关于同济版高等数学下册练习题附答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
练习 8-6
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
总习题八
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
练习 12-4
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
高等数学同济下册期末考试题及答案套
大学高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122(。
6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是()(A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C )y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小; (D )0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于() (A )y x +;(B )x ;(C)y ;(D)0。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I等于() (A )4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
同济版高数下习题册答案
同济第六版高数下习题册答案
第八章
一、设 f ( x, y)
2
多元函数的微分法及其应用
§1 多元函数概念
2 y , ( x, y)
2 2 2 2
x
x
2
2 y , 求:
4
2 f [ ( x, y), y ] .
2 2 4
答案: f ( ( x , y ), y )
(x
y )
y
x
4
2x y
2y
二、求下列函数的定义域: 1、 f ( x, y )
2
xy sin
1 x 0,
2
y
2
, ( x, y ) ( x, y )
( 0,0 ) ( 0,0 )
在整个 xoy 面上连续。
(0 ,0 ) 时,
(0,0 ) 时, f ( x, y )为初等函数,连续 。当 ( x, y ) 1 y
2
0
f ( 0,0 ) ,所以函数在( 0,0)也连续。所以函数
在整个 xoy 面上连续。 六、设 z x y 2 f ( x y) 且当 y=0 时 z 解: f(x)= x
x
3
,Fy
1
2 3
1
y
3
, Fz
1
2 3
1
z , z0 ) 0 a
2
3
在任一点
x0 , y 0 , z0
处的切平面方程为
1 2
x0
1
3
y0 3 ( y
y0)
z0 3 ( z
在在三个坐标轴上的截距分别为 证明曲面
x0 3 a 3 , y 0 3 a 3 , z0 3 a 3 , 在三个坐标轴上的截距的平方和为 0) 处的切平面都通过原点
同济大学《高等数学(下)》模拟试卷(二)及参考答案
同 济 大 学 模 拟 试 卷课程名称 高等数学(下) 姓 名 学 号适用专业考试形式闭卷考试时间 120分钟一.填空题(每空3分,共15分)(1)函数z =的定义域为 ; (2)已知函数xyz e =,则在(2,1)处的全微分dz = ;(3)交换积分次序,ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰= ;(4)已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧,则=⎰;(5)已知微分方程20y y y '''-+=,则其通解为 .二.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z --+=,则L 与π的夹角为( );A. 0B. 2πC. 3πD. 4π(2)设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定,则z x ∂=∂( );A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xyz xy -(3)微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=( );A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ (4)已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为( );A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰(5)已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑,则其收敛半径( ).A. 2B. 1C. 12D.三.计算题(每题8分,共48分)1、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .2、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=,求zx ∂∂, z y ∂∂ .3、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .4、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 5、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题(共22分)1、(1)(6')判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)(4')在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰,∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学(下)模拟试卷二参考答案一、填空题:(每空3分,共15分)1、 222{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+< 2、222e dx e dy + 3、10(,)y eedy f x y dx⎰⎰4、11)12 5、12()xy C C x e =+二、选择题:(每空3分,共15分) 1. A 2.B 3. B 4.D 5. A三、计算题(每题8分,共48分)1、解: 12(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}A n n →→==- 2'1210223013ij ks n n i j k →→→→→→→→→=⨯==-++- 6'∴直线方程为24231x y z --==- 8' 2、解: 令sin cos x yu x y v e +== 2' 12cos cos x yz z u z v f x y f e x u x v x+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 6' 12(sin sin )x yz z u z v f x y f e y u y v y+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅-+⋅∂∂∂∂∂ 8'3、解::0014D r πθ≤≤≤≤, 3'21400arctan 64D Dy dxdy r drd d rdr x ππθθθθ∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 8' 4.解: (,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 得驻点(3,1)- 4' (,)2,(,)0,(,)10xx xy yy A f x y B f x y C f x y ====== 6'220,200A ACB =>-=>∴极小值为(3,1)8f -=- 8'5.解:sin 2,cos 2x x P e y y Q e y =-=-,有cos 2,cos ,x x PQe y e y yx ∂∂=-=∂∂2'取(2,0),:0,A a OA y x =从02a → 4'L OA Pdx Qdy Pdx Qdy +++⎰⎰2()2D D Q P dxdy dxdy a x y π∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰ 6'∴原式=2a π-OA Pdx Qdy +⎰=220a a ππ-= 8'6.解:321,(1)1P Q x x =-=++ 2'∴通解为113()()112[()][(1)]dx dx P x dxP x dxx x y e Q x e dx C e x e dx C --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰ 4'13222(1)[(1)](1)[(1)]3x x dx C x x C =+++=+++⎰ 8'四、解答题1、解:(1)令1(1)2sin 3n n n n u π-=-1112sin23lim lim 132sin 3n n n n n n n nu u ππ+++→∞→∞==<4' 12sin 3nn n π∞=∴∑收敛, 11(1)2sin 3n n nn π∞-=∴-∑绝对收敛 6' (2)令1()n n x s x n ∞==∑1111()1n n n n x s x x n x ∞∞-=='⎛⎫'===⎪-⎝⎭∑∑, 2' 0()()(0)ln(1)xs x s x dx s x '⇒=+=--⎰ 4'2、解:构造曲面1:1,z ∑=上侧122xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy∑∑+++++⎰⎰⎰⎰ 2'22110(211)44r dv dv d rdr dz πθΩΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1208(1)2r rdr ππ=-=⎰4' 6' 8'122I xdydz ydzdx zdxdyπ∑∴=-++⎰⎰ 10'2xyD dxdy ππ=-=⎰⎰ 12'。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳索引创编
高等数学(下册)考试试卷(一)欧阳家百(2021.03.07)一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C )y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小;(D )0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A )y x +;(B )x ; (C)y ; (D)0 。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A )4⎰⎰⎰220103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案高等数学同济版(下册)期末考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、$z=\log_a(x+y)$ $(a>0)$的定义域为$D=\{(x,y)|x+y>0\}$。
2、二重积分$\iint_{|x|+|y|\leq1}2\ln(x+y)dxdy$的符号为正。
3、由曲线$y=\ln x$及直线$x+y=e+1$,$y=1$所围图形的面积用二重积分表示为$\iint_D dxdy$,其值为$e-2$。
4、设曲线$L$的参数方程表示为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$$(\alpha\leqx\leq\beta)$,则弧长元素$ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}dt$。
5、设曲面$\Sigma$为$x+y=9$介于$z=0$及$z=3$间的部分的外侧,则$(x+y+1)ds=\iint_{\Sigma}(x+y+1)dS=27$。
6、微分方程$\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$的通解为$y=\varphi(x,c)$,其中$c$为任意常数,$\varphi(x,c)$是微分方程的一族特解。
7、方程$y^{(4)}+y'''-4y=0$的通解为$y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x-\dfrac{1}{2}x\cos x$。
8、级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n+1)}{2}$的和为$\dfrac{1}{6}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)$,再利用$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}\sum\limits _{n=1}^{\infty}n(n+1)(2n+1)$,最终得到$\dfrac{1}{12}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(2n+1)(n+1)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4=\dfrac{1}{3}$。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳家百创编
高等数学(下册)考试试卷(一)欧阳家百(2021.03.07)一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C )y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小;(D )0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A )y x +;(B )x ; (C)y ; (D)0 。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A )4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
(完整版)高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套).doc
高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3 分,共计 24 分)1 、 log a ( x2 y 2 ) (a 0) 的定义域为 D= 。
z =2、二重积分ln( x 2y 2 ) dxdy 的符号为 。
|x| |y| 13、由曲线 y ln x 及直线 x y e 1, y 1 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
4 、设曲线 L 的参数方程表示为 x (t ) x),则弧长元素 ds。
y ((t )5 、 设 曲 面 ∑ 为 x 2y 29 介 于 z 0 及 z3间的部分的外侧,则(x 2 y 2 1)ds。
6、微分方程dyytan y的通解为 。
dxxx7、方程 y (4 ) 4 y 0 的通解为 。
8、级数1的和为。
n 1 n(n 1)二、选择题(每小题2 分,共计 16 分)1、二元函数 z f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是()(A ) f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处连续;( B ) f x ( x, y) , f y ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 的某邻域内存在;( C ) z f x ( x 0 , y 0 ) xf y ( x 0 , y 0 ) y 当 () 2 ( y ) 2 0 时,是无穷小;x( D ) limz f x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y0 。
x ( x)2( y)2y 02、设 u yf ( x ) xf ( y), 其中 f 具有二阶连续导数,则 x2uy2u 等于()yxx 2 y 2( A ) x y ; ( B ) x ;(C) y ;(D)0 。
3、设 : x 2 y 2 z 2 1, z 0, 则三重积分 IzdV 等于()(A )4221 3;( )21 2;ddr sin cos drddr sin dr0 0 0 B( C ) 22 d13sin cos dr ;(D )2d d13 sin cos dr 。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳家百创编
高等数学(下册)考试试卷(一)欧阳家百(2021.03.07)一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C )y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小;(D )0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A )y x +;(B )x ; (C)y ; (D)0 。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A )4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202103cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
高等数学同济下册期末考试题及答案套
大学高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C ) y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小;(D )0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A )4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
(完整word版)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题一、选择题:1、若a →,b →为共线的单位向量,则它们的数量积 a b →→⋅= ( ).(A) 1; (B)-1; (C) 0; (D)cos(,)a b →→.向量a b →→⨯与二向量a →及b →的位置关系是( ). 共面; (B)共线; (C) 垂直; (D)斜交 .3、设向量Q →与三轴正向夹角依次为,,αβγ,当 cos 0β=时,有()()();();()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥rrrr面;面面面5、2()αβ→→±=( )(A)22αβ→→±; (B)222ααββ→→→→±+; (C)22ααββ→→→→±+; (D)222ααββ→→→→±+.6、设平面方程为0Bx Cz D ++=,且,,0B C D ≠, 则 平面().(A) 平行于轴;x ;(B) y 平行于轴; (C) y 经过轴;(D) 经过轴y .7、设直线方程为11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点; (B)x 平行于轴; (C)y 平行于轴; (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线513x y -=- 107z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--;(B)(1,2,3);(C)(2,3,4); (D)(2,1,4).--9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160x y z ⎧+=⎨=⎩,则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=;(B)222160x y z z ++-=; (C)2226160x y z z ++-+=; (D)2226160x y z z +++-=.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).(A)2221x y z ++=; (B)224x y z +=;(C)22214y x z -+=; (D)2221916x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3π,且2,5a b →→==,求(2)(3)a b a b →→→→-⋅+ .三、求向量{4,3,4}a →=-在向量{2,2,1}b →=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量{1,3,1};{2,1,3}a b →→=-=-{}2,1,3b =-,求其面积 .五、已知,,a b →→为两非零不共线向量,求证:()()a b a b →→→→-⨯+2()a b →→=⨯.六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半,试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .七、求直线L :31258x ty t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩在三个坐标面上及平面π380x y z -++=上的投影方程 .八、求通过直线122232x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .九、求点(1,4,3)--并与下面两直线1L :24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩,2:L 24132x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程 .十、求通过三平面:220x y z +--=,310x y z -++=和30x y z ++-=的交点,且平行于平面20x y z ++=的平面方程 .十一、在平面10x y z +++=内,求作一直线,使它通过直线1020y z x z ++=⎧⎨+=⎩与平面的交点,且与已知直线垂直 .十二、判断下列两直线 111:112x y z L +-==, 212:134x y z L +-==,是否在同一平面上,在同 一平面上求交点,不在同一平面上求两直线间的距离 .第九章 测 验 题一、选择题:1、二元函数221arcsin z x y =+的定义域是( ).(A)2214x y ≤+≤; (B)2214x y <+≤;(C)2214x y ≤+<; (D)2214x y <+<. 2、设2(,)()xf xy x y y=+,则(,)f x y =( ).(A)221()x y y +; (B) 2(1)x y y+;(C) 221()y x x +; (D) 2(1)yy x +. 3、222200lim()x y x y x y →→+=( ).(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) e .4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数 0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ). (A)充分条件,但不是必要条件; (B)必要条件,但不是充分条件; (C)充分必要条件;(D)既不是充分条件,也不是必要条件.5、设(,)f x y 222222221()sin ,00,0x y x y x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩则在原点(0,0)处(,)f x y ( ).(A)偏导数不存在; (B)不可微;(C)偏导数存在且连续; (D)可微 .6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.则22zy∂=∂( ).(A)222f v f v v y y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂∂; (B)22f v v y∂∂⋅∂∂;(C)22222()f v f v y v v y ∂∂∂∂+⋅∂∂∂∂; (D)2222f v f v y v v y∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂.7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=( ). (A)332a ; (B) 33a ; (C) 392a ; (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ).(A) (1,2); (B) (1.-2); (C) (-1,2); (D) (-1,-1). 9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值是( ).(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 16; (D)18.10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ).();();();().A gradu gradvB u gradv v graduC u gradvD v gradu ⋅⋅+⋅⋅⋅二、讨论函数33x yz x y +=+的连续性,并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln yz x= ;2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==;3、22222220(,)00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩.四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .五、设(,,),yz u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导 数,求2zx y∂∂∂.六、设cos ,sin ,uux e v y e v z uv ===,试求z x ∂∂和z y∂∂ .七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零 . 八、求平面1345x y z++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 . 九、在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .第十章 测 验 题一、选择题: 1、110(,)xdx f x y dy -⎰⎰=( )(A)110(,)x dy f x y dx -⎰⎰; (B)110(,)x dy f x y dx -⎰⎰;(C)11(,)dy f x y dx ⎰⎰; (D)110(,)ydy f x y dx -⎰⎰.2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,Dπ=.(A) 1 ;(B);(C)(D) .3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.Ddxdy =⎰⎰(A),220;轴轴及x y x y +-=11(B),;23x y == (C),4,3;轴轴及x y x y ==(D)1,1;x y x y +=-=4、xy Dxe dxdy ⎰⎰的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤(A)1;e (B) e ; (C) 1;e- (D) 1. 5、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中D 由222x y a +=所 围成,则I =( ).(A)22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰;(B)2240012a d r rdr a πθπ⋅=⎰⎰;(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰;(D)22402ad a adr a πθπ⋅=⎰⎰.6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则xdxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A) 148 ; (B) 148- ; (C) 124 ; (D) 124- .7、设Ω是锥面222222(0,z x y a c a b=+>0,0)b c >>与平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,则Ω=( ).(A)2136a b ;(B) 22136a b(C) 2136b c ;(D) 1368、计算I zdv Ω=⎰⎰⎰,其222,1z x y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ). (A)21100I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰;(B)211rI d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰;(C)21100rI d dz rdr πθ=⎰⎰⎰;(D)120zI dz d zrdr πθ=⎰⎰⎰.9、曲面z =222x y x +=内部的那部分面积s =( ).;(B) ;;(D) .10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).(A) 3μ; (B) 5μ; (C) 4μ; (D) 6μ. 二、计算下列二重积分: 1、22()Dxy d σ-⎰⎰,其中D 是闭区域:0sin ,0.y x x π≤≤≤≤ 2、Dyarctgd xσ⎰⎰,其中D 是由直线0y =及圆周 22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、2(369)D y x y d σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区 域:222x y R +≤4、222Dx y d σ+-⎰⎰,其中D :223x y +≤.三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 1、123301(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰;2、110(,)dx f x y dy ⎰;3、(cos ,sin )ad f r r rdr θθθθ⎰⎰.四、将三次积分110(,,)yxxdx dy f x y z dz ⎰⎰⎰改换积分次序为x y z →→.五、计算下列三重积分: 1、cos(),y x z dxdydz Ω+Ω⎰⎰⎰:抛物柱面y =,,2y o z o x z π==+=及平面所围成的区域 .2、22(),y z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域 .3、222222ln(1),1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 .六、求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 . 七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111301()()()[()]6yxxf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰ .第十一章 测 验 题一、选择题:设L 为03,02x x y =≤≤,则4L ds ⎰的值为( ).(A)04x , (B)6, (C)06x .设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2Ldy ⎰=( ).(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩取顺时针方向,则Lydx xdy -⎰的值为( ).(A)0; (B)2ab π; (C)ab π.4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与LPdx Qdy +⎰路径无关的条件,(,)Q Px y D x y∂∂=∈∂∂是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则 ( )式正确. (A)12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则ds ∑⎰⎰等于( ).(A)200d rdr πθ⎰⎰;(B)20d rdr πθ⎰⎰;(C)20d rdr πθ⎰.7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则22xy zdxdy ∑⎰⎰等于( ).(A)2xyD x y ⎰⎰;(B) 22xyD xy ⎰⎰; (C) 0 .8、曲面积分2z dxdy ∑⎰⎰在数值上等于( ).向量2z i r穿过曲面∑的流量;面密度为2z 的曲面∑的质量;向量2z k r穿过曲面∑的流量 .9、设∑是球面2222x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).(A)222xyD xy zds xy ∑=⎰⎰⎰⎰;(B)2222()()xyD xy dxdy xy dxdy ∑+=+⎰⎰⎰⎰;(C)2xyD zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰.10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò外侧=(22)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰;(B)32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰Ò外侧=22(321)x x dxdydz -+⎰⎰⎰; (C)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò内侧=(21)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰.二、计算下列各题:1、求zds Γ⎰,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩0(0)t t ≤≤;2、求(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .三、计算下列各题: 1、求222dsx y z ∑++⎰⎰其中∑是界于平面0z z H ==及 之间的圆柱面222x y R +=; 2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰, 其中∑为锥面(0)z z h =≤≤的外侧;∑其中∑为曲面22(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 .四、证明:22xdx ydyx y ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .五、求均匀曲面z = .六、求向量A xi yj zk =++r r r r通过区域:Ω01,x ≤≤01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),已知流速函数222V xz i yx j zy k =++r r r r ,求流体在单位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .第十二章 测 验 题一、选择题:1、下列级数中,收敛的是( ).(A)11n n ∞=∑;(B)n ∞=;(C)1n ∞=; (D)1(1)nn ∞=-∑.2、下列级数中,收敛的是( ).(A) 115()4n n ∞-=∑; (B)114()5n n ∞-=∑;(C)1115(1)()4n n n ∞--=-∑; (D)1154()45n n ∞-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )(A)221(!)2n n n ∞=∑; (B)13!n n n n n∞=∑; (C) 221sinn nππ∞=∑; (D)11(2)n n n n ∞=++∑.4、部分和数列{}ns 有界是正项级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件; (B)必要条件;(C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1nn ar∞=∑收敛 .(A)1r <; (B)1r ≤;(C)r a <; (D)1r >.6、幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛区间是( ).(A) (0,2]; (B) [0,2); (C) (0,2]; (D) [0,2].7、若幂级nn n a x∞=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;0nn n b x∞=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数()nnn n ab x ∞=+∑的收敛半径至少为( )(A)12R R +; (B)12R R ⋅;(C){}12max ,R R ; (D){}12min ,R R .8、当0R >时,级数21(1)nn k nn ∞=+-∑是( ) (A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞=是级数1nn u∞=∑收敛的( )(A)充分条件; (B)必要条件;(C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件 .10、幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的收敛区间是( )(A) (1,1]-; (B) (1,1]-; (C) (1,1]-; (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:1、221(!)2n n n ∞=∑; 2、21cos 32nn n n π∞=∑.三、判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性 . 四、求极限 111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅⋅⋅L .五、求下列幂级数的收敛区间:1、135n n n n x n ∞=+∑; 2、212n n n nx ∞=∑. 六、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数 .七、求数项级数21!n n n ∞=∑的和 .八、试将函数21(2)x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为0,[,0)(),[0,)x x f x e x ππ∈-⎧=⎨∈⎩将()f x 展开成傅立叶级数 .十、将函数1,0()0,x hf x h x π≤≤⎧=⎨<≤⎩分别展开成正弦级数和余弦级数 .十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期, 则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0(1,2,)k k a b k ===L .第八章 测 验 题 答 案一、1、D ; 2、C ; 3、C ; 4、A ; 5、B ; 6、B ; 7、C ; 8、A ; 9、D ; 10、D. 二、-103. 三、2.四、六、221330y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩. 七、3120x t y t z =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,3058x t y z t =-⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 01258x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 1411260380x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩. 八、81390x y z --+=.九、1124463x ty t z t =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩.十、240x y z ++-=.十一、21010x y z x y z +-+=⎧⎨+++=⎩.十二、直线12L L 与为异面直线,3d =.第九章 测 验 题 答 案一、1、A ; 2、B ; 3、B ; 4、B ; 5、D ; 6、C ; 7、A ; 8、A ; 9、D ; 10、B. 二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续; (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时,则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln y y x z x y=; 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++23()y y u xf xz xyz f =++.3、322222222,0()(,),0,0x xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 2222222222(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩.四、221()()()1()1f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.五、2yy y y uuuy xu xy u xef e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),(cos sin ).u u z zv v u v e u v v v e x y--∂∂=-=+∂∂ 七、cos sin ,fl φφ∂=+∂ 537(1)(2)(3)4444ππππφφφ===及八、4335(,,).5512九、切点min 2V abc =.第十章 测 验 题 答 案1、D ;2、C ;3、A ;4、A ;5、B ;6、A ;7、A ;8、B,D ;9、B ; 10、C.二、1、2409π-;2、2364π; 3、4294R R ππ+;4、5.2π三、1、2302(,)xxdx f x y dy -⎰⎰;2、21201(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰;3、(cos ,sin )aarrdr f r r d θθθ⎰⎰.四、110(,,)zzdz dy f x y z dx ⎰⎰⎰.五、1、21162π-; 2、2503π; 3、0.. 七、提示:1()(),()()()(),(0)0xF x f t dt F x f x F t f x dx F '====⎰⎰则且第十一章 测 验 题 答 案一、1、B ; 2、C ; 3、C ; 4、C ; 5、B ; 6、C ; 7、B ; 8、C ; 9、C ; 10、B.二、1、3220(2)3t +-; 2、2a π.三、1、2H arctg R π; 2、44h π-; 3、0.四、221(,)ln()2u x y x y =+.五、(0,0,)2a. 六、3.七、32,015π.第十二章 测 验 题 答 案一、1、B ; 2、B ; 3、C ; 4、C ; 5、D ; 6、C ; 7、D ; 8、A ; 9、B ; 10、A. 二、1、发散; 2、收敛. 三、条件收敛.. (提示:化成2123332n n ++++L L )五、1、11[,)55-; 2、(.六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x xx ⎧+--∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩. 七、2e .八、12111,(2,2)(2)2n n n n x x x ∞-+==∈--∑九、2111(1)1()[cos 21n n e e f x nx nππππ∞=---=++∑ 12((1)1)sin ]1n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±L 且). 十、121cos ()sin ,(0,)(,)n nhf x nx x h h n ππ∞=-=∈⋃∑12sin ()cos ,[0,)(,)n h nhf x nx x h h nπππ∞==+∈⋃∑。
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言《高等数学同济第七版下册》是同济大学数学系编写的一本面向高等数学教育的教材。
本书作为高等数学的下册,涵盖了积分学、无穷级数、多元函数微分学等重要内容。
为了帮助学生更好地理解和学习这些知识点,本文档整理了该教材下册的所有习题及其答案,以供学生参考和练习。
目录•第一章积分学•第二章无穷级数•第三章多元函数微分学第一章积分学积分学是高等数学的重要分支,它研究函数的积分与定积分等相关概念和性质。
本章的习题主要围绕定积分、不定积分和定积分的应用展开。
习题11.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$。
答案:$\\frac{2}{3}$2.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + x - 1) dx$。
答案:$\\frac{1}{4}x^4 - \\frac{2}{3}x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - x + C$习题21.计算定积分 $\\int_1^e \\frac{dx}{x}$。
答案:12.计算不定积分 $\\int \\frac{1}{x} dx$。
答案:$\\ln|x| + C$…第二章无穷级数无穷级数是数列求和的一种常见方法,它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
本章的习题主要涉及级数的概念、级数的性质和级数的求和等内容。
习题11.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$ 的敛散性。
答案:该级数收敛。
2.计算级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{2^n}$ 的和。
答案:该级数的和为2。
…习题21.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。
答案:该级数收敛。
2.计算级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ 的和。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳歌谷创编
高等数学(下册)考试试卷(一)欧阳歌谷(2021.02.01)一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C )y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小;(D )0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A )y x +;(B )x ; (C)y ; (D)0 。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A )4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202103cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 102
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 103
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 10-4
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 8-1
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 8-2
>
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 8-3
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 8-6
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 8-7
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
总习题八
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 9-1
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 10-5
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
<<
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
练习 9-4
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
同济大学《高等数学》第三版下册答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第八章 测 验 题一、选择题:1、若a →,b →为共线的单位向量,则它们的数量积 a b →→⋅= ( ).(A) 1; (B)-1; (C) 0; (D)cos(,)a b →→.向量a b →→⨯与二向量a →及b →的位置关系是( ). 共面; (B)共线;(C) 垂直; (D)斜交 .3、设向量Q →与三轴正向夹角依次为,,αβγ,当cos 0β=时,有( ) 5、2()αβ→→±=( )(A)22αβ→→±; (B)222ααββ→→→→±+; (C)22ααββ→→→→±+; (D)222ααββ→→→→±+.6、设平面方程为0Bx Cz D ++=,且,,0B C D ≠, 则 平面( ).(A) 平行于轴;x ;(B) y 平行于轴; (C) y 经过轴;(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220A xB yC zD B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ).(A) 过原点; (B)x 平行于轴;(C)y 平行于轴; (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线513x y -=- 107z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--;(B)(1,2,3); (C)(2,3,4); (D)(2,1,4).--9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周22160x y z ⎧+=⎨=⎩,则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=; (B)222160x y z z ++-=;(C)2226160x y z z ++-+=; (D)2226160x y z z +++-=.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).(A)2221x y z ++=; (B)224x y z +=;(C)22214y x z -+=; (D)2221916x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3π,且2,5a b →→==,求(2)(3)a b a b →→→→-⋅+ .三、求向量{4,3,4}a →=-在向量{2,2,1}b →=上的投影 .四、设平行四边形二边为向量{1,3,1};{2,1,3}a b →→=-=-{}2,1,3b =-,求其面积 .五、已知,,a b →→为两非零不共线向量,求证:()()a b a b →→→→-⨯+2()a b →→=⨯.六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半,试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .七、求直线L :31258x ty t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩在三个坐标面上及平面π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线122232x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 . 九、求点(1,4,3)--并与下面两直线1L :24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩,2:L 24132x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程 .十、求通过三平面:220x y z +--=,310x y z -++=和30x y z ++-=的交点,且平行于平面20x y z ++=的平面方程 . 十一、在平面10x y z +++=内,求作一直线,使它通过直线1020y z x z ++=⎧⎨+=⎩与平面的交点,且与已知直线垂直 .十二、判断下列两直线 111:112x y z L +-==, 212:134x y z L +-==,是否在同一平面上,在同一平面上求交点,不在同一平面上求两直线间的距离 .第九章 测 验 题一、选择题:1、二元函数221arcsinz x y =++的定义域是( ).(A)2214x y ≤+≤; (B)2214x y <+≤; (C)2214x y ≤+<; (D)2214x y <+<. 2、设2(,)()x f xy x y y=+,则(,)f x y =( ).(A)221()x y y+; (B) 2(1)x y y+; (C) 221()y x x+; (D) 2(1)y y x+.3、222200lim()x y x y x y →→+=( ).(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) e .4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).(A)充分条件,但不是必要条件; (B)必要条件,但不是充分条件;(C)充分必要条件;(D)既不是充分条件,也不是必要条件.5、设(,)f x y 222222221()sin ,00,0x y x y x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩则在原点(0,0)处(,)f x y ( ). (A)偏导数不存在; (B)不可微; (C)偏导数存在且连续; (D)可微 . 6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.则22zy∂=∂( ). (A)222f v f v v y y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂∂; (B)22f v v y∂∂⋅∂∂; (C)22222()f v f vyv v y ∂∂∂∂+⋅∂∂∂∂;(D)2222f v f vy v v y∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂.7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=( ).(A) 332a ; (B) 33a ; (C) 392a ; (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ).(A) (1,2); (B) (1.-2); (C) (-1,2); (D)(-1,-1).9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值是( ).(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 16 ; (D) 18 .10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ). 二、讨论函数33x yz x y+=+的连续性,并指出间断点类型.三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y z x = ;2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==;3、22222220(,)00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩.四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .五、设(,,),y z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导 数,求2zx y ∂∂∂. 六、设cos ,sin ,u u x e v y e v z uv ===,试求z x∂∂和zy∂∂ . 七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零 . 八、求平面1345xy z++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .九、在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .第十章 测 验 题一、选择题:1、1100(,)xdx f x y dy -⎰⎰=( )(A)1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰; (B)1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰; (C)1100(,)dy f x y dx ⎰⎰; (D)1100(,)ydy f x y dx -⎰⎰.2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,Dπ=.(A) 1 ;;;3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.Ddxdy =⎰⎰4、xy D xe dxdy ⎰⎰的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤(A) 1;e(B) e ; (C) 1;e- (D) 1.5、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中D 由222x y a +=所围成,则I =( ). (A)2240ad a rdr a πθπ=⎰⎰;(B)2240012ad r rdr a πθπ⋅=⎰⎰;(C)223023ad r dr a πθπ=⎰⎰;(D)224002ad a adr a πθπ⋅=⎰⎰. 6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的空间区域,则xdxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A)148 ; (B) 148- ; (C) 124 ; (D) 124- . 7、设Ω是锥面222222(0,z x y a c a b=+>0,0)b c >>与平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,则dxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A)2136a b ;(B) 2136a b(C) 2136b c ;(D) 136.8、计算I zdv Ω=⎰⎰⎰,其222,1z x y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ).(A)211000I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰;(B)21100r I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰;(C)21100rI d dz rdr πθ=⎰⎰⎰; (D)12000zI dz d zrdr πθ=⎰⎰⎰.9、曲面z =222x y x +=内部的那 部分面积s =( ).;;;(D) .10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量 x I =( ).(A) 3μ; (B) 5μ; (C) 4μ; (D) 6μ. 二、计算下列二重积分:1、22()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是闭区域:2、Dyarctg d xσ⎰⎰,其中D 是由直线0y =及圆周22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象限内的闭区域 .3、2(369)Dy x y d σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区域:222x y R +≤4、222Dx y d σ+-⎰⎰,其中D :223x y +≤.三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:1、12330010(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰;2、110(,)dx f x y dy ⎰;3、00(cos ,sin )a d f r r rdr θθθθ⎰⎰.四、将三次积分110(,,)yx x dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰改换积分次序为 x y z →→.五、计算下列三重积分:1、cos(),y x z dxdydz Ω+Ω⎰⎰⎰:抛物柱面y =,,2y o z o x z π==+=及平面所围成的区域 .2、22(),y z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域 .3、222222ln(1),1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 .六、求平面1x y zab c++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111301()()()[()]6yx xf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰ .第十一章 测 验 题一、选择题: 设L 为03,02x x y =≤≤,则4L ds ⎰的值为( ).(A)04x , (B)6, (C)06x .设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2Ldy ⎰=( ).(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩取顺时针方向,则Lydx xdy -⎰的值为( ).(A)0; (B)2ab π; (C)ab π.4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则在D 内与LPdx Qdy +⎰路径无关的条件,(,)Q Px y D x y∂∂=∈∂∂是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则( )式正确. (A)12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 ,则ds ∑⎰⎰等于( ).(A)20rd rdr πθ⎰⎰;(B)200d rdr πθ⎰⎰;(C)20d rdr πθ⎰.7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则 22x y zdxdy ∑⎰⎰等于( ).(A) 2xyD x y ⎰⎰;(B) 22xyD x y ⎰⎰; (C) 0 .8、曲面积分2z dxdy ∑⎰⎰在数值上等于( ).向量2z i r穿过曲面∑的流量;面密度为2z 的曲面∑的质量;向量2z k r穿过曲面∑的流量 .9、设∑是球面2222x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).(A)2222xyD x y zds x y ∑=⎰⎰⎰⎰;(B)2222()()xyD x y dxdy x y dxdy ∑+=+⎰⎰⎰⎰;(C) 2xyD zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰.10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( ).(A)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò外侧=(22)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰;(B)32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰Ò外侧=22(321)x x dxdydz -+⎰⎰⎰;(C)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò内侧=(21)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰.二、计算下列各题:1、求zds Γ⎰,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩0(0)t t ≤≤; 2、求(sin 2)(cos 2)x x L e y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .三、计算下列各题: 1、求222dsx y z∑++⎰⎰其中∑是界于平面0z z H ==及之间的圆柱面222x y R +=;2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰,其中∑为锥面(0)z z h =≤≤的外侧;∑其中∑为曲面22(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 . 四、证明:22xdx ydy x y++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .五、求均匀曲面z =的重心的坐标 .六、求向量A xi yj zk =++r r r r通过区域:Ω01,x ≤≤01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),已知流速函数222V xz i yx j zy k =++rrrr,求流体在单位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .第十二章 测 验 题一、选择题: 1、下列级数中,收敛的是( ).(A)11n n ∞=∑;(B)1n ∞=;(C)n ∞=; (D)1(1)n n ∞=-∑.2、下列级数中,收敛的是( ).(A) 115()4n n ∞-=∑; (B)114()5n n ∞-=∑;(C)1115(1)()4n n n ∞--=-∑; (D)1154()45n n ∞-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )(A)221(!)2n n n ∞=∑; (B)13!n n n n n∞=∑;(C) 221sinn nππ∞=∑; (D)11(2)n n n n ∞=++∑.4、部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1nn a r ∞=∑收敛 .(A)1r <; (B)1r ≤; (C)r a <; (D)1r >. 6、幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛区间是( ). (A) (0,2]; (B) [0,2); (C) (0,2]; (D) [0,2].7、若幂级0n n n a x ∞=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;0nn n b x ∞=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数0()n n n n a b x ∞=+∑的收敛半径至少为( )(A)12R R +; (B)12R R ⋅;(C){}12max ,R R ; (D){}12min ,R R . 8、当0R >时,级数21(1)nn k nn∞=+-∑是( ) (A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件; (B)必要条件;(C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件 .10、幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的收敛区间是( )(A) (1,1]-; (B) (1,1]-; (C) (1,1]-; (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:1、221(!)2n n n ∞=∑; 2、21cos 32nn n n π∞=∑.三、判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性 . 四、求极限 111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅⋅⋅L .五、求下列幂级数的收敛区间:1、135n n n n x n ∞=+∑; 2、212n n n nx ∞=∑.六、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数 .七、求数项级数21!n n n ∞=∑的和 .八、试将函数21(2)x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为 0,[,0)(),[0,)x x f x e x ππ∈-⎧=⎨∈⎩将()f x 展开成傅立叶级数 . 十、将函数1,0()0,x hf x h x π≤≤⎧=⎨<≤⎩分别展开成正弦级数和余弦级数 . 十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期,则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0(1,2,)k k a b k ===L .第八章 测 验 题 答 案一、1、D ; 2、C ; 3、C ; 4、A ; 5、B ;6、B ;7、C ;8、A ;9、D ; 10、D. 二、-103. 三、2.四、六、221330y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩.七、3120x t y t z =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩, 3058x t y z t =-⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 01258x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩,1411260380x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩. 八、81390x y z --+=.九、1124463x ty t z t =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩.十、240x y z ++-=. 十一、21010x y z x y z +-+=⎧⎨+++=⎩.十二、直线12L L 与为异面直线,d =. 第九章 测 验 题 答 案一、1、A ; 2、B ; 3、B ; 4、B ; 5、D ;6、C ;7、A ;8、A ;9、D ; 10、B.二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续; (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时, 则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点. 三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln yy x z x y=; 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++23()y y u xf xz xyz f =++.3、322222222,0()(,),0,0x xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 2222222222(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩.四、221()()()1()1f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.五、2y y y y uuuy xu xy u xe f e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),(cos sin ).u u z zv v u v e u v v v e x y--∂∂=-=+∂∂ 七、cos sin ,flφφ∂=+∂ 八、4335(,,).5512九、切点min V =. 第十章 测 验 题 答 案1、D ;2、C ;3、A ;4、A ;5、B ;6、A ;7、A ;8、B,D ;9、B ; 10、C.二、1、2409π-;2、2364π; 3、4294R R ππ+;4、5.2π三、1、2302(,)xx dx f x y dy -⎰⎰;2、2121(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰;3、0(cos ,sin )aar rdr f r r d θθθ⎰⎰. 四、1100(,,)zz dz dy f x y z dx ⎰⎰⎰.五、1、21162π-; 2、2503π; 3、0.. 七、提示:第十一章 测 验 题 答 案一、1、B ; 2、C ; 3、C ; 4、C ; 5、B ; 6、C ; 7、B ; 8、C ; 9、C ; 10、B.二、1、3220(2)3t +-; 2、2a π.三、1、2H arctg R π; 2、44h π-; 3、0.四、221(,)ln()2u x y x y =+.五、(0,0,)2a. 六、3.七、32,015π.第十二章 测 验 题 答 案一、1、B ; 2、B ; 3、C ; 4、C ; 5、D ; 6、C ; 7、D ; 8、A ; 9、B ; 10、A. 二、1、发散; 2、收敛. 三、条件收敛.提示:化成2123332n n ++++L L )五、1、11[,)55-; 2、(.六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x xx ⎧+--∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩. 七、2e .八、12111,(2,2)(2)2n n n n x x x ∞-+==∈--∑九、2111(1)1()[cos 21n n e e f x nx nππππ∞=---=++∑ 12((1)1)sin ]1n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±L 且).十、121cos ()sin ,(0,)(,)n nhf x nx x h h n ππ∞=-=∈⋃∑。