武汉理工材料力学第07章a(应力状态)

F
30° A
l
l
120
解：
20
10 Iz 1.46108(mm4)
300
z
80
S
* z

1070115
20
+ 20120160
60°
s

M Iz
y
74(MPa )
s
t
x
s
t

FS Sz* Izb

29(MPa
)
∴ s x 74 , s y 0 , t xy 29 , a 60
[例5] 求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平 面和主应力。单位MPa
解： s x 50 , s y 30 , t xy 20
30
s s
max min

s
x
s
2
y

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy
x
50
20
5030 （50 30）2 202
2
2
10

s
x
s
2
y）2
t
2 a
（s
x
s
2
y）2
t
2 xy
（s a

s
x
s
2
y）2

t
2 a
（s
x
s
2
y）2
t
2 xy
与圆方程相比较： x a2 y2 R2
t
R
s
s x s y
2
R

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy
此圆称为应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）
44.7

54.7
34.7
∴ s1 54.7MPa
s2 0 s 3 34.7MPa
tan2a0


s
2t xy x s
y


220 50 30
tan 2a0 0.5
tan 2a0 0.5 2a0 26.56
a0 13.28
a0 76.72
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
2
3
4
5
t
t max
1
s
t
3
t
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
1
s
2
3
4
5
t
t
t max
s
4
s
t
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
2
3
4
5
t
t max
s
s
5
1
s
5s
[例4] 如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内
压力为
p，容器直径D，壁厚。
(
D

≥ 20)
p
s
D
l
用横截面将容器截开，受力如图所示,根据平衡方程
（2）应力圆的画法 ①建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
②在坐标系内画出点A(s x，txy) 和B(sy，tyx)
122.5(MPa )
a
z 270
15
t
a

FS
S
* z
Izb

200103
[ 12015 (150 88106 9

7.5)
]
b
64.6(MPa )
ta
a
sa
s max s min


s
x
s
2
y

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy

150MPa 27MPa
s1 150MPa , s 2 0, s 3 27MPa
第七章 应力和应变分析 强度理论
§7–1 应力状态概述 §7–2 二向和三向应力状态的实例 §7–3 二向应力状态分析——解析法 §7–4 二向应力状态分析——图解法 §7–5 三向应力状态分析 §7–8 广义胡克定律 §7–9 复杂应力状态的应变能密度 §7–10 强度理论概述 §7–11 四种常用 强度理论
A
F
s
Me
Me
解：s F 20(MPa )
A
Wt

d 3
16
t s
A
t a0
sx
t

s1
T
s3 30(MPa )
Wt
s s
max min


s
x
s
2
y

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy

41.6MPa 21.6MPa
s1 41.6MPa , s 2 0, s 3 21.6MPa
120
tan2a0

s
2t xy
x s
y


264.6 122.5
1.055
a
2a0 46.5
s1
a0 23.26
a0 66.7
a
a s3
ta sa
b x
s1
0
s3
sb

Mymax Iz

80106 150 88106

136.5(MPa
)
s1 136.5MPa , s 2 s 3 0
s ydAsin2a t yxdAsina cosa 0
sa s x cos2a t xy cosa sina s y sin2a t yx sina cosa
由tyx=txy和三角变换，得：
sa

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
sin2a
sa

s
x
s
2
y

s
x
s
2
30
30° 30°
50
20
解： s x 50 , s y 30 ,
x
t xy 20 , a 30
s
30

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
sin2a
sa ta

50 2
30

50 2
30 cos
60

20sin60
12.7(MPa )
t
30

s
x
s
2
y
sin2a
F
F
dx
dx
s
s
A
[例2] 画出图中A点的应力单元体。
A
Me
Me
t t
t
t
t
t
纯剪切应力状态
[例3] 画出图中各点的应力单元体。
F1
F2
q
1
2 3 4
5
M
FS
sM
FS
t
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
2
3
4
5
t
s
s
t max
1
s
s
1
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
1
s
2
3
4
5
t
t
s
s
t max
2
t
F1
令 ta =0 ， 可得主平面的方位：
t xy
由
ta

s
x
s
2
y
sin2a
t
xy
cos2a
sx
得
s
x
s
2
y
sin2a
t
xy
cos2a

0
tan2a
0


s
2t xy x s
y
s1 smax
sa
a
ta x
tyx
sy
s2 smin
a0
即：最大和最小正应力就是主应力。 s2smin
s1smax
sa
a
ta x
tyx
sy
tan2a0


s
2t xy x s
y
切应力箭头所在象限就是最 大正应力所在象限。
由 此 得 两 个 驻 点 ：a 0和a 0
(a
0

a
0


2
)
smax
smin
s max s min


s
x
s
2
y

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy
smin
a0
smax
三、主平面和主应力
sy tyz tyx
tzx
t tzy xy
sz txz
s x
sy
A
三、为什么要研究一点处的应力状态
A
A
F Me
l
A A
p
A
A
F F
s y云纹图
s x云纹图
t xy云纹图
F F
sy云纹图
s x云纹图
F
sy
sx
sx
txy
sy
F
四、主平面、主应力： （1）主平面(Principal Plane)：
s s
max min


s
x
s
2
y

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy
s3
tyx s1t

t
2 xy
t
s1 t ，s 2 0 ，s 3 t
a0 45
tan2a0


s
2t xy x s
y

2a0 90
铸铁扭转破坏断口分析
Me
Me
s1
s3
s3 s1
tan 2a0
2t xy s x s y
2(30)
20
3
2a0 71.6
a0 35.8
F
A
Me
F Me
t
A
s
F
A
Me
s3
s1
F
Me
s1
a0 35.8
x
s3
§7–4 二向应力状态分析——图解法
txy
sa a
sx
ta
sy tyx
t
（1）应力圆（ Stress Circle）
问题的提出 F
A F
A
A
s x sz
sy tyz tyx
tzx
t tzy xy
sz txz
s x
sy
A
§7–1 应力状态概述
一、什么是一点的应力状态
一点的受力状态。
二、一点处应力状态的表示方法
s x
（1）单元体
sz
单元体各面上应力均布；相
互平行的面上应力相等。
（2）应力分量
sx sy sz t xy t yz t zx t yx t zy t xz
30s3
s1
x
50
20 s1
a0
s3
在单元体上画出主平面和主应力
切应力箭头所在象限就是最 大正应力所在象限。
[例6] 分析受扭构件的应力状态。
Me
tyx
解:(1)单元体如图所示
s x s y 0
CA Me
t A xy
t

T Wt
t xy t
s1 y s3t
a0 45
txy
x
(2)主应力
§7–3 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态: 单元体有一对平面上的应力为零。
y
tyx
sx
sy
txy sx
txy
sx tyx
sy tyx
sx txy
z sy
xwk.baidu.com
sy
一、任意斜截面上的应力
二、最大正应力和最小正应力
三、主平面和主应力
四、应力圆（莫尔圆）
一、任意斜截面上的应力
已知：sx、 s y、txy 、a
y
cos 2a
t
xy sin2a
同理：
ta

s
x
s
2
y
sin2a
t
xy
cos 2a
正负号规定： (1)正应力拉为正；
2切应力绕研究对象顺时针转为正；
3a逆时针为正。
t xy
sa
a
n
sx t yx
ta
sy
t
txy
sx a
tyx
sy n
tyx a txy sx
sy
[例4] 求斜截面上的应力，单位MPa
t
xy
cos2a

50 2
30sin60

20cos 60
44.6(MPa )
[例5] 已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。
F
30° A
120
20 10
300
z
80
l
l
20
90kN
+
－ 90kN
135kNm
+
s
A
60°
t
x
s
[例5] 已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。
sa

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos
2a
t
xy
sin2a
ta

s
x
s
2
y
sin2a
t
xy
cos 2a
对上述方程消去参数（2a），得到曲线的
表达式：
(s
a

s
x
s
2
y
)2

s
(
x
s
2
y
cos
2a
t
xy
sin2a
)2
s
t
两边相加得：
2a

s
(
x
s
2
y
sin2a
t
xy
cos
2a
)2
（s a
一个主应力不为零的应力状态。
s1
s 1
2、二向应力状态（Plane State of Stress）：
二个主应力不为零的应力状态。
s1
s 2 s 1
3、三向应力状态（ Three—Dimensional State of Sstr2ess）：
三个主应力都不为零的应力状态。
s2 s3
s1
s1
s3
s2
§7–2 二向和三向应力状态的实例 [例1]画出图中的A点的应力单元体。
s
60

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
sin2a

74 2

724 cos 120

(29)sin120
43.6(MPa )
t
60

s
x
s
2
y
sin2a
t
xy
cos2a
724sin120 (29)cos120
46.5(MPa )
s 60° t 60°
s 60° t 60°
s D pD4 2
s
s
s

pD
4
l
s
s
l
l
l
s
p
s
s (l )2 pDl
s

pD
2
p
s
s
l
s '' s ''
s '' s'
l
s ''
l
s

pD
4
s'
s

pD
2
s1
s

pD
2
s
2
s

pD
4
压力容器应力测量工程实例
[例7 ] 求C截面左侧 a、b两点的主应力及主平面。
250kN
A
C
1.6m
2m
200kN
+ –
80(kNm) +
120
B
15
9
z 270 a
15
b
50kN
ta
a
sa
b
sb
解：I z

1203003 12

1112703 12
88106(mm
4)
120
15
9
sa

Mya Iz

80106 135 88106
sy
切应力为零的截面。
任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。
sx
（2）主应力(Principal Stress ）：
sz
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s1≥s2≥s3
s3
s1
s2
A
AA
五、应力状态分类
1、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：
sx
求： sa、 ta
txy
sx a
tyx
sy
tyx
sx
txy
sy
sa
txy
sx
ta
t yxsy
sy tyx
sx txy sy
sa
ta
解：设斜截面面积为dA，
dAcosa dAsina
sa ta
t xy
sa
n
a
sx t yx
ta
dA
sy
t
由平衡得：Fn 0 , sa dA s xdAcos2a t xydAcosa sina
A
二、最大正应力和最小正应力
s
a

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
s
in2a
sa
τxy
a
sx
ta
τyx
sy
sa 是a的周期函数，周期为
二、最大正应力和最小正应力
sa

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
sin2a
t xy
sx
令:
dsa da
0,
得：（s x s
y）sin2a 2t xy cos2a 0
b
15
z 270
15
sb
[例8 ] 求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，
Me=47.1N·m，d=20mm。
F
A
F
s
t
t s
t
A
s
Me
Me
Me F
T FN
A
[例8 ] 求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，
Me=47.1N·m，d=20mm。
t
s3
s1
F