高中数学《线性回归方程》教案
高中数学2.4《线性回归方程》第1课时教案(苏教版必修3)
线性回归方程第1课时【学习导航】学习要求1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。
线性回归方程的求法。
2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。
【课堂互动】自学评价在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram)3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x 和y 之间的关系。
选择怎样的直线我们有下列思考方案： (1)选择能反映直线变化的两个点(2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同(3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距4．用方程为a bx y+=ˆ的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。
用最小二乘法来求a 、b 的原理和方法 见教科书P725.能用直线方程a bx y+=ˆ近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation) 6.设有(x,y)的n 对观察数据如下：当a,b 使+--=211)(a bx y Q2222)()(a bx y a bx y n n --+⋯+--取得最小值时，就称a bx y+=ˆ为拟合这n 对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。
6．用书上的方法3，可求得线性回归方程a bx y+=ˆ中的系数： 2112111)())((∑∑∑∑∑=====--=ni i n i i ni i n i i n i i i x x n y x y x n ba =xb y - (*)7．用回归直线进行拟合的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近(2)如果散点在一条直线附近，用上面的公式求出a,b,并写出线性回归方程【精典范例】例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由。
高中数学线性回归概念教案
高中数学线性回归概念教案1. 理解线性回归的基本概念和原理2. 掌握线性回归的计算方法和应用技巧3. 能够通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学重点：1. 线性回归的定义和特点2. 最小二乘法求解线性回归方程3. 线性回归在实际问题中的应用教学难点：1. 线性回归的计算方法和应用技巧2. 如何通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学准备：1. 教学课件2. 实例数据3. 计算工具、软件教学内容：一、线性回归的定义和特点1. 线性回归是一种用于分析变量之间线性关系的统计方法2. 线性回归模型可以表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε3. 线性回归的基本假设包括线性关系、正态分布、独立性等二、最小二乘法求解线性回归方程1. 最小二乘法是一种常见的求解线性回归方程的方法2. 最小二乘法的核心思想是使残差平方和最小化来求解回归系数3. 求解线性回归方程的步骤包括建立模型、计算回归系数、评估模型等三、线性回归在实际问题中的应用1. 线性回归可以用于预测和控制变量之间的关系2. 实际问题中的线性回归应用包括销售预测、市场分析等3. 通过实例数据进行线性回归分析，可以更好地理解线性回归的应用技巧和方法教学步骤：1. 引入线性回归的基本概念和原理，并进行概念讲解2. 通过实例数据演示最小二乘法求解线性回归方程的方法3. 分组讨论，学生分析实际问题中的线性回归应用4. 带领学生进行实例数据分析和线性回归计算5. 总结课程内容，答疑解惑教学评估：1. 学生课堂表现2. 课后作业完成情况3. 学生对线性回归应用的理解和运用能力教学反思：1. 教学内容是否贴近实际应用2. 学生对线性回归的理解程度和应用能力3. 教学方法和手段是否合理有效。
高中数学第二章统计2.4线性回归方程1教案苏教版必修320170717163
2.4 线性回归方程（1）教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）,该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：8888211111031,71.6,137835,9611.7ii i i i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-， 所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-．巩固深化，反馈矫正：1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：（1）画出散点图； （2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。
高中数学线性回归教案
高中数学线性回归教案教学目标：
1. 了解线性回归的基本概念和原理；
2. 学会使用最小二乘法进行线性回归分析；
3. 掌握线性回归模型的建立和应用。
教学重点：
1. 理解线性回归的意义；
2. 学会求解线性回归模型中的系数；
3. 掌握线性回归模型的应用。
教学难点：
1. 学会使用最小二乘法求解线性回归系数；
2. 理解线性回归模型的推导过程。
教学准备：
1. 教师准备PPT讲解线性回归的基本概念和原理；
2. 课堂上需要使用电脑进行实例演示；
3. 学生需要准备笔记本记录重要知识点。
教学过程：
1. 引入：通过实例引入线性回归的概念；
2. 讲解线性回归模型的建立和求解过程；
3. 使用最小二乘法进行线性回归模型的求解；
4. 通过实例演示线性回归模型的应用；
5. 总结线性回归的主要知识点。
教学延伸：
1. 学生可以通过实际数据进行线性回归分析；
2. 学生可以进一步了解多元线性回归和非线性回归。
课堂反馈：
1. 学生通过实例演示线性回归的能力；
2. 学生通过习题练习线性回归的应用。
教学资源：
1. 电脑和投影仪；
2. 练习题目和实例数据。
教学评价：
1. 通过课堂表现评价学生对线性回归的掌握情况；
2. 通过作业评价学生对线性回归的应用能力。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 2.4.1 线性回归方程》4
以学生为主体，探究合作引领，组织课堂，具体过程如下：
1.自主学习设计：完成课内探究问题
【例1】
【分析】：
1取多条连线斜率与纵截距均值确定的拟合函数误差较大，易受个别取值异常散点影响；
2用点到直线距离公式或 与 差值的绝对值来刻画距离时，均难以用已学的数学方法确定最小值；
3用 与 离差的平方和来刻画数据的稳定性时，运算步骤虽简单但是也很难处理出最小值。
活动7：探究线性回归方程求法
合作探究：自由展示思路。
①确定几条直线方程，求出斜率与纵截距的均值；
②确定各点到拟合函数的距离之和；
③确定对应各纵坐标的离差平方和。
活动8：表述反馈，提出问题
说明思路，思考不足：
①斜率与纵截距的均值确定的线性回归方程误差较大，不能完全拟合各散点；
②距离之和不能有效算出最小值（根式与绝对值的处理）；
三、重点难点易错点及突破策略
重点：线性回归方程系数公式
难点：探究拟合函数方法
易错点：
1数据运算。
2拟合函数的数学模型。
突破策略：
1.找出自己的疑惑和需要讨论的问题通过课堂展示，组间动态点评，查漏补缺，取长补短，解决所有疑难。
2借助多媒体展示有代表性的错误，让学生在讨论辨析当中感受错因，领悟提升。
3以探究案例1为例用问题进行易错点突破。
例如：
问题（1）满足什么样标准的直线才能更准确的拟合数据，算出 ？
问题（2）怎么样来刻画或者衡量散点与拟合函数直线的距离？
【例1】：
我校周边部分早餐店当季营收如下：
商店名称
A
B
C
D
E
营业额 万元
3
5
6
“线性回归方程”教学设计
一、教学内容解析统计学是研究收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.从义务教育阶段来看，统计知识的教学从小学到初中都有涉及，在每个阶段学生都会学习收集、整理、描述和分析等处理数据的基本方法，教学目标随着学段的升高逐渐提升.《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求，在义务教育阶段已学习的统计知识的基础上，通过具体实例，进一步学习统计的相关知识.苏教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第二册第9章“统计”是在前面所学的统计知识的基础上，结合典型案例给出几种常用的统计方法，体现了统计的基本思想及其初步应用.本节课“线性回归方程”是在学生学习了变量的相关性的基础上，探究了线性回归方程，并运用线性回归方程对相关量进行估计，为利用线性回归方程处理现实问题奠定基础.二、教学目标本节课教学目标设置如下.（1）了解线性回归模型的含义、模型参数的统计意义、最小二乘原理，掌握线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相应的统计软件.（2）学生通过独立思考、自主探究、合作交流，提高从数学角度发现和提出问题、分析及解决问题的能力.（3）通过对生活中典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据分析过程，提升数学学科核心素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，最终达到立德树人的目的.三、学情分析本节课的授课对象是江苏省四星级重点高中高二学生，已学习过统计学基础知识，面对新问题具有一定的探究能力与学习经验，但是学生用数学语言表达观点的能力仍然不足，对数据分析过程较为系统的认识不够深刻.教学难点：通过数学方法刻画“恰当”的直线.突破策略：以问题驱动教学，小组合作探究，计算机辅助教学.四、教学策略分析以明、暗两条线贯穿本节课.本节课明线：“线性回归方程”概念的获得.概念收稿日期：2021-01-15作者简介：朱婷婷（1986—），女，中学一级教师，主要从事数学教育教学研究．“线性回归方程”教学设计朱婷婷摘要：运用线性回归方程分析数据是一种对两个数值变量进行数据分析的方法.本节课通过新冠肺炎疫情真实情境，让学生主动提出问题，引领建立模型、写出“恰当”的直线方程和探究“恰当”的直线标准三个课堂活动，通过独立思考、合作探究、技术辅助，引导学生逐步获得线性回归方程的概念及经历较为系统的数据分析过程，最终提升学生的数学学科核心素养.关键词：线性回归；单元教学；数学建模；数据分析；自主探究的获得要经历从宏观到微观、从感性到理性、从模糊到清晰的过程.经历如下四次提炼：选择模型类别，完成定“形”；基于已有经验，以“形”定“数”；探究“恰当”的标准，给典型案例定“数”；从特殊到一般，获取线性回归方程的概念.本节课暗线：数据分析的过程与方法，即收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获得结论.这将是贯穿本节课始终的统摄性“大观念”.五、教学过程设计1.创设情境，提出问题情境：新冠肺炎疫情是全球关注的热点，对数据的统计分析在帮助我们认识及研究疫情的过程中发挥了巨大的作用.例如，通过表格、饼图、折线图我们能直观了解当时疫情的状况及一些变化规律.钟南山院士带领团队利用当时仅有的数据进行分析，研究出疫情发展趋势模型，对疫情的发展做出了精准的预测，为做出科学的决策奠定了基础.事实上，干扰数据分析的因素非常多，目前我们还处理不了复杂的情况，所以就先来研究疫情刚发生时某省卫生健康委员会网站公布的一组简单数据，如表1所示.时间1月22日0—24时1月23日0—24时1月24日0—24时1月25日0—24时1月26日0—24时1月27日0—24时新冠肺炎新增确诊病例0例8例9例13例16例23例表1问题1：根据表1中的信息，我们能做些什么？师生活动：在教师的引导下，学生经过独立思考、合作交流，明确了探究学习的任务——预测.【设计意图】立足于统计大单元，通过疫情数据统计表，凸显数据分析在帮助我们认识及研究疫情发展过程中发挥的重要作用，培养学生学会用数学眼光观察世界.教师引导学生初步体会数据分析的作用——客观反映当前事实（为现在用）和预测预警（为将来用），感受学习统计学的意义和价值.展示钟南山团队的疫情趋势模型，意在从情感上让学生感受到中国科技的进步及中国在这场“抗疫”中的巨大贡献，以增强学生的民族自豪感.最后提出问题：根据信息，我们能做些什么？启发学生主动思考接下来的研究方向，培养学生发现并提出问题的能力.2.组织活动，探寻方案任务：给出寻找规律、建立模型的方案.师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后教师同屏投影学生给出的不同方案，让学生通过思辨，明确用哪一个方案来预测更合理.方案1：列表，找规律，预测.方案2：散点图，画光滑曲线，预测.方案3：散点图，画直线，预测.小结：列表、画散点图都是统计学上建立模型的常用方法.首先，在感觉上这组数据更多分布在一条直线附近；其次，通过计算得出这组数据的线性相关系数r≈0.98，说明它们有着很强的线性相关性，所以今天就从线性模型去研究.【设计意图】首先，本环节完成了本节课明线（线性回归方程概念的获得）的第一次概念提炼：选择统计模型类别，完成定“形”.同时，完成本节课暗线（数据分析大观念）中的“整理数据”“提取信息”这两步.其次，情境中给出的是文字信息，学生需要经历将文字信息数学化的过程，这是培养学生学会用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，发展学生数学抽象、数据分析素养的重要过程.3.启发引导，合作探究问题2：能否写出直线方程，并说明理由？师生活动：学生先独立思考，再小组交流.教师加入学生的小组讨论并给予指导，同时让小组代表上台板书方案，将结果输入GeoGebra软件，利用计算机绘制直线图象.方案1：猜想.方案2：找两个点，利用两点式给出直线方程.方案3：计算已知6个点的横坐标和纵坐标的平均数，即xˉ和yˉ，再计算每相邻两点所成折线斜率的平均数kˉ，直线经过点()xˉ，yˉ，且斜率为kˉ，给出直线方程.小结：对于选用的直线y=a+bx，不同的方案得出不同的a和b，从而得到不同的直线方程.但是，不管选择哪一条直线，6个点并不都在给出的直线上.也就是说，通过直线方程算出来的y值与实际值会不一致，存在误差，我们称这个误差为随机误差，记为ε.这样，我们把x和y两者之间的关系表示为y=a+bx+ε，我们称它为线性回归模型.每一条直线都存在误差，哪一条直线更恰当呢？【设计意图】首先，本环节完成了本节课明线（线性回归方程概念的获得）的第二次概念提炼：利用已有经验，尝试给“形”定“数”，同时完成了本节课暗线（数据分析大观念）中的“构建模型”.其次，让学生经历写出直线方程并说理的过程，并发现每一条直线都不能使所有的点全在直线上，感受到用现有知识无法解决所遇到的新问题，从而体会到寻找新的模型的必要性.为提升学生数学建模、直观想象及逻辑推理等数学学科核心素养服务.问题3：直线“恰当”的标准是什么？师生活动：学生自由发言，教师板书学生的方案，最后学生逐个思辨方案是否合理.方案1：研究ε1+ε2+…+ε6，求最小值.方案2：研究||ε1+||ε2+…+||ε6，求最小值.方案3：研究每个点到直线的距离的和，即11+b2·||y1-a-bx1+11+b2||y2-a-bx2+…+11+b2||y6-a-bx6，求最小值.方案4：研究ε12+ε22+…+ε62，求最小值.方案5：使得直线两侧的点的个数基本相同.方案6：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成所求直线的斜率和截距.小结：经过合作探究、讨论交流后选定方案4.因为方案4既科学合理，又具有较强的可操作性.用方案4检验上一环节讨论所得的三条直线哪一条更恰当，再用计算机加以验证，然后对所获取的知识再优化，即追问：你觉得还有没有比这条直线更恰当的直线？【设计意图】首先，本环节为本节课明线（线性回归方程概念的获得）的第三次概念提炼：探究“恰当”标准，给典型案例定“数”做好铺垫.问题“你觉得还有没有比这条直线更恰当的直线？”促使学生思考在这几条直线之外更一般的直线方程，即对所获取的知识再优化.其次，通过交流和对各种“恰当”标准的阐述，培养学生学会用数学语言表达世界；通过对各种方案的辨析，培养学生的批判思维能力，发展学生的数学学科核心素养.4.推理论证，构建概念问题4：怎样建立恰当直线的方程？师生活动：解决由具体6对数据得到的二元二次函数求最小值的问题，并拓展到n对数据的一般情况.小结：直线y=a+b x称为这n对数据的线性回归方程.其中，a称为回归截距，b称为回归系数，y称为回归值.【设计意图】首先，本环节完成了本节课明线（线性回归方程概念的获得）的第四次概念提炼：从特殊到一般，获得线性回归方程的概念.同时，完成了本节课暗线（数据分析大观念）中的“进行推断”.其次，通过解决具体的二元二次函数求最小值的问题，提升学生的数学运算素养.最后，从具体情境到一般结论，渗透从特殊到一般的思想方法.5.回归情境，解决问题追问1：现在，根据所得线性回归方程，我们还能做些什么？师生活动：学生主动明确接下来的研究任务并根据线性回归方程预测出2020年1月28日新增确诊人数为26例，2020年1月29日新增确诊人数为30例.教师展示疫情数据，如表2所示，学生确认预测基本符合实际情况.时间1月22日0—24时1月23日0—24时1月24日0—24时1月25日0—24时1月26日0—24时1月27日0—24时1月28日0—24时1月29日0—24时新冠肺炎新增确诊病例0例8例9例13例16例23例29例30例表2小结：本节课的学习任务学生完成得很好，预测得到的数据和真实数据误差相对较小.事实上，在现实生活中，线性回归模型只是最基础的一种模型.在刚发现疫情的前十几天，我们今天研究的这个时间段内，确实可以用线性回归方程来研究.但是对于现实生活中的更多情况，还会选择指数函数模型或多项式函数模型等去研究.而且受各种因素的影响，实际情形会变得更加复杂，如下图所示.追问2：同学们想一想，为何会下降直至归0？小结：如果没有人干预，不采取科学的防控措施，假设按照初始态势发展下去，到了今天，每日新增确诊人数又是多少呢？事实上，疫情得到了有效的控制，这得益于全国人民的积极努力与强大专业知识的支持.同学们要学好数学，将来运用所学，使生活更美好，让祖国更强大.【设计意图】首先，教师引导学生巩固所学解决了上课开始提出的问题，在体会成功的同时了解随机误差产生的原因，明白线性回归方程只是一种基础的统计模型，在现实生活中，受各种因素的影响，统计模型相对复杂，体会统计思维与确定性思维的差异.其次，本环节完成本节课暗线（数据分析大观念）中的“获取结论”.最后，本环节体现了德育在数学学科中的渗透，即上升到立德树人的高度：同学们要学好数学，将来运用所学，使生活更美好，让祖国更强大！6.总结提升，深化认知课堂小结：今天我们研究了什么？我们是怎么研究的？我们还能研究什么？实习作业：选择适当的课题，进行变量的相关性研究.小结：数据分析的过程包括收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获得结论.对比科学家的研究过程，我们今天还有两个环节需要进一步完善，即收集数据和进行推断.因为实践是认识的基础，认识来源于实践，所以如何收集数据是一个至关重要的话题.例如，全国人口普查，第一步收集数据就要全面科学.对于本节课我们所得的一元线性回归方程的合理程度，我们没有进行推断，这就是后继将要学习的知识.最后，利用所学，课后完成实习作业，即选择适当课题，进行变量的相关性研究.【设计意图】首先，课堂小结的三个问题分别从知识、方法及接下来可以研究的方向依次设置，层层递进，目的在于培养学生反思的习惯及提出新问题（明了接下来的研究方向）的能力.其次，完善本节课从特殊事物中揭示一般规律，即数据分析主要过程及进行变量的相关性研究的一般方法，这个统摄性“大观念”，教学生用哲学眼光看数学问题.最后设置开放性作业，突出学生的实践操作，以提高学生分析问题与解决问题的能力，发展学生的数学学科核心素养.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.。
线性回归方程（高中数学）
线性回归方程(高中数学)篇一：高中数学《线性回归方程》教案(2)线性回归方程教学目标:（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法；（2）掌握散点图的画法及在统计中的作用；（3）掌握回归直线方程的实际应用。
教学重点: 线性回归方程的求解。
教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。
教学过程:一、复习练习1．下例说法不正确的是（ B ）A.在线性回归分析中，x和y都是变量；B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x不能由y唯一确定;C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;D.相关关系是一种非确定性关系.2．已知回归方程y??0.5x?0.81,则x=25时, y的估计值为__11.69____.,24)的线性回归方程是（D ）3．三点(3,10),(7,20),(11 1.75?1.75x By??1.75?5.75x Ay1.75?5.75x Dy??1.75?1.75x C y4．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型，?为误差项，模型如下：模型１:y?6?4x：；模型２：y?6?4x?e．（１）如果x?3,e?1，分别求两个模型中y的值；（２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解(1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18;模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.(2)模型１中相同的x值一定得到相同的y值.所以是确定性模型；模型２中相同的x值，因?不同，且?为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。
二、典例分析例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知： x?55,y?91.7,?xi?38500,?yi?87777,?xiyi?55950 22i?1i?1i?1101010bxy10xyiii?11010?xi2?10xi?12?55950?10?55?91.7?0.668 238500?10?55a?y?bx?91.7?0.668?55?54.96因此，所求线性回归方程为y?bx?a?0.668x?54.96例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．解：x?1(45?42?46?48?42?35?58?40?39?50)?44.50 10y?1(6.53?6.30?9.52?7.50?6.99?5.90?9.49?6.20?6.55?8.72)=7.37 10设回归直线方程为y?bx?a则b??xy?10xyiii?11010?xi?12i?10x2?0.175a?y?bx= -0.418所以所求回归直线的方程为y?0.175x?0.148例3、以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋的大小x 的数据：上回归直线；（３）计算此时Q(a,b)和Q(2,0.2)的值，并作比较．解：（1）(2) n?5,?xi?15i?545,?109,?yi?116,?23.2, i?155?xi?152i?60952,?xiyi?12952 i?1b?5?12952?545?116?0.1962,a?23.2?0.1962?109?1.8166 25?60952?545所以,线性回归方程为y?0.1962x?1.8166(3) Q(1.8166,0.1962)?5.171,Q(2,0.2)?7.0由此可知,求得的a?1.8166,b?0.9162是函数Q(a,b)取最小值的a,b值.三、课堂练习1.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实验,并且利用线性回归直线分别为l1,l2,已知两人获得的实验数据中,变量x和y的数据平均值都相等,且分别为s,t那么下例说话正确的是() A．直线l1和l2一定有公共点(s,t)B．直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t)C．必有l1// l2 D．l1和l2与必定重合2．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：设y对x程线性相关关系．试求：（1）线性回归方程y?bx?a的回归系数a,b；（2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：?(1)、(2)计算xi与yi的积，求?xiyi，2(3)计算?x2，y?i，i(4)将上述有关结果代入公式，求b，a写出回归直线方程．五、课外作业：课本第82页第9题．篇二：高中数学线性回归方程讲解练习题1审阅人：2篇三：线性回归方程[高考数学总复习][高中数学课时训] 线性回归方程基础自测①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.1.下列关系中，是相关关系的为（填序号）.答案①②2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是（填序号）. ①直线l1,l2有交点（s,t)②直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t) ③直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行④直线l1,l2必定重合答案① 3.下列有关线性回归的说法，正确的是（填序号）. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系②散点图能直观地反映数据的相关程度③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系④任一组数据都有回归直线方程答案①②③ 4.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；?x+a?,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. ?=b?及回归系数b③通过回归直线y其中正确命题的序号是. 答案①②③=0.50x-0.81,则x=25时，y?的估计值为 . 5.已知回归方程为y答案11.69例 1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量水稻产量15 20 25 30 35 40 45 320 330 360 410 460 470 480（1）将上述数据制成散点图；（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？解（1）散点图如下：（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长.例2 （14分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2）若二者线性相关，求回归直线方程. 解（1）作出散点图：5分观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系. （2）=110n7分110(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,=（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42，9分 =bxyi?1nii?n?≈0.813 6，2ixi?1n2a=1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3，13分=0.813 6x+0.004 3. ∴回归方程y14分例 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据.（1）请画出上表数据的散点图；x+a=b；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解（1）散点图如下图:（2）=43?4?5?64=4.5,=2.5?3?4?4.54=3.5xi?14iyi=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5. xi?12i=32+42+52+62=864=∴bxyii?14i4=2i66.5?4?3.5?4.586?4?4.52=0.7xi?142=3.5-0.7×4.5=0.35. =-b=0.7x+0.35. ∴所求的线性回归方程为y（3）现在生产100吨甲产品用煤y=0.7×100+0.35=70.35，∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.1.科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.（1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系. 解（1）作出散点图如图所示，(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.2.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程. 解=30,= 566.7?76.0?85.0?112.3?128.05=93.6.=bi?15i?1iyi?5?≈0.880 9.2ixa52=93.6-0.880 9×30=67.173. =-b=0.880 9x+67.173. ∴回归方程为y3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？ 66i解（1）n=6，xi?1=21，yi?1i=426，=3.5,=71, 662xii?1=79，xyii?1i=1 481，6=bxi?16i?1iyi?6?=2i1481?6?3.5?7179?6?3.52=-1.82.xa62=71+1.82×3.5=77.37. =-bx=77.37-1.82x. =a+b回归方程为y?=-1.82＜0,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b的意义有: （2）因为单位成本平均变动b产量每增加一个单位即 1 000件时,单位成本平均减少1.82元. (3)当产量为6 000件时,即x=6,代入回归方程:y=77.37-1.82×6=66.45（元）当产量为6 000件时，单位成本为66.45元.一、填空题1.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是.答案a,c,b=1.5x-15,则下列说法正确的有个. 2.回归方程y①=1.5-15 ②15是回归系数a ③1.5是回归系数a ④x=10时，y=0 答案 13.（2009.湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是.①该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm ②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm。
高中数学第2章统计2.4线性回归方程(2)教案苏教版必修3(new)
2。
4 线性回归方程第2课时导入新课在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表:从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x（x≥0）.并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象,我们知道各点在同一条直线上。
再看下面的问题（即上一节课的练习2）:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因此,可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少。
但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程.推进新课新知探究以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图。
1。
散点图（scatterplot)：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。
散点图形象地反映了各对数据的密切程度。
粗略地看，散点分布具有一定的规律。
在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角到右上角的区域.对于这种相关关系,我们称它为正相关.请学生举例:两个变量之间是正相关的关系.例如:某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系.再看上节课的练习 1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：如果作出散点图如右图,它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系.回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来,从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动。
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课时：2课时年级：高一教材：《高中数学》必修三教学目标：1. 知识与技能：理解回归方程的概念，掌握线性回归方程的求解方法，能够根据给定的数据建立线性回归方程。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的数学思维和科学的态度。
教学重难点：1. 教学重点：线性回归方程的求解方法，线性回归方程在现实生活中的应用。
2. 教学难点：线性回归方程系数的求解，线性回归方程在解决问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、线性回归方程的相关教材、实际问题案例。
2. 学生准备：提前预习相关内容，准备实际问题案例。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习一元二次方程，引出回归方程的概念。
2. 提出问题：如何利用数学方法描述两个变量之间的关系？二、新课讲授1. 线性回归方程的概念：通过最小二乘法，建立两个变量之间的线性关系。
2. 线性回归方程的求解方法：a. 最小二乘法的基本思想：通过寻找最佳拟合直线，使所有样本点到直线的距离之和最小。
b. 线性回归方程的系数求解：- 根据最小二乘法原理，推导出线性回归方程系数的计算公式。
- 讲解公式中各个参数的含义，如样本均值、样本方差等。
- 通过实例演示系数的求解过程。
3. 线性回归方程的应用：a. 分析实际问题案例，引导学生思考如何建立线性回归方程。
b. 讲解线性回归方程在预测、决策等方面的应用。
三、课堂练习1. 完成教材中的相关练习题，巩固所学知识。
2. 学生独立完成实际问题案例，培养学生的实际应用能力。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调线性回归方程的概念、求解方法及应用。
2. 提出课后思考题，引导学生进一步探究。
第二课时一、复习1. 回顾上一节课所学内容，检查学生对线性回归方程的理解程度。
2. 学生回答问题，教师点评。
二、新课讲授1. 介绍线性回归方程的评估方法：a. 相关系数：描述两个变量之间的线性关系强度。
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2.3.2线性回归方程教学目标：1.在两个变量具有线性相关关系时，会在数点图中作出线性回归直线，会用线性回归进行预测。
2.知道最小二乘数的含义，知道最小二乘法的思想，能依据绘出的线性回归系数建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的意义。
知识要点：阅读教材P 88—911.求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“ ”。
2.回归方程a x b y +=中其中b 为回归方程的 a 为回归方程的 。
3. 最小二乘法：求 的最小值而得到回归直线的方法，即使得 最小的方法。
4.利用线性回归直线方程所得出的预测值与真实值有偏差（即预报有随机性）的原因：① 回归方程中a b ,都是通过样本估计出来的，存在随机误差② 即使a b ,无误差，也不能保证(x,y)落在回归直线上，甚至不能百分之百保证落在直线附近5.回归直线方程的应用（了解）（1）描述两变量之间的依存关系，利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系。
（2）利用回归方程进行预测，把预极因子（相当于自变量x ）代入回归方程对预极量（即相当于因变量y ）进行估计，即可得到个体y 值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标。
典型例题1.利用人体内的脂肪含量与年龄的关系的数据求回归方程，并比较回归值与真实值。
2.小卖部卖出的热饮杯数与气温对比的数据表如下：（1）画出散点图，（2）从散点图中发现规律，（3）求回归方程，（4）某天温度为C02，预测卖出的杯数。
当堂检测：在例2中：（1）气温C02时，一定能卖出预测的143杯数吗？为什么？（2）在回归方程中，求温度为C00时的值，并说明它为什么与实际卖出的杯数不符？。
高二数学“线性回归”教案
高二数学“线性回归”教案【篇一】教学目标【知识和技能】1．能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。
2．会画散点图,并能利用散点图判断是否存在回归直线。
3．知道如何系统地处理数据。
掌握回归分析的一般步骤。
4．能运用Excel表格处理数据,求解线性回归直线方程。
5．了解最小二乘法的思想,会根据给出的公式求线性回归方程。
6．培养收集数据、处理数据的能力；对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力。
【过程和方法】1．使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。
2．提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。
【情感、态度和价值观】1．认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值,感受生活离不开数学。
2．体验信息技术在数学探究中的优越性。
3．增强自主探究数学知识的态度。
4．发展学生的数学应用意识和创新意识。
5．培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。
【教学重点、难点】线性回归分析的基本思想；运用Excel表格处理数据,求解回归直线方程。
【教学课型】多媒体课件,网络课型教学内容学生已经学习了初步的统计知识,如抽样方法,对样本进行特征量（均值、方差）分析；具备一定的比较、抽象、概括能力；具备基本计算机操作技能；对现实生活中的线性相关关系有一定的感性认识。
线性回归问题涉及的知识有:描点画散点图,一次函数、二次函数的知识,最小二乘法的思想及其算法问题,运用Exc el表格处理数据等。
教学资源教师围绕本课知识设计一个问题（如小卖部热珍珠奶茶的销售问题）,这个问题必须应用所预期的学科知识才能解决,又与学生的先前经验密切相关。
教师准备四个教学课件:学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂练习（Excel）、线性回归直线的探究（几何画板）。
每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。
学案主要包括设计的引入问题,教学过程中所遇到的主要问题,推导回归直线方程的公式的计算表格,运用Exc el表格处理数据的操作步骤,课堂练习以及作业,教学评价等。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(第1课时)教案 必修3
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（第1课时）教案新人教版必修3教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:+++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）, 该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：（1）画出散点图；（2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。
高中数学 6.4.2线性回归方程2教案 苏教版必修3
线性回归方程 第26课时【学习导航】学习要求1.进一步了解非确定性关系中两个变量的统计方法；2.进一步掌握回归直线方程的求解方法．【课堂互动】自学评价1.相关关系: 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系 .2.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法 .3. 求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y i i 22(4)将上述有关结果代入公式，求,b a ，写出回归直线方程．【精典范例】例1一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据： (1）画出散点图；(2）求月总成本y 与月产量x 之间的回归直线方程. 【解】 1）画出散点图：x2）设回归直线方程a bx y+=ˆ，利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=x b y -≈0.974，∴回归直线方程为：974.0215.1ˆ+=x y例2 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x (（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线度且画出图形． 【解】（1）图略 （2）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++= 1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++=7.37 设回归直线方程为y bx a =+，则10110221100.17510i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑，a y bx =-=0.418-所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-追踪训练（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线． 【解】（１）散点图（略） （２）55115,545,109,116,23.2,ii i i n xx y y =======∑∑5521160952,12952ii i i i xx y ====∑∑25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯- 所以，线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+．2、一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量x( 单位：万件)之间有如下一(2)求出月总成本yˆ与月产量x 之间的线性回归方程。
四川省古蔺县中学高中数学 2.3.2线性回归方程教学案 新人教B版必修3
【学习导航】
学习 要求
1.进一步了解非确定性关系中两个变量的统计方法；
2.进一步掌握回归直线方程 的求解方法．
【课堂互动】
自学评价
1.相关关系: .
2.回归分析： .
3.求线性回归方程的步骤 ：
(4)将 上述有关结果代入公式，求 ，写出回归直线方程．
【经典范例】
2 ）设回归直线方程 ，
追踪训练
1、以下是收集到的新房屋销售价格 与房屋的大小 的数据：
房屋大小 （ ）
80
105
110
115
135
销售价格 （万元）
18.4
22
21.6
24.8
29.2
（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线．
【 解】
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线性回归方程
教学目标:
（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法； （2）掌握散点图的画法及在统计中的作用； （3）掌握回归直线方程的实际应用。
教学重点: 线性回归方程的求解。
教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。
教学过程: 一、复习练习
1．下例说法不正确的是（ B ）
A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量；
B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定;
C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;
D.相关关系是一种非确定性关系.
2．已知回归方程81.05.0ˆ-=x y
,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是 （ D ） A x y 75.175.1ˆ-= B x y 75.575.1ˆ
+=
C x y 75.575.1ˆ-=
D x y 75.175.1ˆ+=
4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46． （１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.
(2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。
二、典例分析
例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件个数x （个） 10 20 30 40 50 60
70
80 90 100
加工时间y （分）
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．
解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：
101010
2
2
1
1
1
55,91.7,38500,87777,55950
i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑
10
110
2
2
21
1055950105591.7
0.668385001055
10i i
i i i x y x y
b x x
==--⨯⨯∴=
=
≈-⨯-∑∑
91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈
因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+ 例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：
x
45 42 46 48 42 35 58 40 39 50
y
6.53 6.30 9.52
7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.59
8.72
x (血球体积,ml )，y （红血球数，百万）
（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．
解：
1
(45424648423558403950)44.5010x =
+++++++++=
1
(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =
+++++++++=7.37
设回归直线方程为y bx a =+
则
10
1
10
2
2
1
100.175
10i i
i i
i x y x y
b x
x
==-=
=-∑∑ a y bx =-= -0.418
所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-
例3、以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：
房屋大小x （2
m ） 80 105 110 115] 135 销售价格y （万元）
18.4
22
21.6
24.8
29.2
（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（３）计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 解：（1）
(2)
55
1
1
5,545,109,116,23.2,
i i i i n x x y y =======∑∑
5
5
2
1
1
60952,12952
i
i i i i x
x y ====∑∑
2
512952545116
0.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=
≈=-⨯≈⨯-
所以,线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+ (3) (1.8166,0.1962) 5.171,(2,0.2)7.0Q Q ≈≈
由此可知,求得的 1.8166,0.9162a b ==是函数Q(a,b)取最小值的a ,b 值.
三、课堂练习
1.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实验,并且利用线性回归直线分别为1l ,2l ,已知两人获得的实验数据中,变量x 和y 的数据平均值都相等,且分别为s,t 那么下例说话正确的是( )
A ．直线1l 和2l 一定有公共点(s,t)
B ．直线1l 和2l 相交,但交点不一定是(s,t)
销售价格y（万元）
0510
1520
2530350
50
100
150
销售价格y（万
元）
C ．必有1l // 2l
D ．1l 和2l 与必定重合
2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
设y 对x 程线性相关关系．试求：
（1）线性回归方程ˆ
y bx a =+的回归系数a,b ； （2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？
四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：
(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，
计算与的积，求，
计算，，∑∑∑x y i
i 22
(4)将上述有关结果代入公式，求b ，a 写出回归直线方程． 五、课外作业： 课本第82页第9题．。