 无论m 为任何实数，函数的图像总会经过的点是（ ）.A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）方法1：变换主元法①x x x y x y -=+-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩1020132，解得 这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程或方程组求出定点坐标。
方法2：特殊值法任意给m 赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。
y x x y x =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2222，解得所以，无论m 为何值时，该二次函数的图像恒过定点（1，3）。
故应选A 。
练习． 一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过定点________________ 抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线必定经过______和____ 二、定值问题1.线段长度为定值例2．若直线y=8k 与二次函数L ：y=kx 2﹣4kx+3k （k ≠0）交于E 、F 两点。
（1）直接抛物线的对称轴直线__________；（2对于不同的k 的值，线段EF 的长度是否发生变化？如果不会， 请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．练习2．如图，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E.连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG=GH=HE.在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请写出出该线段的长度. 2. 角度为定值例3．如图二次函数y ＝x 2+bx ﹣3的图象与x 轴分别相交于A 、B 两点，点B 的坐标为（3，0），与y 轴的交点为C ，动点T 在射线AB 上运动，在抛物线的对称轴l 上有一定点D ，其纵坐标为2，l 与x 轴的交点为E ，经过A 、T 、D 三点作⊙M ．（1）求二次函数的表达式；y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4． D （1，BOACE HG D2）．（2）在点T的运动过程中，∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
对2020年中考数学试题中几个定值问题的分析
象数理化学习对2020年中考教学武题中几个走值问题的分析■廖帝学\修代雄2摘要：对数学试题的研究，除了对解题方法的探 究，更需要对试题的结构、背景、蕴含的知识进行多角 度、多层次的挖掘、理解、分析，这样，对探究解题方法、 命题方法都有好处.关键词：动态问题；定值问题；试题研究在初中数学的解题过程中，我们经常会碰到这样 一类动态问题:无论其它条件怎么变化，总会存在一个 数量始终为定值.我们常常把这类问题称为定值问 题[1].为什么会有“定值”这种现象呢？我们怎样去寻形的面积等于两条对角线乘积的一半；(2)在图 3 中，/1B 2 =+ B //2，a )2 = C //2 +DH2，BC2 = BH2 + CH2，AD2 = AH2 + DH 2，可得 AB2 + C /)2 = S C 2+/1£)2,即这个四边形的两组对边平方和相 等_显然，此题恰好可以利用性质(2).在图2中,B C 2 + DE 2 = EG 2 +BD 2, EG 2 = AE 2 + AG 1 = 42 +62 = 52,BD 2 = AB 2 +AD 2 = 82 + 122 = 208 B G 2 + DE 2 =260.找动态变化中不变的数量呢?本文通过对2020年中考 数学试题中几个定值问题进行分析，希望能引起大家 的思考.例1 (2020年深圳市中考试题改编）在矩形A fA E F G ^^A B C D ^=A f)J~ = f ,A E =^,A B =S ,^图1矩形ZlEFC绕点4按顺时针方向旋转，如图1，连接小明发现:在旋转过程中,B C 2 +是定值，请你求出这个定值.分析:设和G O 相交于点//.在矩形绕点4按顺时针方向旋转的过程中，由乙A R=洁可知0 A G 4Z)•易证 Z G /Z£ =乙£4G =90°.如图2，连接, C /)，显然四边形B C £Z )是一个对 角线互相垂直的四边形•对于对角线互相垂直的四边形，我们很容易知道 它有以下两条比较特殊的性质.(1)在图3中即这个四边例2 (2〇2〇年贵州省黔西南州中考试题改编）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的 是圆请研究如下美丽的圆•如图4,线段/1B 是〇0 的直径，延长至点C ,使B C = Ofi，点£是线段06 的中点，丄A S 交〇0于点Z )，点P 是〇〇上一动点(不与点重合），连接小明在研究的P F过程中发现@是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明.分析:在图4中，连接OD，易证A是等边n/r三角形，从而可得乙〇/>C = 90。
2021年中考数学总复习——第67讲 定点、定值和探索性问题
【知识要点】 1．求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量 无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去 变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 y＝kx ＋b，然后利用条件建立 b、k 的等量关系进行消元， 借助于直线系的思想找出定点． (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量 无关．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，点 F12，0，直线 l：x＝－12，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 PF 与 y 轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程； (2)设圆 M 过 A(1，0)，且圆心 M 在曲线 C 上， TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦，当 M 运动时，弦长|TS| 是否为定值？请说明理由．
[解析] (1)由题意得，b2＝1，c＝1. 所以 a2＝b2＋c2＝2. 所以椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1. (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线 AP 的方程为 y＝y1x－1 1x＋1.
令 y＝0，得点 M 的横坐标 xM＝－y1x－1 1.
又 y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝|kx1＋x1t－1|. 同理，|ON|＝|kx2＋x2t－1|.
圆锥曲线中的探索性问题
例 3 如图，曲线 C 由上半椭圆 C1： ya22＋bx22＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线
C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的离心率
为
3 2.
(1)求 a，b 的值；
(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q(均 异于点 A，B)，是否存在直线 l，使得以 PQ 为直径的
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中考数学之定值探究（通用版）
近年来，我们经常遇到求线段的和、差、积、商是一个定值的问题，也会遇到在图形的变换过程中，面积是一个定值的问题.这类问题的提出，往往是询问的语气，不能说一定是定值或一定不是定值，需要探讨后才能作出结论.这类题型难度大，运用的知识点多，计算量大，对综合运用知识的能力有较高要求.
本文档将此类型的题目分为几个类型，供各位老师进行探究：
一、α为定值
例1 已知抛物线21y x mx m =-+++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)。
如图1，若点M 为抛物线位于x 轴上方图象上一动点，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，直线MN 上有一点H ，满足HBA ∠与MAB ∠互余，试判断HN 的长是否变化，若变化?请说明理由，若不变，请求出HN 长.
分析△AMN 的三边随点M 的变化而变化，但因为HBA ∠与MAB ∠互余，所以△AMN ∽△HBN ，从而可以建立比例关系，求出HN 的长.
解 令210y x mx m =-+++=，得
11x =-，21x m =+，
∴(1,0)A -，(1,0)B m +.
设(,0)N t ，则
2(,1)M t t mt m -+++，
∴1NA t =+，
1BN m t =+-，
21MN t mt m =-+++.
∵90HBA MAB ∠+∠=︒，
90ANM MNB ∠=∠=︒，
∴△AMN ∽△HBN ， ∴MN AN NB HN
= 即2111t mt m t m t HN
-++++=+-， 解得1HN =.
评析本题以二次函数为背景，结合相似三角形，找出等量关系(注意避免使用,AM BH ).其中含有参数的代数式的因式分解是本题难点，合理使用有关线段是解决本题的关键. 二、a b
为定值 例2 如图2，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于,A B 两点，交y 轴于,C D 两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于点G ，若A 点的坐标为(2,0)-，8CD =.
(1)求⊙M 的半径.
(2)求AE 的长.
(3)如图3，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 上运动时，
OF PF
的比值是否发生变化?若不变，求出比值;若变化，请说明变化规律.
解：
(1)易得⊙M的半径为5.
(2)如图2，连结CM交AE于点H.∵C为AE的中点，
∴CM AE
⊥.
又∵90
COM
∠=︒，
∴COM AHM
≅，
∴4
AH CO
==，
故8
AE=.
(3)如图3，连结,
MF MD.
∵PD与⊙M相切于点D，
∴△ODM∽DPM，
∴
25
3
DM DM
PM
OM
•
==.
∵
3
5
OM
FM
=，
53
255
3
FM
PM
==，
且OMF FMP ∠=∠，∴△OMF∽△FMP，
∴
3
5 OF OM
PF FM
==.
评析第(3)小题，求OF
PF
的比值，难度较大.此时，我们可以考虑F运动的特殊情况。
比如，F运动到A点时，2
OF=，
10
3
PF=，得
3
5
OF
PF
=，而
3
5
OM
FM
=，这样自然联想到相似
三角形(△OMF∽△FMP)，进而求得比值OF PF
.
三、m n a b
+(,m n 为常数)为定值 例3 如图4，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点,B C ，抛物线2(1)y a x k =-+经过点,B C ，并与x 轴交于另一点A .
(1)求此抛物线及直线AC 的函数表达式.
(2)经过点(0,1)D 的直线m 与射线AC ，射线OB 分别交于点,M N .当直线m 绕点D
旋转时，2AM AN
+是否为定值?若是，求出这个值;若不是，说明理由.
解：
(1)易得33AC y x =+，以及抛物线的函数表达式: 2(1)4y x =--+.
(2)如图5，过点M 作MP x ⊥轴于点P . 设直线m 的解析式为1y kx =+，则直线m 与射线AC 和OB 分别交于点233(,)33
k M k k ---，1(,0)N k
-.
∵AC =
AC AM
=. 而AC CO AM MP
=，
∴22CO AM AN MP AN +=+ 3233113k k k
=
+--+- 32311k k k k -=+=--. 评析第 (1)小题是常见题型，学生很容易解决.第(2)小题需要学生有一定的数感.
往往是直角边为3和1构成的直角三角形的斜边长，
这样AM 转化成AC AM ，进一步转化成CO MP
.
四、角度为定值
例4 如图6，抛物线1l ：21(2)y a x =-与直线2l ：2(2)y am x b =--+ (,,a m b 为常数，0a ≠，
0m <)交于,A B 两点，直线2l 交x 轴于点C ，点A 的坐标为(2,)m n +.
(1)如图6，求证:3AB AC =.
(2)如图7，设抛物线顶点为F ，直线2l 交抛物线的对称轴于点D ，直线3l ：32(2)y am x d =-+(d 为常数，0d ≠)经过点A ，并交抛物线的对称轴于点E .若BFD p AED ∠=∠(p 为常数)，则p 的值是否发生变化?若不变，请求出p 的值;若变化，请说明理由.
解：(1)将(2,)A m n +代入21(2)y a x =-，得2n am =，再将2(2,)A m am +代入2(2)y am x b =--+，得22b am =，
∴22(2)2y am x am =--+，
由此得(22,0)C m +.
令12y y =，得2(22,4)B m am -+.
如图8，分别过点,A B 作x 轴的垂线,AM BN ，垂足为,M N ，则
AB MN AC CM =(22)(2)3(2)(22)m m m m -+-+==+-+， ∴3AB AC =.
(2)不变，1p =.
将2(2,)A m am +代入32(2)y am x d =-+，得2d am =-，
∴232(2)y am x am =--.
易得3l 与抛物线对称轴的交点2(2,)E am -.
如图9，过点,A B 作抛物线对称轴的垂线,AG BH ，垂足为,G H ， 则1tan 2BH BFD FH am
∠==， 1tan 2AG AED EG am
∠==， ∴tan tan BFD AED ∠=∠，
∴BFD AED ∠=∠，
即1p =.
评析 第(2)小题以二次函数为背景，通过构造直角三角形并借助相关点的坐标，用代数式表示tan BFD ∠及tan AED ∠，得出BFD AED ∠=∠，从而求出1p =.
五、面积为定值
例5 如图10，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点，点E 是边AC 上的一动点，点F 是边BC 上的一动点.
(1)若AE CF =，试证明DE DF =.
(2)在点E 、点F 的运动过程中，若DE DF ⊥，试判断DE 与DF 是否一定相等?并加以说明.
(3)在(2)的条件下，若2AC =，四边形ECFD 的面积是一个定值吗?若不是，请说明理由;若是，请直接写出它的面积.
解 (1)易证DE DF =.
(2)∵90ACB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 中点，
∴AD CD =，且90ADC ∠=︒.
∵90EDF ∠=︒，
∴ADE CDF ∠=∠
又∵45A DCB ∠=∠=︒，
∴△AED ≌△CFD ，
∴DE DF =.
(3)由(2)，知△AED ≌△CFD ，
∴CDF AED S S ∆∆=，
∴CDE CDF ECFD S S S ∆∆=+四边形
1CDE AED ACD S S S ∆∆∆=+==.
评析 不规则图形的面积往往通过割补转化成规则图形来解决.
综观上述几例，定值问题往往与函数及图形变换有关，需要有综合分析问题的能力.通过观察、操作、猜想、探究，找出题目中的“变”与“不变”，以寻求问题突破口.。