备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)附详细答案

备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)附详细答案

一、直角三角形的边角关系

1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？

（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形23

15688

t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165

t =

时，OE OQ ⊥. 【解析】

【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．

（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．

（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出

EC GQ OC OG

=，由此构建方程即可解决问题．

【详解】

（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，

∴22108-=6（cm ），

∵OD 垂直平分线段AC ，

∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，

∵CD ∥AB ，

∴∠BAC=∠DCO ，

∵∠DOC=∠ACB ，

∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD

==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），

∵PB=t ，PE ⊥AB ， 易知：PE=34

t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，

∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，

∴PE=EC ，

∴

34

t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．

（2）如图，连接OE ，PC ．

S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）

=1414153154338838252

524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =28

1516(05)33

t t t -+

+<<． （3）存在． ∵2

8568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=

52

时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．

∵OE ⊥OQ ，

∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，

∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQ

OC OG

=，

∴

3

5

8

5

4

4

34

5

t

t

t -

=

-

，

整理得：5t2-66t+160=0，

解得

16

5

t=或10（舍弃）

∴当16

5

t=秒时，OE⊥OQ．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，

∠CDE=90°，CD=4，

DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt △CDE沿y轴

正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，

当h≥2时，S=18﹣3h．

【解析】

试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；

（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；

（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．

试题解析：解：（1）如图2，

∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如图3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，