第八组惩罚函数法

m
式中，惩罚因子 r 是一个递增的正数序列 k 且 lim r
k
r1 , r2
加权因子(惩罚因子)
原约束优化问题转化为无约束优化问题:
min ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)]
j 1
m
r2 H [hk ( x)]
k 1
l
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
m p
实际计算中，因为惩罚因子 r 不可能达到无穷 大，故所得的最优点也不可能收敛到原问题的最 优点，而是落在它的外面，显然，这就不能严格 满足约束条件。为了克服外点惩罚函数法的这一 缺点，对那些必须严格满足的约束（如强度、刚 度等性能约束）引入约束裕度 u ，即将这些约 束边界向可行域内紧缩，移动一个微量，得到
0
初始点x0-随机数生成,满足可行:
g j (x ) 0
0
j 1,2,..., m
内点法的收敛条件
[ x* (r k ), r k )] [ x* (r k 1 ), r k 1 ] 1 * k 1 k 1 [ x (r ), r ]
|| x *(r k ) x *(r k 1 ) || 2
m
第二种形式
min f ( x) g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m)
min ( x, r ) f ( x) r ln[ g j ( x)]
j 1
m
内点法的加权因子(惩罚因子)
r r r ... r r
0 1 2 k k 1
是正数,在优化过程中,由大到小变化,即取为递减数列
3 选用无约束优化方法来求解惩罚函数极小点
即
P( X , r ) min P( X , r )
k k k
4 检验是否满足迭代终止条件
X
k
X
K 1

或
f (X ) f (X
k
k 1
)
若满足转6，不满足转5；
5，令 Cr k r k 1
，转2；
6. 输出最优解，停止迭代。
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... 0
k
lim r k 0
缩减系数(递减系数)c
r k 1 cr k , 0 c 1 ,一般地c 0.1 ~ 0.7
确定r0
1.取r0=1,根据计算结果,决定增加或减少的r0值. 2.根据经验公式确定:
f ( x0 ) r m 1 0 j 1 g j ( x )
（3）惩罚因子wenku.baidu.com
0 1
r
k
是一递增的正数数列，即
2 k
r r r r
且
lim r
k
k

一般
r
k
1
考虑等式约束的优化问题：
min f ( X ), X R s.t. hv ( X ) 0 (v 1,2, p)
n
构造外点罚函数：
P( X , r ) f ( X ) r
2 ( x, r ) x12 x2 r ln((1 x1 ))
( x, r ) x x r ln((1 x1 ))
2 1 2 2
r4
r=1.2
r=0.36
例： 用内点惩罚函数法求下列约束优化问题的最优解,取迭代初 始X0=[0,0]T,惩罚因子的初始值r0=1,收敛终止条件: ||Xk-Xk-1||<ε, ε=0.01。
2 1 * 2
T
|| X (r ) X (r ) || 0.0212
* 2 * 1
X 0 [4.998 2.998 ]T
内点惩罚函数法特点及其应用
惩罚函数定义于可行域内,序列迭代点在可行域 内不断趋于约束边界上的最优点. 只适合求解具有不等式约束的优化问题.
外点惩罚函数法
x* x *(r )
k
f ( x*) f ( x *(r ))
k
内点法的计算步骤和程序框图 1) 选择 • • • 可行的初始点; 惩罚因子的初始值; 缩减系数;
•
•
收敛精度;
取迭代次数k<-0.
2) 构造惩罚函数,选择无约束优化方法求解方法,求出无约束极值. 3) 判断所得极值点是否满足收敛条件 满足:取极值点为最优点,迭代终止 不满足:缩小惩罚因子,将极值点作为初始点,增加迭代 次数,转步骤2),直到满足收敛条件为止.
1.外点法和内点法的区别 内点法将惩罚函数定义于可行域内且求解无 约束优化问题的搜索点总是保持在可行域内，一 般只用于不等式约束情况；外点法即可用于求解 不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优 化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域的外 部，从而在求解系列无约束优化问题的过程中， 从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题最优解。
u 1
k
v 1
gu ( X ) gu ( X ) u 0
(u 1,2m)
这样用重新定义的约束函数来构造惩罚函数， 得到最优设计方案。 外点惩罚函数法的迭代步骤： 1.给定初始点 X ，初始惩罚因子 迭代精度
0

r
1
，维数n ；
和递增系数 C 1
k k
2 构造外点惩罚函数 P( X , r ) ；
内 点 法 程 序 框 图
举例
用内点法求最优点:
min f ( x) x x
2 1
2 2
解： r ( x, r ) f ( x ) g ( x) r 2 2 ( x, r ) x1 x2 1 x1
s.t.g ( x) 1 x1 0
or ( x, r ) f ( x) r ln( g ( x))
r
k
{min[0, g
u 1
m
u
( X )} 0
2
（2）当X违反某一约束条件，即 g u ( X ) 0 时
r k {min[0, g u ( X )}2 r k [ g u ( X )]2 0
u 1 m
表明X在可行域外，惩罚项起作用，且若X离 开约束边界越远，惩罚力度越大。这样用惩罚的 方法迫使迭代点回到可行域。
min f ( X ) x x2 x1 x21 10x1 4 x2 60 s.t. g ( X ) x1 x2 8 0
2 1
2
1.构造内惩罚函数:
( X , r) x12 x22 x1x21 10x1 4x2 60 r ln(8 x1 x2 )
2.外点惩罚函数法的一般形式
考虑不等式约束优化设计时：对
min f ( X ),
k
xR
n
st.
k m
gu ( X ) 0, (u 1,2m)
( X )}
2
构造一般形式的外点惩罚函数为：
P( X , r ) f ( X ) r
{min[0, g
u 1
u
其中： （1）当满足所有约束条件时惩罚项为0，即
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混合惩罚函数法
内点法和外点法各有所长，亦有缺点，可以 将它们结合起来，对p个等式约束，采用外点 法，对m个不等式约束采用内点法。 构成混合函数：
1 k k 2 P( X , r ) f ( X ) r [hv ( X )] k r v 1
k
p
1 u 1 g u ( X )
二 惩罚函数法分类
内点惩罚函数法(内点法)
外点惩罚函数法(外点法) 混合惩罚函数法(混合法)
三 内点惩罚函数法
数学模型及其转换
第一种形式
min f ( x) g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m)
1 min ( x, r ) f ( x) r j 1 g j ( x)
2.用解析法求内惩罚函数的极小点
( X , r ) [2 x1 x2 10
r x1 x2 8
2 x2 x1 4
r x1 x2 8
]T
令 ( X , r ) 0得 : r 2 x x 10 0 1 2 x1 x 2 8 r 2 x 2 x1 4 0 x1 x 2 8 解之得 : 13 9 2r 9 9 2r T ] 2 2 13 9 2r 9 9 2r T * X 2 (r ) [ ] 2 2 X 1 (r ) [
k
p
k
[h
v 1
p
v
( X )]
2
同样，若X满足所有等式约束则惩罚项为0； 若不能满足，则 v 1 因子的增大而增大；
r k [hv ( X )]2 0
且随着惩罚
综合等式约束和不等式约束情况，可以得到一般 约束优化问题的外点罚函数公式为：
P( X , r k ) f ( X ) r k {[min( 0, g u ( X ))2 [hv ( X )]2 }
* 0 0
X 0 [4.842 2.842 ]T
当r 1 cr 0 1 0.1时，X * (r 1 ) [4.983 2.983 ]T || X * (r 1 ) X * (r 0 ) || 0.1994 X 0 [4.983 2.983 ]T
当r cr 0.01 时，X (r ) [4.998 2.998 ]
*
. g ( X 1 ( r )) 0
*
舍去X 1 (r ) 9 2r 2 9 9 2r T ] 2
T
*
( X , r )为凸函数 无约束优化问题的系列 最优解 13 * X * (r ) X 2 (r ) [
3.求最优解
0 * 0
当r 1时，X (r ) [4.842 2.842 ] || X (r ) X || 5.5886
min f ( x) g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m) hk ( x) 0 (k 1,2,...,l)
( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)] r2 H [hk ( x)]
j 1 k 1 m l
障碍项
惩罚项