求解非线性不适定算子方程的一种Landweber迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法非线性方程是指未知数的高次幂或三角函数、指数函数等构成的方程。
非线性方程的求解是数值计算中的一个重要问题，常用的方法有迭代法、试位法、牛顿法等。
下面介绍三种新的迭代法。
1. 牛顿法的改进牛顿法是一种求解非线性方程的常用方法，通过选择合适的初始值，可以得到方程的一个根。
在某些情况下，牛顿法的收敛速度较慢，甚至可能发散。
为了克服这个问题，有人提出了牛顿法的改进方法。
改进的思想是在每一步的迭代中引入一个修正因子，使得每一步的迭代都能够加速收敛。
这个修正因子可以选择为方程导数的逆矩阵，或者通过数值计算方法来估计。
通过引入修正因子，可以使得牛顿法的收敛速度更快，提高求解非线性方程的效率。
2. 弦截法弦截法是一种求解非线性方程的迭代法，它可以看作是牛顿法的一种变形。
在牛顿法中，通过选择切线与x轴的交点作为新的逼近解，而在弦截法中，通过选择切线与两个初始逼近解的连线的交点作为新的逼近解。
弦截法的迭代公式为：Xn+1 = Xn - f(Xn) * (Xn - Xn-1) / (f(Xn) - f(Xn-1))在每一步迭代中，选择两个初始逼近解Xn和Xn-1，代入上述迭代公式即可求得新的逼近解Xn+1。
通过不断迭代，可以逐渐接近方程的根。
3. 牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种变步长的牛顿法，它的主要思想是通过动态调整迭代步长的大小来提高求解非线性方程的效率。
在牛顿-拉夫逊法中，首先根据初始解得到牛顿法的逼近解，然后根据逼近解和方程的误差，动态调整迭代步长。
如果逼近解接近方程的根，将步长增加，以加快收敛速度；如果逼近解偏离方程的根，将步长减小，以避免迭代发散。
λ为步长调整因子，可以根据迭代过程中的收敛情况进行动态调整。
牛顿法的改进、弦截法和牛顿-拉夫逊法是三种求解非线性方程的新的迭代法。
这些方法通过引入修正因子、变化逼近解和动态调整步长等方法，可以提高求解非线性方程的效率和收敛速度。
解非线性方程的一个非线性迭代法
解非线性方程的一个非线性迭代法
一、非线性迭代法
非线性迭代法是一种解决非线性方程的迭代算法，它可以用来解决某
些不是很复杂的非线性方程。
它的原理很简单，根据拟合函数的结果，依次迭代计算，求出每一步迭代值，知道最终结果。
非线性迭代法，又被称为迭代算法，它可以通过多次迭代来求解特定
问题，通常用它来解决非线性方程，特别是特定的不可分的非线性方程。
在这个过程中，首先，给出非线性方程某个变量的初值，进行迭
代计算，每一次迭代都会用计算结果来更新变量的值，而最终的变量
值就是方程的根。
二、迭代步骤
1. 预选择初值:在使用非线性迭代法解决问题时，第一步就是给出一个
初值，这个初值可以通过此时此刻的数据估算，也可以通过判断函数
和它的导数表达式变量的变化范围来选择；
2. 迭代计算:根据计算非线性方程拟合函数，计算下一步迭代值，直到
找到根，或者迭代次数受限；
3. 指定精度:设定比较迭代值的精度，如果到达指定的精度，则可以认为找到了近似的根，完成迭代。
三、优劣
1. 优点:非线性迭代法简单易懂，而且有良好的稳定性，可以用来解决某些比较简单的非线性方程，也可以考虑不同的变量值，来获取更准确的结果；
2. 缺点:虽然非线性迭代法简单易懂，但是计算时间较长，对于一些复杂方程，无法收敛到足够的精度，需要引入其他更加精确的方法。
反问题的Landweber迭代法及其应用研究进展
Ｔ （ ｘ ） ＝Ｙ的解 ∈ 卢 ： （ 。 ） 。如果 ’ 代表与 ‰ 相距最近的唯
一
解， 且对 ∈ （ 。 ） ， Ⅳ（ （ ） ） ｃＮ（ Ｔ （ ） ） （ Ｎ表示算 子的
非线性性和不适定性 是反 问题 最显 著的特性 。最 初对 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 正则化都是通过对初始条件加 以限定或者在特殊 的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ａ空 间 中讨 论 其 收 敛 性 与 收 敛 速 度 。１ ９ ９ ４年 ， Ｔ ａ ｕ ｔ ｅ ｎ — ｈ ａ ｈ ｎ ＿ ３ 分别讨 论了存在扰动误 差 ６和不存 在扰 动误差 两种情 况下连续 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 方 法 的收敛性 。当 ６ ≠０时 ， 通 过求解
且 （ ）＝Ｙ在 领 域
（ 。 ） 中可解， 那 么 收 敛 于 方 程
的参 数 ｇ ＝ｑ （ ｘ ， Ｙ ） 识别问题 ， 利用 Ｓ ｃ ｈ ｅ ｒ ｚ ｅ ｒ 的修正 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法的特殊 结构 ， 提出一个无导数的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 ： ｑ ｌ ＋ １ ＝ ｑ ２ ＋ Ａ Ｌ （ ｑ ｛ ） （ 一 “ ）
初值问题 ：
（ ） ： ＝Ｔ （ （ ｔ ） ） ［ Ｙ 一 （ （ ） ） ］ ０＜ ￡ ≤Ｔ ， （ Ｏ ）＝ ０ （ １ ）
性、 唯一性和稳定性 ， 三 者缺一 不可 。而 反问题 最显 著的特 性
就是不适 定性 和非线性性 。对 于非线 性不适 定反 问题 的研
matlab牛顿迭代 程序 -回复
matlab牛顿迭代程序-回复牛顿迭代方法是一种数值逼近的方法，用于求解非线性方程和优化问题。
它通过不断迭代逼近目标函数的根或极值点，以提高计算的准确性和效率。
首先，我们需要了解什么是非线性方程。
在数学中，非线性方程指的是形如f(x) = 0的方程，其中f(x)是一个非线性函数，x是未知数。
相对于线性方程，非线性方程的求解更加复杂，无法使用简单的代数方法求解。
而牛顿迭代方法可以用来解决非线性方程。
它基于以下思想：通过不断逼近目标函数的根，可以找到一个接近于真实解的近似解。
具体来说，牛顿迭代方法使用一阶泰勒展开式来逼近目标函数，然后用逼近的线性函数求解近似根，将这个近似根代入原函数中，再次计算线性函数，一直重复这个过程直到满足收敛条件。
下面我们来介绍一下牛顿迭代的基本原理和步骤。
假设要求解的非线性方程为f(x) = 0。
1. 选择初始点x0。
初始点的选择对于迭代的收敛性和速度非常重要。
2. 构造迭代公式。
牛顿迭代方法的迭代公式为：xn+1 = xn -f(xn)/f'(xn)。
其中，xn是第n次迭代得到的近似解，f'(xn)是f(x)的导数在点xn处的值。
3. 计算迭代。
根据迭代公式，将第n次迭代得到的近似解xn代入公式中，计算得到第n+1次迭代的近似解xn+1。
4. 判断收敛。
判断迭代是否达到了预设的精度要求。
可以选择一个相对误差或绝对误差作为判断标准，当近似解的变化小于一定阈值时，认为迭代收敛，即找到了近似解。
5. 如果迭代还未收敛，返回第3步，继续迭代计算。
需要注意的是，牛顿迭代可能会出现迭代发散的情况。
通常情况下，在正常迭代过程中，迭代会愈发接近最终的解。
然而，当目标函数的导数在某些点附近接近于零或者不连续时，迭代可能会发散。
这种情况下，我们需要选择一个更好的初始点或考虑其他数值逼近方法来解决。
牛顿迭代方法的优点是收敛速度快，但缺点是对初值敏感，并且需要计算目标函数的导数。
解非线性方程组的牛顿法
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近 解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)
求解非线性不适定算子方程的一种Landweber迭代法
引 言
考虑 非线 性算 子方程
Ｆ （ ）＝Ｙ ． （ １ ）
数学 两个 学 科 的真 正 的 研 究 领 域 ］ ． 其 理 论 研 究 大 致有 以 下 几个 方 面 如 Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ正 则 化 方 法 ， 最
大嫡方法 ， 有限维逼近等 ］ ． 对 于非线性 问题人 们对 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法 给 予 了很 大 关 注 ， 文献 ［ ５ ］ 证明了 Ｆ ｒ ｏ ｇ ｅ ｎ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 的收敛 性并进行 了数 值试 验 ． ｆ Ｘ ｋ ， Ｊ ＋ ！ ＝ ’ ＋ Ｆ （ ） （ ｙ—Ｆ （ ｘ ， ） ） ，
其中： Ｆ： Ｄ（ Ｆ）ｃ
Ｆ ｒ ｅ ｃ ｈ ｅ ｔ 可微．
】 ， ， ， ｙ为 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｎ空间． Ｆ是
这里考虑算子方程 的解 不连续依赖于右端数 据 的情况 ． 由于不稳 定性 并 且在实 际 问题 中只有近 似数据 满足 ｌ ｌ Ｙ 一 Ｙ ｌ ｌ ≤ ６ 这里 为测 量误 差 ６＞ ０的界 ． 对于此类非线 陛问题的解法 ， 一般通过正则化 方法 来得 到其 解 的近 似 ． 由于 非线 不适 定 问题在
似的前提条件 下， 基于 Ｆ ｒ ｏ ｚ ｅ ｎ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法 ， 提 出双扰动的双循环 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代格 式． 在 一定的 条件 下， 通过证明迭代 格式的单调性和收敛性 ， 得 出该迭代格 式是有 效的．
关键词 ： 非 线 性 不 适 定 问题 ； Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法 ： 收 敛 性 中图 分 类 号 ：０ ２ ４ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ２— ０ ９ ４ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ５ ８ ８— ０ ４
求解非线性方程组的一种新的全局收敛的levenberg—marquardt算法
求解非线性方程组的一种新的全局收敛的levenberg—marquardt算法
Levenberg-Marquardt算法是一种全局收敛的求解非线性
方程组的算法，该算法是由Levenberg和Marquardt在1950年
从拟牛顿法的基础上发展而来的。
它能有效地求解非线性方程组，它兼顾了牛顿法的全局收敛性和梯度下降法的局部收敛性，是目前公认的非线性方程组求解中最有效的方法之
Levenberg-Marquardt算法是一种局部拟牛顿法，其基本
思想是在牛顿法的基础上引入一个收敛参数，以达到牛顿法的局部收敛性和全局收敛性的综合。
因此，Levenberg-Marquardt
算法在求解非线性方程组时具有较快的收敛速度和高的精度。
Levenberg-Marquardt算法的具体步骤如下：
1、建立拟牛顿法的迭代公式：DD=(DDD+λD)D−DDD；其中，DD表示迭代步长，J为雅可比矩阵，A为单位矩阵，F
为残差向量，λ为收敛参数。
2、根据迭代公式计算迭代步长DD。
3、根据迭代步长更新变量的值：D=D+DD；
4、根据新的变量值重新计算残差：D=D(D)；
5、检查收敛情况，如果迭代收敛，则结束；如果未收敛，则更新收敛参数λ，重复步骤1～
4，直到收敛结束。
Levenberg-Marquardt算法是一种全局收敛的求解非线性
方程组的算法，它能够有效地求解非线性方程组，是目前公认的求解非线性方程组的最有效方法之
一。
它在求解非线性方程组时，兼顾了牛顿法的全局收敛性和梯度下降法的局部收敛性，使得它在求解非线性方程组时具有较快的收敛速度和高的精度。
Banach空间中非线性不适定问题的Levenberg--Marquardt迭代法
算 子，
为 Ａ的伴随算子 ， Ａ的零空间为 Ｎ （ Ａ ） ： ＝｛ ∈Ｘ： Ａ ｘ ＝ ０ ｝ ， 则Ｎ （ Ａ ） ： ＝｛ ∈Ｘ ： （ ， ） ＝ ０ ，
∈Ｎ （ Ａ ） ｝ ． 用Ｒ （ Ａ ） 表示 Ａ的值域 ， 即Ｒ （ Ａ ） ： ＝｛ Ｙ∈ Ｙ ： Ｙ＝ Ａ ｘ ， ∈Ｘ｝ ， 当 是 自反的， 有
其 中， ： ＝ ∈ Ｄ（ Ｆ）是 一 个 初 始 值 ， Ｆ （ ） 为 Ｆ （ ）的 伴 随 算 子．特 别 地 ， 这 种 迭 代 法 是 对 Ｇａ ｕ ｓ ｓ ． Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ 迭 代法 的一 种变形 ． 如果 Ｆ满 足一 个源 条件 ｌ １ Ｆ（ 牙 ） 一Ｆ（ ） 一Ｆ （ ） （ 一 ）Ｉ ｌ ≤Ｊ ， ７ ｌ ｌ Ｆ（ 元 ） 一
Ｈ ｉ ｌห้องสมุดไป่ตู้ｂ ｅ ｒ ｔ 空间中 的 弱收 敛 性． 本文 对 于一 类 先验 条件， 即｛ ｝ 是 一个 正数 序列 且 满足∑ ： ＝ ∞， 不同 于
ｎ＝ ０
传统 的非 线性不 适定 问题 的正则 化分 析 ， 使 用 了源 条 件 和广 义 的 Ｂ ｒ ｅ ｇ ｍ ａ ｎ距 离 ， 讨论 了 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 中
Ｆ （ ）ｌ ， ｌ Ｅ Ｂ ， （ ＋ ） ， Ｂ （ ＋ ） ： ＝｛ ∈ ： ｌ — ｌ ＋ ｌ ｌ ≤ｒ ｝ ， ７ ／ ＜ １ ， 文［ ２ ］ 证明了 Ｌ ｅ ｖ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ － Ｍ ａ ｒ ｑ ｕ ａ ｒ ｄ ｔ 迭代法 的收敛性． ２ ０ ０ ８ 年， 文［ ３ ］ 提出了一个先验条件（ 即Ｏ ／ 。＞０ 和Ｏ ｔ ＝ Ｏ ｔ 。 ｒ ， ０＜ｒ ＜１ ， 几＝ ０ ， １ ， …） ， 证 明了 Ｌ ｅ ｖ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ — Ｍ ａ ｒ ｑ ｕ ａ ｒ ｄ ｔ 迭代法的收敛性 和收敛率． ２ ０ ０ ９年 ， 文［ ４ ］使用 了广 义的 Ｂ ｒ ｅ ｇ ｍ ａ ｎ距离得到 了
一类非线性算子方程唯一解的Mann迭代序列的收敛性及其应用
关于英雄纪念碑的故事50字五则
故事一：滑田友最先提议修建人民英雄纪念碑1949年9月23日，北平国立艺专教师滑田友先生，给当时北平市建设局领导写了一封信，信中建议在天安门广场建一个雕塑建筑组合的纪念碑。
故事二：毛主席亲自提“人民英雄纪念碑”八个镏金大字在纪念碑上，有毛主席提的“人民英雄永垂不朽”八个镏金大字，还有毛主席亲自起草、周总理亲笔书写的碑文。
故事三：英雄纪念碑上有170多个浮雕人物形象
浮雕高2米，总长40.68米，浮雕镌刻着170多个人物形象，生动地表现出中国人民100多年来反帝反封建的伟大革命斗争史实。
故事四：两年收到180多个设计方案
1949年10月至1951年，在北京市人民政府的主持下，在不到两年的时间里，北京市都市计划委员会收到各种形式的设计方案180多个。
故事五：周总理的字
纪念碑碑文共150个字，周总理为了练好每一个字，都会一遍一遍地书写，整篇文章书写了41遍以后，再从中挑选了最满意的一副。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法求解非线性方程是数值分析中的一个重要问题，对于复杂的方程往往无法通过解析方法求得精确解。
迭代法成为了求解非线性方程的常用方法之一。
传统的迭代法如牛顿法、割线法等在实际应用中存在着一些问题，近年来研究者提出了一些新的迭代法，以解决传统迭代法的一些缺点。
下面将介绍三种新的迭代法：拟牛顿法、混合法和基因迭代法。
拟牛顿法是一种通过构建迭代更新的矩阵逼近方向导数的方法。
传统的牛顿法每次需要求解并存储Hessian矩阵的逆矩阵，计算复杂度较高。
而拟牛顿法通过不直接计算Hessian矩阵的逆矩阵，而是通过一些迭代更新矩阵来逼近Hessian矩阵的逆矩阵，从而减少了计算复杂度。
其基本思想是通过更新矩阵不断逼近Hessian矩阵的逆矩阵，使得迭代得到的解更加接近最优解。
拟牛顿法在求解非线性方程时具有收敛速度快、计算精度高等优点，在实际应用中得到了广泛的应用。
另一种新的迭代法是混合法，混合法是将不同的迭代方法进行组合，通过不同的方式交替使用各种迭代方法，以期望达到更好的收敛效果。
将牛顿法和割线法进行混合，每次迭代交替使用两种方法，通过对两种迭代方法的优势互相弥补，从而提高收敛速度和稳定性。
混合法在实际应用中表现出了良好的性能，特别是在求解高阶非线性方程或者函数具有复杂结构的情况下，混合法能够更快速地收敛到最优解。
最后一种新的迭代法是基因迭代法，基因迭代法是受到生物进化理论的启发而提出的一种迭代方法。
其基本思想是通过模拟生物进化中的遗传、变异、选择等过程，不断优化迭代的解。
在每一代迭代中，通过交叉、变异等操作产生新的解，并通过适应度函数进行选择，使得优秀的解得以保留并得到进化，从而逐步优化迭代的解。
基因迭代法在求解非线性方程时可以克服局部最优解的问题，找到更接近全局最优解的解。
在求解复杂的非线性方程时，基因迭代法具有明显的优势。
以上介绍了三种新的迭代法：拟牛顿法、混合法和基因迭代法。
这些新的迭代法在求解非线性方程时有着良好的性能，能够更快速地收敛到最优解，具有更好的稳定性和精度。
求解非线性方程的牛顿迭代法
求解非线性方程的牛顿迭代法作者：李晓辉任伟和程长胜来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。
文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。
紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。
关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度中图分类号：O010224文献标识码：A一、绪论类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。
若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。
这类问题称为求根问题或求零点问题。
此外，方程的根的情况可分为单根和重根。
一般的非线性方程的重数可以定义如下：若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。
若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。
求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。
（2）有根区间的确定。
本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。
（3）求出足够近似的根，即在制定精度下缩小有根区间，或通过某些判别条件断定近似根的精度。
二、Newton迭代公式的构造简单迭代是将非线性方程f（x）=0通过代数恒等变形，将原方程化成等价方程x=φ（x），从而形成迭代式xk+1=φ（xk）。
地震信号的Landweber迭代傅里叶快速重建
地震信号的Landweber迭代傅里叶快速重建池越;丁木;周亚同;白阳【摘要】地震信号重建具有重要意义,其中傅里叶重建算法受到广泛关注.这些算法具有原理简单、纯数据驱动、假设前提少等优势,但也存在着重建速度慢等不足.以FRMN为基础,构建了一种新的Landweber迭代傅里叶快速重建算法(Fourier Reconstruction with accelerated Landweber Iteration,FRLI);该算法在经典的FRMN基础上,利用快速Landweber迭代求解傅里叶系数,再经过傅里叶反变换重建地震信号.通过不同维数的地震信号重建实验,结果表明:FRLI与经典的FRMN和FRSI重建算法相比,大幅提高了重建速度,且重建效果良好.因此采用FRLI算法重建地震信号可以解决传统算法的缺陷.【期刊名称】《煤炭学报》【年(卷),期】2018(043)009【总页数】8页(P2562-2569)【关键词】地震信号;傅里叶重建;快速Landweber迭代;重建速度【作者】池越;丁木;周亚同;白阳【作者单位】河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学天津市电子材料与器件重点实验室,天津300401;河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学天津市电子材料与器件重点实验室,天津300401;河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学天津市电子材料与器件重点实验室,天津300401;河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学天津市电子材料与器件重点实验室,天津300401【正文语种】中文【中图分类】P631.4通过地震信号可以探查地下地质结构，以便准确寻找煤炭[1]、石油和天然气。
但是在野外地震勘探中，由于各种原因有时导致采集的地震信号并不完整，因此需要将缺失的地震信号重建成完整的地震信号。
常见的地震信号重建算法有3类:基于数学变换的重建、基于预测滤波的重建和基于波动方程的重建，其中基于数学变换的重建包括傅里叶变换、小波变换[2]、K-L变换及Radon变换重建等。
landweber迭代法
landweber迭代法
Landweber迭代法是求解线性方程组中最常见的一种迭代方法之一。
它的主要思想是
通过对初始解的一系列修正来逐渐迭代得到线性方程组的解。
在数学上，一个线性方程组可以表示为：
Ax = b
其中，A为一个系数矩阵，x为未知数向量，b为已知数向量。
在使用Landweber迭代法时，我们首先需要确定一个初始解x0。
然后，我们将x0代入方程组中，计算出一个残量向量r0，其定义为：
接下来，我们需要根据残量向量r0来修正解向量，即：
x1 = x0 + αr0
其中，α为步长，其取值介于0和1之间。
接着，我们将x1代入方程组中，计算出一个残量向量r1，并根据此残量向量修正解
向量，即：
这个过程会持续进行下去，直到我们得到一个近似解满足预设的精度要求。
具体来说，我们可以定义一个终止条件，如下所示：
||r|| < ε
其中，||r||是残量向量r的范数，ε是指定的误差容限。
需要注意的是，Landweber迭代法只适用于求解具有正定系数矩阵的线性方程组。
在
其他情形下，可能需要使用其他的迭代方法。
总的来说，Landweber迭代法的优点在于其简单性和易于实现性。
然而，它的收敛速
度较慢，通常需要大量的迭代才能得到满足要求的解。
此外，步长α的选择也会对收敛速度产生影响，需要根据实际情况进行调整。
“牛顿迭代法”最新进展文献综述
“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。
牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。
从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。
湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。
浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。
Landweber迭代的加速与在数值微分中的应用
Landweber迭代的加速与在数值微分中的应用
Landweber迭代的加速与在数值微分中的应用
Landweber迭代法对于求解大规模问题是十分有利的,但是,Landweber迭代序列收敛速度是相当慢的.给出了一种新的Landweber迭代格式,能够大大加快收敛速度.还将Landweber迭代法应用于数值微分问题,将数值微分问题转化为一个特殊的第一类Fredholm积分方程的求解问题.
作者：白秀琴冯智宇 Bai Xiuqin Feng Zhiyu 作者单位：白秀琴,Bai Xiuqin(平项山工业职业技术学院,基础部,河南,平顶山,467001) 冯智宇,Feng Zhiyu(河南省科学院,郑州,450008)
刊名：河南科学ISTIC英文刊名：HENAN SCIENCES 年，卷(期)：2009 27(11) 分类号：O241 关键词：Landweber迭代法收敛速度数值微分。
一种改进的Landweber迭代图像复原算法
一种改进的Landweber迭代图像复原算法
蒋欣兰
【期刊名称】《计算机系统应用》
【年(卷),期】2015(024)012
【摘要】为解决传统的Landweber迭代法收敛速度慢,且对噪声敏感的问题,本文针对几种常见的模糊,即大气湍流模糊以及运动模糊,分别研究讨论了图像模糊的产生机理,并提出了一种改进的Landweber迭代图像复原方法.通过将图像的信号域与噪声域分离,改进的方法只在信号域上进行迭代加速,抑制了噪声的扩大.实验对比结果表明本文提出的方法在加速收敛的同时仍可以提高图像复原的精度,并以遥感图像和高速铁路图像为例,进一步验证了该方法的实际应用效果.
【总页数】6页(P283-288)
【作者】蒋欣兰
【作者单位】中国青年政治学院计算机教学与应用中心,北京100089
【正文语种】中文
【相关文献】
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4.一种改进的Criminisi新算法的图像复原技术 [J], 陈美玲; 朱铝芬; 张云; 石瑶
5.一种改进的Criminisi新算法的图像复原技术 [J], 陈美玲; 朱铝芬; 张云; 石瑶
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带扰动算子的Landweber迭代在Hanke-Raus准则下的收敛阶分析
带扰动算子的Landweber迭代在Hanke-Raus准则下的收
敛阶分析
谷苒;董超峰
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2024(13)1
【摘要】本文针对带有扰动算子的非线性反问题提出了一种基于Hanke-Raus启发式停止准则的Landweber迭代法,并在一定的假设条件下分析了此迭代法的收敛阶。
【总页数】9页(P61-69)
【作者】谷苒;董超峰
【作者单位】浙江师范大学数学科学学院金华;嘉兴学院数据科学学院嘉兴
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
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求解非线性不适定算子方程的一种Landweber迭代法
王美吉;潘状元
【摘要】针对Landweber迭代方法在非线性不适定问题上进行研究.在非线性算子和右端数据皆为近似的前提条件下,基于Frozen Landweber迭代法,提出双扰动的双循环Landweber迭代格式.在一定的条件下,通过证明迭代格式的单调性和收敛性,得出该迭代格式是有效的.
【期刊名称】《哈尔滨商业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(029)005
【总页数】4页(P588-591)
【关键词】非线性不适定问题;Landweber迭代法;收敛性
【作者】王美吉;潘状元
【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,哈尔滨150080
【正文语种】中文
【中图分类】O241
1 引言
考虑非线性算子方程
其中:F:D(F)⊂X→Y，X，Y为 Hilbert空间.F是Frechet可微.
这里考虑算子方程的解不连续依赖于右端数据的情况.由于不稳定性并且在实际问题中只有近似数据yδ满足
这里为测量误差δ＞0的界.
对于此类非线性问题的解法，一般通过正则化方法来得到其解的近似.由于非线性不适定问题在生活中的广泛应用，已经成为横跨应用数学和计算
数学两个学科的真正的研究领域［1］.其理论研究大致有以下几个方面如Tikhonov正则化方法，最大嫡方法，有限维逼近等［2－5］.对于非线性问题人们对Landweber迭代法给予了很大关注，文献［5］证明了Frogen Landweber 迭代法的收敛性并进行了数值试验.
由于在实际问题中，算子一般也是经测量而获得的近似值，或是由离散过程而得到的原算子的一个有限维的逼近，因此真正要求解的是式(1)的一个近似方程
其中:h表示Fh逼近F的程度，假定满足
因此，在考虑Landweber迭代时，也应考虑算子亦有扰动的情况.
假定扰动算子Fh仍保持算子F的Frechet可微且F'h在D(F)上一致收敛于F'(当h→0)，本文在前人研究成果基础上提出了非线性算子方程算子与右端皆有扰动的Landweber迭代法.迭代格式为
按广义误差准则
来确定迭代终止步k*，则迭代序列{xδh k*}收敛到
不失一般性，假定
其中:βρ(x0)为以x0为中心，ρ＞0的开球.
2 单调性分析
对于上述迭代格式，本文以m=2为例，理论验证此迭代格式的收敛性.则此迭代
带格式可以改写成引理1 ［6］如果式(3)成立，x*是方程(1)在βρ(x0)中的一个解，那么任意解∈βρ(x0)满足，，反之亦然，N(·)表示算子的核空间.
证明:由条件(3)可得满足对所有的x∈，此引理得证.
引理 2［7－8］假设 x* 为式(1)在βρ(x0)中的一个解，对于扰动数据满足‖yδ－y‖≤δ，k*是按广义误差准则(4)所确定的迭代终止步.若条件(3)、(5)成立，则有
当δ=h=0时
证明:由引理2知，
由式(4)和假设条件有
证明方法见文献［5］.
3 收敛性分析
定理2 如果在Bρ/2(x*)中满足式(3)、(5)，算子方程(1)可解，则xk收敛到式(1)的
一个解x*∈Bρ/2(x*).若x+是离x0最近的惟一解，且N(F'(x+))⊂(F'(x))，成立，则xk收敛到x+.
证明:令ek:x*－xk
由定理1知{‖ek‖}单调下降，下界为某ε≥0，下证{ek}是 Cauchy 列.对j≥k，取l(j≥l≥k)使成立
由三角不等式，有
下证明(el－ek，el)也收敛到零(当k→∞时)改写
由引理 2 推知，当 k，l→∞ 时 xl，1 － xl，xk，1 － xk趋于零.令
由此得{ek}为 Cauchy列，所以{xk}也为Cauchy列.设xk→x*，又因为
F(xk)→y(k→∞)，从而x*为式(1)的解.若式(1)有惟一的距x0最近的解，则x+满足
对任何 k=0，1，2，…若，N(F'(x+))⊂N(F'(xk))，则有
证毕.
定理3 在定理2的前提条件下，方程(1)可解，取h=0，扰动终止于K*(δ).那么当δ→0时，收敛到式(1)的解.
证明参见文献［5］中命题3.
当h≠0时，设(δ，h)为由式(4)确定的迭代终止步，令K*=max{k*(δ)，K'*(δ，h)}
其中k*(δ)为定理3中的迭代终止步，则有
因为)趋于零，易知(el－ek，el)趋于零.同理可证
定理4 假设条件(3)(5)成立，方程(1)可解，则当h→0，δ→0 时，xδh k*收敛到(1)的解.
证明
用归纳法易证，上式第一项当h→0时趋于零，而由定理3，第二项当δ→0时也
是趋于零的，从而
4 结语
针对非线性不适定问题的求解，本文首先从Frozen Landweber迭代法入手，提
出非线性算子和右端数据皆有扰动的Landweber迭代法.并且对所提出的迭代格
式给出了收敛性证明.从理论分析可以看出，Frozen Landweber迭代法确实是求
解非线性不适定算子方程的一种简单而稳定的方法，适合于处理算子与右端数据皆有扰动的实际问题，并且避开了Tikhonov正则化方法正则参数选取困难以及传统的Langweber迭代法收敛太慢的问题.不足之处是没有对此迭代格式进行数值试验，这将是下一步进行的工作.
参考文献:
［1］DENG Y J，LIU Z H.New fast iteration for determining surface temperature and heat flux of general sideways parabolic equation
［J］.Nonlinear Anal.Real World Appl.，2011，12(1):156 －166.
［2］ZHENG G H，WEI T.Two regularization methods for solving a Riesz－Feller space－frational backward diffusion problem［J］.Inverse Problems，2010，26:1 －22.
［3］JIN Q N.On a regularized Levenberg－Marquardt method for solving nonlinear inverse problems［J］.Numer.Math.，2010.115:229－259.
［4］YANGQQ，LIU F W，TURNER I.Numerical methods for fraction partial differential equations with Riesz space fractional derivatives［J］.Appl Math Model.，2010，34:200 －218.
［5］XU J，HAN B，LI L.Frozen Landweber Iteration for Nonlinear Ill－Posed problems［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2007，
23(2):329 －336.
［6］HANKE M.Accelerated Landweber Iterations for the Solution of Ill－Posed Equations［J］.Numer.Math，1991，60(1):341 －373.
［7］韩波，刘家琦，后步风.非线性不适定算子方程算子与右端项皆有扰动的Land weber迭代法［J］.计算数学，2002，24(4):479－486.
［8］皮丽敏，潘状元.一族求解非线性方程的高阶迭代方法［J］.哈尔滨商业大学学报:自然科学版，2012，28(6):751－753，768.。