小升初数学数论问题习题大全
小升初数学专项训练+典型例题分析-数论篇(教师版)9页
名校真题 测试卷 数论篇一时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （13年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （13年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原的数的9倍，问这个两位数 是＿＿。
3 （13年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505 =＿＿。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原数为ab ，这样后的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+2113=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得的，不可能出现8，所以答案是D 。
小升初专项训练 数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生说处理起很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
小升初专练-数论问题-带余除法通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-带余除法【知识点归纳】如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．【常考题型】例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x ＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【解题思路】对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．一．选择题1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
小升初思维训练专题：数论
思维训练专题数论该专题主要包括数的整除、数字的奇偶性、质数与合数、约数与倍数、余数问题、不定方程等几部分。
【例题1】从1~9 中选出5 个数字,组成1 个五位数,要求这个五位数能被选中的5 个数字的任何一个数字整除,却不能够被未选中的4 个数字的任何一个数字整除,那么,这个五位数的最小值是。
【练习1】一个自然数,它是5和7的倍数,并且被3除余1,满足这些条件的最小的自然数是_________种。
【例题2】以下由1、2构成的无穷数列有个有趣的特征,从第一项开始,把数字相同的项合成一个组,再按照顺序将每组的项数写下来,则这些数构成的无穷数列恰好是它自身。
这个数列被称为库拉库斯基数列。
按照这个特征,继续写出这个数列后8项（从第14项到第21项）,如果已知这个数列的前50项的和为75,第50项为2,则可知第73项、74项、第75项、第76项分别为。
【练习2】能否从0、1、2、…、13、14这15个数中选出10个不同的数,填入圆圈中,使每两个用线相连的圆圈中的数所形成的差（大减小）各不相同？如能,给出一种填法；如不能,请说明理由。
【例题3】7 个连续的自然数,每个数都是合数,这7 个连续的自然数的和最小是。
【练习3】不全为零的两个自然数的公因数中的最大者,称作这两个数的最大公因数,如果不全为2个自然数的最大公因数为1,则称这两个数称为互素的或互质的,比如2与3互素,3与8互素；12与15不是互素的,因为它们的最大公因素是3。
不超过81的自然数中,有个数与81互素。
【例题4】像2,3,5,7 这样只能被1 和自身整除的大于1 的自然数叫做质数或素数。
将2015 分拆成100个质数之和,要求其中最大的质数尽可能小,那么这个最大质数是。
【练习4】若干个学生去买蛋糕,若每人买M块,则蛋糕店还剩下2块蛋糕；若每人买6块,则最后一名学生只能买1块蛋糕,那么蛋糕店共有蛋糕块。
【例题5】像2,3,5,7 这样的只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质数或者素数。
小升初数学专项解析+习题-数论篇-通用版 -精品
小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
小升初数学专项解析+习题-数论篇-通用版 13页
小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
小升初专练-数论问题-数的整除特征通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-数的整除特征【知识点归纳】整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b 的倍数数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．【经典题型】例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）A、AAABAAB、ABABABC、ABBABBD、ABBABA 分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除解：B=0，ABABAB能被2和5整除，A+A+A的和一定是3的倍数，ABABAB也一定能被3整除，故选：B．点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．【常考题型】例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是（）．分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．解：根据题意可得：四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意；当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意；所以，A代表7，这个四位数是3771．答：A是7，故答案为：7．点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．一．选择题1．下面四个数都是六位数，N是比10小的自然数，S是0，一定能被3和5整除的数是（ ）A．NNNSNN B．NSNSNS C．NSSNSS D．NSSNSN2．某班有一个小图书馆，共有300多本，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即1，2，3…，小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，这个图书馆里至少有（ ）本图书．A．381B．382C．383D．3843．四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填（ ）A．9B．8C．7D．64．用0，3，4，5四个数字组成的所有四位数都能被（ ）整除．A．2B．3C．55．用1～8八个数字组成两个四位数，每个数字只用1次．已知两个四位数都是9的整数倍，则两个四位数的差的最大值为（ ）A．5286B．4184C．7531D．70656．下列各数中是11的倍数的是（ ）A．75087B．117208C．632599D．4563517．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是（ ）A．1235B．1245C．2415二．填空题8．有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位忘记了，但是这个六位数能被11和13整除，那么这个号码是 。
100个数论经典例题
100个数论经典例题1. 证明：无理数的十进展开不可能是一个重复的数字序列。
2. 证明：一个正整数为完全平方数的充分必要条件是它的每个质因子的指数都是偶数。
3. 证明：有理数的不循环小数展开是独一无二的。
4. 如果两个整数m和n的最大公约数是1，那么m/n的分数形式是既简单又唯一的。
5. 证明：对于任意自然数n，n²+n+41都是一个质数。
6. 证明：对于任意自然数n，3n²+3n+7都是一个质数。
7. 求1²+2²+3²+...+n²的值，并给出证明。
8. 求1³+2³+3³+...+n³的值，并给出证明。
9. 证明：无穷多个素数是等差数列的形式。
10. 设p是一个素数，证明：x²≡-1(mod p）的解的个数为0或2。
11. 给定一个正整数n，求所有满足φ(x)=n的正整数x，其中φ(x)表示小于x且与x互质的正整数的个数（欧拉函数）。
12. 证明：若p是任意一个素数，则对于任意自然数n，(n+p)!≡n!pⁿ(mod p²)。
13. 证明：若p是任意一个素数，则对于任意自然数n，n!≡-1(mod p)当且仅当p=2或p≡1(mod 4)。
14. 对于任意一个素数p和整数a，证明：x²≡a(mod p）有解的充分必要条件是a^(p-1)/2≡±1(mod p)。
15. 证明：对于任意自然数n，存在无限多个三元组(x,y,z)使得x⁴+y⁴=z³。
16. 证明：对于任意正整数k，存在无限多个素数p，使得p≡1(mod k)。
17. 求2²+4²+6²+...+50²的值，并给出证明。
18. 求1+2+3+...+99+100的值，并给出证明。
19. 给定正整数a、b、n，求aⁿ+bⁿ的最大公因数，并给出证明。
小升初数学数论问题习题大全
1数论问题【数的整除】【知识点拨】1.一些被常见数整除的特征：2系列；3系列；5系列；7、11、13系列 ○12系列 被2整除只需看个位能否被2整除 被4除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推 ○23系列 被3整除只需看各位数字之和能否被3整除 被9整除只需看各位数字之和能否被9整除 ○35系列 被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除 即只可能是00，25，50，75被125整除的特征依次类推看末三位 ○47、11、13系别 通用特点：(1)一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除 比如201201＝201×1001，则其必然能被7、11、13整除 (2)从右过开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差(大减小)如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 【例1】123456789奇数段之和：789+123＝912 偶数段之和：456奇数段与偶数段之差：912-456＝456456不是7的倍数，不是11的倍数，不是13的倍数。
则123456789也不是7，11，13的倍数特殊特点： 被11整除：从右边开始，奇数位之和与偶数位之和的差（大减小）是11的倍数【小试牛刀】1.判断下列各数，哪些能被4、8、25、125、3、9、11其中的一些数整除。
437250 96255 42104 6875 752604 3082.判断1027、45038，哪个能被13整除，哪个能被7整除？3.如果有一个九位数A1999311B 能被72整除，那么A 、B 两数值差为____________.4.若四位数a 987能被3整除，那么a =___________.5.0、3、5、7四个数字中选取3个排成能同时被2、3、5整除的三位数，符合条件的三位数有___________.6.多位数200973620092009⋅⋅⋅，能被11整除，n 最小值为__________.学校_____________ 班级_______________ 姓名_______________ 联系方式_______________密 封 线2【分解质因数】【知识点拨】1.质因数与分解质因数(1)质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 (2)互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数(3)分解质因数：把一个数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 例如：53230⨯⨯=.其中2、3、5叫做30的质因数. 又如:32322122⨯=⨯⨯=，2、3都叫做12的质因数.其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.(4)分解质因数的方法:短除法(是短除法的符号)所以12＝2×2×3)例如：【小试牛刀】1.有24个梨平均分给小朋友，每份大于1个，小于24个，一共有多少种不同的分配方法？2.150个同学排成长队做操，行数和列数都不能为1，共有多少种排法？3.甲比乙多2个苹果，两人苹果数的积是24，问:甲、乙各有几个苹果？4.公园内有三只小熊猫，恰好一只比一只大1岁，它们的年之积是60，问:最小的熊猫几岁？5.三个连续偶数的积是192，这三个连续偶数的和是多少?6.有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是3210m ，求长方体的 表面积。
小升初数学专题训练-数论专题
整除问题：1. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.3. 所有能被3整除的两位数的和是______.4. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.5. 形如345612345634563456n 个，且能被11整除的最小自然数中的n 等于_____.合数与质数：6. 在下面算式的方框内，各填入一个互不相同的数字，使得□□□×□=1995成立。
7. 自然数a 乘以2376，正好是自然数b 的平方。
求a 的最小值_____。
9.有一个自然数，它有3个不同的质因数，而有16个约数。
其中一个质因数是两位数，它的数字之和是11，并要求这个质数尽可能大，问这个自然数最小是_____.10.在1～300之间，求出：约数个数正好是15个的自然数_____。
11.在乘积1000×999×998×…×3×2×1 中，末尾连续有_____个零.12.在101与300之间，只有3个约数的自然数有_____个.13.有五个连续的奇数，它们的积为135135，求这五个奇数_____._____._____._____._____.14.把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是_____.最大公约数与最小公倍数：15.现有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能地大，那么这4个数的最大公约数是_____.16.设,A B两个数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于_____.17.已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数_____.18.所有形如abcabc的六位数，它们的最大公约数是_____.19.三条圆形跑道，圆心都在操场的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步. 开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长15千米，中圈跑道长14千米，外圈跑道长38千米. 甲每小时跑72千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米，问他们同时出发，_____小时后3人第一次同时回到出发点余数问题：20.一班同学买了310个本子，如果分给每个同学相同数量的本子后还余下37本。
小升初数学 数论综合练习题及答案解析
数论综合1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?9．设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．(考虑除以4的余数)14．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?数论综合答案涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
2022年小升初冲刺(数论整理汇总)
2022年小升初冲刺数论问题独家原创最新最全命中模块一：奇数与偶数题型一例1（广益）三个连续奇数的和是 129，其中最大的那个奇数是？演练1（雅礼）7 个连续奇数的和是 161，其中最小的是（）。
演练2三个奇数的和是63，则中间的奇数是（）题型二例2 三个连续偶数的乘积是960，这三个数是多少？演练1三个连续的偶数，中间的一个数是A+3，其余两个数是（）。
演练2（附中）已知九个连续自然偶数，其中最大数是最小数的 9 倍，则这九个数中最大数是（）。
题型三例2（雅礼）有一串数 1,4,7,10,13,16,19......，问这串数的前 2017 个数中，有（）个偶数。
演练1（中雅）有一串数 1,4,7,10,13,16,19,22......，问这串数的前 2024 个数中，有（）个偶数。
演练2一列数前两个都是1，从第三个开始，每个数是前两个的和。
即1,1,2,3,5,8,13...到第2000个数为止，共有（）个奇数。
题型四例3（GY）有13个不同正整数，它们的和是100，其中偶数最多有（）个。
演练1 50个不同的正整数，它们的总和是2011，那么这些数里奇数至多有（）。
个。
演练2两个两位数，若他们的乘积恰由连续的奇数组成（从小到大排列），则这两个两位数就称为一对“金鸡数”，比如 17×21=357，因此（17，21）就是一对“金鸡数”，“金鸡数”共有（）对。
题型五例5 （麓山） 2413111=++（）（）（）（要求三个加数的分母是连续偶数） 演练1 已知abc 都是整数，则下列三个数2b a +，2c b +，2a c +整数的个数有（ ）个。
演练2 8盏灯,从1到8编号,开始时3,6,7,编号的灯是亮的.如果一个小朋友按1到8拉开关,再从1到8拉开关,一共拉动500次,此时( )个编号的灯是亮着的.模块二：质数与合数题型一例1 （附中）小丽和读初三哥哥的岁数是互质数，积是 144，小丽岁数是多少岁？演练1 有三个不同的质数和是14，这三个质数的积是（ ）演练2 有两个不同的质数之和是13，积是22，那么他们的差是（ ）题型二例2（ZY ）三个不同的质数 m 、n 、p ，满足 m +n =p ，则 mnp 的最小值是多少？演练1（中雅）三个数 p 、p+1、p+3都是质数，它们的倒数和的倒数是（ ）。
小升初奥数专题：数论问题
÷
2
÷
6
=
7 小时；
240
乙跑半圈的时间为0.5
÷
2
÷
7.5=1 小Fra bibliotek；30
丙跑半圈的时间为0.75
÷
2
÷
10
=
3 小时；
80
通分可得： 7 、 8 、 9 ；
240 240 240
再求出7、8、9的最小公倍数为504； 504 ÷ 240 = 2.1（小时） 2.1小时 = 126分钟 对比(1)、(2)，可知在第一次同时到中点的用时比第一次到终点的用时要少，所以，第 一次同时位于图中水平线上需用时126分钟． 故答案为：126． 5. 【答案】
数应该有偶数个约数；但当正整数有为完全平方数的约数时，就会有奇数个约数；
根据题意：“两个数的乘积等于2800，其中一个数的约数个数比另一个数的约数多1”， 这表明：这两个数中有一个是完全平方数；
试卷第 2 页，总 6 页
由于：2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7，其属于完全平方数的约数有五个：22 = 4、42 = 16、 52 = 25、102 = 100、202 = 400， 分别进行分析：2800 = 4 × 700，各有3个和16个约数，不符合题意， = 7 × 400，各有2 个和15个约数，不符合题意， 2800 = 16 × 175，各有5个和6个约数，符合题意， = 25 × 112，各有3个和10个约数，不 符合题意， = 28 × 100，各有6个和9个约数，不符合题意． 故答案为：16，175． 3.
126 【考点】 分数的最大公约数和最小公倍数 【解析】 求出三人跑一圈或半圈用的时间，再将其化为最简分数，通分，求出分子的最小公倍 数，除以分母即可． 【解答】 解：(1)同时回到终点，跑一圈的情况：
六年级下册数学试题-小升初专项练习题：数论(5)(解析版)全国通用
小升初专项练习题数论1.【★★★】从1，3，5，7，…。
97，99，101中最多可以选出n 个数，使得选出的这n 个数中，每个都不是另一个数的倍数，那么n =_______【分析】 1，3，5，……，101这些数中，35…101这34个数中，每个数都不是另一个数的倍数。
因为1，3，5，……，101都可以写成的形式（其中是0或自然数，是不能被3整除的自然数）由于1，3，5，……，101有17个不能被3整除的数，剩下51-17=34个数不是3的倍数。
所以的值有34种，所以342.【★★★】一个三位数等于它的各位数字之和的19倍，问这样的三位数最大是________，最小是______.【分析】 设这个三位数为，根据题意的：=19×（），因为≤29，所以114≤≤513所以19×6=114最小，19×15=285最大3.【★★★】，除以余，除以余，除以余，这个数最小是（ ）【分析】 运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：。
4.【★★★】一位现在一百多岁的老寿星，公元时的年龄为岁，则此老寿星年多少岁？【分析】 ，老寿星出生于：，所以年为：岁。
3a t •a t t n =abc abc a b c ++a b c ++abc 1A A 11597 13313032x x 20012441936=1936441892-=200120011892109-=5.【★★★】两个连续自然数的平方和等于，又有三个连续自然数的平方和等于，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______。
【分析】所以这两个连续自然数为、，，所以这三个连续自然数为、、。
6.【★★★】已知都是自然数，且=，则的最小值为_______________。
【分析】所以，最小值为。
7.【★★★】学校新买来个乒乓球，个乒乓球拍和个乒乓球网，如果将这种物品每样均平分给每个班，那么这三种物品剩下的数量相同，请问学校有多少个班？【分析】 ，，，利用被除数之间的差能被除数整除的原则，求出 所以学校有个班。
小升初真题之数论篇（含答案）
小升初真题之数论篇（含答案）小升初真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
【数论篇】名校真题小学数学 小升初专项训练含答案
小升初专项训练名校真题 测试卷 数论篇一时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （13年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （13年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 （13年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505 =＿＿。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+2113=1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。
小升初专项训练数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
小升初专练-数论问题-奇偶性问题通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-奇偶性问题【知识点归纳】主要用到的知识点：1．奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±奇数=奇数．2．奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数．3．奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数．4．若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数．5．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1．【常考题型】例1：一个偶数，各个数位上的数字之和是24，这个数最小是（）．分析：根据自然数的组成规律可和，一个自然数位数越少，其值就越小，由于这个偶数的各位数之和为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．由于三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可为8，或7、8、9．而要求这个数最小可为几，一个数高位上的数越小，其值就越小，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．解：由于这个偶数的各位数之各为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可全为8，或7、8、9．要求这个数最小可为几，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．故答案为：798．点评：了解自然数的组成规律及数位知识是完成本题的关键．一．选择题1．×2的乘积一定不是（ ）A．奇数B．偶数C．合数2．M是一个奇数，N是一个偶数，下面（ ）的值一定是奇数．A．4M+3N B．3M+2N C．2M+7N D．2（M+N）3．x与y均为非零自然数，其中x既不是质数也不是合数，y是奇数，那么x与y的和一定是（ ）A．偶数B．质数C．奇数D．无法确定4．2004个连续自然数的和是（ ）A．奇数B．偶数C．可能是奇数，也可能是偶数5．3□□×24的积（ ）A．是奇数B．是偶数C．可能是奇数，可能是偶数6．下面的4个数中，只有一个数是连续自然数的乘积，它是（ ）A．285B．169C．342D．214二．填空题7．1+3+5+…+97+99的和是 数；147×289×303×210×43的积是 数。
小升初奥数专项之数论(含答案)
小升初奥数专项之数论（含答案）姓名： 日期：1、如图，有个正方体木块，每个面各写了一个自然数，并且相对的两个面上的两个数之和相等，现在只能看见三个面上写的数，如果看不见的各面上写的都是质数，那么这三个质数的和是 ．解析：57对面的数应该是2，所以另外两个数为57+2-6=53，57+2-12=47，这三个数的和为2+53+47=1022、已知a 是质数，b 是偶数，且a 2+b=2008，则a+b+1= ．解析：2008-偶数=偶数，所以a=2，b=2008-22=2004，a+b+1=2+2004+1=20073、若自然数p ，2p+1，4p+1都是素数，那么8P 5+55=？解析：p=3，8×35+55=19994、用285、5615、2120分别去除某一个分数，所得的商都是整数，这个分数最小是 ． 解析：[528，1556，2021]= [5,15,20]{28,56,21}=6075、有一个电子闹钟每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次，中午12时电子钟既响铃又亮灯．下一次既响铃又亮灯是几时？解析：[9，60]=180，需要3小时，所以下一次是下午15点6、黑板上写有一串数：1、2、3、…、2011、2012，任意擦去几个数，并写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数，如：擦去8、9、10、11、12，因为（8+9+10+11+12）÷11=4…6，于是写上6，这样操作下去，一直到黑板上只剩下一个数，则这个数是．解析：一次性全部擦掉，（1+2+3+……+2012）÷11，余数为0，所以剩下07、被3除余2，被4除余3，被5除余4的最小的数是．解析：[3，4，5]-1=598、二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×2+1=5，二进制（1011）2可用十进制表示为1×23+0×22+1×2+1=11，那么二进制数（11011）2用十进制表示为（）A．25 B．27 C．29 D．31解析：16+8+2+1=27，选择B9、右图是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数．甲说：我打了六枪，每枪都中靶得分，共得了27分．乙说：我打了3枪，每枪都中靶得分，共得了27分．已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是．解析：甲，因为得分全是奇数，偶数枪的和为偶数，奇数枪的和为奇数10、一个整数a与1080的乘积是个完全平方数，这a的最小值是．解析：1080=23×33×5，a至少为2×3×5=3011、求最小的正整数n，值得2006+7n是完全平方数。
小升初数学专项解析+习题-数论篇(附答案).doc
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】小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
人教版六年级下册数学试题小升初专项练习题：数论(解析版)
小升初专项练习题数论1.【★★★★】求下式约简后的分母：2.【★★★★】任意一个自然数,当为奇数时，加上；当为偶数的时候，除以。
算一次操作。
现在对于连续进行这种操作，在操作过程中是否能出现？为什么？3.【★★★★】肖红家的电话号码是个七位数。
将前4位组成的数与后三位组成的数相加，得到7088；将前三位组成的数与后四位组成的数相加，得到1922。
肖红家的电话号码是______。
4.【★★★★】已知两个自然数，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于，而这两个数的最小公倍数是，则这两个数分别是_______、_______。
5.【★★★★】年月日是小红的岁生日。
爸爸在的前边和后边各添了一个数字，组成了一个六位数。
这个六位数正好能同时被她的年龄数、出生月份数和日期数整除。
求这个六位数。
1234569010026262626⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯n n 121n 2572100189752004621120046.【★★★★】在至之间，有三个连续自然数，其中。
最小的能被整除，中间的能被整除，最大的能被整除，那么，这样的三个连续自然数是 。
7.【★★★★】先任意指定个整数，然后将它们按任意顺序填入方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。
最后，将所有同一列的两个数之和相乘。
那么，积是 数。
(填奇或偶)。
8.【★★★★】将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。
已知这两个三位数的乘积等于，那么，这两个三位数的和等于 。
9.【★★★★】余 。
10.【★★★★】(85)N 是(7)N 的11倍，则(338)N ＝____________。
200300357727⨯52605199677777741⋅⋅⋅÷个小升初专项练习题数论1.【★★★★】求下式约简后的分母：【分析】分子有个相乘，有个相乘，分母有个相乘，个相乘，约简完分母为。
2.【★★★★】任意一个自然数,当为奇数时，加上；当为偶数的时候，除以。
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1数论问题【数的整除】【知识点拨】1.一些被常见数整除的特征：2系列；3系列；5系列；7、11、13系列 ○12系列 被2整除只需看个位能否被2整除 被4除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推 ○23系列 被3整除只需看各位数字之和能否被3整除 被9整除只需看各位数字之和能否被9整除 ○35系列 被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除 即只可能是00，25，50，75被125整除的特征依次类推看末三位 ○47、11、13系别 通用特点：(1)一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除 比如201201＝201×1001，则其必然能被7、11、13整除 (2)从右过开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差(大减小)如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 【例1】123456789奇数段之和：789+123＝912 偶数段之和：456奇数段与偶数段之差：912-456＝456456不是7的倍数，不是11的倍数，不是13的倍数。
则123456789也不是7，11，13的倍数特殊特点： 被11整除：从右边开始，奇数位之和与偶数位之和的差（大减小）是11的倍数【小试牛刀】1.判断下列各数，哪些能被4、8、25、125、3、9、11其中的一些数整除。
437250 96255 42104 6875 752604 3082.判断1027、45038，哪个能被13整除，哪个能被7整除？3.如果有一个九位数A1999311B 能被72整除，那么A 、B 两数值差为____________.4.若四位数a 987能被3整除，那么a =___________.5.0、3、5、7四个数字中选取3个排成能同时被2、3、5整除的三位数，符合条件的三位数有___________.6.多位数200973620092009⋅⋅⋅，能被11整除，n 最小值为__________.学校_____________ 班级_______________ 姓名_______________ 联系方式_______________密 封 线2【分解质因数】【知识点拨】1.质因数与分解质因数(1)质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 (2)互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数(3)分解质因数：把一个数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 例如：53230⨯⨯=.其中2、3、5叫做30的质因数. 又如:32322122⨯=⨯⨯=，2、3都叫做12的质因数.其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.(4)分解质因数的方法:短除法(是短除法的符号)所以12＝2×2×3)例如：【小试牛刀】1.有24个梨平均分给小朋友，每份大于1个，小于24个，一共有多少种不同的分配方法？2.150个同学排成长队做操，行数和列数都不能为1，共有多少种排法？3.甲比乙多2个苹果，两人苹果数的积是24，问:甲、乙各有几个苹果？4.公园内有三只小熊猫，恰好一只比一只大1岁，它们的年之积是60，问:最小的熊猫几岁？5.三个连续偶数的积是192，这三个连续偶数的和是多少?6.有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是3210m ，求长方体的 表面积。
7. 要使（ ）301251915⨯⨯⨯⨯的积的末尾有四个0，括号内最小应是什么数？8. 把39，45，49，56，60，70，78，84，91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积相等。
9.小明参加区小学五年级数学竟赛，获得的名次、分数和他的年龄的乘积是3492，你猜小明的名次和成绩各是多少?10.陈老师有一张电影票，电影票的排数和行数的最小公倍数是84，最大公约数是3，3那么陈老师在第几排、第几座(排数小于座数)？11.如果48,14=⨯=+B A B A ，那么A 与B 的差是多少? 12.把323247和6946约分。
13.老师用100元去买一种钢笔若干支，如果每支便宜1元，那就多买5支。
问:钢笔的原价是多少？14.求1150的约数中，除了它本身以外最大的约数是几?15.有三个自然数a 、b 、c ，已知77,55,35=⨯=⨯=⨯a c c b b a ，求a 、b 、c 三数的乘积.16.张爷爷今年84岁，他告诉人家:“我有3个孙子，他们年龄的乗积和我的年龄一样大，而且两个孙子的年龄和正好是另外一个孙子的年龄。
“问:张爷爷的三个孙子各是多大?17.把一批图书分给三个班，每个班所得的本数一班比一班多3本，且各班所得图书的乘积为910。
问:三个班各得多少本？18.在100到200之间找出两个整数，使它的乘积等于30030.19.十几辆卡车运输315桶汽油，每辆卡车运的桶数一样多，且一次运完，问:有多少辆卡车?20.某超市出售5元的笔记本，降价处理后，一下子卖完库存，共得319.3元，问:库存 多少本笔记本，每本降价多少?4【约数和倍数】【知识点拨】1.约数和倍数：若整数a 能够被b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；在所有约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
求一个数约数个数的方法：cbaz y x A ⨯⨯=（x 、y 、z 互质），A 的约数个数有()()()111+⨯+⨯+c b a【例1】360有几个约数先将360分解质因数：123532533222360⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=，那么360的约数有：()()()24111213=+++求最大公约数基本方法：1.分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
【例】.732252,117323122⨯⨯=⨯⨯=，所以()2173252231=⨯=，2.短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘.3.辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
【例】求6731和2809的最大公因数1113228096731⋅⋅⋅=÷，583211132809⋅⋅⋅=÷，53015831113⋅⋅⋅=÷，531530583⋅⋅⋅=÷，1053530=÷无余数，所以6731和2809的最大公因数为53公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
求最小公倍数基本方法：1.短除法：先找所包含的因数，然后相乘2.分解质因数：先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次. 【例】732252,117323122⨯⨯=⨯⨯= 所以[]11732252,23122⨯⨯⨯=【小试牛刀】1.60、144、360各有几个约数？2.两个数的的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，这两个整数分别是_________和__________.3.甲数是36，甲乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是___________.4.若A=2×3×5，B=2×2×3，那么A 和B 的最大公因数是__________,最小公倍数是________.5.把120分解质因数，120的因数一共有___________个.6.两个连续偶数的和是34，这两个数分别是__________、_________它们的最大公约数是__________，最小公倍数是___________.7. 一个乘法算式：975×935×932×（ ），要使这个乘积的最后四位数字都是0，括号中最小应填___________.8.在大于100并且不超过300的自然数中有__________个数是5的倍数.9.两个自然数a与b的最大公因数是14，最小公倍数是280，它们的和是________或___________.10.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，已知这两个数和是77，这两个数分别是__________和__________.11.有三根钢管，分别长200cm、240cm、360cm，现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？12.某苗圃的工人加工一种精巧的盆景，第一批加工1788个，第二批加工1680个，第三批加工2098个，各批平均分给工人加工，分别剩下7个、3个、5个，问：最多有多少工人参加加工？13.一间长5.6m、宽3.2m的屋子，它的水泥地在施工中要划成正方形的格子，这种方格面积最大是多少平方米?14.有一个数分别去除492，2241，3195余数都是15，求这个数最大是多少?15.两个数之和为104055，最大公约数为6937，这样的两个数共有几组?16.用尽可能大的整数作除数去除265、365、607三数，余数分别为1，5，7，同:这个除数是几？17.有长方形土地一块，长532m，宽308m，现在四角和四周植树，两棵树之间的距离相等且要求最大，求一共能植树多少棵？两棵树之间的距离是多少？18.有一个三角形花圃，三边的长度分别是56m、36m、24m。
现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。
问:一共栽多少株菊花?19.现有12dm的铁丝12根，18dm的铁丝9根24dm的铁丝10根。
现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，求铁丝长多少米？可以截多少根？520.两个自然数的差是14，它们的最大公约数是14，最小公倍数是84。
这两个数各是多少？21.有一个数乗以222，其积为1295的倍数，这个数最小是多少?22.已知两个数的和是125，它们的最大公约数是25，求这两个数.23.有周长为7920m的跑马场，红马每分钟跑396m，白马每分钟跑528m，黑马每分钟跑660m，现三马同时由一点沿马场周围跑，问：几分钟后它们能在出发点第一次相遇?24.设计一种底面为正方形的仓箱装运四种不同规格的药盒，每种药盒是正方体，其边长分别是21cm、12cm、14cm和10.5cm，要使仓储箱不论装哪一种药盒都能铺满底盒。
问:仓储箱的底面边长至少要多少厘米?25.长方形砖长42cm，宽26cm，用这种砖铺成一个正方形地面，至少需要多少块砖？26.一排电线杆每两根的距离为45m，现在要改为60m，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不需要移动？27.公路上一排电线杆共25根，每相邻两根间的距离原来都是45m，现在要改成60m，可以几根不要移动？28.把一批奖金分给甲、乙两个生产组，平均每人得6元，如果只分给甲组，平均每人可得10元，如果只分给乙组，每人可得几元？29.不满千人的土兵等分为四队。