三角形的所有性质

三角形的性质

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质：到三边的距离相等。

界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。

7.一个三角形最少有2个锐角。

8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线

9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。

10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c??

那么这个三角形就一定是直角三角形。

三角形的边角之间的关系

（1）三角形三内角和等于180°；

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.

（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部

.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

特殊三角形

1.相似三角形

（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形

（2）相似三角形性质

相似三角形对应边成比例，对应角相等

相似三角形对应边的比叫做相似比

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等

（3）相似三角形的判定

【1】三边对应成比例则这两个三角形相似

【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似

【3】两角对应相等则两三角形相似

2.全等三角形

（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形的性质。

全等三角形对应角（边）相等。

全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的判定

① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形)

3.等腰三角形

等腰三角形的性质：

（1）两底角相等；

（2）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

等腰三角形的判定：

（1）等角对等边；

（2）两底角相等；

4.等边三角形

等边三角形的性质：

（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。

等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

三角形的面积公式

(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）

(2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数）

(3)S△=√〔s*（s-a）*（s-b）*（s-c）〕【s=1/2(a+b+c)】

(4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】

(5)S△=1/2*(a+b+c)*r 【r是内切圆半径】

(6) | a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

【| a b 1 |

| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC

| e f 1 |

选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】