2019-2020学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题解析
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1）A BC D答案：C调区间，借助于自变量的大小，得到函数值的大小，从而得到结果解：项不正确；观察B、C、D三项很明显C项正确，故选：C.点评：该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.21）A B C D答案：D首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 解：设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 点评：该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 3．设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．121x x <答案：D作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案. 解：作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==故选：D.点评：该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.4（）A B C D答案：B. 解：故选：B.点评：该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题5_________.在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.解：点评：该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.6________.根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案.解：点评：该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目.7先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.解：点评：该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.8；.解：.点评：本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.9_________；.解：点评：本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.10_______.将0写成1. 解：点评：该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.11________.答案：奇函数 2数，得到结果. 解：2的周期函数，故答案为：奇函数. 点评：该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目. 12_______.结合复合函数的单调性法则，.解：递减，根据复合函数单调性法则，点评：该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.13__________..解：点评：该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目.14_________.根据式子的意义，只有一个正根，画出函数图象求得结果.解：可知所求m 的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.点评：该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 15．已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 答案：5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.解：当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x=+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解； 当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+， 当01a ≤≤时，()ag x x x=+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，点评：该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.16值范围为_______.会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.解：画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f ==，要使2(46)(4)f a a f a +=，则有以下几种情况：①246141a a a ⎧+≤⎨≤⎩，解得31331344x ---+≤≤； ②22146 2.514 2.5464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解； ③222.54632.543464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解. ④2214631434645a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解； ⑤246343a a a ⎧+≥⎨≥⎩，解得34a ≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解； ⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为31331313[,][,)4424---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U ， 故答案为：31331313[,][,)4424---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U . 点评：该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.三、解答题17（1（2.答案：（1（2（1（2. 解：（1（2点评：该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目.18（1（2.答案：（1（2（1）（2. 解：（1（2点评：该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列车.（1（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？答案：（1（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车..（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；（3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得.解：（1（2所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 点评：该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20（1（2（3答案：（1）属于；（2（3）证明见解析（1（2结果；（3解：（1此方程恒成立，（2（3点评：该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题.21（1点；（2（3.答案：（1（2）单调递增；（3（1（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果. 解：（1（2，（3点评：该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有绝对值的意义，求函数的零点，应用导数研究函数的单调性，根据恒成立求参数的取值范围，属于难题.。
2019-2020学年上海市虹口区高一期末数学试题及答案
2019-2020学年上海市虹口区高一期末数学试题及答案一、单选题1．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<，以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】根据不等式的可加性，同向不等式且为正值的可乘性即可得到答案.【详解】因为13a <<，24b <<，所以37a b <+<，故（1）正确. 因为42b -<-<-，所以31a b -<-<，故（2）正确. 因为13a <<，24b <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知：212a b <⋅<，故（3）正确. 因为11142b <<，13a <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知：1342a b <<，故（4）正确. 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于简单题.2．已知a R ∈，则“1a <”是“11a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】首先解不等式11a >，再根据充分条件和必要条件即可得到答案.【详解】 因为1111100(1)001a a a a a a a ->⇔->⇔>⇔-<⇔<<. 所以“1a <”是“11a>”的必要非充分条件. 故选：B【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了分式不等式的解法，属于简单题.3．已知函数32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．()2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】D【解析】首先令x t =，根据指数函数的图像得到：31t ≥，即1y ≥-.【详解】 令x t =，0t ≥，则32t y =-，因为31t ≥，所以1y ≥-.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，同时考查了换元法求函数的值域，属于简单题.4．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．()()020f f ⋅<B ．()()020f f ⋅>C ．()()240f f ⋅>D ．()()260f f ⋅>【答案】C【解析】首先根据题意得到函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，即可得到(2)(4)0f f >.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，所以函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，若(2)f 与(4)f 的函数值异号，根据零点存在性定理可得以函数()f x 在区间(2,4)上必有零点，所以(2)f 与(4)f 的函数值同号，即(2)(4)0f f >.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点存在定义和零点的区间，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点.以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据奇函数的定义及性质，对题目中的命题判断正误即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)=0f .故0是函数()f x 的零点，所以（1）正确，（2）错误. 根据奇函数的对称性知：函数()f x 有零点，则零点关于原点对称，再加上原点，共有奇数个零点，所以（3）正确，（4）错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了方程与零点，属于中档题.二、填空题6．用列举法表示集合{}2230,x xx x Z --<∈=________. 【答案】{}0,1,2【解析】首先解不等式2230x x --<，再用列举法表示集合即可.【详解】2{|230,}{|13,}{0,1,2}x x x x Z x x x Z --<∈=-<<∈=.故答案为：{0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.7．命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题是__________命题.(填入“真”或“假”)【答案】假【解析】写出否命题，即可判断命题的真假.【详解】命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题：“若2x ≤或3y ≤,则5x y +≤”是假命题，例如1,9x y ==，满足2x ≤或3y ≤，但不能推出5x y +≤. 故答案为：假【点睛】此题考查根据已知命题写出否命题，并判断真假，涉及含有逻辑联结词的命题的否定.8．函数4y x =，[]1,12x ∈的值域为________. 【答案】1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据函数的单调性即可求出值域.【详解】 因为函数4y x=在区间[]1,12为减函数， 所以值域为1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性，属于简单题. 9．己知函数()2x f x =.则()()2f f =________.【答案】16【解析】首先计算(2)f ，再代入计算((2))f 即可.【详解】2(2)24f ==，4((2))(4)216f f ===.故答案为：16【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于简单题.10．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3．解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2，∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）．【考点】绝对值不等式的解法．11．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}， 幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -=____.【答案】3-【解析】 由题意得，函数()y f x =为奇函数，所以()2(2)2(21)3f f -=-=--=-.13．已知2m >，且()110lg 100lgx m m =+则x 的值为________.【答案】lg 2【解析】首先计算1lg(100)lg lg1002m m +==，再解方程102x =即可.【详解】 因为1lg(100)lg lg1002m m +==，所以，102x =，即lg 2x =.故答案为：lg 2【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数方程，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于简单题.14．已知0a >，0b >，且44a b +=，则ab 的最大值等于________. 【答案】1【解析】首先根据题意得到114a b =-，代入a b 得到21=(2)14a ab --+，再利用二次函数的性质即可得到最大值. 【详解】 因为44a b +=，所以114a b =-. 因为0a >，0b >，所以104a ->，即04a <<. 所以21=(1)(2)144a a a ab -=--+. 当2a =时，max ()=1a b .故答案为：1【点睛】 本题主要考查二次函数的最值，将a b转化为二次函数的形式为解题的关键，属于中档题.15．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. 【考点】指数函数的性质.16．记函数()f x x b =+，2,2x 的最大值为()g b ，则()g b =________.【答案】()2 02 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【解析】首先将()f x 转化为分段函数，再对b 进行讨论，即可求出最大值()g b【详解】,(),x b x b f x x b x b x b+≥-⎧=+=⎨--<-⎩. 当0b =时，()f x x =，max ()2f x =，即()2g b =.当0b -<，即0b >时，max ()(2)2f x f b ==+，即()2g b b =+. 当0b ->，即0b <时，max ()(2)2f x f b =-=-，即()2g b b =-.综上：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩. 故答案为：2? 0()2?0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【点睛】本题主要考查含参绝对值函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则关于x 的不等式()()2110f x f x -+-<的解是________.【答案】()1,1-【解析】首先将不等式变形，根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设2()()g x f x x =+，得到()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，再解不等式即可.【详解】因为2()(1)10f x f x -+-<，所以2()(1)1f x x f +<+.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增. 设2()()g x f x x =+，()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.所以2()(1)1f x x f +<+，即()()1g x g <. 所以1x <，解得11x -<<.故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题. 18．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.【答案】8【解析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.19．已知()42f x x x =+，则关于x 的不等式()()12f x f +<的解是________. 【答案】()3,1-【解析】首先根据函数()f x 的解析式，得到()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，再利用偶函数的对称性解不等式即可. 【详解】因为42()f x x x =+，所以()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数. 所以(1)(2)f x f +<根据偶函数的对称性知：212x -<+<，解得：31x -<<. 故答案为：(3,1)- 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握奇偶函数的性质为解题的关键，属于中档题.三、解答题 20．解下列方程 （1）2223x x -+⋅=； （2）2lg lg 20x x --=【答案】（1）0x =或1x =（2）100x =或110x =【解析】（1）首先令2x t =，根据二次方程和指数方程即可解出方程的根.（2）根据二次方程和对数方程即可解出方程的根. 【详解】（1）令2xt =，0t >，得23t t+=. 整理得：2320t t -+=.解得：1t =或2t =. 即：21x =或22x =，0x =或1x =.（2）因为2lg lg 20x x --=，所以(lg 2)(lg 1)0x x -+=. 解得：lg 2x =或lg 1=-，100x =或110x =. 【点睛】本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题.21．设a R ∈，函数()221x x af x +=+.（1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明； （2）当0a =时，证明此函数在(),-∞+∞上单调递增. 【答案】（1）奇函数；证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）首先求出函数()f x 的定义域为R ，再判断()f x 与()f x -的关系即可.（2）根据题意设任意12,x x R ∈，且12x x <，作差比较12()()f x f x -即可. 【详解】（1）当1a =-时，21()21x x f x ，定义域关于原点对称. 112112222()()11212121221xx x x x x x x x xf x f x ----====+--=-+++. 所以()f x 为奇函数. （2）当0a =时，2()21xx f x =+，设任意12,x x R ∈，且12x x <. 1212211212121212222(21)2(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++. 因为12220xx -<，1210x +>，2210x +>，所以12())0(f x f x -<.即：12()()f x f x <.所以2()21xx f x =+在R 上为增函数. 【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的判断，第二问考查了函数单调性的判断，属于中档题.22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元.设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价.试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[]100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.【答案】（1）25.8%（2）[)[]0.2 100,360280.2360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩（3）不能，详见解析【解析】（1）根据题意得到购买1000元商品，则消费800元，获得对应的奖券58元，再计算优惠率即可.（2）根据题意，分段讨论当标价为[100,360)元和标价为[360,600]元时的优惠率即可.（3）根据（2）得到当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大，再计算最大优惠率比较即可. 【详解】（1）购买1000元商品的优惠率10000.25810025.81000%%=⨯+=⨯.（2）当标价为[100,360)元时，则消费[80,288)元，不能获得优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.20.2xy x==. 当标价为[360,600]元时，则消费[288,480]元，获得28元优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.228280.2x y x x+==+. 综上[)[]0.2? 100,360280.2?360,600x y x x ⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩. （3）当顾客买标价不超过360元商品时，优惠率为20%. 当顾客买标价在[360,600]元商品时，优惠率为280.2y x=+，为减函数.所以当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大.max 280.227.8%30%360y =+≈<. 所以顾客不能得到超过30%的优惠率. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，弄清题意为解题的关键，属于中档题.23．已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-. （1）当1a =时，求()11f -； （2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=，[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【解析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f -等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可.（2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定.（3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可. 【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+. 求1(1)f -即等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解.2221x x -+=，解得：1x =.所以1(1)1f -=. （2）当12a =-时，2217()2()24f x x x x =++=++.[1,1]x ∈-时，显然函数不单调，所以在区间[1,1]-没有反函数.（3）若函数()f x 存在反函数，则函数()f x 在区间[1,1]-单调.222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为x a =.所以当1a ≥或1a ≤-时，函数()f x 存在反函数.当1a ≥时，1)(f a x -=[]32,32x a a ∈-+.当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.24．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”. （1）证明函数()()2lg 11f x x =++是“正函数”；（2）如果函数()11af x x x =+-+不是“正函数”，求正数a 的取值范围. （3）如果函数()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）(,1]-∞（3）(){}6,13- 【解析】（1）有题知：()1f x ≥，即证. （2）首先讨论当0a ≤时，显然()11af x x x =+-+不是“正函数”.当0a >时，从反面入手，假设()f x 是“正函数”，求出a 的范围，再取其补集即可.（3）根据题意得到：22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+，解方程和不等式组即可. 【详解】（1）2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=.函数值恒为正数，故函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”. （2）当0a ≤时，(0)10f a =-<， 显然()11af x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时 假设()11af x x x =+-+为“正函数”.则()f x 恒大于零.()1221af x x x =++-≥+. 所以20>，即1a >所以()11af x x x =+-+不是“正函数”时， 01a <≤.综上：1a ≤.（3）有题知：若函数()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”， 则22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+. 解得：61a -<<或3a =. 【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷 (2)
2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。
虹口区高一上期末详解(2020.1)
虹口区高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．用列举法表示集合2{|230,}x x x x --<∈=Z ．2．命题“若2x >且3y >，则5x y +>”的逆否命题是 命题（填“真”或“假”）3．函数4,[1,12]y x x=∈的值域为 ． 4．已知函数()2x f x =，则((2))f f = ．5．不等式|1|2x -<的解为 ．6．已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α= ．7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x =-，则(2)f -= ．8．已知0m >，且110lg(100)lgx m m =+，则x 的值为 ． 9．已知0a >，0b >且44a b +=，则a b的最大值等于 ． 10．已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．11．（A 组题）记函数()||f x x b =+，[2,2]x ∈-的最大值为()g b ，则()g b = ． （B 组题）函数2()|2|f x x x =-，[2,2]x ∈-的最大值为 ．12．（A 组题）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则关于x 的不等式2()(1)10f x f x -+-<的解是 ．（B 组题）已知42()f x x x =+，则关于x 的不等式(1)(2)f x f +<的解是 ．二、选择题13．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<．以上结论正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个14．已知a ∈R ，则“1a <”是“11a>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．已知函数||32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．(2,)-+∞C ．[2,)-+∞D ．[1,)-+∞16．（A 组题）定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0,2)和(4,6)内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．(0)(2)0f f ⋅<B ．(0)(6)0f f ⋅>C ．(2)(4)0f f ⋅>D ．(2)(6)0f f ⋅>（B 组题）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点．以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题17．解下列方程：（1）2223x x -+⋅=；（2）2lg lg 20x x --=．18．设a ∈R ，函数2()21x x a f x +=+． （1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(,)-∞+∞上单调递增．19．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元．设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价．试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100,600]元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由．20．已知函数2()22f x x ax=-+，[1,1]x∈-．（1）当1a=时，求1(1)f-；（2）当12a=-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由；（3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数1()f x-．21．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实 数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”．（1）证明函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”；（2）（A 组题）如果函数()||1||1a f x x x =+-+不是．．“正函数”，求正数．．a 的取值范围； （B 组题）如果函数1()||||f x x a x =+-不是．．“正函数”，求实数a 的取值范围； （3）（A 组题）如果函数22(2)24()2(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数．．a 的取值范围； （B 组题）如果函数2()2f x ax ax =++是“正函数”，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题1．{0,1,2}2．真3．1[,4] 34．16 5．(1,3)-6．1-7．3-8．lg2 9．1 10．32-11．（A组题）2,0()2,0b bg bb b+⎧=⎨-<⎩≥；（B组题）812．（A组题）(1,1)-；（B组题）(3,1)-【第12题A组题解析】2()(1)10f x f x-+-<即2()(1)1f x x f+<+（*），记2()()F x f x x=+，则（*）式即()(1)F x F<，由题意()F x仍为R上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，∴||111x x<⇒-<<．二、选择题13．D 14．B 15．D 16．（A组题）C；（B组题）B【第16题A组题解析】A、B、D的反例分别对应如下：三、解答题17．（1）0x=或1x=；（2）100x=或110x=．18．（1）奇函数，证明略；（2）用定义证明，略．19．（1）25.8%；（2）0.2,[100,360)280.2,[360,600]xyxx∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩；（3）不能，最大优惠为27.8%．20．（1）1；（2）没有，函数不单调；（3）1a-≤或1a≥，①当1a-≤时，12()2f x a x a-=++-，[32,32]x a a∈+-；当1a≥时，12()2f x a x a-=-+-，[32,32]x a a∈-+．21．（1）()1f x≥，函数值恒为正；（2）（A组题）即min()0f x≤，令||1,(1)t x t=+≥，则()2ay f x tt==+-，①当1a>，即1a>时，min()220f x a=-≤，无解，②当01，即01a <≤时，min ()10f x a =-≤，解得01a <≤， 综上，01a <≤；（B 组题）2a ≥；（3）（A 组题）记2212(2)24,2(1)22y x a x a y x a x a =+--+=+--+，对应的判别式分别为12,∆∆，则12()y f x y =， ①10y >且20y ≥恒成立，计算1200∆<⎧⎨∆⎩≤，得61a -<≤，∵0a >，∴01a <≤； ②20∆>，必须有10∆>，且方程2(2)240x a x a +--+=与方程22(1)22x a x a +--+两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即12242122a a a a --+==--+，解得3a =，满足判别式的条件，综上，01a <≤或3a =．（B 组题）08a <≤．。
上海市虹口区高一上期末数学试卷((含答案))
上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}，则A∩B= ．2．（3分）不等式|x﹣3|≤1的解集是．3．（3分）不等式＞4的解集是．4．（3分）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是．6．（3分）已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是．7．（3分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是．8．（3分）函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．9．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为．（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围10．（3分）设f（x）=log2是．11．已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g （1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论：①函数y=h（x）的图象关于原点对称；②函数y=h（x）为偶函数；③函数y=h（x）的最小值为0；④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为．（将你认为正确结论的序号都填上）二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）B）= 12．（4分）设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁U（）A．{1，2，3，4，5，6} B．{1，3，5} C．{2，4，6} D．∅13．（4分）设x∈R，则“x＜﹣2”是“x2+x≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x| B．y=（）x C．y=D．y=﹣x315．（4分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．216．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（x）=．若x0∈M且f（f（x））∈M，则x的取值范围为（）A．（0，] B．[0，] C．（，] D．（，）17．设f（x）=5|x|﹣，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（∁UA）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．19．（10分）（1）解不等式：3≤x2﹣2x＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（x）=log2||x|﹣1|．（1）作出函数f（x）的大致图象；（2）指出函数f（x）的奇偶性、单调区间及零点．21．已知f（x）=|x|（2﹣x）（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．23．（10分）已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称．（1）若f（g（x））=6﹣x2，求实数x的值；（2）若函数y=g（f（x2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）．x（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．24．已知函数f（x）=b+loga（1）求f（x）的解析式；（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．四、附加题25．设函数φ（x）=a2x﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}，则A∩B= {0，2} ．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴A∩B={0，2}．故答案为：{0，2}．2．（3分）不等式|x﹣3|≤1的解集是[2，4] ．【解答】解：∵|x﹣3|≤1，∴﹣1≤x﹣3≤1，解得：2≤x≤4，故答案为：[2，4]．3．（3分）不等式＞4的解集是（2，12）．【解答】解：∵＞4，∴＞0，即＜0，解得：2＜x＜12，故答案为：（2，12）．4．（3分）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为 1 ．【解答】解：f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），∵函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），原函数与反函数的图象关于y=x对称∴f（x）=3x+a的图象经过（1，4），即3+a=4，解得：a=1．故答案为：1．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”．【解答】解：命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是“若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”，故答案为：若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”6．（3分）已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是k≤﹣1 ．【解答】解：∵p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，∴（﹣1，3]⊆[2k﹣1，﹣3k]，∴，解得：k≤﹣1，故答案为：k≤﹣1．7．（3分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（0，2）．【解答】解：函数y=f（x）是R上的奇函数，在区间（0，+∞）单调递增∴函数y=f（x）在R上单调递增，且f（0）=0∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0．∴当x＜﹣2时，f（x）＜0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，那么：xf（x）＜0，即或，∴得：﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故答案为（﹣2，0）∪（0，2）．8．（3分）函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为a=0或a＞4 ．【解答】解：函数g（x）=|x2﹣4|的图象如图所示，∵函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，∴a=0或a＞4．故答案为：a=0或a＞4．9．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为﹣，，16 ．【解答】解：由f（x）=，f（f（a））=2，当log2a≤0时，即0＜a≤1时，（log2a）2+1=2，即（log2a）2=1，解得a=，当log2a＞0时，即a＞1时，log2（log2a）=2，解得a=16，因为a2+1＞0，log2（a2+1）=2，即a2+1=4解得a=（舍去），或﹣，综上所述a的值为﹣，，16，故答案为：﹣，，16，10．（3分）设f（x）=log2（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是（﹣1，）．【解答】解：函数f（x）=log2（2+|x|）﹣，是偶函数，当x≥0时，y=log2（2+x），y=﹣都是增函数，所以f（x）=log2（2+x）﹣，x≥0是增函数，f（x﹣1）＞f（2x），可得|x﹣1|＞|2x|，可得3x2+2x﹣1＜0，解得x∈（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．11．已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g （1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论：①函数y=h（x）的图象关于原点对称；②函数y=h（x）为偶函数；③函数y=h（x）的最小值为0；④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为②③④．（将你认为正确结论的序号都填上）【解答】解：∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=，∴h（x）=g（1﹣x2）=，故h（﹣x）=h（x），即函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，故①错误；②正确；当x=0时，函数取最小值0，故③正确；当x∈（0，1）时，内外函数均为减函数，故函数y=h（x）在（0，1）上为增函数，故④正确；故答案为：②③④二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）12．（4分）设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁UB）=（ ）A ．{1，2，3，4，5，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，6}D ．∅【解答】解：全集U=Z ，集合A={x|1≤x ＜7，x ∈Z}={1，2，3，4，5，6} B={x=2k ﹣1，k ∈Z}， ∴∁u B={x=2k ，k ∈Z}， ∴A ∩（∁u B ）={2，4，6}， 故选：C ．13．（4分）设x ∈R ，则“x ＜﹣2”是“x 2+x ≥0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由“x 2+x ≥0”，解得：x ＞0或x ＜﹣1， 故x ＜﹣2”是“x ＞0或x ＜﹣1“的充分不必要条件， 故选：A ．14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．y=|x| B ．y=（）xC ．y=D ．y=﹣x 3【解答】解：对于A ：y=f （x ）=|x|，则f （﹣x ）=|﹣x|=|x|是偶函数． 对于B ：，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．对于C ：定义为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在其定义域内不连续，承载断点，∴在（﹣∞，0）和在（0，+∞）是减函数．对于D ：y=f （x ）=﹣x 3，则f （﹣x ）=x 3=﹣f （x ）是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数． 故选D ．15．（4分）设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x =b y =3，a+b=6，则+的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【解答】解：设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，a x =b y =3，a+b=6， ∴x=log a 3，y=log b 3，∴+=log3a+log3b=log3ab≤log3（）=2，当且仅当a=b=3时取等号，故选：D16．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（x）=．若x0∈M且f（f（x））∈M，则x的取值范围为（）A．（0，] B．[0，] C．（，] D．（，）【解答】解：∵0≤x＜，∴f（x））∈[，1]⊆N，∴f（f（x0））=2（1﹣f（x））=2[1﹣（x+）]=2（﹣x），∵f（f（x））∈M，∴0≤2（﹣x）＜，∴＜x≤∵0≤x＜，∴＜x＜故选：D17．设f（x）=5|x|﹣，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）【解答】解：函数f（x）=5|x|﹣，则f（﹣x）=5|﹣x|﹣=5|x|﹣=f（x）为偶函数，∵y1=5|x|是增函数，y2=﹣也是增函数，故函数f（x）是增函数．那么：f（2x+1）＞f（x）等价于：|2x+1|＞|x|，解得：x＜﹣1或使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选D．三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（∁A）∩B={﹣2}，U求实数p、q、r的值．【解答】解：集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，∴1+p+1=0，解得p=﹣2；又1+q+r=0，①A）∩B={﹣2}，（∁U∴4﹣2q+r=0，②由①②组成方程组解得q=1，r=﹣2；∴实数p=﹣2，q=1，r=﹣2．19．（10分）（1）解不等式：3≤x2﹣2x＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．【解答】解：（1）不等式：3≤x2﹣2x＜8，即：，解得：，即x∈（﹣2，﹣1]∪[3，4）．（2）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2abcd﹣b2d2=a2d2+b2c2﹣2abcd=（ad﹣bc）2≥0∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（x）=log||x|﹣1|．2（1）作出函数f（x）的大致图象；（2）指出函数f（x）的奇偶性、单调区间及零点．||x|﹣1|的定义域为：{x|x≠±1，x∈R}．【解答】解：函数f（x）=log2||x|﹣1|=，x=0时f（x）=0，函数f（x）=log2函数的图象如图：（2）函数是偶函数，单调增区间（﹣1，0），（1，+∞）；单调减区间为：（﹣∞，﹣1），（0，1）；零点为：0，﹣2，2．21．已知f（x）=|x|（2﹣x）（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x|（2﹣x）=，函数的图象如图：函数的单调增区间（0，1），单调减区间（﹣∞，0），（1，+∞）．（2）函数f（x）=c恰有三个不同的解，函数在x=1时取得极大值：1，实数c的取值范围（0，1）．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（1）AB=2OA=2=2，∴y=f（x）=2x，x∈（0，40）．（2）y2=4x2（1600﹣x2）≤4×=16002，即y≤1600，当且仅当x=20时取等号．∴截取AD=20时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600．23．（10分）已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称．（1）若f（g（x））=6﹣x2，求实数x的值；（2）若函数y=g（f（x2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=，∵f（g（x））=6﹣x2，∴=6﹣x2=x，即x2+x﹣6=0，解得x=2或x=﹣3（舍去），故x=2，（2）y=g（f（x2））==x2，∵定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，，解得m=0，n=2，（3）令t=（）x，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，则y=[f（x）]2﹣2af（x）+3等价为y=m（t）=t2﹣2at+3，对称轴为t=a，当a＜时，函数的最小值为h（a）=m（）=﹣a；当≤a≤2时，函数的最小值为h（a）=m（a）=3﹣a2；当a＞2时，函数的最小值为h（a）=m（2）=7﹣4a；故h（a）=24．已知函数f（x）=b+logax（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（x）的解析式；（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．【解答】解：（1）由已知得，b+loga 8=2，b+loga1=﹣1，（a＞0且a≠1），解得a=2，b=﹣1；故f（x）=log2x﹣1（x＞0）；（2）[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，∴log2x﹣1=0或3，∴x=2或16；（3）g（x）=2f（x+1）﹣f（x）=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x++2）﹣1≥1，当且仅当x=，即x=1时，等号成立）．于是，当x=1时，g（x）取得最小值1．四、附加题25．设函数φ（x）=a2x﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）∵φ（x）=a2x﹣a x=（a x﹣）2﹣（a＞0，a≠1），x∈[﹣2，2]，∴当a＞1时，φ（x）=φ（2）=a4﹣a2；max（x）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2；当0＜a＜1时，φmax∴φ（x）=．max（2）当a=时，φ（x）=2x﹣（）x，（x）=φ（2）=（）4﹣（）2=4﹣2=2，由（1）知，φmax∴φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立⇔∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，即∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt≥0恒成立，令g（m）=﹣2tm+t2，则，即，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．∴实数m的取值范围为：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．。
上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【详解】因为函数
y
x2
x 2x
5
的定义域为 R
，
y 1
当 x 0 时，
x 5 2 x，
u
因为
x
5 x
在
(,
5) 和(
5, ) 上单调递增，在[
5, 0) 和 (0,
5] 上单调递减，
y 1
根据复合函数单调性法则，可知
x
5 x
2
应该在
[
5, 0) 和 (0,
5] 上单调递增，
y x 而函数 x2 2x 5 本身在 x 0 处有意义，且函数图象不间断，
【详解】当 a 1时：函数 y f (x) ax 单调递增，
f 2 a2 2, f (4) a4 4a 2
；
当 0 a 1时：函数
y
f
(x) ax 单调递减，
f
2 a2
4,
f (4) a4
2
，无解.
综上所述： a 2
故答案为 2
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.
意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.
12.已知函数 f (x) || x 1| | x 3 | 1| ，若 f 4a2 6a f (4a) ，则实数 a 的取值范围
为_______.
3
【答案】
4
13 , 3 4
13
1 2
3 4
,
5.函数 f (x) x2 4x(x 0) 的反函数为_________；
【答案】 2 x 4(x 0)
【解析】
【分析】
x 2 y 4 y 0
上海市虹口区2019届高一第一学期数学期末考试( 解析版)
2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）函数的定义域为．2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是．3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝．4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为．5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是．6．（3分）已知函数f（x）＝若f（a）＝，则a＝．7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为．9．（3分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f （x22）+f（x32）＝．10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．11．（3分）（A组题）已知f（x）＝，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是．12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是．13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f （d），则a+b+c+d的值等于．14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于．二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数16．（3分）对于实数a，α：＞0，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件17．（3分）已知函数y ＝f （x ），记A ＝{（x ，y ）|y ＝f （x ）}，B ＝{（x ，y ）|x ＝0，y ∈R }，则A ∩B 的元素个数（（ ） A ．至多一个元素 B ．至少一个元素C ．一个元素D ．没有元素18．（3分）（A 组题）已知f （m ）＝（3m ﹣1）a +1﹣2m ，当m ∈[0，1]时，f （m ）≤1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0≤a ≤1B ．0＜a ＜1C ．a ≤0或a ≥1D ．a ＜0或a ＞119．（B 组题）函数f （x ）＝（3a ﹣2）x +1﹣a ，在[﹣2，3]上的最大值是f （﹣2），则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ≤D ．a ＜三、解答题20．已知A ＝{x |22x ﹣2x ﹣2≤0，x ∈R }，B ＝{x |lg （|x |﹣1）＜0，x ∈R }，求A ∩B ，A ∪B ． 21．已知函数f （x ）＝10x ﹣10﹣x ． （1）判断f （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）判断f （x ）在R 上的单调性，并说明理由．22．矩形ABCD 的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”． （1）当矩形ABCD 是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围； （2）就矩形ABCD 的一边长x 的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？ 23．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有f （x ）＝x 2﹣4x ． （1）写出函数f （x ）的单调区间（不要证明）； （2）（A 组题）解不等式f （x ）≥3；（3）（A 组题）求函数f （x ）在[﹣m ，m ]上的最大值和最小值． （2）（B 组题）求函数f （x ）的解析式； （3）（B 组题）解不等式f （x ）≥3．24．已知f （x ）是定义在R 上且满足f （x +2）＝f （x ）的函数． （1）如果0≤x ＜2时，有f （x ）＝x ，求f （3）的值；（2）（A 组题）如果0≤x ≤2时，有f （x ）＝（x ﹣1）2，若﹣2≤a ≤0，求f （a ）的取值范围；（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a 的值；（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）函数的定义域为[2，+∞）．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解．【解答】解：由x﹣2≥0，得x≥2．∴函数的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是（﹣1，+∞）．【分析】根据指数函数y＝2x的值域减一可得．【解答】解：因为y＝2x的值域为（0，+∞），∴y＝2x﹣1的值域为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考察了函数的值域，属基础题．3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝．【分析】令y＝f（x）＝x2，由x≥0，得出y≥0，并在y＝x2中解出x，即可得出函数y＝f （x）的反函数的表达式．【解答】解：令y＝f（x）＝x2，由于x≥0，则y≥0，所以，因此，，故答案为：．【点评】本题考查反函数解析式的求解，解决本题的关键在于灵活利用反函数的定义，属于基础题．4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．【分析】法1，根据不等式的运算性质进行判断求解即可．法2利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：方法一、∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，则﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]方法2：设z＝3a﹣2b，则b＝a﹣，作出不等式组对应的平面区域如图：则平移直线b＝a﹣，由图象知当直线经过点C（1，6）时，直线的截距最大，此时z最小，最小z＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9，当直线经过点A（2，3）时，直线的截距最小，此时z最大，最小z＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是a＞﹣1．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则原不等式可以转化为a ＞﹣1，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+2x，有f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，f′（x）＝3x2+2＞0，则函数f（x）在R上为增函数；如果f（1）+f（a）＞0，则f（a）＞﹣f（1）＝f（﹣1），故a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意分析函数f（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝若f（a）＝，则a＝﹣1或．【分析】当a＞0时，log2a＝；当a≤0时，2a＝．由此能求出a的值．【解答】解：当a＞0时，log2a＝∴a＝，当a≤0时，2a＝＝2﹣1，∴a＝﹣1．∴a＝﹣1或．故答案为：﹣1或．【点评】本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为3．【分析】根据|x﹣a|的几何意义，得到f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的几何意义，再求出函数的最小值．【解答】解：∵|x﹣a|几何意义表示数轴上坐标为x与坐标为a的点的距离，∴f（x）＝|x+1|+|x﹣2|表示X轴上的点X到点﹣1，2的距离和，∴最小值为此两点线段上的点，即当﹣1≤x≤2时，f（x）最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了绝对值式子的几何意义的应用，属于基础题．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为．【分析】设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L＝a+b+c，c＝，两次运用均值不等式即可求解．【解答】解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L＝2，由于a+b+＝L≥2+．（当且仅当a＝b时取等号）∴≤．∴S＝ab≤（）2＝•[]2＝L2＝．故答案为：．【点评】利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．9．（3分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f （x22）+f（x32）＝16．【分析】表示出f（x1x2x3）＝8，再表示出，根据对数运算法则化简即可【解答】解：∵f（x）＝log a x且f（x1x2x3）＝8∴log a（x1x2x3）＝8又＝＝2[log a（x1）+log a （x2）+log a（x3）]＝2[log a（x1•x2•x3]＝2log a（x1x2x3）＝2×8＝16故答案为：16【点评】本题考查对数运算，要求能熟练应用对数运算法则．属简单题10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为（1，+∞）．【分析】命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，可得：△＜0，解出a的范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，∴△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．实数a的取值范围是：（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（3分）（A组题）已知f（x）＝，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是（1，2）．【分析】画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象，即可求出．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝0，1＜f（c）＜2，∴a+b+f（c）的范围为（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的值域，属于中档题．12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】求出f′（x）＝e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）＝0，得x1＝1，从而g （x2）＝0且|1﹣x2|≤1，进而x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，由此能求出a的范围．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）＝e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）＝0，可得f（x1）＝0，解得x1＝1，存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）＝0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，∴△＝4a2﹣4（a2﹣a+2）≥0，解得a≥2．故a的范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f （d），则a+b+c+d的值等于0．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，进而分析可得直线y＝m与函数f（x）最多只有4个交点；据此分析可得a+d＝b+c＝0，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2，则f（﹣x）＝x2﹣2|x|+2＝f（x），即函数f（x）为偶函数，f（x）＝x2﹣2|x|+2＝，则直线y＝m与函数f（x）最多只有4个交点；若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则有a+d＝b+c＝0，故a+b+c+d＝0；故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性．14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于10．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（f（x））＝lg（lgx），令f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，解可得x0的值，由零点的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝lgx，则f（f（x））＝lg（lgx），若f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，即lgx0＝1，解可得x0＝10，即函数y＝f（f（x）的零点x0等于10；故答案为：10．【点评】本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【分析】由幂函数y＝x a的图象经过点（9，3），求出a＝，由此能求出此函数是y＝，是非奇非偶函数．【解答】解：∵幂函数y＝x a的图象经过点（9，3），∴9a＝3，解得a＝，∴此函数是y＝，是非奇非偶函数．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（3分）对于实数a，α：＞0，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：α：＞0得a＞1或a＜﹣1，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则判别式△＝a2﹣4≥0，得a≥2或a≤﹣2，∵{a|a≥2或a≤﹣2}⊊{a|a＞1或a＜﹣1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．17．（3分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B的元素个数（（）A．至多一个元素B．至少一个元素C．一个元素D．没有元素【分析】根据函数的定义，在定义域内有且只有一个函数值与它对应，y＝f（x）定义域是F，当F包括x＝0，则x＝0时候，有且只有一个函数值，所以函数图象与x＝0只有一个交点，也就是两个集合的交集元素个数只有1个，则答案可求．【解答】解：设函数y＝f（x）定义域是F，当0∈F，A∩B中所含元素的个数为1．∴A∩B中所含元素的个数是1．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，解答此题的关键是对题意的理解，是基础题．18．（3分）（A组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞1【分析】利用一次函数的最值求解即可．【解答】解：f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m＝（3a﹣2）m﹣a+1①3a﹣2＝0，即a＝时，f（m）＝＜1，符合题意；②3a﹣2＞0，即a＞时，f（m）max＝f（1）＝2a﹣1∵2a﹣1≤1，∴a≤1，∴＜a≤1；③3a﹣2＜0，即a＜时，f（m）max＝f（0）＝﹣a+1∵﹣a+1≤1，∴a≥0，∴0≤a＜；综上可知：实数a的取值范围是[0，1]；故选：A．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论思想的应用，一次函数闭区间的最值以及单调性的应用．19．（B组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（）A．a≥B．a＞C．a≤D．a＜【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得a＜，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题三、解答题20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B，A∪B．【解答】解：A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}＝{x|x≤1}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，A∪B＝{x|x＜2}．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．【分析】（1）容易求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而判断出f（x）是奇函数；（2）可以看出函数y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数，从而得出f（x）在R上的单调性．【解答】解：（1）f（﹣x）＝10﹣x﹣10x＝﹣（10x﹣10﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）为奇函数；（2）∵y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数；∴f（x）＝10x﹣10﹣x在R上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断，指数函数的单调性，以及增函数的定义．22．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？【分析】（1）根据基本不等式和定义即可得出周长的范围；（2）令周长不大于10，列不等式求出x的范围，得出结论．【解答】解：（1）设AB＝x，则BC＝，故而矩形ABCD的周长为2（AB+BC）＝2（x+）≥2•2＝8，当且仅当x＝即x＝2时取等号．又矩形ABCD是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．∴当矩形ABCD是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．（2）设矩形ABCD的周长为f（x），则f（x）＝2（x+）（x＞0），令f（x）≤10得x2﹣5x+4≤0，解得：1≤x≤4，∴当x∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得f（x）的单调区间；（2）（A组题），根据题意，由函数的奇偶性可得函数f（x）的解析式，则有f（x）≥3⇒或，解可得不等式的解集，即可得答案；（3）（A组题）由函数的解析式可得在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对m的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案；（2）（B组题）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式可得f（﹣x）的表达式，由函数的奇偶性可得f（x）在x＜0时的解析式，综合即可得答案；（B组题）根据题意，由函数的奇偶性可得函数f（x）的解析式，则有f（x）≥3⇒（3）或，解可得不等式的解集，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x；则f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；（2）（A组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，综合可得：f（x）＝，若f（x）≥3⇒或，解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2+，则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+，+∞）；（3）（A组题）由（2）的结论，f（x）＝，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对于区间[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；故当0＜m≤2时，f（x）max＝﹣m2+4m，f（x）min＝m2﹣4m，当2＜m≤4时，f（x）max＝4，f（x）min＝﹣4，当m＞4时，f（x）max＝m2﹣4m，f（x）min＝﹣m2+4m，（2）（B组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，综合可得：f（x）＝，（3）（B组题）由（2）的结论，f（x）＝，若f（x）≥3⇒或，解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2+，则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+，+∞）．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．24．已知f（x）是定义在R上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．（1）如果0≤x＜2时，有f（x）＝x，求f（3）的值；（2）（A组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a 的值；（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．【分析】根据f（x+2）＝f（x）的函数．可知函数f（x）是周期2的函数；依次求解各式即可．【解答】解：（1）f（3）＝f（1+2）＝f（1）＝1；（2）（A组题）若﹣2≤a≤0，则0≤a+2≤2，∴f（a）＝f（a+2）＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2∈[0，1]；（3）（A组题）因为g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，所以f（x）在[0，2]上的值域为[3，6]，所以g（x）在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；（2）（B组题）根据（2）（A组题）可得f（a）＝（a+1）2＝0，可得a＝﹣1；（3）（B组题）由题意，当0≤a≤2时，f（a）＝（a﹣1）2∈[0，1]；当﹣2≤a≤0时，则0≤a+2≤2，可得f（a）＝（a+1）2∈[0，1]，当2≤a≤4时，则0≤a﹣2≤2，可得f（a）＝（a﹣3）2∈[0，1]，故得当﹣2≤a≤4，f（a）的取值范围是[0，1]．【点评】本题考查抽象函数的问题，值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．。
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
2020_2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】【解析】【踩分点】已知集合，，则 ．∵集合，．∴．2.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．不等式可化为，或，解得，或，∴原不等式的解集为：．3.【答案】【解析】【踩分点】函数，的值域为 ．由双勾函数性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，又∵，，，∴函数，的值域是．4.【答案】【解析】【踩分点】计算： ．．5.【答案】【解析】【踩分点】用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ．设函数，易知函数为增函数，∵，，，∴下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故答案为：．6.【答案】【解析】已知条件，，且是的必要条件，则实数的取值范围为 ．∵条件：，：，且是的必要条件，∴，解得，则实数的取值范围是．【踩分点】故答案为︰．7.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．①当时，不等式可化为，∴，∴；②当时，不等式可化为，恒成立，；③当时，不等式可化为，，∴，综上所述：不等式的解集为．故答案为∶．8.【答案】【解析】【踩分点】已知函数的反函数为，若函数的图象过点，则实数的值为 ．的反函数为，∵函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，解得．故答案为：．9.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】【踩分点】令，原函数化为，函数为增函数，要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．10.【答案】【解析】【踩分点】，其中，，且，，其中，，且，则的元素个数为 ．（用含正整数的式子表示）∵，，∴，∵，，且，∴，∴元素的个数为：．11.【答案】【解析】若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为 ．，解得或，则，【踩分点】①时，，此时满足条件；②时，要满足，则或，解得或，综上所述，实数的取值集合为．12.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若，则实数的取值范围为 ．函数的图象如图所示，当时，，，当时，，，所以在上单调递增，且，，所以，所以是奇函数，若，则相当于，相当于，即，得或，所以的取值范围是．13.已知函数是定义在实数集上的偶函数，若在区间上是增函数，且，则不等式的解集为 ．【答案】【解析】【踩分点】因为是定义在实数集上的偶函数，在区间上是增函数，且，所以在上单调递减，且，所以在上，在上．因为不等式，所以或，即或或或，解得或，即不等式的解集为．故答案为：．或或二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）14.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）．C ∵函数在上单调递增，则当时，有，故充分性成立，当，即时，有，故必要性成立，∴“”是“”的充要条件．故选．15.A.关于轴对称B.关于轴对称函数的图象的对称性为（ ）．C.关于原点对称D.关于直线对称【答案】【解析】B 因为，定义域为，且，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选．16.A.B. C. D.【答案】【解析】已知全集及集合，，则的元素个数为（ ）．B 集合，集合，则，所以，含个元素．故选．且其中且且或17.A.B. C. D.【答案】【解析】已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ）．D 已知函数，，的零点依次为、、，当时，，即；当时，，即；当时，，即．在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图象，如图：由图知．故选．18.A. B.C.D.【答案】【解析】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）．A（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为，则恒成立，排除项，同理再验证时，恒成立，排除项，时，不成立，故排除项．故选：．19.A.B.C.D.【答案】【解析】若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ）．D 对于函数，时，为减函数，时，为增函数，故应有．对于函数，显然不为，对比函数可知，时，在上为减函数，时，在上为增函数，因此．故选．三、解答题（本大题共5小题，共50分）20.【答案】【解析】【踩分点】已知，是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．证明见解析，时，等号成立．证明：因故，即．当且仅当时，等号成立．21.【答案】【解析】某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道．设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：）．问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？北南停车场设计矩形停车场南北侧边长为，其东西侧边长为，人行通道占地面积最小，最小面积是．设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，【踩分点】人行通道占地面积为，由均值不等式，得 ，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，人行通道占地面积最小．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数．作出这个函数的大致图象．讨论关于的方程的根的个数．图象见解析．当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．，故先将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，最后将函数的图象轴下方部分翻折到轴上方，即可得到函数的大致图象．–8–6–4–22468–22468当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．23.24.（1）（2）（3）（1）（2）【答案】已知函数．判断函数的奇偶性．对任意的实数，，且，求证：．若关于的方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围．奇函数．证明见解析．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数是定义在上的奇函数．求实数的值及函数的值域．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．，函数的值域是．实数的取值范围是：．由，解得：，反之时，，，符合题意，故，由，时，，时，，故函数的值域是．在递增，故，故，故，令，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是：．（3）（1）（2）（3）【解析】．因为，当时，，所以，即．当时，，，即．综上知，是奇函数．因为是单调递增函数，也是单调递增函数，由复合函数的单调性，知在上是单调递增函数．由（）知是上的奇函数．由奇函数的单调性知当时是单调递增函数，从而是定义在上的单调递增的奇函数．由，得，所以，即．由（）知函数是上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，，于是，原方程有两个不相等的正根等价于：关于的方程有两个不相等的正根，即【踩分点】或，因此实数的取值范围为．或25.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】设是正常数，函数满足．求的值，并判断函数的奇偶性．是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．；奇函数．存在；．由，得，即，注意到，解得．于是，对于任意实数，均有，即恒成立，故的定义域为．在中任取一个实数，都有，并且，故，因此是奇函数．设、是区间上任意给定实数，且，易知，故，因在上是严格增函数，故，【踩分点】从而在上是严格增函数，此时函数的最大值为．由对于任意恒成立，得，又是正整数，因此的最小值为．四、附加题26.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】对于定义在上的函数，设区间是的一个子集．若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质．若函数在区间上具有性质，写出实数，所满足的条件．设是常数，若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围．．．当函数在区间上具有性质时，由其图象在上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即)，且对称轴是；于是，实数，所满足的条件为：．记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且，时，总有且，故，因此在区间上是考查严格减函数；当且，时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．【踩分点】。
2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，且f(3)=2，则f(2021)=()A. 2B. 1C. 0D. −23.已知集合A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=()A. {−3,−2,2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,2}D. {−3,3}4.函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在的大致区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=x+1B. y=−x2+1C. y=|x|+1D. y=1−1x6.已知y=f(x)是偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，则f(−4)、f(π)、f(−1)的大小关系是()A. f(π)>f(−1)>f(−4)B. f(−1)>f(−4)>f(π)C. f(−4)>f(π)>f(−1)D. f(−4)>f(−1)>f(π)二、单空题（本大题共13小题，共39.0分）7.集合M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}，则M∩N=______ ．>0的解集是______ ．8.不等式(x+1)(x−5)x−29.函数f(x)=1g(3x−1)的定义域为______．10.计算：log32log83=______11.若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：则方程x3+x2−2x−2=0的一个近似解(精确度0.04)为12. 已知α，β为三角形的内角，则“α>β”是“sinα>sinβ”的______ 条件(填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)．13. 如果存在实数x使不等式|x+1|−|x−2|<k成立，则实数k的取值范围是______ ．14. 已知函数f(x)=2+log a(x+1)(a>0，且a≠1).若y=f(x)的反函数的图象经过点(1,2)，则a=______ ．15. 函数y=log0.5(2x2−ax+5)在区间[−1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是______．16. 已知集合A={x|x2−x−2≤0}，集合B={x|1<x≤3}，则A∩B=．17. 集合{x,y,z}的子集个数为______．18. y=x|x|+3的单调增区间是______ ．x)为奇函数，则a=______．19. 若函数f(x)=x(log2(2x+a)−12三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）|+|x−a|(a>0)．20. 设函数f(x)=|x+6a(Ⅰ)证明：f(x)≥2√6；(Ⅱ)若f(3)<7，求a的取值范围．21. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求的取值范围．22. 已知函数f(x)=x2−4x+a+3，a∈R(1)若函数y=f(x)在[−1,1]上存在零点，求a的取值范围；(2)设函数g(x)=bx+5−2b，b∈R，当a=0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)=g(x2)，求b的取值范围．23. 设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R)，(1)若f(−1)=0，且对于任意的x，f(x)≥0恒成立，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[−2,2]时，g(x)=f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围．24. 已知方程x2+(m−3)x+m=0的两个根都是正数，求实数m的取值范围．25. 设f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lg(x2−ax+10)，a∈R．(1)若f(1)=1，求f(x)的解析式；(2)若a=0，不等式f(k⋅2x)+f(4x+k+1)>0恒成立，求实数k的取值范围；(3)若f(x)的值域为R，求a的取值范围．26. 已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数．(Ⅰ)若当x≥0时f(x)=x3+x+1，求当x<0时f(x)表达式；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，求满足f(x2+2x+3)>f(−x2−4x−5)的x的集合．参考答案及解析1.答案：B解析：解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，f(x)是奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，则有f(1−x)=f(1+x)=−f(x−1)，f(0)=0，则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，故f(2021)=f(1+2020)=f(1)，则有f(3)=f(−1)=−f(1)=2，变形可得f(1)=−2，故f(2021)=−2；故选：D．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，则有f(2021)=f(1)，由奇偶性求出f(1)的值，即可得答案．本题考查抽象函数的求值，涉及函数周期性的判断，属于基础题．3.答案：A解析：解：∵A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x≤−2或x≥2}，∴A∩B={−3,−2,2,3}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：由函数的解析式先判断单调性，再根据函数的零点的判定定理，函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．解：易知函数f(x)=2lnx+x−2是(0,+∞)上的增函数，f(1)=1−2=−1<0，f(2)=2ln2+2−2=2ln2>0，故f(1)⋅f(2)<0，且f(x)在(0,+∞)上连续，故函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在的大致区间为(1,2)，故选：B．5.答案：C解析：解：A、y=x+1是非奇非偶函数，A不满足条件；B、y=−x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是减函数，B不满足条件；C、y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，C满足条件；D、y=1−1是非奇非偶的函数，D不满足条件；x故选：C．根据基本初等函数的单调性、奇偶性，逐一分析答案中函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，可得答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．6.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．由函数的奇偶性可得f(−4)=f(4)，f(−1)=f(1)，再由单调性可作出判断．解：∵y=f(x)是偶函数，∴f(−4)=f(4)，f(−1)=f(1)，又∵函数在区间(0,+∞)上是增函数，∴f(4)>f(π)>f(1)，∴f(−4)>f(π)>f(−1)，故选：C．7.答案：{1,2}解析：解：∵M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1,2}，∴M∩N={1,2}．故答案为：{1,2}求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.答案：{x|x>5或−1<x<2}解析：解：原不等式可转化为(x+1)(x−2)(x−5)>0，结合高次不等式的求解得，x>5或−1<x<2．故原不等式的解集{x|x>5或−1<x<2}．故答案为：{x|x>5或−1<x<2}．把已知分式不等式直接转化为高次不等式，然后结合数轴标根法可求．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题．9.答案：(0,+∞)解析：解：要使f(x)有意义，则3x−1>0；∴x>0；∴f(x)的定义域为(0,+∞)．故答案为：(0,+∞)．可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足3x−1>0，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，指数函数的单调性．10.答案：13。
上海市上海中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________.2.函数y =________.3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______. 9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列 列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x .【解析】 【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=，所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x， 故答案为：18x. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.2.函数y =________. 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞.【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x 【解析】 【分析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=，所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x .【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】 【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】 【分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】 【分析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果.【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1).【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】 【分析】 由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果.【详解】由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=， 所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数.【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目.8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[ 【解析】 【分析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减， 根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断，所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[.【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞ 【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞.【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果.【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞，则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】13,24⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】 【分析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x xf x x x x x xx x x⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3xf x x xx≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f==，要使2(46)(4)f a a f a+=，则有以下几种情况：①246141a aa⎧+≤⎨≤⎩313313x---+≤≤；②22146 2.514 2.5464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a aa⎧+≥⎨≥⎩，解得34a≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为3313[,][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭，故答案为：3313[][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量大小，得到函数值的大小，从而得到结果【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y fx -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案.【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <， 所以1201x x <<， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+， 可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析. 三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】 【分析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数， 当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=， 所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--； （2）因为()f x 为奇函数， 当0x <时，0x ->，22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-， 且(0)0f =，所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩.【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】 【分析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0xx+-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果； （2）将式子1936(5)0xx k k k +-+-=整理得出309336x xk =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0xx k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x+-=， 解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =， （2）由1936(5)0xx k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=，所以309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，所以22315933636()24xxt t t -⋅+=-+=-+，由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154，当9t =时，2315()24t -+的最大值为60，所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤，所以k 的取值范围是1[,8]2.【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？ 【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车.. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围； （3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x=⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟，根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x--≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --≤≤因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3）令29060162030()+=1818xu x t t x x x x -=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增，结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M ，可得方程22lnln ln (2)115a a ax x =++++有实数解，即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+ 综上，实数a的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>， 故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>，故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题. 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】【分析】（1）将0c ，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c ，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+， 所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。
上海市虹口区2019-2020学年高一第一学期数学期末统考试卷(含答案)
上海市虹口区2019-2020学年高一第一学期期末统考数学试卷2020.01一. 填空题1. 用列举法表示集合2{|230,}x x x x −−<∈=Z2. 命题“若2x >且3y >，则5x y +>”的否命题是 命题（“真”或“假”）3. 函数4y x=，[1,12]x ∈的值域为 4. 已知函数()2x f x =，则((2))f f =5. 不等式|1|2x −<的解为6. 已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈−−−，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减， 则a =7. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x =−，则(2)f −= 8. 已知2m >，且110lg(100)lgx m m=+，则x 的值为 9. 已知0a >，0b >，且44a b +=，则a b 的最大值等于 10. 已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[1,0]−，则a b +=11.（A 组）记函数()||f x x b =+，[2,2]x ∈−的最大值为()g b ，则()g b = （B 组）函数2()|2|f x x x =−，[2,2]x ∈−的最大值为12.（A 组）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则关于x 的不等式2()(1)10f x f x −+−<的解是（B 组）已知42()f x x x =+，则关于x 的不等式(1)(2)f x f +<的解是二. 选择题13. 已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b −<−<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<；以上结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14. 已知a ∈R ，则“1a <”是“11a >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 已知函数||32x y =−的值域是（ ）A. RB. (2,)−+∞C. [2,)−+∞D. [1,)−+∞16.（A 组）定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0,2)和(4,6)内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A. (0)(2)0f f ⋅<B. (0)(6)0f f ⋅>C. (2)(4)0f f ⋅>D. (2)(6)0f f ⋅>（B 组）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三. 解答题17. 解下列方程：（1）2223x x −+⋅=；（2）2lg lg 20x x −−=.18. 设a ∈R ，函数2()21x x a f x +=+. （1）当1a =−时，判定()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(,)−∞+∞上单调递增.19. 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品， 则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额 为：4000.228108⨯+=元，设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，试问： （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100,600]元时，试写出顾客得到的优惠率y 关于标价x 元之间的函 数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？ 试说明理由.20. 已知函数2()22f x x ax =−+，[1,1]x ∈−.（1）当1a =时，求1(1)f −；（2）当12a =−时，判定此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数1()f x −.21. 已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实 数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”；（2）（A 组题）如果函数()||1||1a f x x x =+−+不是“正函数”，求正数a 的取值范围； （B 组题）如果函数1()||||f x x a x =+−不是“正函数”，求实数a 的取值范围； （3）（A 组题）如果函数22(2)24()2(1)22x a x a f x x a x a +−−+=+−−+是“正函数”，求正数a 取值范围； （B 组题）如果函数2()2f x ax ax =++是“正函数”，求实数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. {0,1,2}2. 假3. 1[,4]34. 165. (1,3)−6. 1−7. 3−8. lg 29. 1 10. 32−11.（A 组题）20()20b b g b b b +≥⎧=⎨−<⎩；（B 组题）8 12.（A 组题）(1,1)−；（B 组题）(3,1)−二. 选择题13. D 14. B 15. D 16. （A 组题）C ；（B 组题）B三. 解答题17.（1）0x =或1x =；（2）100x =或110x =. 18.（1）奇函数；（2）证明略（用定义证明）.19.（1）25.8%；（2）0.2[100,360)280.2[360,600]x y x x ∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩；（3）不能，最大优惠为27.8%.20.（1）1；（2）没有，函数不单调；（3）1a ≥或1a ≤−，当1a ≥时，1()f x a −=−[32,32]x a a ∈−+；当1a ≤−时，1()f x a −=[32,32]x a a ∈+−.21.（1）()1f x ≥，函数值恒为正；（2）（A 组题）(0,1)；（B 组题）2a >；（3）（A 组题）(6,1){3}−；（B 组题）[0,8).。
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。
上海市虹口区2019届高一第一学期数学期末考试( 解析版)
2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）函数的定义域为．2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是．3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝．4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为．5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是．6．（3分）已知函数f（x）＝若f（a）＝，则a＝．7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为．9．（3分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f（x22）+f（x32）＝．10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．11．（3分）（A组题）已知f（x）＝，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是．12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f （x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是．13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+d 的值等于．14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于．二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数16．（3分）对于实数a，α：＞0，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件17．（3分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B的元素个数（（）A．至多一个元素B．至少一个元素C．一个元素D．没有元素18．（3分）（A组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞119．（B组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（）A．a≥B．a＞C．a≤D．a＜三、解答题20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．21．已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．22．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．24．已知f（x）是定义在R上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．（1）如果0≤x＜2时，有f（x）＝x，求f（3）的值；（2）（A组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a的值；（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）函数的定义域为[2，+∞）．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解．【解答】解：由x﹣2≥0，得x≥2．∴函数的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是（﹣1，+∞）．【分析】根据指数函数y＝2x的值域减一可得．【解答】解：因为y＝2x的值域为（0，+∞），∴y＝2x﹣1的值域为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考察了函数的值域，属基础题．3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝．【分析】令y＝f（x）＝x2，由x≥0，得出y≥0，并在y＝x2中解出x，即可得出函数y＝f（x）的反函数的表达式．【解答】解：令y＝f（x）＝x2，由于x≥0，则y≥0，所以，因此，，故答案为：．【点评】本题考查反函数解析式的求解，解决本题的关键在于灵活利用反函数的定义，属于基础题．4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．【分析】法1，根据不等式的运算性质进行判断求解即可．法2利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：方法一、∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，则﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]方法2：设z＝3a﹣2b，则b＝a﹣，作出不等式组对应的平面区域如图：则平移直线b＝a﹣，由图象知当直线经过点C（1，6）时，直线的截距最大，此时z最小，最小z＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9，当直线经过点A（2，3）时，直线的截距最小，此时z最大，最小z＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是a＞﹣1．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则原不等式可以转化为a＞﹣1，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+2x，有f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，f′（x）＝3x2+2＞0，则函数f（x）在R上为增函数；如果f（1）+f（a）＞0，则f（a）＞﹣f（1）＝f（﹣1），故a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意分析函数f（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝若f（a）＝，则a＝﹣1或．【分析】当a＞0时，log2a＝；当a≤0时，2a＝．由此能求出a的值．【解答】解：当a＞0时，log2a＝∴a＝，当a≤0时，2a＝＝2﹣1，∴a＝﹣1．∴a＝﹣1或．故答案为：﹣1或．【点评】本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为3．【分析】根据|x﹣a|的几何意义，得到f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的几何意义，再求出函数的最小值．【解答】解：∵|x﹣a|几何意义表示数轴上坐标为x与坐标为a的点的距离，∴f（x）＝|x+1|+|x﹣2|表示X轴上的点X到点﹣1，2的距离和，∴最小值为此两点线段上的点，即当﹣1≤x≤2时，f（x）最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了绝对值式子的几何意义的应用，属于基础题．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为．【分析】设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L＝a+b+c，c＝，两次运用均值不等式即可求解．【解答】解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L＝2，由于a+b+＝L≥2+．（当且仅当a＝b时取等号）∴≤．∴S＝ab≤（）2＝•[]2＝L2＝．故答案为：．【点评】利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．9．（3分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f（x22）+f（x32）＝16．【分析】表示出f（x1x2x3）＝8，再表示出，根据对数运算法则化简即可【解答】解：∵f（x）＝log a x且f（x1x2x3）＝8∴log a（x1x2x3）＝8又＝＝2[log a（x1）+log a（x2）+log a（x3）]＝2[log a（x1•x2•x3]＝2log a（x1x2x3）＝2×8＝16故答案为：16【点评】本题考查对数运算，要求能熟练应用对数运算法则．属简单题10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为（1，+∞）．【分析】命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，可得：△＜0，解出a的范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，∴△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．实数a的取值范围是：（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（3分）（A组题）已知f（x）＝，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是（1，2）．【分析】画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象，即可求出．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝0，1＜f（c）＜2，∴a+b+f（c）的范围为（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的值域，属于中档题．12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f （x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】求出f′（x）＝e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）＝0，得x1＝1，从而g（x2）＝0且|1﹣x2|≤1，进而x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，由此能求出a的范围．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）＝e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）＝0，可得f（x1）＝0，解得x1＝1，存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）＝0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，∴△＝4a2﹣4（a2﹣a+2）≥0，解得a≥2．故a的范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+d 的值等于0．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，进而分析可得直线y ＝m与函数f（x）最多只有4个交点；据此分析可得a+d＝b+c＝0，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2，则f（﹣x）＝x2﹣2|x|+2＝f（x），即函数f（x）为偶函数，f（x）＝x2﹣2|x|+2＝，则直线y＝m与函数f（x）最多只有4个交点；若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则有a+d＝b+c＝0，故a+b+c+d＝0；故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性．14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于10．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（f（x））＝lg（lgx），令f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，解可得x0的值，由零点的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝lgx，则f（f（x））＝lg（lgx），若f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，即lgx0＝1，解可得x0＝10，即函数y＝f（f（x）的零点x0等于10；故答案为：10．【点评】本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【分析】由幂函数y＝x a的图象经过点（9，3），求出a＝，由此能求出此函数是y＝，是非奇非偶函数．【解答】解：∵幂函数y＝x a的图象经过点（9，3），∴9a＝3，解得a＝，∴此函数是y＝，是非奇非偶函数．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（3分）对于实数a，α：＞0，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：α：＞0得a＞1或a＜﹣1，β：关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则判别式△＝a2﹣4≥0，得a≥2或a≤﹣2，∵{a|a≥2或a≤﹣2}⊊{a|a＞1或a＜﹣1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．17．（3分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B的元素个数（（）A．至多一个元素B．至少一个元素C．一个元素D．没有元素【分析】根据函数的定义，在定义域内有且只有一个函数值与它对应，y＝f（x）定义域是F，当F包括x＝0，则x＝0时候，有且只有一个函数值，所以函数图象与x＝0只有一个交点，也就是两个集合的交集元素个数只有1个，则答案可求．【解答】解：设函数y＝f（x）定义域是F，当0∈F，A∩B中所含元素的个数为1．∴A∩B中所含元素的个数是1．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，解答此题的关键是对题意的理解，是基础题．18．（3分）（A组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞1【分析】利用一次函数的最值求解即可．【解答】解：f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m＝（3a﹣2）m﹣a+1①3a﹣2＝0，即a＝时，f（m）＝＜1，符合题意；②3a﹣2＞0，即a＞时，f（m）max＝f（1）＝2a﹣1∵2a﹣1≤1，∴a≤1，∴＜a≤1；③3a﹣2＜0，即a＜时，f（m）max＝f（0）＝﹣a+1∵﹣a+1≤1，∴a≥0，∴0≤a＜；综上可知：实数a的取值范围是[0，1]；故选：A．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论思想的应用，一次函数闭区间的最值以及单调性的应用．19．（B组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（）A．a≥B．a＞C．a≤D．a＜【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得a＜，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题三、解答题20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B，A∪B．【解答】解：A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}＝{x|x≤1}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，A∪B＝{x|x＜2}．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．【分析】（1）容易求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而判断出f（x）是奇函数；（2）可以看出函数y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数，从而得出f（x）在R上的单调性．【解答】解：（1）f（﹣x）＝10﹣x﹣10x＝﹣（10x﹣10﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）为奇函数；（2）∵y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数；∴f（x）＝10x﹣10﹣x在R上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断，指数函数的单调性，以及增函数的定义．22．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？【分析】（1）根据基本不等式和定义即可得出周长的范围；（2）令周长不大于10，列不等式求出x的范围，得出结论．【解答】解：（1）设AB＝x，则BC＝，故而矩形ABCD的周长为2（AB+BC）＝2（x+）≥2•2＝8，当且仅当x＝即x＝2时取等号．又矩形ABCD是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．∴当矩形ABCD是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．（2）设矩形ABCD的周长为f（x），则f（x）＝2（x+）（x＞0），令f（x）≤10得x2﹣5x+4≤0，解得：1≤x≤4，∴当x∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得f（x）的单调区间；（A组题），根据题意，由函数的奇偶性可得函数f（x）的解析式，则有f（x）≥3⇒或，（2）解可得不等式的解集，即可得答案；（3）（A组题）由函数的解析式可得在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对m的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案；（2）（B组题）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式可得f（﹣x）的表达式，由函数的奇偶性可得f（x）在x ＜0时的解析式，综合即可得答案；（3）（B组题）根据题意，由函数的奇偶性可得函数f（x）的解析式，则有f（x）≥3⇒或，解可得不等式的解集，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x；则f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；（2）（A组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，综合可得：f（x）＝，若f（x）≥3⇒或，解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2+，则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+，+∞）；（3）（A组题）由（2）的结论，f（x）＝，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对于区间[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；故当0＜m≤2时，f（x）max＝﹣m2+4m，f（x）min＝m2﹣4m，当2＜m≤4时，f（x）max＝4，f（x）min＝﹣4，当m＞4时，f（x）max＝m2﹣4m，f（x）min＝﹣m2+4m，（2）（B组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，综合可得：f（x）＝，（3）（B组题）由（2）的结论，f（x）＝，若f（x）≥3⇒或，解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2+，则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+，+∞）．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．24．已知f（x）是定义在R上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．（1）如果0≤x＜2时，有f（x）＝x，求f（3）的值；（2）（A组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a的值；（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．【分析】根据f（x+2）＝f（x）的函数．可知函数f（x）是周期2的函数；依次求解各式即可．【解答】解：（1）f（3）＝f（1+2）＝f（1）＝1；（2）（A组题）若﹣2≤a≤0，则0≤a+2≤2，∴f（a）＝f（a+2）＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2∈[0，1]；（3）（A组题）因为g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，所以f（x）在[0，2]上的值域为[3，6]，所以g（x）在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；（2）（B组题）根据（2）（A组题）可得f（a）＝（a+1）2＝0，可得a＝﹣1；（3）（B组题）由题意，当0≤a≤2时，f（a）＝（a﹣1）2∈[0，1]；当﹣2≤a≤0时，则0≤a+2≤2，可得f（a）＝（a+1）2∈[0，1]，当2≤a≤4时，则0≤a﹣2≤2，可得f（a）＝（a﹣3）2∈[0，1]，故得当﹣2≤a≤4，f（a）的取值范围是[0，1]．【点评】本题考查抽象函数的问题，值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．。
虹口区2019学年第一学期期末数学试卷含答案
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2020.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．如果1cos =2α ，那么锐角α的度数为 A ．30°； B ．45°； C ．60°；D ．90°． 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果BC =2，tan B =2，那么AC 长为 A ．1；B ．4； CD．． 3．抛物线23(1)+1y x =+的顶点所在象限是 A ．第一象限； B ．第二象限；C ．第三象限；D . 第四象限．4．已知抛物线2y x =经过1(2,)A y - 、2(1,)B y 两点，在下列关系式中，正确的是 A ．120y y >>； B ．210y y >>；C ．120y y >>；D ．210y y >>．5．已知b a 、和c都是非零向量，在下列选项中，不能．．判定a ∥b 的是A ．=a b ；B ．a ∥c ，b ∥c ；C ．+0a b =；D ．+2a b c =，3a b c -=．6．如图1，点D 是△ABC 的边BC 上一点，∠BAD=∠C ，AC =2AD ，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为 A ．；B ．；C ．7.5；D ．5．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果:2:3a b =，且+10a b =，那么a 的值为 ▲ ．8．如果向量a r 、b r 、x r 满足关系式23(+)0b a x -=r r r r，那么用向量a r 、b r 表示向量x r = ▲ ．9．如果抛物线1)1(2+-=x a y 的开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ．10．沿着x 轴正方向看，抛物线2(1)y x =--在对称轴 ▲ 侧的部分是下降的（填“左”或“右”）．C AAB图111．如果函数21)2mmy m x -=++（是二次函数，那么m 的值为 ▲ ．12．如图2，抛物线的对称轴为直线 1x =，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为 （4，0），那么点Q 的坐标为 ▲ ．13．如图3，点A （2，m ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α ，如果tan 3=2α，那么m 的值为 ▲ ．14．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，AC =12，A 1C 1=8，△ABC的高AD 为6，那么△A 1B 1C 1的高A 1D 1长为 ▲ ．15．如图4，在梯形AEFB 中，AB ∥EF ，AB =6，EF =10，点C 、D 分别在边AE 、BF 上且CD ∥AB ，如果AC=3CE ，那么CD 长为 ▲ ．16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如图5），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是 ▲ ．17．如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，点D 为边AB 上一动点，正方形 DEFG的顶点E 、F 都在边BC 上，联结BG ，tan ∠DGB 的值为 ▲ ． 18．如图7，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，sin C =45，AB=9，AD =6，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将△BEF 沿着EF 翻折，使BF 的对应线段B ’F 经过顶点A ，B’F 交对角线BD 于点P ，当B’F ⊥AB 时，AP 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：24sin 30tan 60cot 30tan 45︒-︒︒-︒．图6 D A BC G B C AD 图4EFA C图7ABD图5 θ图1020．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线C 1：22y x x =-向左平移2个单位，向下平移3 个单位得到新抛物线C 2．（1）求新抛物线C 2的表达式；（2）如图8，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O’A’B’，点A （0，5）的对应点A’ 落在平 移后的新抛物线C 2上，求点B 与其对应点B’的距离．21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图9，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点G 是Rt △ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE ⊥BC 交边BC 于点E ．（1）如果AC a =，AB b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AB=12时，求GE 的长．22．（本题满分10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB （假定树干AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7° （即∠BAB ’ =7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图10所示），测得∠CDA 为37°，AD 为5米，求这棵大树AB 的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin370.6︒≈ ，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）图8 图9 A B E C G D23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图11，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是边BC 的中点，联结AD ，过点C 作 CE ⊥AD 于点E ，联结BE ．（1）求证：2BD DE AD =⋅；（2）如果∠ABC =∠DCE ，求证：BD CE BE DE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0）、B两点，与y 轴交于点C （0，3），点P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为 （1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标； （2） 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”． ①点D 在射线AP 上，如果∠DAB 为△ABD 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE ⊥EF ，如果∠CEF 为△ECF 的特征角，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，sin ∠ABC =35，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE ⊥AD 分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ．过点A 作AG ∥BD ，交直线BE 于点G ．（1）当点D 在BC 的延长线上时（如图13），如果CD =2，求tan ∠FBC ； （2）当点D 在BC 的延长线上时（如图13），设AG x =，ADF S y =，求y 关于x 的函数 关系式（不写函数的定义域）；（3）如果AG =8，求DE 的长．D 图11 AE C BEA F G A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷评分参考建议2020.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4 8．b a32+- 9．a ＞1 10．右 11．212．(－2,0) 13．3 14．4 15．9 16．169 17．31 18．247三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=()2313214--⨯…………………………………………………………（8分） =3132-- =23-………………………………………………………………………（2分）20．解：（1）x x y 22-==()112--x ……………………………………………………（3分）∵抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，∴新的抛物线C 2的表达式为：()412-+=x y ………………………………（3分） （2）∵将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ’A ’B ’∴设A ’（x ，5）…………………………………………………………………（1分） ∵点A 的对应点A ’落在C 2上∴()4152-+=x ………………………………………………………………（1分）解得12x = ，24x =-…………………………………………………………（1分） x =2不合题意，舍去∴点B 与其对应点B’的距离为4 ………………………………………………（1分）21．解：（1）∵点G 是Rt △ABC 的重心∴点D 为AC 的中点…………………………………………………………（1分）∴1122AD AC a ==……………………………………………………………（1分） ∴12BD BA AD b a =+=-+……………………………………………………（2分）∵点G 是Rt △ABC 的重心 ∴23BG BD =…………………………………（1分）∵BG 与BD 同向∴221333BG BD b a ==-+………………………………………………………（1分）（2）在Rt △ABC 中，点D 为AC 的中点∴CD=DB ∴∠C =∠DBC ∵GE ⊥BC ∠ABC=90° ∴∠ABC=∠GEB =90°∴△GEB ∽△ABC …………………………………………………………………（1分） ∴GE BG AB AC= ………………………………………………………………………（1分） ∵23BG BD = 12B D A C= ∴13BG AC =……………………………………（1分） ∴1123GE = ∴GE =4 ……………………………………………………………………………（1分）22．解：过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E …………………………………………………（1分）在Rt △ADE 中，cos 50.84DE AD CDA =⋅∠=⨯= ……………………………（2分） sin 50.63AE AD CDA =⋅∠=⨯=…………………………………（1分）在Rt △ADE 中，∠DAE +∠ADC =90° ∴∠DAE =90°-37°=53°∴∠CAE =90°-7°-53°=30°………………………………………………………（1分）在Rt △ACE 中，tan 3CE AE CAE =⋅∠==………………………………（2分）2A C C E ==1分）由题得''4AB AB AC B C AC CD AC CE DE ==+=+=++= …………（1分）答：这棵大树AB 原来的高度是（4）米． ……………………………………（1分）23．证明：（1）∵CE ⊥AD ，∠ACB =90°∴∠ACB =∠CED =90°∵∠EDC =∠CDA∴△EDC ∽△CDA …………………………………………………………………（3分） ∴DE CDCD AD= ∴CD 2=DE ·AD ………………………………………………………………………（2分）∵点D 是边BC 的中点 ∴CD =BD∴BD 2=DE ·AD ………………………………………………………………………（1分） （2）由（1）得DE BDBD AD=且∠EDB =∠BDA∴△BDE ∽△ADB ……………………………………………………………………（2分） ∴∠ABC =∠BED ……………………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =∠DCE ， ∴∠BED =∠DCE ∵∠EBD =∠CBE∴△EBD ∽△CBE ……………………………………………………………………（2分） ∴BD ED BE CE = 即BD CE BE DE ⋅=⋅………………………………………………（1分）24．解：（1） ∵c bx x y ++-=2过A (－1， 0)，C (0，3)∴0=1;3.b c c --+⎧⎨=⎩ 解得：=2;3.b c ⎧⎨=⎩……………………………………………（2分）∴322++-=x x y ………………………………………………………………（1分）对称轴为直线x =1∵点P 在对称轴上，且纵坐标为32，∴点P 的坐标为（1，32）……………………………………………………（1分）（2）设直线x=1交x 轴于点Q∵A (－1，0)，P （1，32）∴AQ =2 PQ =32 ∴tan PAQ ∠=∴∠P AQ =60° 即∠DAB=60°……………………………………………………（1分） ∵点D 在射线AP 上，且∠DAB 为△ABD 的特征角，∴∠ABD =30°或∠ADB =30°，…………………………………………………（1分）∴点D 的坐标为（0，3）或（3，）…………………………………（2分） （3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，过点C 作CH ⊥GE 的延长线于点H .∵CE ⊥EF 且∠CEF 为△ECF 的特征角， ∴∠ECF =∠CFE =45°……………………………………………………………（1分） ∴CE =EF在Rt △CHE 中，∠HCE+∠CEH =90° ∵∠CEH +∠FEG =90°∴∠HCE =∠FEG ∵∠H =∠EGF =90°∴△CHE ≌△EGF∴CH =EG …………………………………………………………………………（1分） ∵点E 为第一象限内抛物线上一点 ∴设E （a ，223a a -++）∴223a a a =-++ ……………………………………………………………（1分）解得12a ±=（舍负）∴E ………………………………………………………………（1分）25. （1）在Rt △BED 中，∠EDB+∠EBD =90°同理∠ADC+∠DAC =90°∴∠DAC =∠EBD 即∠DAC =∠FBC ，…………………………………………（1分）由sin ∠ABC =35可得tan ∠ABC =34在Rt △ABC 中，AC =tan 3BC ABC ⋅∠=………………………………………（1分） 又∵CD =2在Rt △ACD 中，2tan 3DC DAC AC ∠== ∴2tan tan 3FBC DAC ∠=∠=………………………………………………（2分） （2）∵AG ∥BD ∴AG AFCB FC=∴43x AF AF =- ∴ 3=4x AF x + ………………………………………（2分） ∴12=4FC x + ……………………………………………………………………（1分）∵tan tan FBC DAC ∠=∠ ∴FC DCBC AC=∴AC DC BC FC= ∴tan tan ABC DFC ∠=∠ ∴ABC DFC ∠=∠ ……………………………………………………………（1分）由sin ∠ABC =35可得tan ∠ABC =34∴331294444DC FC x x ==⋅=++ …………………………………………（1分） ∴441239x x x y ⋅+⋅+=即22721632xx y x ++= …………………………………………………………（1分）（3）①当点D 在BC 的延长线上时，∵AG ∥CB ，∴AG AF CB FC =，834FCFC-= ∴FC =1， ∴3tan 4CD FC DFC =⋅∠= ∴319444DB =+=，∴19sin4DE BD EBD =⋅∠==2分） ②当点D 在边BC 上时，∵AG ∥CB ， ∴BC FC AG FA = ∴483FC FC=+， ∴FC =3 ∴9tan 4CD FC DFC =⋅∠=,∴47494=-=DB ，sin 732=14520BD EBD DE ⨯=⋅∠=……………………（2分）综上，2021 DE .。
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2019-2020学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<，以上结论正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】根据不等式的可加性，同向不等式且为正值的可乘性即可得到答案.【详解】因为13a <<，24b <<，所以37a b <+<，故（1）正确.因为42b -<-<-，所以31a b -<-<，故（2）正确.因为13a <<，24b <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知： 212a b <⋅<，故（3）正确. 因为11142b <<，13a <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知： 1342a b <<，故（4）正确. 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于简单题.2．已知a R ∈，则“1a <”是“11a>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】首先解不等式11a >，再根据充分条件和必要条件即可得到答案. 【详解】 因为1111100(1)001a a a a a a a->⇔->⇔>⇔-<⇔<<. 所以“1a <”是“11a >”的必要非充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了分式不等式的解法，属于简单题. 3．已知函数32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．()2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】D【解析】首先令x t =，根据指数函数的图像得到：31t ≥，即1y ≥-.【详解】 令x t =，0t ≥，则32t y =-， 因为31t ≥，所以1y ≥-.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，同时考查了换元法求函数的值域，属于简单题. 4．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A ．()()020f f ⋅< B ．()()020f f ⋅> C ．()()240f f ⋅>D ．()()260f f ⋅>【答案】C【解析】首先根据题意得到函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，即可得到(2)(4)0f f >.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点， 这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，所以函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，若(2)f 与(4)f 的函数值异号，根据零点存在性定理可得以函数()f x 在区间(2,4)上必有零点，所以(2)f 与(4)f 的函数值同号，即(2)(4)0f f >.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点存在定义和零点的区间，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点.以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据奇函数的定义及性质，对题目中的命题判断正误即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)=0f .故0是函数()f x 的零点，所以（1）正确，（2）错误.根据奇函数的对称性知：函数()f x 有零点，则零点关于原点对称，再加上原点，共有奇数个零点，所以（3）正确，（4）错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了方程与零点，属于中档题.二、填空题6．用列举法表示集合{}2230,x x x x Z --<∈=________.【答案】{}0,1,2【解析】首先解不等式2230x x --<，再用列举法表示集合即可.【详解】 2{|230,}{|13,}{0,1,2}x x x x Z x x x Z --<∈=-<<∈=.故答案为：{0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.7．命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题是__________命题.(填入“真”或“假”)【答案】假【解析】写出否命题，即可判断命题的真假.【详解】命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题：“若2x ≤或3y ≤,则5x y +≤”是假命题，例如1,9x y ==，满足2x ≤或3y ≤，但不能推出5x y +≤.故答案为：假【点睛】此题考查根据已知命题写出否命题，并判断真假，涉及含有逻辑联结词的命题的否定. 8．函数4y x=，[]1,12x ∈的值域为________. 【答案】1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据函数的单调性即可求出值域.【详解】 因为函数4y x=在区间[]1,12为减函数， 所以值域为1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性，属于简单题.9．己知函数()2x f x =.则()()2f f =________.【答案】16【解析】首先计算(2)f ，再代入计算((2))f 即可.【详解】2(2)24f ==，4((2))(4)216f f ===.故答案为：16【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于简单题.10．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3． 解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2，∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）．【考点】绝对值不等式的解法．11．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -=____.【答案】3-【解析】 由题意得，函数()y f x =为奇函数，所以()2(2)2(21)3f f -=-=--=-. 13．已知2m >，且()110lg 100lg x m m=+则x 的值为________. 【答案】lg 2【解析】首先计算1lg(100)lg lg1002m m+==，再解方程102x =即可.【详解】 因为1lg(100)lglg1002m m +==， 所以，102x =，即lg 2x =.故答案为：lg 2【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数方程，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于简单题.14．已知0a >，0b >，且44a b +=，则a b 的最大值等于________. 【答案】1【解析】首先根据题意得到114a b =-，代入a b 得到21=(2)14a a b --+，再利用二次函数的性质即可得到最大值.【详解】 因为44a b +=，所以114a b =-. 因为0a >，0b >，所以104a ->，即04a <<. 所以21=(1)(2)144a a a ab -=--+. 当2a =时，max ()=1a b . 故答案为：1【点睛】本题主要考查二次函数的最值，将a b转化为二次函数的形式为解题的关键，属于中档题. 15．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32- 【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. 【考点】指数函数的性质.16．记函数()f x x b =+，[]2,2x Î-的最大值为()g b ，则()g b =________.【答案】()2 02 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩【解析】首先将()f x 转化为分段函数，再对b 进行讨论，即可求出最大值()g b【详解】,(),x b x b f x x b x b x b +≥-⎧=+=⎨--<-⎩. 当0b =时，()f x x =，max ()2f x =，即()2g b =.当0b -<，即0b >时，max ()(2)2f x f b ==+，即()2g b b =+.当0b ->，即0b <时，max ()(2)2f x f b =-=-，即()2g b b =-.综上：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩. 故答案为：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【点睛】本题主要考查含参绝对值函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题. 17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则关于x 的不等式()()2110f x f x -+-<的解是________.【答案】()1,1-【解析】首先将不等式变形，根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设2()()g x f x x =+，得到()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，再解不等式即可.【详解】因为2()(1)10f x f x -+-<，所以2()(1)1f x x f +<+.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.设2()()g x f x x =+，()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增. 所以2()(1)1f x x f +<+，即()()1g x g <. 所以1x <，解得11x -<<.故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题.18．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________. 【答案】8【解析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值.【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+.故答案为：8【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题. 19．已知()42f x x x =+，则关于x 的不等式()()12f x f +<的解是________. 【答案】()3,1-【解析】首先根据函数()f x 的解析式，得到()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，再利用偶函数的对称性解不等式即可.【详解】因为42()f x x x =+，所以()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数.所以(1)(2)f x f +<根据偶函数的对称性知：212x -<+<，解得：31x -<<.故答案为：(3,1)-【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握奇偶函数的性质为解题的关键，属于中档题.三、解答题20．解下列方程（1）2223x x -+⋅=；（2）2lg lg 20x x --=【答案】（1）0x =或1x =（2）100x =或110x = 【解析】（1）首先令2x t =，根据二次方程和指数方程即可解出方程的根.（2）根据二次方程和对数方程即可解出方程的根.【详解】（1）令2x t =，0t >，得23t t+=. 整理得：2320t t -+=.解得：1t =或2t =.即：21x =或22x =，0x =或1x =.（2）因为2lg lg 20x x --=，所以(lg 2)(lg 1)0x x -+=.解得：lg 2x =或lg 1=-，100x =或110x =. 【点睛】 本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题.21．设a R ∈，函数()221x x a f x +=+. （1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(),-∞+∞上单调递增.【答案】（1）奇函数；证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）首先求出函数()f x 的定义域为R ，再判断()f x 与()f x -的关系即可. （2）根据题意设任意12,x x R ∈，且12x x <，作差比较12()()f x f x -即可.【详解】 （1）当1a =-时，21()21x x f x -=+，定义域关于原点对称. 112112222()()11212121221xx x x x x x x x xf x f x ----====+--=-+++. 所以()f x 为奇函数.（2）当0a =时，2()21xx f x =+，设任意12,x x R ∈，且12x x <. 1212211212121212222(21)2(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++. 因为12220x x -<，1210x +>，2210x +>，所以12())0(f x f x -<.即：12()()f x f x <. 所以2()21xx f x =+在R 上为增函数. 【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的判断，第二问考查了函数单调性的判断，属于中档题. 22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元.设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价.试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[]100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.【答案】（1）25.8%（2）[)[]0.2 100,360280.2360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩（3）不能，详见解析【解析】（1）根据题意得到购买1000元商品，则消费800元，获得对应的奖券58元，再计算优惠率即可.（2）根据题意，分段讨论当标价为[100,360)元和标价为[360,600]元时的优惠率即可. （3）根据（2）得到当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大，再计算最大优惠率比较即可.【详解】（1）购买1000元商品的优惠率10000.25810025.81000%%=⨯+=⨯.（2）当标价为[100,360)元时，则消费[80,288)元，不能获得优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.20.2xyx==.当标价为[360,600]元时，则消费[288,480]元，获得28元优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.228280.2xyx x+==+.综上[)[]0.2?100,360280.2?360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩.（3）当顾客买标价不超过360元商品时，优惠率为20%.当顾客买标价在[360,600]元商品时，优惠率为280.2yx=+，为减函数.所以当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大.max280.227.8%30%360y=+≈<.所以顾客不能得到超过30%的优惠率. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，弄清题意为解题的关键，属于中档题.23．已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-. （1）当1a =时，求()11f-； （2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【解析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f-等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可.（2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定. （3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可.【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+.求1(1)f -即等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解.2221x x -+=，解得：1x =.所以1(1)1f -=.（2）当12a =-时，2217()2()24f x x x x =++=++. [1,1]x ∈-时，显然函数不单调，所以在区间[1,1]-没有反函数.（3）若函数()f x 存在反函数，则函数()f x 在区间[1,1]-单调.222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为x a =.所以当1a ≥或1a ≤-时，函数()f x 存在反函数.当1a ≥时，1)(f a x -=，[]32,32x a a ∈-+.当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.24．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数()()2lg 11f x x =++是“正函数”； （2）如果函数()11a f x x x =+-+不是“正函数”，求正数a 的取值范围. （3）如果函数()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，（2）(,1]-∞（3）(){}6,13-U【解析】（1）有题知：()1f x ≥，即证.（2）首先讨论当0a ≤时，显然()11a f x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时，从反面入手，假设()f x 是“正函数”，求出a 的范围，再取其补集即可.（3）根据题意得到：22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+，解方程和不等式组即可.【详解】（1）2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=.函数值恒为正数，故函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”.（2）当0a ≤时，(0)10f a =-<， 显然()11a f x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时 假设()11a f x x x =+-+为“正函数”.则()f x 恒大于零.()1221a f x x x =++-≥+.所以20>，即1a > 所以()11a f x x x =+-+不是“正函数”时， 01a <≤.综上：1a ≤.（3）有题知：若函数()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”， 则22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+. 解得：61a -<<或3a =.【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。