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(整理)利用导数研究函数的性质.

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导数的定义与性质解析

导数的定义与性质解析

导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数的变化率。

在本文中，我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。

对于函数y = f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。

导数的定义可以通过极限表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。

2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在性：函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。

- 导数与函数图像：函数在某一点导数存在，则函数在该点的图像有切线。

切线的斜率即为导数的值。

- 导数与连续性：若函数在某点可导，则函数在该点连续。

- 导数的四则运算：若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)（其中g(x) ≠ 0）。

- 链式法则：若y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别可导，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用，其中包括：- 切线与法线：导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线，从而帮助我们研究函数图像的特性。

- 极值与拐点：函数在极值点导数为零，通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。

- 函数图像的草图：通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点，有助于绘制函数的草图。

- 物理学应用：导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。

综上所述，导数是函数变化率的重要工具，通过导数的定义与性质，我们可以深入理解函数的特性与行为。

第21讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)

第21讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)

第21讲 利用导数研究函数的单调性【基础知识回顾】1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间．函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间．(2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)；函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根．1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1eD.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞【答案】 B【解析】因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2、函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )第2题图A . (－∞，－2]B . ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C . [)－2，3 D . ⎣⎡⎭⎫98，＋∞【答案】D【解析】 由题图可知d ＝0. 不妨取a ＝1，∵f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c. 由图可知f′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18. ∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为[98，＋∞).故选D .3、函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a )【答案】A【解析】 由f ′(x )＝1x －a >0，x >0，得0<x <1a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 4、若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，2ln 2－2)【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解.设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得极大值也是最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.考向一 求函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ，∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：x (0，1) 1 (1，＋∞) g ′(x ) － 0＋ g (x ) 减 极小值 增变式1、（1）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.f (x )＝sin 2x B.f (x )＝x e x C.f (x )＝x 3－xD.f (x )＝－x ＋ln x【答案】 B【解析】 由于x ＞0，对于A ，f ′(x )＝2cos 2x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－1＜0，不符合题意； 对于B ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0，符合题意；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，f ′⎝⎛⎭⎫13＝－23＜0，不符合题意； 对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ，f ′(2)＝－12＜0，不符合题意.(2)函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 C【解析】 ∵函数f (x )＝2x 2－ln x ，∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝4⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋12x.由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜12，∴函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，12. （3）.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.变式2、（1）函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__ __．（2） 函数f(x)＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是__ __．（3）已知a<0，函数f(x)＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2的单调递减区间是__ ．【解析】（1）由f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x)＝3x 2－30x －33，令f′(x)<0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1<x<11，∴函数f(x)的单调减区间为(－1，11)． （2） f′(x)＝1－cos x>0在(0，2π)上恒成立，∴f(x)单调递增．（3）f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2＝(3x －a)(x ＋a)，令f′(x)<0，得a3<x<－a ，∴减区间为⎝⎛⎭⎫a3，－a . 方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f ′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．考向二 给定区间求参数的范围例2、设函数()32132a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. (1)求,bc 的值；(2)若0a >，求函数()f x 的单调区间；(3)设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．变式1、已知g (x )＝2x ＋ln x －ax .(1)若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【解析】(1)g (x )＝2x ＋ln x －ax (x >0)，g ′(x )＝2＋1x ＋ax2(x >0).∵函数g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g ′(x )≥0在[1，2]上恒成立， 即2＋1x ＋ax 2≥0在[1，2]上恒成立，∴a ≥－2x 2－x 在[1，2]上恒成立， ∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1，2]. 在[1，2]上，(－2x 2－x )max ＝－3， 所以a ≥－3.∴实数a 的取值范围是[－3，＋∞). (2)g (x )在[1，2]上存在单调递增区间， 则g ′(x )＞0在[1，2]上有解， 即a ＞－2x 2－x 在[1，2]上有解， ∴a ＞(－2x 2－x )min ，又(－2x 2－x )min ＝－10，∴a ＞－10.变式2、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎡⎦⎤－1，13C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53.由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立. 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]， 则－43t 2＋at ＋53≥0，在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13方法总结： 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．考向三 函数单调区间的讨论例3、已知函数．当时，讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为.， 因为，所以， ①当，即时，由得或，由得， 所以在，上是增函数， 在上是减函数； ②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函 综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减； 当时，在.上是单调递增；当时在，上是单调递增，在上是单调递减. 变式1、讨论下列函数的单调性． (1)f (x )＝x －a ln x ； (2)g (x )＝13x 3＋ax 2－3a 2x .【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭1m ()f x ()f x (0,)+∞'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x -+----==1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -11m -=2m =()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -2m =()f x ()0,∞+2m >()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． (2)g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝x 2＋2ax －3a 2＝(x ＋3a )(x －a )， 当a ＝0时，g ′(x )≥0， ∴g (x )在R 上单调递增． 当a >0时，x ∈(－∞，－3a )∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(－3a ，a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 当a <0时，x ∈(－∞，a )∪(－3a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(a ，－3a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 综上有a ＝0时，g (x )在R 上单调递增；a <0时，g (x )在(－∞，a )，(－3a ，＋∞)上单调递增，在(a ，－3a )上单调递减； a >0时，g (x )在(－∞，－3a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，a )上单调递减． 变式2、已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性．【解析】 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，设g (x )＝x 2－ax ＋2， g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2， 有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根， x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．方法总结： 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因．考向四 构造函数研究单调性例4、(1)设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下列不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x(2)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】 (1)A (2)D【解析】(1)法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2，∴令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D ，不妨令f (x )＝x 2＋0.1，则已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不一定成立，故C 也是错误的，故选A.(2)∵f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )， ∴xf ′(x )＋2f (x )>0. ∵g (x )＝x 2f (x )，∴g (x )也是偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0. ∵g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )在(－∞，0)递减． 若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)， 解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)． 变式1、已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】CD 【解析】令，，则， 因为， 所以在上恒成立， 因此函数在上单调递减， 因此，即，即，故A 错；又，所以，所以在上恒成立， 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<6624f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()cos f x g x x =0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x '+'=()cos ()sin 0f x x f x x '+<2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()cos f x g x x =0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>664f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00f =(0)(0)0cos0f g ==()()0cos f x g x x =≤0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭因为，所以，故B 错； 又，所以，即，故C 正确；又，所以，即，故D 正确；故选：CD.变式2、设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－1)∪(0，1)【解析】 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增.所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0，得f （x ）x ＞0，所以f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，由g (x )＜g (－1)＝0，得f （x ）x＜0，所以f (x )＞0. 综上知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).变式3、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集为________. 【答案】 (－∞，－3)∪(0，3) 【解析】 f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0⇔ [f (x )g (x )]′＞0，所以函数y ＝f (x )g (x )在(－∞，0)上单调递增. 又由题意知函数y ＝f (x )g (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(3，0).ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63cos cos 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭数形结合可求得不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).方法总结：(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )；(2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (3)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (4)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xg x(g (x )≠0)；(5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx(x ≠0)．1、函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．2、设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞.3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数()ln f x x =，()g x x =，则当120x x >>时（ ） A ．1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-|B ．1122|()()||()()|f x g x f x g x ->-C ．1221|()()||()()|f x g x f x g x -<- D ．1221|()()||()()|f x g x f x g x ->-【答案】C【解析】令()ln h x x x =-，则()111xh x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()110h x h ≤=-<，则()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()1h x 和()2h x 的大小不确定，故AB 错误；由()0h x <可知221ln x x x <<，即()()210f x g x -<， 令1221|()()||()()|W f x g x f x g x =---， 则1221|()()|()()W f x g x f x g x =-+-，当()()12f x g x ≥时，[][]12211122()()()()()()()()0W f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-=-+-<； 当()()12f x g x <，[][]21212211()()()()()()()()W g x f x f x g x f x g x f x g x =-+-=+-+，()()ln y f x g x x x =+=+单调递增，0W ∴<， 综上，1221|()()||()()|f x g x f x g x -<-，故C 正确，D 错误.故选：C.4、（2021·广东高三月考）已知函数()ln f x x ax =+在函数()22g x x x b =-+的递增区间上也单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)0,+∞C ．(][),10,-∞-+∞ D ．(]1,0-【答案】B【解析】因为()g x 的单调递增区间为[)1,+∞， 则由题意()f x 在[)1,+∞递增， 而()1axf x x+'=， 所以当0a ≥时，()0f x '>在 [)1,+∞恒成立，()f x 在区间[)1,+∞单调递增，符合题意； 当0a <时，由()10ax f x x +'=>，解得10x a<<- ()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不合题意.综上，0a ≥. 故选：B5、（2021·广东高三月考）若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（ ）（注： 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数） A ．1eB ．eC ．1D ．3e【答案】A【解析】由题意知210x x >>，可得210x x ->， 则122121ln ln 2x x x x x x -<-等价于()122121ln ln 2x x x x x x -<-，即121212ln 2ln 2x x x x x x +<+，所以()()1221ln 2ln 2x x x x +<+， 所以2121ln 2ln 2x x x x ++<， 令()ln 2x f x x+=，可得21f x f x ，又由21x x m >>，所以()f x 在(),m +∞上是减函数， 所以()2ln 10x f x x--'=≤，解得1x e ≥，则1m e ≥，即m 的最小值为1e . 故选：A.6、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()0,6f x f x f x f x +-=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增C ．3x =是函数()f x 的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【解析】由定义域为R ， ()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数为奇函数，故A 错误；因为()()6f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以()()6f x f x +=-，所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确； 因为()()6f x f x +=-，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+， 则()()()()12120x x f x f x --<，所以[]3,0x ∈-时，()f x 为减函数. 因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 7、()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______ 【答案】19a >- 【解析】：()'22fx x x a =-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()'0f x ≥，即()212a x x ≥-，只需()2min12a x x ⎡⎤≥-⎢⎥⎣⎦，而()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-。

利用导数研究正态分布的概率密度函数性质

利用导数研究正态分布的概率密度函数性质
第 ２ 卷 第 ２期 １
２ ２年 ６月 ０１
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｎ ｎ Ｉｓｉ ｔ ｆＥ ｕ ａｉｎ（ ａｕａ ｃｅ ｃ ｉｏ ｏ ｒａ ｆＨｅ ａ ｎ ｔ ｕｅｏ ｄ ｃ ｔ ｔ ｏ Ｎ ｔｒｌ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ） Ｓ ｉ
令 ｆ” （ ）＝ ， ０ 得 ＝ ＋ 或 ＝ 一 ， 然 ， 显 当 ＜ 一 或 ＞ ＋ 时 ， （ ／” ）＞０ 函数 为 凸 函数 ； ， 当
／— ＜ ／＋ ” ） ０函数为凹函数． ｚ Ｏ ＜ 时 （ ＜ ， ｒ ｚ 因此， —ｒ 点（ ｏ÷ ，
贯， 理解 知 识更加 深 刻 ， 而培 养学生 严谨 的治 学态度 ， 奋 的学 习 作风 ， 活 的应 用 能力 ， 得 数学 的思 想 从 勤 灵 使 得 到 真正贯 彻．
参 考 文 献
［ ］ 吴 坚 ． 用 概 率 统 计 ［ ． 京 ： 等 教 育 出 版 社 ，０ ７ １ 应 Ｍ］ 北 高 ２０．
ｓａｔ ｒ ｍ ｈ ｎ ｍｅ ａ ｉｎ ｍｅｈｏ ｓ ｏ ｏ ｄ ｍ ｅ ｓｏ ａ ｏ ａ ａ ｕ ｅ ｔｒｓ ｆｏ ｔ ｅ ｅ ｕ ｒ ｔ ｔ ｄ ｆｌｗ ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｔｔｌｍｅ ｓ ｒ ｓ，ｓ ｃ ｓｖ ｒｉｅ ｕ ｏ ｕ ｈ ａ ｅ ｃ ｓｓ ｍｍ ａｉｎ，ｐｅｉ ｅｅ ｎ ｔ ｔｏ ｒｍ ｔ ｒａ ｄ ｔｔ ｌａ ｅ ｏａ ｒ ａ，ｔ ｅ ｏ ａ ｅ ｎ ｒ ｎ ｆ ｒ ｈ ｔ ｄ ｏ ｈ ｇ ｅ ｉ ｅ ｓｏ ｌｓ ａ ｅ Ｆｉ ｌ ｈ ｎ ｃ ｍｐ ｒ ｓ ａ ｄ ｔａ ｓｅｓ ｔ ｅ ｍｅｈｏ ｓ ｔ ｉｈ ｒｄ ｍ ｎ ｉｎａ ｐ ｃ ． ｎａｌ ｙ，ｉ ｅｓ ｔ ｅ ｅ ｕ ｅ ａｉ ｎ ｔｇ ｔ ｈ ｎ ｍ ｒ ｔｏ

高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值

高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值

利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。

探究导数思想在三角函数性质中应用

探究导数思想在三角函数性质中应用

１三角函数的单调性 问题
２ ０ １ ３ 年第 １ ２ 期
福建中学数学
４ ｌ
我们 知道 正 弦 函数 Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的导数 是 Ｙ ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ，
也 就 是 说 明 了 Ｙ：ｓ ｉ ｎ ｘ的 单 调递 增 区 间是 余 弦 函 数
Ｙ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ图象在 轴 上 方部 分 ， Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的单 调递 减
即 ＋ ２ ｃ ｏ Ｘ 等 ＋ ２ ，
． ．
．
４ ｏ ｃ
＋
∞
４ ｏ ｃ
≤
＋
Ｃ Ｏ
（ Ｊ ｝ ｉ ∈ｚ ） ，
区间是 余弦 函数 Ｙ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ图象 在 轴 下 方部分 ， 这 样 学 生就 很容 易 写 出 Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的单调 区间 ，并 更深刻 理 解 正弦 函数 与余 弦 函数 的关 系 ． 知识点 １ ． １ Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的单调递 增 区间是 Ｙ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ≥０的解集 ， Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的单 调递 减 区间是 Ｙ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ０
苏 飞文 洪 丽敏
１ 福 建 省 南安侨 光 中学 （ ３ ６ ２ ３ １ ４ ） ２福建 省南 安第一 中学 （ ３ ６ ２ ３ ０ ０ ） 可 能 由于 三 角 函数 具有 的特殊 完 美 的性 质 ，笔
入三 角函数教 学 中 ．
者 发现 ，老 师 或学 生在 三 角 函数解 题 中应 用很 少应 用到 导数 思 想 ，特 别 是高 三第 一 轮复 习中 ，如 果在
…
ｎ ２ ）．
２
②如 图 ５ ，两个 同 心圆圆 心为 ０，大 圆的半径 为 Ｒ，小 圆的半径 为 ｒ （ ＞ｒ ） ， Ａ为大 圆上任 意一 点 ， Ｊ Ｄ Ｑ为小 圆的直径 ，则 Ａ Ｐ ＋ Ｑ 为 定值 ．

2023年高考数学课后精练 第3讲 利用导数研究函数的性质(解析版)

2023年高考数学课后精练 第3讲 利用导数研究函数的性质(解析版)

第3讲 利用导数研究函数的性质【题型精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-【答案】C 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->， ∴()f x x 为增函数，()f x 为偶函数，()f x x 为奇函数， ∴()f x x在(),0-∞上为增函数， ∵()()220f f -==， 若0x >，()202f =，所以2x >； 若0x <，()202f -=-，()f x x 在(),0-∞上为增函数，可得20x -<<， 综上得，不等式()0f x x>的解集是()()2,02,-+∞.故选：C.2．（2021·河南·高三月考（文））函数()2e 21xf x x x x =---的极大值为（ ）A ．1-B ．1e- C ．ln 2 D ．()2ln 21--【答案】B 【详解】由()2e 21xf x x x x =---可得()()()()1e 221e 2x x f x x x x '=+--=+-，由()0f x '>可得：ln 2x >或1x <-， 由()0f x '<可得1ln 2x -<<，所以()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,ln 2-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以1x =-时，()f x 取得极大值为()111121e ef -=--+-=-，故选：B.3．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,)+∞D ．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-． 故选：B4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A ．2k > B ．1k C ．1k > D ．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴'在区间(1,)+∞上恒成立． 1kx ∴， 而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴．选项中只有0k >是1k 的必要不充分条件. 选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件. 故选：D5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数2()ln 22x f x m x x =+-，()0,x ∈+∞有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．()0,1【答案】D 【详解】22()2m x x mf x x x x-+'=+-=,因为()f x 有两个极值点，故()f x '有两个变号零点，故2x 2x m 0-+=在()0,∞+上有两个不同的解，故0440m m >⎧⎨∆=->⎩，所以01m <<， 故选：D.6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数()x x f x e e -=+（其中e 是自然对数的底数），若 1.5(2)a f =，0.8(4)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】B 【详解】函数()x x f x e e -=+是偶函数，()x x f x e e -=-'，当0,()0;0,()0x f x x f x ''<<>>， 即函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增，因为2222log 5log 25log 325=<=， 2.5 1.55222<==⨯，所以 1.522log 5522<<⨯，则 1.51.60.82log 5224<<=，1.50.82221(log )(log 5)(log 5)(2)(4)5f f f f f =-=<<，即c a b <<． 故选：B ．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（ ） A ．(),1-∞ B ．(),2-∞ C ．()1,+∞ D ．()2,+∞【答案】A 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<' 所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f == 由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +< 所以1x < 故选：A8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数2ln ,0(),1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤B ．11k e-<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<【答案】D 【详解】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10x e <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10e k -<<，故选：D ．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数()xf x xe ax =+．则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，()min 1f x e=-B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图象相切C ．若函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，则1a e ≤-【答案】ABD 【详解】解：对于A ：当0a =时，()xf x xe =，则()()'+1+x x x f x xe e e x ==，令'0f x，得1x =-，所以当1x <-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当>1x -时，()'>0f x ，函数()f x 单调递增，所以()()1111f x f e e-≥-=-=-，所以()min 1f x e =-，故A 正确；对于B ：当1a =时，()+x f x xe x =，则()'++1xx f x xe e =，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000+++1x xx y x e x e x e x x -=-，因为切线过原点，所以()()()00000000+++01x x x x e x x e x e -=-，解得00x =，此时()'000+0+12f e e =⨯=，所以直线2y x =与函数()f x 的图像相切，故B 正确；对于C ：由函数()xf x xe ax =+得()()1+x f x x e a '=+，因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()()1+0xf x x e a '=+≥在区间[)0,+∞上恒成立，即()1x a x e ≥--在区间[)0,+∞上恒成立，令()()1x g x x e =--，则()()'+2x g x x e =-，又令[)0,x ∈+∞，所以，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 所以()()000+21g x g e e ≤=-=，所以1a ≥，故C 不正确；对于D ：在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，等价于2x xe ax x +≤在区间[]0,1上恒成立，当0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，x a x e ≤-恒成立，令()xh x x e =-，则()'1x h x e =-，令()'0h x =，得0x =，因为01x <≤，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()1111h x h e e ≥=-=-，所以1a e -≤，故D 正确；故选：ABD.10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数()()[)ln ,0,1e44,1,x x f x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪+∈+∞⎪⎩(其中e 是自然对数的底数)，函数()()g x f x kx =-有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则（ ） A ．实数k 的取值范围为()0,1 B ．实数k 的取值范围为()0,e C ．123x x x 的取值范围为4,e ⎛+∞⎫⎪⎝⎭D ．123x x x 的取值范围为()e,+∞ 【答案】AC 【详解】由图可知，0,k >则方程44kx x-=+，即2440kx x -+=有两个正实数解， 所以16160,k =->解得)1(0k ∈，； 由图可知，12301,x x x <<<<所以234x x k⋅=，且11ln x k ex =-因为11ln 1x k ex =-<，则111x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以21112311441,1ln x ex x x x x k x e ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设1)0(1lnx t =∈-，，则()24te e g t t⋅=-， 所以()()22421'0t g tt e e t ⋅-=->，即()g t 单调递增， 又4()1g e -=，且0t ⇒时，()g t →+∞，所以()4,g t e ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：AC11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为f x ，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（ ） A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD 【详解】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e '-+'=，由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>， 所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e +==， 故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误；由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确；当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11xf x e +>，()0f x >， 所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->， 令()()2,1x f x h x x e +=>，则()()()20xf x f x h x e ''--=>， 所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f e e >++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-， 故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确；故选：BCD12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x '是其导函数，恒有()()sin cos f x f x x x '>，则（ ）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2cos116f f π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D ．()cos 13f f π⎛⎫>21⋅ ⎪⎝⎭【答案】AD 【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0x >，cos 0x >，又()()sin cos f x f x x x'>，所以()()cos sin f x x f x x '>． 构造函数()()cos g x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，因为34ππ>，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为46ππ>，所以46g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 4466f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为16π<，所以()16g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos166f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1cos16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 错误； 因为13π>，所以()13g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos133f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()21cos13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 正确， 故选：AD. 三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数3()5,(2,2)f x x x x =+∈-，若()2()20f t f t +->.则t 的取值范围为___________. 【答案】(1,0)(0,2)- 【详解】3()5f x x x =+，()3()5f x x x f x -==---，函数为奇函数.2()350f x x '=+>，函数单调递增，()2()20f t f t +->，即()2(2)f t f t ->，故22222222t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得(1,0)(0,2)t ∈-⋃. 故答案为：(1,0)(0,2)-.14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()3()x f x e ax a R =+-∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是________. 【答案】(,3]-∞ 【详解】对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立， ∴不等式等价为1212()()f x a f x ax x ++<恒成立， 令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立， 即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数； 3()x e ax a h x x+-+=，则23()0x x xe e ah x x -+-'=在[1，)+∞上恒成立； 30x x xe e a ∴-+-；即3x x a xe e --恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在[1，)+∞上为增函数； ()g x g ∴（1）0=； 30a ∴-；3a ∴．a ∴的取值范围是(,3]-∞．故答案：(,3]-∞．15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()20f =，()()()0xf x f x x '<>，则不等式()0xf x <的解集为______．【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【详解】 令()()f x g x x=，则()2()()xf x f x g x x '-'=，当0x >时．由()()xf x f x '<，得()0g x '<， 所以函数()()f xg x x=在(0,)+∞上是减函数， 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=， ∴()()()f x g x g x x--==--， ∴()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数， ∴()g x 在(,0)-∞上递减，又(2)0f =，∴(2)(2)02f g ==， 则()g x 的大致图象如图所示：∴02x <<时，()0>g x ，2x >时，()0<g x ，根据函数的奇偶性知，20x -<<时，()0<g x ，2x <-时，()0>g x ， 当0x ≠时，()0xf x <等价于()0<g x ，当0x =时，()0xf x <不成立， ∴不等式()0xf x <的解集为(2,0)(2,)-+∞，所以不等式()0xf x <的解集是(2,0)(2,)-+∞． 故答案为：(2,0)(2,)-+∞.16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数9()(),[1,9]g x x a a R x x=+-∈∈，则()g x 的值域是___________.设函数()|()|f x g x =，若对于任意实数a ，总存在0[1,9]x ∈，使得()0f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是___________【答案】[]6,10a a -- (],2-∞ 【详解】 （1）()()()223391x x g x x x +-'=-=， 当[]1,3x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当[]3,9x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()()min 36g x g a ∴==-，又()()110,910g a g a =-=-，()max 10g x a ∴=-， 故()g x 的值域是[]6,10a a --； （2）()|()|f x g x =，当610a a -≥-，即8a ≥时，()max 66f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤， 当610a a -<-，即8a <时，()max 1010f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤， 综上，实数t 的取值范围是(],2-∞. 故答案为：[]6,10a a --；(],2-∞。

（整理）利用导数研究函数的性质.

（整理）利用导数研究函数的性质.

（整理）利⽤导数研究函数的性质.专题三利⽤导数研究函数的性质1． f ′(x )>0在(a ，b )上成⽴是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件．2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0在有限个点处取到． 3．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 4．如果连续函数f (x )在区间(a ，b )内只有⼀个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常⽤到这⼀结论．1．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．答案 [e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成⽴，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成⽴．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e. 2．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成⽴，则实数a的值为________．答案 4解析若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成⽴；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g 12＝4，从⽽a ≥4.当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从⽽a ≤4，综上可知a ＝4.3．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0__________．答案1，1a 解析由f ′(x )＝－x (x ＋1)≤0，得x ≤－1或x ≥0，即f (x )的减区间为(－∞，－1]，[0，＋∞)，则f (x )的增区间为[－1,0]．∵0a 时，g (x )为减函数，∴g (x )的单调减区间为1，1a . 4．直线l 与函数y ＝3x ＋1x的图象相切于点P ，且与直线x ＝0和y ＝3x 分别交于A ，B 两点，则APBP＝________. 答案 1解析设P x 0，3x 0＋1x 0，则在点P 处的切线⽅程为y －3x 0＋1x 0＝3－1x 20(x －x 0)，与y ＝3x 联⽴解得x B ＝2x 0，所以AP BP ＝x P x P －x B ＝x 0x 0－2x 0＝1. 5．函数f (x )＝12x 2－ln x 在[1，e]上的最⼤值为________．答案 12解析∵f ′(x )＝x －1x ，∴当x ∈(1，e)时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，故f (x )min ＝f (1)＝12.题型⼀利⽤导数求函数的单调区间例1 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′23＝3×232＋2a ×23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调减区间是－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成⽴．只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．探究提⾼利⽤导数研究函数单调性的⼀般步骤：(1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成⽴问题求解．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )，令g (x )＝e x －1－ax ，g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，⽽g (0)＝0，从⽽当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0. 若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，⽽g (0)＝0，从⽽当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0. 综合得a 的取值范围为(－∞，1]．题型⼆已知单调区间求参数范围例2 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为⾃然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2所以函数f (x )的单调增区间是[－2，2]．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成⽴．因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成⽴．因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成⽴，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成⽴．令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32.因此a 的取值范围为a ≥32.探究提⾼ (1)根据函数的单调性确定参数范围是⾼考的⼀个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上⼤(⼩)于或者等于零恒成⽴，转化为不等式恒成⽴问题解决．(2)在形式上的⼆次函数问题中，极易忘却的就是⼆次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数单调性的讨论中是经常遇到的，值得特别注意．已知函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)当m 满⾜什么条件时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增？解 (1)因为f ′(x )＝a (x 2＋b )－ax (2x )(x 2＋b )2，⽽函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2，所以f ′(1)＝0，f (1)＝2，即?a (1＋b )－2a ＝0，a1＋b ＝2，得a ＝4b ＝1，所以f (x )＝4x1＋x 2即为所求．(2)由(1)知f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(1＋x 2)2. 令f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1，则f (x )的增减性如下表：可知，f (x )的单调增区间是[－1,1]，所以m ≥－12m ＋1≤1?－1m <2m ＋1，所以当m ∈(－1,0]时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增．题型三函数的极值、最值应⽤问题例3 设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R .(1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(3)若对于任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,0]上恒成⽴，求b 的取值范围．思维启迪：f (x )≤1在[－1,0]上恒成⽴，转化为f (x )在[－1,0]上的最⼤值f (x )max ≤1. 解 (1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)．当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在0，12和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和12，2上是减函数． (2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是⽅程4x 2＋3ax ＋4＝0的根．由于f (x )仅在x ＝0处有极值，则⽅程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或⽆实根， Δ＝9a 2－4×16≤0，解此不等式，得－83≤a ≤83.这时，f (0)＝b 是唯⼀极值．因此满⾜条件的a 的取值范围是－83，83. (3)由(2)知，当a ∈[－2,2]时，4x 2＋3ax ＋4>0恒成⽴．∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )在区间(－∞，0]上是减函数．因此函数f (x )在[－1,0]上的最⼤值是f (－1)．⼜∵对任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,0]上恒成⽴，∴f (－1)≤1，即3－a ＋b ≤1. 于是b ≤a －2在a ∈[－2,2]上恒成⽴．∴b ≤－2－2，即b ≤－4.因此满⾜条件的b 的取值范围是(－∞，－4]．探究提⾼ (1)对含参函数的极值，要进⾏讨论，注意f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处取到极值的必要条件．(2)利⽤函数的极值、最值，可以解决⼀些不等式的证明、函数零点个数、恒成⽴问题等．已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若⽅程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围．解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得01a. 故当a >0时，F (x )的增区间为1a ，＋∞，减区间为?0，1a . ②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成⽴．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于⽅程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，⽽φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)．∴φ(x )min ＝φ(e)，如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有φ(x )min ＝ln 22， a 的取值范围为ln 22≤a <1e.导数与函数单调性关系不清致误典例：(14分)已知f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最⼩值和最⼤值．易错分析求函数的单调增区间就是解导数⼤于零的不等式，受此影响，容易认为函数f (x )的导数在区间[2，＋∞)上⼤于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性．规范解答解 (1)由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －3，[1分] 令f ′(x )≥0 (x ≥2)，得a ≤32x －1x . 记t (x )＝32x －1x ，当x ≥2时，t (x )是增函数，[3分] 所以t (x )min ＝32×2－12＝94，所以a ∈?－∞，94.[6分] (2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，所以a ＝4.[7分] 所以f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.[9分] 令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.[10分]⼜因为x ∈[1,4]，所以x ＝－13(舍去)，故x ＝3.当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )在[1,3]上为减函数；[11分] 当x ∈(3,4)时，f ′(x )>0，所以f (x )在[3,4]上为增函数．[12分] 所以x ＝3时，f (x )有极⼩值．于是，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (3)＝－18，⽽f (1)＝－6，f (4)＝－12，所以f (x )max ＝f (1)＝－6.[14分]温馨提醒 (1)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，其逆命题不成⽴，因为f ′(x )≥0包括f ′(x )>0或f ′(x )＝0.当f ′(x )>0时函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，当f ′(x )＝0时f (x )在这个区间内为常函数；同理，若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，其逆命题不成⽴．(2)使f ′(x )＝0的离散的点不影响函数的单调。

(天津专版)2018年高考数学母题题源系列专题20应用导数研究函数的性质文

(天津专版)2018年高考数学母题题源系列专题20应用导数研究函数的性质文

母题二十 应用导数研究函数的性质【母题原题1】【2018天津，文20】设函数()()()123=()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t R ∈，且123,,t t t 是公差为d 的等差数列． （I ）若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （II ）若3d =，求()f x 的极值；（III ）若曲线()y f x = 与直线()2y x t =---d 的取值范围．【考点分析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分．【答案】(Ⅰ)0x y +=；(Ⅱ)极大值为-；(Ⅲ) ((),10,-∞-+∞【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得()()3231,f x x x f x x '=-=-，结合()()0010,f f '=-=，究()g x 的性质可得d 的取值范围是((),10,-∞+∞．试题解析：（Ⅰ）由已知，可得()()()311f x x x x x x =-+=-，故()231f x x '=-，因此()()0010,f f '=-=，又因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()()()00?0f y f x '-=-，故所求切线方程为0x y +=．（Ⅱ）由已知可得()()()()()()()332232222222223393399f x x t x t x t x t x t x t x t x t t =-+---=---=-+--+．故()2222 3639x t x t f x '=-+-．令()0f x '=，解得2x t =2x t =当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：∴函数()f x 的极大值为(((329f t =-⨯=；函数()f x 的极小值为(32f t =-=-．（Ⅲ）曲线()y f x =与直线()2y x t =---有三个互异的公共点等价于关于x 的方程()()()()2222 0x t d x t x t d x t -+---+-=有三个互异的实数解，令2u x t =-，可得()3210u d u +-+=．设函数()()321gx x d x =+-+()y f x =与直线()2y x t =---价于函数()y f x =有三个零点．()()3231x x g d '=+-．()g x 的极小值())322219g x d g ⎛==--+ 若()20g x ≥，由()g x 的单调性可知函数()y g x =至多有两个零点，不合题意． 若()20,g x <即()322127d ->，也就是d >，此时2d x >，()0,g d d =+>且()312||,26|20d x g d d d --=--+<-，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x =在区间()()()11222,,,,,d x x x x d -内各有一个零点，符合题意．d ∴的取值范围是((),10,-∞-+∞．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 【母题原题2】【2017天津，文19】设,a b ∈R ，||1a ≤．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，递减区间为(),4a a -．（2）（ⅰ）()f x 在0x x =处的导数等于0．（ⅱ）b 的取值范围是[7],1-．试题解析：（I ）由324()63()f x x a x x a b =--+-，可得2()3123()3()((44))f 'x x a x a a x x a -=---=--，令()0f 'x =，解得x a =，或4x a =-．由||1a ≤，得4a a <-． 当x 变化时，()f 'x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(),4a a -．（II ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()exx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，由（I ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e xg x ≤在00,[11]x x -+上恒成立．【考点】1．导数的几何意义；2．导数求函数的单调区间；3．导数的综合应用．【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出0x a =，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能． 【母题原题3】【2016天津，文20】设函数3()(1)f x x ax b =---，R x ∈，其中R b a ∈, (I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间[]02,上的最大值不小于．．．41． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞．②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20a x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1),,f f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭，的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331a a +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<a a ．当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a ． （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20a x =-，进而b a x a b ax x x f ---=---=332)1()(00300．又 b a ax x ab x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300)(33200x f b ax a =---=，且|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----==|})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M ． （2）当343<≤a 时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-≥，)331()3321()2(af a f f -=+≤，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([af a f -+，因此|}392||,392max{||})331(||,)331(max{|b a a ab a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--=414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a ．|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----==|})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a ． 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41． 证法2：欲证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在区间[02]，上存在12,x x ，使得③若304a <≤时，()()102222f f a -=-≥，成立；④当34a >时，411132f f ⎛⎛-= ⎝⎝，成立． 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到． 【母题原题4】【2015天津，文20】已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调性；（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <，求证：1321-43a x x <-+．【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞；（II ）见试题解析；（III ）见试题解析． 【解析】试题解析：（I ）由4()4f x x x =-，可得3()44f x x ¢=-，当()0f x '>，即1x < 时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x > 时，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞．（II ）设()0,0P x ，则1304x =，()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-，即()()()00g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-．由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减，故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减，又因为()00F x '=，所以当()0,x x ∈-∞时，()0F x '>，所以当()0,x x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在()0,x -∞单调递增，在()0,x +∞单调递减，所以对任意的实数x ，()()00F x F x ≤=，对于任意的正实数x ，都有()()f x g x £．【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据．分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧．因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．【命题规律】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：求解导函数、因式分解、分类讨论，写出单调性 （1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减． （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-．当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增．第二步：依据单调性判断零点情况 （ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点． （ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+． ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<． 第三步： 赋值判断零点 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->． 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．【方法总结】1．研究函数单调区间，实质研究函数极值问题．分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏．2．求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间．3．讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．4．含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论； (3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论． 5．求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数)(x f 的定义域(定义域优先)； (2)求导函数()f x '；(3)在函数)(x f 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．(4)由()0f x '>（()0f x '<）的解集确定函数)(x f 的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．6．由函数)(x f 在(,)a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ (或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．7．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．8．函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用．9．导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 10．函数的单调性问题与导数的关系（1）函数的单调性与导数的关系：设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若/()0f x <，则()f x 为减函数． （2）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论； (3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加．（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集．11．函数的极值与导数 （1）函数极值的概念设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值=0()f x ；设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值=0()f x ．注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取．（2）函数极值与导数的关系当函数()y f x =在0x 处连续时，若在0x 附近的左侧/()0f x >，右侧/()0f x <，那么0()f x 是极大值；若在0x 附近的左侧/()0f x <，右侧/()0f x >，那么0()f x 是极小值．注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数3y x =，导数为/23y x =，在0x =处导数为0，但不是极值点； ②极值点导数不定为0，如函数||y x =在0x =的左侧是减函数，右侧是增函数，在0x =处取极小值，但在0x =处的左导数0(0)(0)lim x x x -∆→-+∆--∆=-1，有导数0(0)(0)lim x x x+∆→+∆-∆=1，在0x =处的导数不存在．（3）函数的极值问题①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围．12．最值问题 （1）最值的概念对函数()y f x =有函数值0()f x 使对定义域内任意x ，都有()f x ≤0()f x （()f x ≥0()f x ）则称0()f x 是函数()y f x =的最大（小）值．注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值．②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值．（2）函数最问题①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （x 是自变量，a 是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系．1．【2018（1）若曲线（2【答案】（1）1；（2详解：（1（2【名师点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点(2) 己知斜率求切点(3) 巳知切线过不是切点)2．【2018（1）求曲线处的切线方程；（2）若函数2（3试问：正整数否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．【答案】【解析】分析：（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2p（x）a的范围即可；（3）求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最值，从而求出m的范围即可．详解：（1（3）由题意因此，而是正整数，故，所以时，存在，时，对所有【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．3．【2018（1（2）求函数的单调区间；（3存在实数恒成立，求【答案】（12）见解析（3代入函数解析式，之后应用求导公式求得其导数，将其函数值和导函数值，之后应用点斜式将切线方程写出，在化为一般式即可；第二问对函数求导，对导数等于零的根的大小进行比较，分类讨论求得其单调区间；第三问从函数解析式可以发现，将问题转化为最值来处理即可求得结果．（3时，，，由（2）最大值即【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的性质的问题，该题涉及到的知识点有函数在某个点处的切线的方程的问题，应用导数的几何意义求得其斜率，之后应用点斜式完成任务，函数的单调性，即为求其导数，大于零时单调增，小于零时单调减，需要分类讨论，关于恒成立问题需要将其向最值转化．4．【2018 a >2．（I）讨论函数f(x)的单调性；（II a的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（2，5]【解析】分析：（Ⅱ）原不上恒成立，解不等式可得所求范围．g(x)在x∈(0，+∞)上为增函数．在，∵，∴实数【名师点睛】（1）注意函数的单调区间不能并在一起，若相同的单调区间有多个，中间应用“和”或“，”．（2）函数在某一区间上单调递增（减）的问题，可转化为导函数在该区间上大于等于零（或小于等于零）处理，解题时注意不要忘了等号．5．【2018（Ⅲ）【答案】在（3）不存在．两个不相等的实根，进而可得结果．详解：(1)，解得时，（2）的定义域为，使得函数问题转化为关于的方程即方程，使得函数【名师点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题．求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值．（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小．6．【2018天津滨海新区七模拟】已知函数()1ln xf x x ax-=+（其中0a >，e 2.7≈）． （1）当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 点处的切线方程; （2）若函数()f x 在区间[)2,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围; （3）求证:对于任意大于1的正整数n ，都有111ln 23n n>+++．【答案】（1）0y =；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析【解析】试题分析：（1）()21x f x x='-，()10f '=，()10f =，可求得切线方程．（2）即()f x '在区间[)2,+∞上()0f x '≥恒成立．（3）由（1）得()1ln x f x x x -=+ 0≥在[)1,+∞上恒成立，即1ln x x x -≥．令1nx n =-，得()1ln ln 1n n n--≥，2,3,....n =，不等式同向相加可得．试题解析：（1）()1ln x f x x x -=+，()21.x f x x-∴=' ()10f ∴'=． ()10f =，()()11f x f ∴在点（，）处的切线方程为0y =．（2）()1ln x f x x ax -=+，()21(0).ax f x a ax -∴=>' 函数()f x 在[)2,+∞上为增函数，()0f x ∴'≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立． 10ax ∴-≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立，即1a x≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立． [)2,x ∈+∞时，max 112x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴ 12a ≥，即所求正实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（3）当1a =时，()1ln x f x x x -=+，()21x f x x='-，所以23111lnln ln 12123n n n +++>+++-，即23111ln()12123n n n ⨯⨯⨯>+++-， 所以111ln 23n n >+++，即对于任意大于1的正整数n ，都有111ln 23n n>+++．【名师点睛】(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则()f x '≥0在区间(a ，b )上恒成立；要检验()f x '=0．(2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则()f x '≤0在区间(a ，b )上恒成立；要检验()f x '=0．离散型不等式证明关键要找到恒成立不等函数，再x 用离散点列代换，利用不等式同向相加可证，恒成立不等函数一般需要在题中寻找．7．【2018天津模拟】已知函数()()32+1,0{,ln ,0xx x x f x g x x ax m e ax x -+<==-+-≥．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()f x g x >对任意的正实数x 都成立，求实数m 的最大整数；（3）当0a >时，若存在实数[],0,2m n ∈且1m n -≥，使得()()f m f n =，求证： 21e a e e -≤≤-． 【答案】（1）单调减区间为(),ln3-∞，单调增区间为()ln3,+∞；（2）2；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）当3a =时，()321,0{3,0xx x x f x e x x -++<=-≥，通过求导得出函数的单调性；（2）由()()f x g x >可得ln x e ax x ax m ->-+对任意的正实数都成立，等价于ln x e x m ->对任意的正实数都成立，设()ln (0)x h x e x x =->，求出()min h x ，即可求出实数m 的最大整数；（3）由题意()x f x e a '=-，（ 0x ≥），得出()f x 在()0,ln a 上为减函数，在()ln ,a +∞上为增函数，若存在实数[],0,2m n ∈，()()f m f n =，则ln a 介于,m n 之间，根据函数单调性列出不等式组，即可求证．∴函数()f x 在区间()0,ln3上为减函数，在区间()ln3,+∞上为增函数．且()01f =，综上，()f x 的单调减区间为(),ln3-∞，单调增区间为()ln3,+∞．（2）由()()f x g x >可得ln x e ax x ax m ->-+对任意的正实数都成立，即ln xe x m ->对任意的正实数都成立．记()ln (0)xh x e x x =->，则()min m h x <，可得()1x h x e x'=-， 令()()()211,0,x x x h x e x e x xφφ==-=+'>'则 ∴()x φ在()0,+∞上为增函数，即()h x '在()0,+∞上为增函数又∵()120,1102h h e ⎛⎫=''=-⎪⎝⎭， ∴()h x '存在唯一零点，记为000011,,102x x x e x ⎛⎫∈-=⎪⎝⎭则且，当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 在区间()00,x 上为减函数，在区间()0,x +∞上为增函数．∴()h x 的最小值为()000ln xh x e x =-．∵000000110,,ln xx e e x x x x -=∴==-，∴()000011,,12h x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得()052,2h x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 又∵()min m h x <，∴实数m 的最大整数为2．(3)由题意()xf x e a '=-，（ 0x ≥），令()0,ln f x x a '==解得，由题意可得，1a >，当0ln x a <<时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>又∵()f x 在(),ln m a 上单调递减，且0ln m a ≤<，∴()()0f m f ≤，∴()()10f f ≤， 同理()()21f f ≥，则21{2e a e a e a-≤-≤-，解得21e a e e -≤≤-，∴21e a e e -≤≤-．【名师点睛】本题主要考查利用函数导数研究函数的单调性，最值，考查利用函数的导数求解不等式恒成问题．要通过求解不等式恒成立问题来求得参数的取值范围，可将不等式变形成一为零的形式，然后将另一边构造为函数，利用函数的导数求得这个函数的最值，根据最值的情况来求得参数的取值范围．8．【2018（1；（2（3的最大值．【答案】（1内单调递减；（2（3【解析】试题分析：（1）求出（2内单调递减，则有再证明当（3，的最大值，利用导数可得在单调递增，当（2解法一：时，综上实数解法二：时，内单调递减，则有当时，，有，则， 因此，即．综上实数（3有2个不相等的实数根，9．【2108天津部分区期末考】已知函数()()ln 1f x x a x =+-，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当12a =-时，令()()212g x x f x =--，其导函数为()'g x ，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()'g x 的零点？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g （x ）=x 2﹣2lnx ﹣x ，x 1，x 2是函数g （x ）的两个零点，不妨设0＜x 1＜x 2，可得x 12﹣2lnx 1﹣x 1=0，x 22﹣2lnx 2﹣x 2=0，两式相减化简可得x 1+x 2﹣1=()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-，再对g （x ）求导，判断122x x g +⎛'⎫⎪⎝⎭的符号即可证明 试题解析：（1）依题意知函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()1f x a x'=-． ①当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，上单调递增． ②当0a >时，由()0f x '=得1x a =，则当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()0f x '>；当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时()0f x '<． 所以()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． （2）122x x +不是导函数()g x '的零点．证明如下：由（Ⅰ）知函数()22ln g x x x x =--． ∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，∴22111111222222222ln 02ln { { 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x --=-=⇒--=-=，两式相减得： ()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増函数， 则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦， 故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点． 10．【2018天津河西期中考试】已知函数()()223e xf x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值．（2）设0a <，当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5a =-；（2）[)2,0e --． 【解析】试题分析：（1）由()'20f =解得a ，注意要检验此时2是极值点；（2）题意说明()f x 在区间[]1,2上的最大值2e ≤，因此只要求出导数()'f x ，确定()f x 在区间[]1,2上的单调性及最大值，解相应的不等式可得所求范围．当2x >时，()0f x '>，∴2x =是()f x 的极值．∴5a =-． （2）当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方，等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立，即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立，由（1）知，()()()31e x f x x a x =++-'，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，当5a ≤-时，32a --≥，∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a ≥--与5a ≤-矛盾，舍去．当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()maxf x 在()1f 或()2f 处取到，()()12f a e =--，()22f e =，∴只要()()212e f a e =--≤，计算得出e 24a --≤<-．当40a -≤<时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()max 2xf x f e ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．【名师点睛】利用导数研究函数的极值与最值是中学学习导数的主要内容，解题时要注意导数与极值的关系，()0'0f x =是0x 为可导函数()f x 的极值的必要条件，还必要满足在0x 两侧()'f x 的符号是异号，因此在由极值点求参数值时，必须检验，否则可能出错． 11．【2018天津滨海新区模拟】已知函数()()32ln ,ln .2f x x g x x x⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ （1）求函数f (x )是单调区间；（2）如果关于x 的方程()12g x x m =+有实数根，求实数m 的取值集合； （3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程()()f x kg x =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由．【答案】(1) ()3,1,3,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭是函数的增区间；（－1，0）和（0，3）是函数的减区间; (2) 实数m 的取值范围是(],ln21-∞-;(3) 满足条件的正数k 不存在．由 ，由因此是函数的增区间； （－1，0）和（0，3）是函数的减区间（2）因为所以实数m 的取值范围就是函数的值域对令∴当x =2时取得最大值，且又当x 无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于－∞．因此函数的值域是即实数m 的取值范围是(],ln21-∞-。

新高考方案二轮-数学(新高考版)大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值

新高考方案二轮-数学(新高考版)大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值

而 f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，所以 f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1， 解得 a＝e－1 2，与 1＜21a＜e 矛盾． ④当21a≥e 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以最大值 1 在 x＝1 处取得， 而 f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，不符合题意． 综上所述，a＝e－1 2或 a＝－2.
所以 f(x)的单调递增区间为0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为12，1. (2)f′(x)＝2ax2－2ax＋1x＋1＝2ax－1xx－1， 令 f′(x)＝0，得 x′1＝1，x′2＝21a， 因为 f(x)在 x＝1 处取得极值，所以 x′2＝21a≠x′1＝1， ①当21a＜0 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以 f(x)在(0，e]上的最大值为 f(1)，令 f(1)＝1，解得 a＝－2.
①当 a≤0 时，g′(x)＝ex－a>0 在 R 上恒成立，
∴g(x)＝f′(x)在(－∞，＋∞)上递增； ②当 a>0 时，令 g′(x)>0 得 x>ln a，令 g′(x)<0 得 x<ln a， ∴g(x)＝f′(x)在(－∞，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增．
综上所述：当 a≤0 时，y＝f′(x)是(－∞，＋∞)上的增函数； 当 a>0 时，y＝f′(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数． (2)由(1)知，①当 a≤0 时，f′(x)＝ex－ax－1 在(－1，＋∞)上递增，又 f′(0) ＝0，∴－1<x<0 时，f′(x)<0；x>0 时，f′(x)>0， 则 f(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴f(x)min＝f(0)＝1； ②当 0<a≤1e时，ln a≤－1，由(1)知 f′(x)在(－1，＋∞)上递增，又 f′(0)＝0， 则 f(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴f(x)min＝f(0)＝1；

导数与函数的幂函数性质研究

导数与函数的幂函数性质研究

导数与函数的幂函数性质研究在数学中，导数与函数的幂函数性质是一个重要的研究课题。

导数是一种表示函数变化率的概念，而幂函数是一类形式为f(x) = ax^n的函数，其中a和n是常数。

本文将探讨导数与幂函数的关系，并研究幂函数的性质。

1. 导数的定义与计算在研究导数与幂函数的性质之前，我们首先来回顾导数的定义与计算方法。

对于函数f(x)，导数f'(x)的定义为其在某一点x处的斜率或变化率。

导数的计算可以通过求导公式，例如对于常见的幂函数f(x) = ax^n，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。

这个公式可以通过求导的定义进行证明。

2. 幂函数的基本性质幂函数的性质在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些幂函数的基本性质：- 幂函数的定义域：对于幂函数f(x) = ax^n，其中a和n是常数，其定义域为实数集。

- 幂函数的奇偶性：当幂函数的指数n为偶数时，函数关于y轴对称；当n为奇数时，函数关于原点对称。

- 幂函数的单调性：当指数n为正数时，幂函数在定义域上单调递增；当n为负数时，幂函数在定义域上单调递减。

- 幂函数的增减性：当指数n大于1时，幂函数在正半轴上是严格单调递增的；当指数n在0和1之间时，幂函数在正半轴上是递增的但不是严格递增的。

3. 导数与幂函数的关系导数与函数的关系是微积分中的重要内容，下面我们将研究导数与幂函数之间的关系：- 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = ax^n，其中a和n是常数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)，这个结论可以通过求导的定义和导数的计算公式得出。

- 幂函数的导数与指数n的关系：根据导数的计算公式可以知道，当n为正整数时，幂函数的导数为n次幂函数；当n为负整数时，幂函数的导数为n次幂函数的倒数；当n为0时，幂函数的导数为常数函数。

4. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与指数n的值密切相关，下面我们将介绍一些常见情况：- 当n为正偶数时，幂函数的图像呈现开口向上的形状，对称轴为y轴。

人教版高中数学利用导数研究函数的性质教案2023

人教版高中数学利用导数研究函数的性质教案2023

人教版高中数学利用导数研究函数的性质教案2023本教案旨在通过利用导数来研究函数的性质。

通过理论讲解和实例演示，帮助学生理解导数在函数研究中的应用，从而提高他们的数学思维和解题能力。

【教学目标】1. 理解导数的概念和性质；2. 掌握函数导数的计算方法；3. 理解导数在函数研究中的应用。

【教学重点】1. 导数的概念和性质；2. 函数导数的计算方法；3. 导数在函数研究中的应用。

【教学难点】1. 导数在函数研究中的具体应用；2. 解决涉及导数的实际问题。

【教学准备】1. 教师准备好教案和相应的教学材料；2. 学生准备好笔记本和作业本。

【教学过程】一、导入（5分钟）为了引起学生的兴趣，我们可以通过一个实际问题来导入本节课的内容。

比如，可以用一个汽车行驶的例子，让学生思考汽车的速度变化是如何与时间变化相关联的。

二、理论讲解（15分钟）1. 导数的定义和概念：导数是描述函数变化率的工具，用来研究函数的性质和变化规律。

我们可以通过极限的概念来定义导数，即函数在某个点处的导数等于该点的切线的斜率。

2. 导数的计算方法：- 利用导数的定义计算导数；- 利用导数的性质计算导数；- 利用基本函数的导数公式计算导数。

三、实例演示（20分钟）通过几个具体的例子，我们来演示如何应用导数来研究函数的性质。

比如，给定一个函数，我们可以通过求导数来确定它的极值点、拐点，以及其它一些特殊的性质。

四、小组讨论（15分钟）将学生分成小组，让他们在小组内讨论一个实际问题，并运用导数的知识来解答。

鼓励学生积极思考，相互交流，帮助彼此解决问题。

五、解决问题（20分钟）让学生从课后作业中选择一个问题，并运用导数的知识来解答。

鼓励他们在解题过程中，发散思维，灵活运用导数的性质和计算方法。

六、归纳总结（10分钟）请学生进行课堂总结和复习。

我们可以回顾本节课涉及到的导数的概念、计算方法和应用。

让学生相互交流，共同总结本节课的重点和难点。

【课堂作业】1. 完成课后作业册上的练习题；2. 思考一个实际问题，并用导数的知识来解答。

导数与函数的函数凹凸性定理探讨

导数与函数的函数凹凸性定理探讨

导数与函数的函数凹凸性定理探讨一、导数的概念与性质导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化速率。

在研究函数的凹凸性质时，导数的概念非常关键。

1. 导数的定义给定函数y=f(x)，如果函数在某一点x0处的导数存在，则导数表示的是函数在此点处的变化速率。

导数的定义为：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h这里lim表示极限，h表示x轴上两点的距离。

2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，包括：（1）可导函数的连续性：如果函数在某一点处可导，则必然在该点处连续。

（2）导数为0的点：如果函数在某一点处导数为0，则该点可能是函数的极小值或者极大值点。

（3）导数的乘积规则：如果两个函数的导数存在，则它们的乘积函数的导数为两个函数的导数的乘积。

（4）导数的链式法则：如果函数y=f(u)，u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))的导数为f'(u) * g'(x)。

二、函数的凹凸性及凹凸点了解了导数的概念和性质后，我们可以进一步探讨函数的凹凸性质。

1. 函数的凹凸性定义给定函数y=f(x)，如果函数在定义域上的任意两点x1和x2，且满足f'(x)在区间(x1,x2)上单调性相同，则称该函数为凹函数或者凸函数。

2. 凸函数的特点凸函数在定义域上具有以下特点：（1）对于任意两个点x1和x2，连结这两点的线段在函数图像上的部分总在或者在函数图像的上方；（2）凸函数的导函数（一阶导数）是递增的；（3）凸函数的二阶导函数（二阶导数）恒大于等于0。

3. 凹函数的特点凹函数在定义域上具有以下特点：（1）对于任意两个点x1和x2，连结这两点的线段在函数图像上的部分总在或者在函数图像的下方；（2）凹函数的导函数（一阶导数）是递减的；（3）凹函数的二阶导函数（二阶导数）恒小于等于0。

4. 凹凸点对于函数的凹凸性质，我们还需要关注函数的凹凸点。

新教材2023版高中数学第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质6

新教材2023版高中数学第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质6
答案：D 解析：当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0，在[0，b]上恒成 立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－ ∞，0]上递减，只有D满足，故选D.
题型二 用导数研究不含参数的函数单调性 例2 判断下列函数的单调性 (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝xe−x2； (3)f(x)＝x3＋3x.
解析：因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)， 所以f′(x)＝cos x－1<0. 所以函数f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减．
题型三 用导数研究含参函数的单调性
例3 已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数f(x)的单 调性．
变式探究 本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( ) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定
答案：B
解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以 f′(3)<0.故选B.
3 ． 导 函 数 y ＝ f′(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 可 能 是 ()
【易错警示】
出错原因
纠错心得
忽略了函数f(x)的定义 在讨论函数的单调性时，要特别注意函数
域．
的定义域．
[课堂十分钟] 1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可 能是( )
答案：C 解析 ： 由 导函数的 图象可知 ， 当 x<0时 ，f′(x)>0，即 函 数f(x)为增函数 ；当 0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数， 观察选项易知C正确，故选C.

2022北京重点校高二(下)期中数学汇编：利用导数研究函数的性质

2022北京重点校高二(下)期中数学汇编：利用导数研究函数的性质

2022北京重点校高二（下）期中数学汇编利用导数研究函数的性质一、单选题 1．（2022·北京·人大附中高二期中）函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2022·北京师大附中高二期中）已知定义在［0，3］上的函数()f x 的图像如图，则不等式()f x '＜0的解集为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(0，1)(2，3)3．（2022·北京师大附中高二期中）设函数()e ln x f x a x =-（其中R,e a ∈为自然常数），则“a<0”是“()f x 在区间(0,)+∞上单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·北京八十中高二期中）已知函数()3f x x ax =-+，则“a<0”是“f （x ）在R 上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·北京·人大附中高二期中）若函数()32f x x ax bx c =+++（其中a ，b ，R c ∈）的图像关于点()1,0M 对称，函数()f x '是()f x 的导数，则下列说法中，正确命题的个数有（ ）①函数()1f x +是奇函数； ①0x ∃∈R ，使得()00f x =；①1x =是函数()y f x '=图像的对称轴；①()f x 一定存在极值点. A ．1B ．2C ．3D ．46．（2022·北京市第五中学高二期中）可导函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取得极值的（ ）．A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件D ．必要不充分条件7．（2022·北京·汇文中学高二期中）函数()2f x x x =在区间[]0π，上的最大、最小值分别为（ ） A ．,0πB ．2,02πC ．,14ππ- D ．0,14π-8．（2022·北京四中高二期中）若函数()33f x x x m =-+的极小值为1-，则函数()f x 的极大值为（ ）A ．3B ．1-C ．1D ．2二、多选题9．（2022·北京市第一六一中学高二期中）函数()1ln f x x x=的一个单调递减区间是（ ） A ．（e ，+∞） B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，1e）D ．（1e，1）三、填空题10．（2022·北京师大附中高二期中）函数2(e)x ax f x =（其中R a ∈，e 为自然常数）①R a ∃∈，使得直线0y =为曲线()y f x =的一条切线； ①R a ∀∈，函数()f x 有且仅有一个零点； ①当0a >时，()f x 在区间()e,+∞上单调递减；①当0a ≠时，R b ∃∈，使得直线y b =与曲线()y f x =没有交点. 则上述结论正确的是________.（写出所有正确的结论的序号）11．（2022·北京市第十二中学高二期中）若3()3f x x x =-的两个极值点为12,x x ，则12x x +=_______． 12．（2022·北京·人大附中高二期中）设函数()()()21e x f x x x b =-+，若1x =是函数() f x 的一个极大值点，则实数b 的取值范围为__________． 四、解答题13．（2022·北京师大附中高二期中）已知函数()f x ＝3243x x x +-. (1)求函数()f x 在点P （1，(1)f ）处的切线方程； (2)求函数()f x 的极值.14．（2022·北京师大附中高二期中）已知函数()2(e )x f x kx k x =-- (1)求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在1x =处取得极值. （i ）求k ；（ii ）()f x 是否存在最值？说明理由.15．（2022·北京师大附中高二期中）设函数()ln 2mf x x x =++（m①R ），曲线()y f x =在点()1,(1)A f ，()5,(5)B f 处的切线分别为l 1，l 2.(1)求l 1的方程，并证明：对任意实数m ，l 1过定点； (2)若()f x 存在极值，求实数m 的取值范围；(3)当m ＝9时，分别写出l 1，l 2与曲线y ＝()f x 的交点个数（不需证明）.16．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）已知函数()()2e 1xf x ax x =+-．(1)若函数()f x 在52x =-时取得极值，求a 的值；(2)在第一问的条件下，求证：函数()f x 有最小值；(3)当1a =时，过点3,04⎛⎫⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线有几条？直接写出结果．17．（2022·北京市第一六一中学高二期中）对于函数f （x ），若存在实数0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数f （x ）的一个不动点.已知函数()233f x ax b x x +++=，其中,R a b ∈(1)当0a =时，（i ）求f （x ）的极值点；（ii ）若存在0x 既是f （x ）的极值点，又是f （x ）的不动点，求b 的值：(2)若f （x ）有两个相异的极值点1x ，2x ，试问：是否存在a ，b 使得1x ，2x 均为f （x ）的不动点？证明你的结论.18．（2022·北京市第一六一中学高二期中）已知函数()()2e xf x x k ⋅=- (1)当1k =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； (2)求函数()f x 在区间(),2k -∞+上的最值.19．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知函数32()21()f x x ax a =-+∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，求()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和．20．（2022·北京八十中高二期中）已知函数32211()23()32f x x ax a x a R =-+++∈，()f x '为函数()f x 的导函数(1)若=1x -为函数()f x 的极值点，求实数a 的值；(2)()f x 的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数a 的取值范围； (3)对任意102a <≤时，任意实数[]12,1,2x x ∈-，都有1220()()373f x f x M a '+-≥+-恒成立，求实数M 的最大值.21．（2022·北京八十中高二期中）已知函数32(),R f x x ax a =-∈，且(1) 5.f '-=(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程： (2)求函数()f x 在区间[]0,3上的最小值.22．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数()ln f x x =． (1)求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)设函数()()xf xg x =e ，判断函数()g x 在区间()0,1上的单调性，并说明理由； (3)设函数()()e xh x f x =-，求证：函数()y h x =存在最小值()0h x ，且()0522h x <<． 23．（2022·北京·首都师范大学附属中学高二期中）设函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中0a >． (1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处切线的倾斜角为4π，求a 的值； (2)求()f x 的极值．24．（2022·北京八十中高二期中）已知函数22()2e 2.x f x x ax a =--- (1)若()()21122g x f x x =+在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围. (2)若(1,2ln 2]a ∈-，求证：当0x ≥时，()0f x ≥25．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数()321313f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若方程()f x a =有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围．26．（2022·北京·汇文中学高二期中）若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 取得极值43-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若方程()f x k =有3个不同的实数根，求实数k 的取值范围. 27．（2022·北京市第五中学高二期中）已知函数2()ax f x x e = (1)若1a =，求曲线()f x 在1x =处的切线方程． (2)讨论()f x 的单调区间．28．（2022·北京四中高二期中）已知函数()22ln f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()y f x =的单调区间． 五、双空题29．（2022·北京·汇文中学高二期中）已知对于任意 e x x ax b ∈≥+R ， 均成立. ①若 e a =，则 b 的最大值为_____________.①在所有符合题意的 a b ， 中，a b - 的最小值为______.30．（2022·北京四中高二期中）函数()21x f x x -=的零点是_________，极值点是_________．参考答案1．A【分析】观察函数()f x '在(),a b 内的图象与x 轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解. 【详解】解：由导函数()f x '在区间(),a b 内的图象可知，函数()f x '在(),a b 内的图象与x 轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数()f x 在开区间(),a b 内的极小值点有1个. 故选：A. 2．B【分析】根据函数的单调性得结论．【详解】由图象知()f x 在(1,2)上是减函数，所以()0f x '<的解集是(1,2)． 故选：B ． 3．A【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】函数的定义域为(0,)+∞当a<0时，由()e ln x f x a x =-，得()e 0xaf x x'=->，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a =时，()x f x e =在(0,)+∞上单调递增，所以“a<0”是“()f x 在区间(0,)+∞上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 4．A【分析】若f （x ）在R 上单调递减，则2()30f x x a '=-+≤恒成立，则0a ≤，a 的取值范围包含a<0，可判断“a<0”是“0a ≤”的充分不必要条件 【详解】2()3f x x a '=-+，若a<0，则2()30f x x a -'=+<恒成立，所以f （x ）在R 上单调递减， 若f （x ）在R 上单调递减，则2()30f x x a '=-+≤恒成立，则0a ≤， 所以“a<0”是“f （x ）在R 上单调递减”的充分不必要条件， 故选：A 5．C【分析】利用图象平移变换判断①，根据三次函数的性质即三次函数图象与x 轴交点结论判断①；对(1)(1)f x f x +=--求导后的结论判断①；举反例判断①．【详解】函数()f x 的图象关于点(1,0)M 对称，把它向左平移1个单位，对称点变为(0,0)，即函数(1)y f x =+是奇函数，①正确；()f x 是三次函数，其图象与x 轴一定有公共点，因此0x ∃∈R ，使得()00f x =，①正确；()f x 的图象关于(1,0)M 对称，则(1)(1)f x f x +=--，两边求导得(1)(1)(1)(1)f x f x x f x ''''+=--⋅-=-，所以()f x '的图象关于直线1x =对称，①正确；例如3()(1)f x x =-，满足题意设条件，但2()3(1)0f x x '=-≥，()f x 单调递增，无极值．①错误． 因此正确的个数是3， 故选：C ． 6．D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：函数()y f x =在一点的导数值为0，不一定得到函数()y f x =在这点取得极值，令()3g x x =，则()030g x x '=≥，当0x =时()0g x '=，但是函数在0x =的左侧单调递增，右侧也单调递增，且函数是连续函数，故函数在定义域R 上单调递增，0x =不是函数的极值点，故充分性不成立；若函数()y f x =在这点取得极值，则函数()y f x =在一点的导数值一定为0，故必要性成立； 故函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取得极值的必要不充分条件； 故选：D 7．C【分析】利用导数得到函数()f x 的单调性，根据单调性即得最值. 【详解】由题意，()[]12,0,πf x x x =∈'，()04f x x ππ'>⇒<≤，()004f x x π<⇒≤<'，所以()f x 在上(,)4ππ单调递增，在(0,)4π上单调递减.所以min 2()()214424f x f πππ===-，max ()max{(0),()}max{0,}f x f f πππ===.故选：C 8．A【分析】利用导数可求得()f x 单调性，由极小值可构造方程求得m ，进而可求得极大值. 【详解】()233f x x '=-，令()0f x '=，解得：1x =±；∴当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，0fx；当()1,1x ∈-时，()0f x '<；f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减， f x 的极小值为()1131f m =-+=-，解得：1m =，f x 的极大值为()1133f m -=-++=.故选：A.9．AD【分析】利用导数求得()f x 的一个单调递减区间. 【详解】()f x 的定义域为()()0,11,+∞，()()()'2210ln 1ln ln ln x x x x f x x x x x ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==-， 所以()f x 在区间()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减，所以AD 选项符合题意. 故选：AD 10．①①①【分析】求出函数的导函数，对a 分类讨论，分别得到函数的单调性，即可判断. 【详解】解：因为2(e )x ax f x =，所以())e (2xax x f x =-'，()00f =，对于①，若0y =为曲线的一条切线，则切点为()0,0，所以()00f '=，显然符合要求，故①正确； 当0a =时()0f x =显然不满足①，故①错误； 当0a >时，当02x <<时0fx，当0x <或2x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在(),0∞-和()2,+∞上单调递减，故0a >时，()f x 在区间()e,+∞上单调递减，即①正确， 又()00f =，()2420e af =>，又当x →+∞时()0f x →，当x →-∞时()f x →+∞， 此时()[)0,f x ∈+∞，则当0a >时，当0b <，使得直线y b =与曲线()y f x =没有交点， 当a<0时，当02x <<时()0f x '<，当0x <或2x >时0fx，所以()f x 在()0,2上单调递减，在(),0∞-和()2,+∞上单调递增，又()00f =，()2420e af =<，又当x →+∞时()0f x →，当x →-∞时()f x →-∞， 此时()(],0f x ∈-∞，则当a<0时，当0b >，使得直线y b =与曲线()y f x =没有交点，故①正确； 故答案为：①①① 11．0【分析】利用导数，求出函数的极值点即可得解. 【详解】由3()3f x x x =-可得2()33f x x =-'，令()0f x '<解得1x <-或1x >，令()0f x '>解得11x -<<， 所以()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增，所以函数的极值点为1-和1，则120x x +=. 故答案为：0 12．(,1)-∞-【分析】首先求出函数的导函数，令2()(2)1g x x b x b =+++-，根据根的判定式得到()g x 有两个不相等的实根，不妨设1x ，2x 是()0g x =的两实根，且12x x <，根据1x =是函数()f x 的一个极大值点，即可得到()10g <，从而求出参数的取值范围．【详解】解：因为()()()21e x f x x x b =-+， 所以22()e [(1)()]e [(1)()]x x f x x x b x x b ''=-++-+22e [(1)()]e 2(1)()(1)x x x x b x x b x ⎡⎤=-++-++-⎣⎦2e (1)[(2)1]x x x b x b =-+++-，设2()(2)1g x x b x b =+++-，则()()2224180b b b ∆=+--=+>， 所以()g x 有两个不相等的实根．于是可设1x ，2x 是()0g x =的两实根，且12x x <，①当11x =或21x =时，则1x =不是()f x 的极值点，此时不合题意；①当11x ≠且21x ≠时，由于1x =是()f x 的极大值点，故121x x ，即()10g <，即()21210b b +++-<，所以1b <-，所以b 的取值范围是(,1)-∞-． 故答案为：(,1)-∞-． 13．(1)86y x =- (2)极大值18，极小值1427-【分析】（1）由导数的几何意义求出k ＝()1f '＝8，再求出(1)f ＝2，由点斜式方程即可求出答案. （2）对()f x 求导，得出()f x 的单调性即可求出()f x 的极值. （1）()f x '＝2383x x +-，所以k ＝(1)f '＝8，又因为(1)f ＝2，所以86y x =-. （2）()f x '＝2383x x +-＝（3x-1）（x+3）， 令()f x '＝0，得x ＝13或x ＝-3，()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表：x（-∞，-3） -3（-3，13）13 （13，+∞）()f x ' +0 - 0 +()f x① 极大值 ① 极小值 ①所以x ＝3-时，()f x 取得极大值，且极大值为(3)18f -=， 当x ＝13时，()f x 取得极小值，且极小值为114()327f =-.14．(1)答案见解析(2)（i ）1；（ii ）无最大值，有最小值e -，理由见解析【分析】（1）分类讨论导函数的正负，通过导函数的正负确定()f x 的单调区间；（2）根据极值点可求k 的值，进而可根据导函数确定()f x 的单调性，根据单调性即可判断最值. （1）()()()()()()222e e 22e 2e x x x xf x x k x kx k x k x k x k x '⎡⎤-+--+--⎣⎦+-=＝＝，令()0f x '=，得=x k 或2x =-当=2k -时，()0f x '≥，()f x 单调递增区间为()-∞+∞，当2k >-时，()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表：x()2-∞-，-2 ()2k -，k()k +∞，'()f x +0 - 0 + ()f x①极大值①极小值①当2k <-时，()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表： x()k -∞，k ()2k -，-2 ()2-+∞，'()f x +0 - 0 + ()f x①极大值①极小值①综上：当=2k -时，()f x 单调递增区间为-∞+∞，； 当2k >-时，()f x 单调递增区间为()2-∞-，和()k +∞，， 单调递减区间()2k -，；当2k <-时，()f x 单调递增区间为()k -∞，和()2-+∞，， 单调递减区间()2k -，. （2）（i ）因为()f x 在=1x 处取极值， 所以()()13e 10f k '=-=，得=1k . 经检验符合已知条件，所以=1k .（ii ）因为=1k ，则()()21(e )=xx x x f +-'()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表：x()2-∞-，-2 ()21-，1 ()1+∞， '()f x +0 - 0 + ()f x①极大值①极小值①所以2x =-时，()f x 的极大值为2e ， 当1x =时，(1)f 的极小值为e -，又因为225(2)=e e f >， 所以当2x >时，()()f x f x >极大值， 所以()f x 无最大值.当<2x -时，210x x -->，()()21e 0e xf x x x ->=->-，当2x ≥-时，()e f x ≥-，所以()f x 有最小值，最小值为(1)=e f - 15．(1)(1)(1)39m my x -=--，证明见解析 (2)()8,+∞ (3)2个和3个【分析】（1）求出()119mf ='-，表示出l 1的方程，判断出l 1过定点（4，3）. （2）设()()244g x x m x =+-+，把()f x 存在极值等价于()g x 在区间（0，+∞）有变号零点.利用二次函数的性质得到m ＞8，再用列表法验证()f x 的单调性和极值符合题意； （3）直接判断l 1，l 2与曲线y ＝()f x 交点的个数分别为2个和3个. （1）（1）由()f x '＝()()()22244122x m x m x x x x +-+-=++，得()'119m f =-. 又()13m f =,所以l 1方程为()1139m m y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即y ＝41199m x m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.可化为：()1409my x x -++-= 当x ＝4时，y ＝4141399m m ⎛⎫-⨯-+= ⎪⎝⎭，所以l 1过定点（4，3）.（2）设()()244g x x m x =+-+，则()f x 存在极值等价于()g x 在区间（0，+∞）有变号零点. 因为()g x 在（-∞，22m -）单调递减，在（22m-，+∞）单调递增， 当22m-≤0即m≤4时，∀x①（0，+∞），()g x ＞g （0）＞0，即()f x '＞0， 所以()f x 在（0，+∞）单调递增，不合题意. 当22m -＞0即m ＞4时，由g （22m-）＜0得m ＞8， 此时 存在x 1①（0，22m -），x 2①（22m-，+∞），使得g （x 1）＝g （x 2）＝0. ()f x '与()f x 的情况如下： x（0，x 1） x 1 （x 1，x 2） x 2 （x 2，+∞） ()f x ' +0 - 0 + ()f x①极大值①极小值①（3）l 1，l 2与曲线y ＝()f x 交点的个数分别为2个和3个. 16．(1)2a = (2)证明过程见解析； (3)3条【分析】（1）求导，利用极值点的定义得到方程，求出2a =，再代入进行检验，满足要求；（2）在（1）的基础上，得到()f x 在0x =处取得极小值，结合当1x <-时，()0f x >恒成立，确定()f x 在0x =处取得极小值，也是最小值；（3）设出切点，求导，利用导函数的几何意义及两点间斜率公式列出方程，得到32000451340x x x +-+=，问题转化为关于0x 的一元三次方程32000451340x x x +-+=的实数根的个数问题，构造函数()3245134g x x x x =+-+，根据特殊点的函数值的正负，结合零点存在性定理及一元三次方程最多有3个零点，确定32000451340x x x +-+=有3个实数根，即所以过点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线有3条. (1)由题意得：()()2e 2xf x ax x ax '=++，525255e 50242f a a -⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎭⎝⎭'⎝，解得：2a =，当2a =时，()()2e 25xf x x x =+'，当52x <-或0x >时，0fx ，当502x -<<时，()0f x '<，所以52x =-是极大值点，满足要求，综上：2a = (2)由（1）知：()f x 在52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,，()0,∞+上单调递增，在5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 在0x =处取得极小值， 且()01f =-， ()()()()2e 21e 211x x f x x x x x =+-=-+，当1x <-时，()0f x >恒成立，综上：()f x 在0x =处取得最小值，最小值为-1 (3)当1a =时，()()2e 1xf x x x =+-可以得到3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭不在()()2e 1xf x x x =+-上，设过3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线的切点为()00,x y ，则()02000e 1x y x x =+-，因为()()2e 3x f x x x ='+，所以()()02000e 3x f x x x +'=，又()()00200200e 1e334x x x x xx x +-=+-，解得：32000451340x x x +-+=，问题转化为关于0x 的一元三次方程32000451340x x x +-+=的实数根的个数问题，令()3245134g x x x x =+-+，又()3200g -=-<，()040g =>，2340327g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()21260g =>， 所以()g x 在()223,0,0,,,233⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内各有一个实数根，又因为32000451340x x x +-+=在实数范围内最多有三个根， 因此32000451340x x x +-+=有三个不相同的实数根，所以过点3,04⎛⎫⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线有3条.【点睛】求解函数过一点的切线，要设出切点，根据导函数的几何意义及两点间斜率公式，列出方程，进而求解出切点，本题中，用此方法将切线条数问题转化为方程的根的个数问题，进而构造函数研究零点个数即可.17．(1)（i ）当0b ≥时，()f x 没有极值点；当0b <时，()f x 的极大值点为3b -3b -（ii ）3b =-.(2)不存在，证明见解析【分析】（1）（i ）利用导数，以及对b 进行分类讨论来求得()f x 的极值点. （ii ）结合极值点、不动点的知识来列方程组，从而求得b 的值.（2）根据极值点、不动点的知识对,a b 的取值进行分析，从而作出正确的判断. (1)（i ）当0a =时，()33f x x bx =++，()'23f x x b =+.当0b ≥时，()'0f x ≥恒成立，()f x 在R 上递增，没有极值点.当0b <时，令'0f x解得12,33b bx x =--=-则()f x 在区间()()()()'12,,,,0,x x f x f x -∞+∞>递增；在区间()()()'12,,0,x x f x f x <递减，所以()f x 的极大值点为3b -3b -（ii ）若0x 是()f x 的极值点，又是()f x 的不动点，则()()00000f x x f x b ⎧=⎪=⎨<'⎪⎩，即()()300002003300f x x bx x f x x b b ⎧=++='⎪=+=⎨⎪<⎩， 即203b x =-，代入30003x bx x ++=得 3300033x x x -+=，300230x x +-=，()3002110x x -+-=， ()()2000021110x x x x -+++-=，()()200012230x x x -++=， ()2001512022x x ⎡⎤⎛⎫-++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以01x =，则2033b x =-=-(2)()233f x ax b x x +++=，()'232f x x ax b =++，()f x 有两个相异的极值点，也即()'232f x x ax b =++有两个不同的零点12,x x ，所以224120,30a b a b ∆=->->①，12122,33a bx x x x +=-⋅=. 依题意，若12,x x 是()f x 的不动点，则32111132222233x ax bx x x ax bx x ⎧+++=⎨+++=⎩，两式相减得()()332212121212x x a x x b x x x x -+-+-=-， ()2211221210x x x x a x x b +++++-=，()()212121210x x x x a x x b +++-+-=，224210933a b a b --+-=，2932a b -=-，这与①矛盾，所以不存在符合题意的,a b .【点睛】有关导数的新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，转化为利用导数求解函数的单调区间、极值（点）、最值等问题来进行求解. 18．(1)1y x =-+(2)最小值为0，没有最大值【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）先求得()'f x ，然后求得()f x 的单调区间，从而求得()f x 在区间(),2k -∞+上的最值.(1)当1k =时，()()221e xf x x x =-+⋅，()()'21e x f x x =-⋅，所以()()'01,01f f ==-，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y x -=-，即1y x =-+. (2)()()()222e e 2x x x kx x k k f x ⋅=-+⋅=-，其中2x k <+，()()'22222e x f x x k x k k ⎡⎤=+-+-⋅⎣⎦()()2e xx k x k =---⋅⎡⎤⎣⎦， 令'0f x，解得12x k =-，2x k =，而22k k k +>>-，所以()f x 在()(),2,,2k k k -∞-+上，()()'0,f x f x >递增； 在区间()2,k k -上，()()'0,f x f x <递减.由于()()2e xf x x k ⋅=-，所以()()0,0f x f k ≥=，x k =是()f x 的唯一零点.所以()f x 的最小值为0. ()()22222e 4e k k f k ---=-⋅=⋅，()()222222e 4e 4e 2k k k f k f k ++-+=⋅=⋅>⋅=-，所以()f x 没有最小值.综上所述，在区间(),2k -∞+上，()f x 最小值为0，没有最大值. 19．(1)答案见解析； (2)3-.【分析】（1）先对函数求导，对a 分类讨论，即可得出函数单调性；（2）由（1）可得函数极值点，根据函数有且只有一个零点可判断零点即为极小值点，据此求出a ，再由函数单调性求出函数最大值与最小值即可得解.(1)2()626()3af x x ax x x '=-=-，当0a =时，2()60f x x '=，①()f x 在R 上是单调增函数. 当0a >，此时03a >，当0x <或3a x >时，()0f x '>，03ax <<时，()0f x '<， ∴ ()f x 在(,0)-∞和(,)3a+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减.当a<0时，03a<，当3a x <或0x >，()0f x '>，03a x <<，()0f x '<， ∴ ()f x 在(,)3a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)3a上单调递减.综上，当0a =时，()f x 在R 上是单调增函数，当0a >时，()f x 在(,0)-∞和(,)3a+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减，当a<0时，()f x 在(,)3a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)3a上单调递减.(2)由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1f =， 所以此时()f x 在(0,)+∞内无零点，不满足题意；当0a >时，()f x 在(0,)3a 上单调递减，在(,)3a+∞上单调递增，又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，所以3()10327a af =-+=，得3a =，所以()32231f x x x =-+,则()()61f x x x ='-，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(0,1)x ∈时,()0f x '<，()f x 单调递减. 则max ()(0)1,(1)4,(1)0f x f f f ==-=-=，则min ()4f x =-， 所以()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为3-. 20．(1)12a =-或1a =(2)111,,122a ⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦(3)38-【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意()10f '-=，即可得到方程，解得a ，再代入检验即可； （2）依题意有且只有两个整数满足不等式()()20x a x a +-<，再分0a >和a<0两种情况讨论，分别得到不等式组，解得即可；（3）由()3221111113232f x x ax a x -=-++，令()32211232g x x ax a x =-++利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，再根据二次函数的性质求出()2f x '的最小值，即可得到2202064733a a M a +-≥+-，最后根据二次函数的性质计算可得； (1)解：因为32211()2332f x x ax a x =-+++，所以22()2f x x ax a '=-++， 因为=1x -为函数()f x 的极值点，所以()221120f a a -=--+='，解得12a =-或1a =；当1a =时，3211()2332f x x x x =-+++，则()()2()221f x x x x x =-++=-++'，所以，当12x -<<时()0f x '>，函数()f x 单调递增，当1x <-或2x >时()0f x '<，函数()f x 单调递减，故函数在=1x -处取得极小值，符合题意；当12a =-时，32111()3342f x x x x =--++，则()2111()1222f x x x x x ⎛⎫=--+=+-+ ⎝'⎪⎭，所以，当112x -<<时()0f x '>，函数()f x 单调递增，当1x <-或12x >时()0f x '<，函数()f x 单调递减，故函数在=1x -处取得极小值，符合题意； 综上，12a =-或1a =．(2)解： ()()22()22f x x ax a x a x a =-++=-+-'，因为，()f x 的单调增区间内有且只有两个整数，所以，有且只有两个整数满足不等式()0f x '>，即有且只有两个整数满足不等式()()20x a x a +-<， 显然0a ≠，当0a >时，解得2a x a -<<，即不等式的解集为{}|2x a x a -<<，所以1221a a <≤⎧⎨-≥-⎩，解得112a <≤；当a<0时，解得2a x a <<-，即不等式的解集为{}|2x a x a <<-，所以2211a a -≤<-⎧⎨-≤⎩，解得112a -≤<-；综上可得111,,122a ⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦(3)解：因为()3221111113232f x x ax a x -=-++，令()32211232g x x ax a x =-++，则()222()(2)g x x ax a x a x a =-++=-+-'，令()0g x '=，则x a =-或2x a =， 因为102a <≤，所以1,02a ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，(]20,1a ∈， 所以当[1x ∈-，]a -和(2x a ∈，2]时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当(,2)x a a ∈-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以函数()g x 的极小值为3333117()2326g a a a a a -=+-=-，又28(2)243g a a =-++，令3278()(2)()4263h a g g a a a a =--=++-，27()8202h a a a ++'=>在102a <≤上成立， 所以，当102a <≤时，函数()h a 单调递增，故125()()0248max h a h ==-<， 所以()()2g g a <-，即当[1x ∈-，2]时，28()(2)243min g x g a a ==-++，又()2222222292()24a a f x x ax a x =-++=--+'其对应函数图像的对称轴为2122a x =<， 所以22x =时，()22(2)422min f x f a a ==-++''，所以()()212203643f x f x a a -+≥+-'，故有2202064733a a M a +-≥+-，所以，263a a M -≥，102a <≤， 因为221363648a a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，102a <≤，所以22133636488a a a ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以38M ≤-，即实数M 的最大值为38-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，极值，不等式恒成立问题等，考查运算求解能力，化归转化思想，是难题.本题第三问解题的关键在于构造函数()32211232g x x ax a x =-++，并求得其在区间[]1,2-时的最小值，进而将问题转化为263a a M -≥，102a <≤，最后结合二次函数的性质求最值即可. 21．(1)10x y --=(2)427-【分析】（1）由题意，求出a 的值，然后根据导数的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数()f x 在区间[0,3]上的单调性，从而即可求解. (1)解：由题意，2()32f x x ax '=-，因为(1)5f '-=，所以()()231215a ⨯--⨯-=，解得1a =， 所以32()f x x x =-，2()32f x x x ='-， 因为(1)0f =，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()011y x -=-，即10x y --=； (2)解：由（1）知1a =，32()f x x x =-，()2()3232f x x x x x '=-=-，[0,3]x ∈，所以20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，2,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 24()327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即函数()f x 在区间[0,3]上的最小值为427-.22．(1)10x y --=(2)函数()g x 在区间()0,1上的单调递增，理由见解析 (3)过程见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数及其不等式ln x x <即可证得()g x 在区间0,1上的单调性；（3）利用导数及其零点存在性定理即可证得函数()y h x =存在最小值()0h x ，利用对勾函数的性质即可证得()0522h x <<. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，，()1f x x'=， ()11f '=，()10f =，则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，即10x y --=； (2)由已知得()ln x x g x =e，()1ln 1ln e e x xxx x x g x x --'== ， 因为()0,1∈x ，故1ln 0x x ->即0g x，①函数()g x 在区间0,1上的单调递增， (3)函数()e ln xh x x =-的定义域为()0,+∞，()1e 1e x xx h x x x-'=-=，令()e 1xm x x =-，则()()1e 0x m x x '=+>，①()m x 在()0,+∞上单调递增，又①()1e 1>0m =-，1e 102m ⎛⎫< ⎪⎝⎭， ①存在0112x <<，使()00m x =，即在()00,x 上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>， 故()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，①函数()y h x =存在最小值()000e ln xh x x =-，①00e 10xx -=，①00ln x x =-，①()000001e ln xh x x x x =-=+， 可知函数()0001p x x x =+在0112x <<上单调递减， ①()0522p x <<， 即()0522h x <<. 23．(1)2a = (2)答案见解析.【分析】（1）由题知'(2)1f =，进而求导计算即可得答案； （2）由题知()()'21()x a x f x x--=，进而分02a <<，2a =，2a >三种情况讨论求解即可.(1)解：'()2(2)af x x a x=+-+， 因为曲线()y f x =在点()()22f ,处切线的倾斜角为4π， 所以'(2)4(2)12af a =+-+=，解得2a =. 所以，2a =. (2)解：函数的定义域为()0,∞+，因为()()()2'2221()2(2)x a x a x a x af x x a x x x-++--=+-+==， 故令'()0f x =得2ax =或1x = 所以，当02a <<时，12ax =<，此时x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： x0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2a ,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞'()f x+-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以，当2ax =时，有极大值ln 1224a a af a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，有极小值()11f a =--. 当2a =时，12ax ==，此时，'()0f x ≥在()0,∞+上恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，函数无极值. 当2a >时，12ax =>，此时x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： x()0,111,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ '()f x+-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以，当2ax =时，有极小值ln 1224a a af a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，有极大值()11f a =--. 综上，当02a <<时，极大值2ln 1224a a af a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，极小值()11f a =--；当2a =时，函数无极值；当2a >时，极小值2ln 1224a a af a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，极大值()11f a =--.24．(1)1a ≤； (2)证明见解析.【分析】（1）由题设2e ()2xg x a ax --=，根据()0g x '≥恒成立求a 的取值范围.（2）对()f x 求导，构造()e x h x x a =--利用导数研究单调性和极值，根据极值的符号及零点存在性求(0,)+∞上()h x 变号零点的范围，结合零点作代换判断()f x 的极小值符号，即可证结论.（1）由题设2e ()2xg x a ax --=，则()x g x e a '=-，又()g x 在[0,)+∞上单调递增，即e x a ≤在[0,)+∞上恒成立， 所以min (e )1x a ≤=. （2）由()2(e )x f x x a '=--，令()e x h x x a =--，则()e 1x h x '=-， 所以(,0)-∞上()0h x '<，()h x 递减；(0,)+∞上()0h x '>，()h x 递增；则()(0)1h x h a ≥=-，又(1,2ln 2]a ∈-，则(0)0h <，而(ln 2)2ln 20h a =--≥，所以(0,ln 2]上()h x 有一个变号零点1x ，则1(0,)x 上()0h x <，即()0f x '<，()f x 递减；1(,)x +∞上()0h x >，即()0f x '>，()f x 递增；则122111()()2e 2x f x f x x ax a ≥=---，又11e x x a =+，所以22111111()2()2(2)2f x x ax a x a x a x a =-=-++-+--，而1(0,ln 2]x ∈，(1,2ln 2]a ∈-，所以1(1,2]x a +∈，则12(1,0]x a +-∈-，故1()0f x ≥， 则(1,2ln 2]a ∈-，当0x ≥时()0f x ≥得证.25．(1)函数的增区间是(,1)-∞-和3)+∞（，，减区间是(13)-，，极大值为8(1)3f -=，极小值为(3)8f =-； (2)883a -<<【分析】（1）求出导函数()f x '，列表得出()f x '的正负，得函数的单调性和极值； （2）结合函数的性质（极值与单调性可得参数范围. (1)由题意2()23(1)(3)f x x x x x ==+'---，()0f x '=得=1x -或3x =， 列表如下： x(,1)-∞-1-(1,3)- 3 (3,)+∞ ()f x ' +-+()f x递增 极大值 递减 极小值 递增(,1)-∞- 极大值为8(1)3f -=，极小值为(3)8f =-；(2)作出函数图象，如图，直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点时，883a -<<.26．(1)()31443f x x x =-+(2)428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的导数，结合极值点和极值，列出方程求解函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有3个不等的实数解，数形结合求出k 的范围． （1）对()f x 求导，得()23f x ax b '=-，由题意，得()()2120428243f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-+=-'⎪⎩,解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ , ①()31443f x x x =-+.（2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=-+,令()0f x '=，得2x =或2x =-,①当<2x -时，0f x ；当22x -<<时，()0f x '<；当2x >时，0fx.因此，当2x =-时，()f x 取得极大值283； 当2x =时，()f x 取得极小值43-,函数()31443f x x x =-+的大致图象图如所示.:要使方程()f x k =有3个不同的实数根， 由图可知，实数k 的取值范围是428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.27．(1)y=3ex-2e (2)答案见解析.【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出导函数，对a 分类讨论： a=0,a<0和a>0三种情况分别求出单调区间.（1）当1a =时, 2()x f x x e =,则2()(2)e x f x x x '=+，以f(1)=e, (1)3e f '=，所以曲线2()x f x x e =在1x =处的切线方程为y-e=3e(x-1),即y=3ex-2e.（2）2()(2)ax f x x ax e '=+.由()0f x '=得220ax x +=.当a=0时,解得x=0.故当x>0时, ()0f x '>,当x<0时, ()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞.当a<0时,解得x=0或2x a =-.当x<0时, ()0f x '<；当20x a <<-时，()0f x '>；当2x a >-时, ()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,单调递减2区间为(,0)-∞和2(,)a -+∞.当a>0时,解得x=0或2x a =-.当x>0时, ()0f x '>；当2x a -<<时，()0f x '<；当2x a <-时, ()0f x '>.所以()f x 的单调递增区间为2(,)a -∞-和(0,)+∞,单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述：当a=0时,()f x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞.当a<0时,()f x 的单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,单调递减区间为(,0)-∞和2(,)a -+∞.当a>0时,()f x 的单调递增区间为2(,)a -∞-和(0,)+∞,单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.28．(1)1y =(2)单调递减区间为()0,1；单调递增区间为()1,+∞【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为()10f '=，结合()11f =可得切线方程；（2）求导后，根据导函数正负即可求得()f x 单调区间. (1)由题意得：()()()21122x x f x x x x+-'=-=，()1220f '∴=-=，又()11f =， ()y f x ∴=在点()()1,1f 处的切线方程为1y =. (2)由题意知：()f x 定义域为()0,∞+；由（1）知：当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，0f x；f x 的单调递减区间为()0,1；单调递增区间为()1,+∞.29． 0； 1e-##1e --【分析】（1）e a =时，转化为e e x b x ≤-恒成立，构造函数()x f x e ex =-，求导确定单调性求出最小值，即可求得b 的最大值；（2）令()e x f x ax b =--，由1(1)0e f a b -=+-≥得1e a b -≥-，再说明当()e x g x =与y ax b =+在点11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭处相切时取得最小值即可.【详解】①若 e a =，对于任意 e e x x x b ∈≥+R ， 均成立，即e e x b x ≤-恒成立，令()x f x e ex =-，则()x f x e e '=-，当1x <时，()0,()'<f x f x 单调递减，当1x >时，()0,()'>f x f x 单调递增，则min ()f x =(1)0f =，故0b ≤，即b 的最大值为0；①令()e x f x ax b =--，1(1)e f a b -=+-，要使a b -最小，即1e a b +-最小，又()0f x ≥对于任意均成立，故10e a b +-≥，即1e a b -≥-，以下说明a b -能取到1e -，令()e x g x =，则()e x g x '=，1(1)e g '-=，故()g x 在11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为()111e e y x -=+，即12e e y x =+，结合图像可知，当12,e e a b ==时，满足对于任意 e x x ax b ∈≥+R ， 均成立，此时1e a b -=-，故a b - 的最小值为1e-. 故答案为：0；1e -. 30． 1x = 2x =【分析】令()0f x =即可求得零点；利用导数可求得()f x 单调性，根据极值点定义可得结果. 【详解】令()210x f x x-==，解得：1x =，f x 的零点是1x =；由题意知：()f x 定义域为()(),00,∞-+∞，()()243212x x x xf x x x---'==，令()0f x '=，解得：2x =；则当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,2x ∈时，0fx；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<；f x 在(),0∞-和()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增； f x 的极值点为2x =.故答案为：1x =；2x =.。

重难点08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用—2023年高考数学(原卷版)

重难点08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用—2023年高考数学(原卷版)

重难点08 导数在研究函数图像与性质中的应用一.导数的计算二.切线方程的求法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x 0)，再根据y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)求解．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可． 3.求切点坐标已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 三.求参数的值(范围)1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 四.解决两曲线的公切线问题的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.2023年高考仍然重点考查利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．已知曲线y ＝24x －3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．122．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-3．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+4．曲线y=x 3+11在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A ．﹣9B ．﹣3C ．9D ．155．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒6．已知f (x )＝x ln x ，若0()2f x '=，则x 0＝（ ） A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln27．若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +128．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<9．曲线sin 1y sin cos 2x x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．210．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-11．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则=a A ．2B ．12C ．12-D ．2-12．曲线2e 1x y -=+在点 ()0,2处的切线与直线0y =和 y x =围成的三角形的面积为 A ．13B ．12C ．23D ．1二、填空题 13．曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 14．若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 15．曲线3y x =在点3(,)(0)a a a ≠处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为16，则=a ________.16．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．三、解答题17．设函数32()33f x x ax bx =-+的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点（1，－11）． (1)求a 、b 的值．(2)讨论函数f （x ）的单调性．18．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．。

用导数研究函数的性质 第2课时极值与最值课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

用导数研究函数的性质 第2课时极值与最值课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

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新知学习
新知引入
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数
为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
观察下图，我们发现当 = 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数ℎ()在此点处的导数是多
少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?
（1）求出函数 的定义域；
（2）求导数()′ 及函数()′ 的零点；
（3）用零点将 的定义域为若干个区间，列表给出()′ 在各个区间上的正负，并得出 单调性与极值；
（4）确定 图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
解 （1）函数的定义域为 ∈ ，
因为 ′ = + 1 ′ e + + 1 (e )′ = e + + 1 e = + 2 e ，
令 ′ =0,解得： = −2. ′ 、 的变化情况如表所示

(−∞, −)
-2
(−, +∞)
′
-
+

单调递减
端点处取得.
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求下列各函数的最值．
π π
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈[− 2 , 2 ].
解 (1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表：
由（1）及图可得，当 = −2时，有最小值 −2 = −

2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(知识点讲解)解析版

2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(知识点讲解)解析版

专题4.4 导数的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1. 考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数不等式的证明、方程等，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）函数零点 1．方程()0f x =有实根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点．2．函数()y f x =的零点就是()0f x =的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.（二）导数解决函数的零点问题1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号. 3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围. （三）导数证明不等式(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x )＜g (a )转化为f (x )max ＜g (a ).(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x )＞g (x )转化为f (x )－g (x )＞0，进而构造函数h (x )＝f (x )－g (x ). (3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x )＞g (x )利用其最值求解.(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可将函数式变为与x 1x 2或x 1·x 2有关的式子，然后令t ＝x 1x 2或t ＝x 1x 2，构造函数g (t )求解.(5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，xx ＋1≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1).(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.（四）利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1.分离参数法一般地，若a ＞f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＞f (x )max ；若a ＜f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＜f (x )min .若存在x 0∈D ，使a ＞f (x 0)成立，则只需a ＞f (x )min ；若存在x 0∈D ，使a ＜f (x 0)成立，则只需a ＜f (x 0)max .由此构造不等式，求解参数的取值范围. 2.构造函数分类讨论法有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.【常考题型剖析】题型一：利用导数研究函数的零点或零点个数例1.（2012·天津·高考真题（理））函数在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【详解】2()2ln 23,(0,1)()0x f x x f x +''=>在上恒成立，所以单调递增，(0)10,(1)10,f f =-<=>故函数在区间(0,1)内的零点个数1个.例2．（2019·全国高考真题（理））已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02ff ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点例3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <． 【答案】(1)(,1]e -∞+ (2)证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用导数即可得证.(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，2111()e 1x f x x x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭1111e 1e 11x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x =,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)e 1f x f a ≥=+-， 若()0f x ≥,则e 10a +-≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e -∞+ (2)由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设121x x 要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭因为()()12f x f x =,即证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x-+--->∈+∞即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦下面证明1x >时，1e 11e 0,ln 02x x x x x x x ⎛⎫->--< ⎪⎝⎭设11(),e e xx g x x xx =->，则11122111111()e e e 1e e 1x x x xx g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111e 1e 1e e xx x xx x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()()22e 1111,e e 0x x x x x x x x x x x ϕϕ-⎛⎫=>=-=⎪⎭'> ⎝所以()()1e x ϕϕ>=,而1e e x <所以1e e 0xx x->,所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞单调递增即()(1)0g x g >=,所以1ee 0xx x x->令11()ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭2222211121(1)()10222x x x h x x x x x ----⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭ 所以()h x 在(1,)+∞单调递减即()(1)0h x h <=,所以11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭；综上, 1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以121x x <. 【总结提升】利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围． (3)构造函数法研究函数零点．①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．题型二：与函数零点有关的参数（范围）问题例4.（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b 1−a＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．例5.（2015·安徽·高考真题（理））设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】1，3，4，5 【解析】 【详解】令3()f x x ax b =++，求导得2'()3f x x a =+，当0a ≥时，'()0f x ≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以3()f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，易知，()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在[1,1]-上单调递减，所以()=(1)132f x f b b -=-++=+极大，()=(1)132f x f b b =-+=-极小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320f x f b b -=-++=+<极大或者()=(1)1320f x f b b =-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.例6.（2020·全国高考真题（文））已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞. 【解析】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1xf x e =-， 令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， 所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-， 所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e +∞.【总结提升】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．题型三：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题例7．（2019·天津高考真题（理））已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤.当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C.例8．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数2()2sin 341x f x x x =+-+，则(2)(2)f f +-=_________；关于x 的不等式2()(23)2f x f x +-≥的解集为____________．【答案】2 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据解析式直接求(2)(2)f f +-的值，易知()f x 关于(0,1)对称，可将题设不等式变形为2(23)()f x f x -≥-，再利用导数判断()f x 的单调性，由单调性列不等式求解集. 【详解】232(2)(2)2sin 262sin 2621717f f +-=+-+-+=， 由()()22222sin 32sin 341414141x x x x f x f x x x x x --+-=+-+-+=+=++++2(41)41x x ++2=， ∴()f x 关于(0,1)对称，故()2()f x f x =--，∴22()(23)2()(23)2f x f x f x f x +-=--+-≥，即2(23)()f x f x -≥-， 又124ln 2()2cos 30(41)x xf x x +'=-+-<+，故()f x 单调递减， ∴223x x -≤-，即223(23)(1)0x x x x +-=+-≤，解得312x -≤≤.∴不等式解集为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2；3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 例9.（2021·全国高三月考）已知函数2()ln f x x mx =+.（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1(12)f x m x ≤++在(]0,e 上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）12e 2⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦,. 【分析】（1）求导，对参数m 分类讨论，由导函数的符号可得函数的单调性；（2）将不等式()1(12)f x m x ≤++化为()2ln 1210x mx m x +-+-≤，再构造函数()2()ln 121g x x mx m x =+-+-，利用导数求出函数()g x 的最大值，由max ()0g x ≤可求出结果.【详解】（1）由2()ln f x x mx =+，得2121()2(0)mx f x mx x x x +'=+=>， ①若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②若0m <，则2121()22x x mx f x mx m x x x⎛ +⎝⎭⎝⎭'=+==⋅，当0x <<时，()0f x '>；当x >()0f x '<； 所以()f x在区间0,⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. 综上所述：当0m ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m <时，()f x在区间⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）不等式()1(12)f x m x ≤++在(]0,e 上恒成立，相当于()2ln 1210x mx m x +-+-≤在(]0,e 上恒成立，令()2()ln 121g x x mx m x =+-+-， 则212(21)1(21)(1)()221mx m x mx x g x mx m x x x-++--'=+--==， ①当0m ≤时，210mx -<，由()0g x '<，得1e x <≤，由()0g x '>，得01x <<，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减，所以max ()(1)2g x g m ==--，所以20m --≤，解得20m -≤≤. ②当102em <≤时，因为022e x <≤，所以021mx <≤，所以210mx -≤， 所以当01x <<时，()0g x '≥，当1e x <≤时，()0g x '≤，所以()g x 在(0,1)上递增，在(1,e]上递减，所以max ()(1)20g x g m ==--≤，解得2m ≥-，又102e m <≤，所以102em <≤； ③当112e 2m <<时，1(1)()2()2x x m g x m x--'=⋅，此时11e 2m <<， 由()0g x '>，得01x <<或1e 2x m <≤，由()0g x '<，得112x m <<， 所以()g x 在(0,1)和1(,e]2m 上递增，在1(1,)2m 上递减，所以11,2x x m==分别是函数()g x 的极大值点和极小值点， 因此有()(1)2011(e)e e 1202e 21122g m g m m m m e⎧⎪=--≤⎪=--≤⇒<<⎨⎪⎪<<⎩； ④当12m =时，()21()0x g x x-'=≥，所以()g x 在(]0,e 上单调递增，所以(e)0g ≤， 即1e 2m ≤-，所以12m =； ⑤当12m >时，1(1)()2()2x x m g x m x--'=⋅，此时1012m <<， 由()0g x '>，得102x m <<或1e x <≤，由()0g x '<，得112x m <<， 所以()g x 在1(0,)2m 和(1,e]上递增，在1(,1)2m 上递减， 所以112x x m==，分别是函数()g x 的极大值点和极小值点，因此有()1()02(e)e e 12012g m g m m m ⎧≤⎪⎪=--≤⇒⎨⎪⎪>⎩1ln 22041e 212m m m m ⎧---≤⎪⎪⎪≤⎨-⎪⎪>⎪⎩112e 2m ⇒<≤-； 综上可知，实数m 的取值范围是12e 2⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，. 【总结提升】1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．()f x a >：min max max ()()()f x a f x a f x a ⇔>⎧⎪⇔>⎨⎪⇔≤⎩恒成立有解无解2.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.题型四：利用导数证明不等式例10．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，()e ln(1)x f x x =+()y f x =(0,(0))f ()()g x f x '=()g x [0,)+∞,(0,)s t ∈+∞()()()f s t f s f t +>+y x =()g x [0,)+∞()()()m x f x t f x =+-(,0)x t >()(0)m x m >()m x即得证.(1)解：因为，所以，即切点坐标为，又， ∴切线斜率∴切线方程为：(2)解：因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.(3)解：原不等式等价于，令，，即证，∵，， 由（2）知在上单调递增， ∴，∴∴在上单调递增，又因为， ()e ln(1)x f x x =+()00f =()0,01()e (ln(1))1x f x x x=+++'(0)1k f '==y x =1()()e (ln(1))1x g x f x x x=++'=+221()e (ln(1))1(1)x g x x x x =++-++'221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'()h x [0,)+∞()(0)10h x h ≥=>()0g x '>[0,)+∞()g x [0,)+∞()()()(0)f s t f s f t f +->-()()()m x f x t f x =+-(,0)x t >()(0)m x m >()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t xx t x m x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+1()()e (ln(1))1x g x f x x x =++'=+[)0,∞+()()g x t g x +>()0m x '>()m x ()0,∞+,0x t >∴，所以命题得证.例11.（2021·全国·高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点． （1）求a ；（2）设函数．证明:． 【答案】（1）；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）[方法一]：转化为有分母的函数由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．综合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数由（1）得，，且， ()(0)m x m >()()ln f x a x =-0x =()y xf x =()()()x f x g x xf x +=()1g x <1a ='y a ()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-1x <0x ≠()0,1x ∈(),0x ∈-∞()1g x <()()ln 1ln 1x x x x +->-()0,1x ∈(),0x ∈-∞()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--()()'ln x y a x x ay xf x ⇒=-=+-0x =()y xf x =()'0ln 0y a ==1a =ln(1)11()ln(1)ln(1)+-==+--x x g x x x x x (,0)(0,1)-∞()1g x <111ln(1)+<-x x 1111ln(1)-<-=-x x x x(0,1)x ∈10ln(1)<-x 10x x-<ln(1)1->-x x x ()ln(1)1=---x F x x x 2211()01(1)(1)--=-=>--'-x F x x x x ()F x (0,1)()(0)0F x F >=(,0)x ∈-∞10ln(1)>-x 10x x ->ln(1)1->-x x x ()F x (,0)-∞()(0)0F x F >=()1g x <()()ln 1f x x =-()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-1x <0x ≠当 时，要证，， ，即证，化简得；同理，当时，要证，， ，即证，化简得；令，再令，则，， 令，，当时，，单减，故；当时，，单增，故；综上所述，在恒成立.[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定()0,1x ∈()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()0,ln 10x x >-<()ln 10x x ∴-<()()ln 1ln 1x x x x +->-()()1ln 10x x x +-->(),0x ∈-∞()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()0,ln 10x x <->()ln 10x x ∴-<()()ln 1ln 1x x x x +->-()()1ln 10x x x +-->()()()1ln 1h x x x x =+--1t x =-()()0,11,t ∈+∞1x t =-()1ln t t t t ϕ=-+()1ln 1ln t t t ϕ'=-++=()0,1t ∈()0t ϕ'<()t ϕ()()10t ϕϕ>=()1,t ∈+∞()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ>=()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()(),00,1x ∈-∞()ln (1)ϕ=--x x x 11()1x x x x ϕ-'=-=()ϕx (0,1)(1,)+∞()(1)0x ϕϕ≤=ln 1≤-x x 1x =1x <0x ≠101x >-111x≠-11ln 111<---x x ln(1)1--<-x x x ln(1)1->-x x x (0,1)x ∈0ln(1)1>->-x x x 1111ln(1)-<=--x x x x 111ln(1)+<-x x ()1g x <(,0)x ∈-∞ln(1)01->>-x x x ()1g x <1x <0x ≠ln(1)1ln(1)+-<-x x x x ()1g x <(0,1)x ∈ln(1)1->-x x x (,0)x ∈-∞ln(1)1->-x x x ()0,1x ∈()()1ln 10x x x +-->(),0x ∈-∞()()1ln 10x x x +-->()ln (1)ϕ=--x x x ln 1≤-x x 1x =ln(1)1->-x x x的巧合性.例12．（2021·全国高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即， 故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<()f x ()0,1()1,+∞1211,x x a b==122x x e <+<21x tx =12x x e +<()()1ln 1ln 0t t t t -+-<()1,+∞()0,∞+()1ln 1ln f x x x '=--=-()0,1x ∈()0f x '>()1,+x ∈∞()0f x '<()f x ()0,1()1,+∞ln ln b a a b a b -=-()()ln 1ln +1b a a b +=ln 1ln +1a b a b+=11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211,x x a b ==1201,1x x <<>()0,1x ∈()()1ln 0f x x x =->(),x e ∈+∞()()1ln 0f x x x =-<21x e <<122x x +>22x ≥122x x +>22x <122x x +>122x x >-2021x <-<()()122f x f x >-()()222f x f x >-212x <<设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：， 即：，故，要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令，则， 先证明一个不等式：.设，则， 当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，. 【总结提升】1.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最()()()2,12g x f x f x x =--<<()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦12x <<()021x x <-<()ln 20x x -->()0g x '>()g x ()1,2()()10g x g >=()()2f x f x >-()()222f x f x >-122x x +>122x x +>21x tx =1t >ln 1ln +1a b a b +=1211,x x a b==()()11221ln 1ln x x x x -=-()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t t x t --=-12x x e +<()11t x e +<()1ln 1ln 1t x ++<()1ln ln 111t t t t t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭()ln 1x x ≤+()()ln 1u x x x =+-()1111x u x x x -'=-=++10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<()u x ()1,0-()0,+∞()()max 00u x u ==()ln 1x x ≤+1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭()0S t '<()S t ()1,+∞()()10S t S <=()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12x x e +<112e a b<+<值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.2.利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.3.不等式存在性问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．。

高考导数问题常见题型总结

高考导数问题常见题型总结

一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 22．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

高考数学必考题型整理

高考数学必考题型整理

高考数学必考题型整理高考数学对于广大考生来说，是一门具有重要影响力的学科。

掌握必考题型，对于提高成绩至关重要。

以下为大家整理了一些高考数学中的常见必考题型。

一、函数函数是高考数学的核心内容之一。

1、函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等。

例如，给定一个函数，要求判断其奇偶性，需要通过计算 f(x) 并与 f(x) 进行比较。

2、函数的图像能够根据函数表达式画出大致图像，或者通过图像判断函数的性质和参数范围。

3、函数的零点求解函数的零点，即方程 f(x) ＝ 0 的根。

这可能需要运用零点存在定理、二分法等方法。

4、函数的综合应用常与不等式、方程等结合，考查学生的综合分析和解决问题的能力。

二、数列数列也是高考的重点之一。

1、等差数列和等比数列需要熟练掌握通项公式、前 n 项和公式，以及相关性质的应用。

2、数列的递推关系通过给出数列的递推式，求通项公式或者前 n 项和。

3、数列的最值问题在给定条件下，求数列的最大项或最小项。

三、三角函数三角函数在高考中占有一定的比重。

1、三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式，如sin²α ＋cos²α ＝ 1 等。

2、三角函数的图像和性质包括周期性、单调性、奇偶性、对称轴和对称中心等。

3、三角函数的化简与求值运用三角函数的公式进行化简和计算。

4、解三角形利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的边长、角度等问题。

四、立体几何立体几何主要考查空间想象能力和逻辑推理能力。

1、空间几何体的结构特征认识常见的几何体，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的结构特征。

2、空间几何体的表面积和体积能够准确计算常见几何体的表面积和体积。

3、空间线面关系判断线线、线面、面面的平行和垂直关系，以及相关的证明。

4、空间角和距离求异面直线所成的角、线面角、二面角等，以及点到面的距离等。

五、解析几何解析几何是高考数学中的难点之一。

1、直线方程掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、一般式等方程的形式和应用。

利用导数研究函数的单调性专题

利用导数研究函数的单调性专题

利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧条件x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0f′(x)>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.43.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是( )A.1eB.2eC.eD.e24.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( )A.4B.2或6C.2D.6考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，求函数g (x )的单调减区间. 【规律方法】 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增B.在(0，＋∞)上递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 (2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）ex ，则不等式F (x )<1e2的解集为( )A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(1，e)D.(e ，＋∞)角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x .(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2) (2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )2.函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的单调递增区间是( )A.(－∞，e)B.(1，e)C.(e ，＋∞)D.(e －1，＋∞)3.(2019·青岛二中调研)若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B.不存在这样的实数kC.－2<k <2D.－3<k <－1或1<k <34.已知f (x )＝ln xx，则( )A.f (2)>f (e)>f (3)B.f (3)>f (e)>f (2)C.f (3)>f (2)>f (e)D.f (e)>f (3)>f (2)5.(2019·济宁一中模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)二、填空题6.已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________.7.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________.8.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.10.(2019·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－xB.f (x )＝x 2C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x12.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( )A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e13.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.14.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.15.(多填题)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称.则m ＝________，f (x )的单调递减区间为________.答案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√【解析】(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号.【教材衍化】2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正.3.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是( )A.1eB.2eC.eD.e2【答案】 C【解析】因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，令f′(x)＝0，所以x＝e，当f′(x)>0时，解得0<x<e；当f′(x)<0时，解得x>e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.【真题体验】4.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减【答案】 D【解析】 易知f ′(x )＝－sin x －1，x ∈(0，π)， 则f ′(x )<0，所以f (x )＝cos x －x 在(0，π)上递减.5.(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 设导函数y ＝f ′(x )与x 轴交点的横坐标从左往右依次为x 1，x 2，x 3，由导函数y ＝f ′(x )的图象易得当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，x 3)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)时，f ′(x )>0(其中x 1<0<x 2<x 3)，所以函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，x 3)上单调递减，在(x 1，x 2)，(x 3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D 选项符合.6.(2019·豫南九校考评)若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则常数c 的值为( ) A.4 B.2或6 C.2D.6【答案】 C【解析】 函数f (x )＝x (x －c )2的导数为f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， 由题意知，在x ＝2处的导数值为12－8c ＋c 2＝0，解得c ＝2或6，又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，故导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正，而当e ＝6时，f (x )＝x (x －6)2在x ＝2处有极大值，故c ＝2.【考点聚焦】考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，求函数g (x )的单调减区间. 【答案】见解析【解析】(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 【规律方法】 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增B.在(0，＋∞)上递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 【解析】 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围. 【答案】见解析【解析】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【规律方法】 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.【答案】见解析【解析】因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax.(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞). 考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 (2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）ex ，则不等式F (x )<1e2的解集为( )A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(1，e)D.(e ，＋∞)【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x.由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. (2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )ex，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减. 由F (x )<1e2＝F (1)，得x >1，所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x .(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 【答案】见解析【解析】h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x－ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解.设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min .又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max .又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x ，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.【规律方法】 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.[2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 【反思与感悟】1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意函数f (x )的定义域.2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决. 【易错防范】1.求单调区间应遵循定义域优先的原则.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.3.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )【答案】 D【解析】由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足.2.函数f(x)＝x·e x－e x＋1的单调递增区间是( )A.(－∞，e)B.(1，e)C.(e，＋∞)D.(e－1，＋∞)【答案】 D【解析】由f(x)＝x·e x－e x＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·e x，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函数f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞).3.(2019·青岛二中调研)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A.k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B.不存在这样的实数kC.－2<k <2D.－3<k <－1或1<k <3 【答案】 D【解析】 由f (x )＝x 3－12x ，得f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝2，只要f ′(x )＝0的解有一个在区间(k －1，k ＋1)内，函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)上就不单调，则k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3. 4.已知f (x )＝ln xx，则( )A.f (2)>f (e)>f (3)B.f (3)>f (e)>f (2)C.f (3)>f (2)>f (e)D.f (e)>f (3)>f (2)【答案】 D【解析】 f (x )的定义域是(0，＋∞)，∵f ′(x )＝1－ln x x2， ∴x ∈(0，e)，f ′(x )>0，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)，又f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，则f (e)>f (3)>f (2).5.(2019·济宁一中模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)【答案】 B【解析】 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2， 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增.又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1. 二、填空题6.已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________. 【答案】 (－2，2)【解析】 因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x. 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x>0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2).7.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－3，0)∪(0，＋∞)【解析】 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点.需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3， 所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞).8.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞【解析】 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.三、解答题9.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间. 【答案】见解析【解析】(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0).则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，且x >0， ∴x ＝5(x ＝－1舍去).当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x >5时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).10.(2019·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0. 【答案】见解析【解析】(1)解：由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)证明 令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x －1>x ，从而g (x )＝1x －e e x ＝e （e x －1－x ）x e x >0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－xB.f (x )＝x 2C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x【答案】 A【解析】 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x·cos x ，则g ′(x )＝2e xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确.12.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 【答案】 D【解析】f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f(－ln x)＝f(ln x). 则原不等式可变形为f(ln x)<f(1)⇔f(|ln x|)<f(1). 又f′(x)＝xcos x ＋2x ＝x(2＋cos x)， 由2＋cos x>0，得x>0时，f′(x)>0. 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x|<1⇔－1<ln x<1⇔1e<x<e.13.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【解析】 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53，f (x )在R上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立.令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13.14.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373.∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称.则m ＝________，f (x )的单调递减区间为________. 【答案】 －3 (0，2)【解析】 由函数f (x )的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.① 由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ， 所以g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .21因为g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0， 所以m ＝－3，代入①得n ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2). 由f ′(x )<0，得0<x <2，所以f (x )的单调递减区间是(0，2).。

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专题三 利用导数研究函数的性质1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件．2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0在有限个点处取到． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 4． 如果连续函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论．1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．答案 [e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a的值为________． 答案 4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4.当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上可知a ＝4.3． 若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1，1a 解析 由f ′(x )＝－x (x ＋1)≤0，得x ≤－1或x ≥0， 即f (x )的减区间为(－∞，－1]，[0，＋∞)， 则f (x )的增区间为[－1,0]．∵0<a <1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数， 由复合函数单调性可知当－1≤log a x ≤0， 即1≤x ≤1a 时，g (x )为减函数，∴g (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤1，1a . 4． 直线l 与函数y ＝3x ＋1x的图象相切于点P ，且与直线x ＝0和y ＝3x 分别交于A ，B 两点，则APBP＝________. 答案 1解析 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，3x 0＋1x 0，则在点P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫3x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫3－1x 20(x －x 0)，与y ＝3x 联立解得x B ＝2x 0，所以AP BP ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x P x P －x B ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 0－2x 0＝1. 5． 函数f (x )＝12x 2－ln x 在[1，e]上的最大值为________．答案 12解析 ∵f ′(x )＝x －1x ，∴当x ∈(1，e)时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，故f (x )min ＝f (1)＝12.题型一 利用导数求函数的单调区间例1 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×⎝⎛⎭⎫23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下： x (－∞，－13)－13 (－13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )极大值极小值所以f (x )的单调增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 探究提高 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )，令g (x )＝e x －1－ax ，g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0. 若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0. 综合得a 的取值范围为(－∞，1]． 题型二 已知单调区间求参数范围例2 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ， 所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0， 所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调增区间是[－2，2]．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立． 因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立． 因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立， 即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立．令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32.因此a 的取值范围为a ≥32.探究提高 (1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决．(2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数单调性的讨论中是经常遇到的，值得特别注意．已知函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)当m 满足什么条件时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增？ 解 (1)因为f ′(x )＝a (x 2＋b )－ax (2x )(x 2＋b )2，而函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝2，即⎩⎨⎧a (1＋b )－2a ＝0，a1＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1，所以f (x )＝4x1＋x 2即为所求．(2)由(1)知f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(1＋x 2)2.令f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1， 则f (x )的增减性如下表：x (－∞，－1)(－1,1) (1，＋∞)f ′(x ) － ＋ － f (x )可知，f (x )的单调增区间是[－1,1]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ＋1≤1⇒－1<m ≤0m <2m ＋1，所以当m ∈(－1,0]时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增． 题型三 函数的极值、最值应用问题例3 设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R .(1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(3)若对于任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,0]上恒成立，求b 的取值范围． 思维启迪：f (x )≤1在[－1,0]上恒成立，转化为f (x )在[－1,0]上的最大值f (x )max ≤1. 解 (1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)．当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 ⎝⎛⎭⎫0，12 12 ⎝⎛⎭⎫12，2 2 (2，＋∞)f ′(x )－＋－＋f (x )单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，2上是减函数． (2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根． 由于f (x )仅在x ＝0处有极值，则方程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或无实根， Δ＝9a 2－4×16≤0，解此不等式，得－83≤a ≤83.这时，f (0)＝b 是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－83，83. (3)由(2)知，当a ∈[－2,2]时，4x 2＋3ax ＋4>0恒成立． ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )在区间(－∞，0]上是减函数． 因此函数f (x )在[－1,0]上的最大值是f (－1)．又∵对任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,0]上恒成立，∴f (－1)≤1，即3－a ＋b ≤1. 于是b ≤a －2在a ∈[－2,2]上恒成立． ∴b ≤－2－2，即b ≤－4.因此满足条件的b 的取值范围是(－∞，－4]．探究提高 (1)对含参函数的极值，要进行讨论，注意f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处取到极值的必要条件．(2)利用函数的极值、最值，可以解决一些不等式的证明、函数零点个数、恒成立问题等．已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围． 解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞， 减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . ②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)． ∴φ(x )min ＝φ(e)， 如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有 φ(x )min ＝ln 22， a 的取值范围为ln 22≤a <1e.导数与函数单调性关系不清致误典例：(14分)已知f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最小值和最大值．易错分析 求函数的单调增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f (x )的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性． 规范解答解 (1)由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －3，[1分] 令f ′(x )≥0 (x ≥2)，得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥2时，t (x )是增函数，[3分] 所以t (x )min ＝32×⎝⎛⎭⎫2－12＝94， 所以a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，94.[6分] (2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，所以a ＝4.[7分] 所以f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.[9分] 令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.[10分]又因为x ∈[1,4]，所以x ＝－13(舍去)，故x ＝3.当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )在[1,3]上为减函数；[11分] 当x ∈(3,4)时，f ′(x )>0，所以f (x )在[3,4]上为增函数．[12分] 所以x ＝3时，f (x )有极小值．于是，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (3)＝－18，而f (1)＝－6，f (4)＝－12，所以f (x )max ＝f (1)＝－6.[14分]温馨提醒 (1)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，其逆命题不成立，因为f ′(x )≥0包括f ′(x )>0或f ′(x )＝0.当f ′(x )>0时函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，当f ′(x )＝0时f (x )在这个区间内为常函数；同理，若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，其逆命题不成立．(2)使f ′(x )＝0的离散的点不影响函数的单调性.方法与技巧1．利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x 轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用． 失误与防范1．研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域． 2．利用单调性求最值时不要忽视f ′(x )＝0的情况． 3．“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x 0取到极值”的必要条件．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1． 函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________．答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是________． 答案 0解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ＋4＝3(x ＋1)2＋1>0，则f (x )在R 上是增函数，故不存在极值点． 3． 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，得函数f ′(x )的草图如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －6b <0，3－6b >0，解得0<b <12. 4． 已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在x ∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为_____________________________________________．答案 [1,8)解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(3,5]时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的极小值为f (3)＝－24，极大值为f (－1)＝8.而f (－2)＝1，f (5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g (x )＝f (x )－m 在x ∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f (x )在[－2,5]内的函数图象与直线y ＝m 有3个交点，故⎩⎪⎨⎪⎧m <8，m ≥1，即m ∈[1,8)． 5． (2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．答案 2x －y ＋1＝0解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴曲线在点(1,3)处的切线斜率k ＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.6． 已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]．7． 函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝________.答案 1解析 f (x )＝x 3－2mx 2＋m 2x ，f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2，由已知f ′(1)＝0，即3－4m ＋m 2＝0，解得m ＝1或m ＝3.当m ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，当m ＝3时，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，则m ＝3应舍去．二、解答题(共27分)8． (13分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a . (1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34， 即m 的最大值为－34. (2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ； 当x ＝2时，f (x )取极小值，f (2)＝2－a ，故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52. 9． (14分)已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a >1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 在区间[－2,2]上为减函数，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－3ax ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝a ，∵a >1，∴f (x )在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．∴f (0)＝b ＝1，∵f (－1)＝－32a ，f (1)＝2－32a ，∴f (－1)<f (1)， ∴f (－1)＝－32a ＝－2，a ＝43.∴f (x )＝x 3－2x 2＋1. (2)g (x )＝x 3－2x 2－mx ＋1，g ′(x )＝3x 2－4x －m .由g (x )在[－2,2]上为减函数，知g ′(x )≤0在x ∈[－2,2]上恒成立．∴⎩⎨⎧ g ′(－2)≤0g ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧20－m ≤04－m ≤0∴m ≥20.∴实数m 的取值范围是m ≥20.B 组 专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1. 设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为__________________．答案 (－∞，－3]∪[－5，＋∞)解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，当f (x )在[1,3]上单调递减时，由⎩⎨⎧f ′(1)≤0，f ′(3)≤0得a ≤－3； 当f (x )在[1,3]上单调递增时，f ′(x )≥0恒成立，则有Δ＝4a 2－4×5≤0或⎩⎨⎧ Δ>0，－a <1f ′(1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－a >3，f ′(3)≥0，得a ∈[－5，＋∞)．综上a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．2． 若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有______个根．答案 1解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，因为a >2，所以2a >4，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1×⎝⎛⎭⎫83－4a ＋1＝113－4a <0，所以f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根．3． (2011·湖南改编)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．答案 22解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t＝2t 2－1t ＝2(t ＋22)(t －22)t . 当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 4． 关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－4,0)解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x <0时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >0－4－a <0，解得－4<a <0. 5． 如果在⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝3x 2＋32x在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是________．答案 4解析 ∵g (x )＝3x 2＋32x且x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则g (x )≥3， 当且仅当x ＝1时，g (x )＝3.又f ′(x )＝2x ＋p ，∴f ′(1)＝0，即2＋p ＝0，得p ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋q ，又f (x )min ＝f (1)＝3，∴1－2＋q ＝3，∴q ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴f (x )max ＝f (2)＝4.6． 已知函数f (x )的导数f ′(x )＝2x －9，且f (0)的值为整数，当x ∈(n ，n ＋1] (n ∈N *)时，f (x )的值为整数的个数有且只有1个，则n ＝________.答案 4解析 ∵f ′(x )＝2x －9，∴f (x )＝x 2－9x ＋c ，∵f (0)＝c 为整数，∴c ∈Z ，又f (1)＝－8＋c ，f (2)＝－14＋c ，f (2)－f (1)＝－6，可见在f (1)到f (2)之间并非有且只有一个整数；同样在f (2)到f (3)之间、f (3)到f (4)之间也并非有且只有一个整数；而f (4)＝－20＋c ，f (5)＝－20＋c ，故在f (4)到f (5)之间有且只有一个整数．因为x ∈(n ，n ＋1] (n ∈N *)，x ≠n ，所以在x ＝5时取得的整数为f (5)＝－20＋c ，故n ＝4.二、解答题(共28分)7． (14分)(2012·安徽)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． 解 (1)f ′(x )＝a e x －1a e x ， 当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增；当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b . (2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32， 解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)， 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12. 8． (14分)如图，已知曲线C 1：y ＝x 3(x ≥0)与曲线C 2：y ＝－2x 3＋3x (x ≥0) 交于点O 、A ，直线x ＝t (0<t <1)与曲线C 1、C 2分别相交于点B 、D .(1)写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系S ＝f (t )；(2)讨论f (t )的单调性，并求f (t )的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3y ＝－2x 3＋3x ， 得交点O 、A 的坐标分别为(0,0)，(1,1)．f (t )＝S △ABD ＋S △OBD ＝12BD ·|1－0|＝12BD ＝12(－3t 3＋3t )， 即f (t )＝－32(t 3－t ) (0<t <1)． (2)f ′(t )＝－92t 2＋32.令f ′(t )＝0，解得t ＝33. 当0<t <33时，f ′(t )>0，从而f (t )在区间⎝⎛⎭⎫0，33上是增函数， 当33<t <1时，f ′(t )<0，从而f (t )在区间⎝⎛⎭⎫33，1上是减函数． 所以当t ＝33时，f (t )有最大值为f ⎝⎛⎭⎫33＝33.。

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