《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教案、导学案、课后作业

《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教案
【教材分析】
本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.
【教学目标与核心素养】
课程目标
1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．
2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
数学学科素养
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；
3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
【教学重点和难点】
重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；
难点：圆台的体积公式的理解.
【教学过程】
一、情景导入
前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本116-119页，思考并完成以下问题
1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？
2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？
3．球的表面积与体积公式各式什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究
（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积
（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝1
3 Sh.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝1
3
(S′＋S′S
＋S)h.
(三) 球的体积公式与表面积公式
1．球的体积公式V＝4
3
πR3 (其中R为球的半径)．
2．球的表面积公式S＝4πR2.
四、典例分析、举一反三
题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
【答案】8π12π.
【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，
∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，
∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，
表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．
解题技巧（求旋转体表面积注意事项）
旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
跟踪训练一
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π B．100π
C．168π D．169π
【答案】C
【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝
＝5r＝10，
所以r
＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S
表
＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
题型二圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，
圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
【答案】423.9kg
【解析】一个浮标的表面积是，
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料. 解题技巧(求几何体积的常用方法) (1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 跟踪训练二
1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
【答案】10π.
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
()22
20.150.640.150.8478m ππ⨯⨯+⨯=0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯
=
2. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
【答案】见解析
【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．
在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝BC－AD
cos60°
＝2a，AB＝CD sin60°＝3a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝1
2
DD′＝a.
由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a ＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·3a＝43πa3，
V
锥＝
1
3
·π·a2·3a＝
3
3
πa3.
∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝43πa3－
3
3
πa3＝
113
3
πa3.
题型三 球的表面积与体积
例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
【答案】
【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .
球的体积，圆柱的体积，
.
例4 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π B．43π C ．46π D．63π 【答案】B
【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，
则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3.∴V ＝4
3π(3)3＝43π.
解题技巧（与球有关问题的注意事项）
1．正方体的内切球
23
3
143
V R π=23222V R R R ππ=⋅=123342
::233
V V R R π
π∴==
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r
1
＝a
2
，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r
2
＝
√2a
2
，如图(2)．
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则
过球心作长方体的对角面有球的半径为r
3＝√a2+b2+c2
2
，如图(3)．
4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝3a. 5．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝
6
2
a.
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
跟踪训练三
1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A.4π
3
B.
2π
3
C.3π
2
D.
π
6
【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3
. 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．πa 2 B.7
3πa 2
C.
11
3
πa 2 D ．5πa 2 【答案】B.
【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝3
3a ，OP
＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712
a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2. 五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计
七、作业
课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.
本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.
《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》导学案【学习目标】
知识目标
1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．
2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
核心素养
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；
3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
【学习重点】：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；
【学习难点】：圆台的体积公式的理解.
【学习过程】
一、预习导入
阅读课本116-119页，填写。

（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积
（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝__________________.
(三) 球的体积公式与表面积公式
1．球的体积公式V＝_________ (其中R为球的半径)．
2．球的表面积公式S＝_________.
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之比为1：9.( )
(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )
(3) 圆台的高就是相应母线的长. ( )
2．直径为1的球的体积是( )
A．1 B.π
6
C.
π
3
D．π
3.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2,高为4 cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是 ( )
A.2 cm
B.3 cm
C. 4cm
D.8 cm
4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________．
【自主探究】
题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
跟踪训练一
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π B．100π
C．168π D．169π
题型二圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
跟踪训练二
1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
2. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
题型三球的表面积与体积
例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
例4平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π B．43π
C．46π D．63π
跟踪训练三
1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A.4π
3
B.
2π
3
C.3π
2
D.
π
6
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.7
3
πa2
C.11
3
πa2 D．5πa2
【达标检测】
1．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS
C．πS D.23
3
πS
2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆
台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．4．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 1 cm，求球的体积．
答案
小试牛刀
1. (1)√ (2) √ (2)×
2．B.
3．C
4. 54π.
自主探究
例1【答案】8π12π.
【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，
∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，
表面积S 表＝8π＋π×22＝12π (cm 2)． 跟踪训练一 1．【答案】C
【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝
＝5r ＝10，所以r ＝
2，R ＝8.
故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，
S 表＝S 侧＋πr 2＋πR
2
＝100π＋4π＋64π＝168π.
例2 【答案】423.9kg
【解析】一个浮标的表面积是，
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料. 跟踪训练二 1.【答案】10π.
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
2. 【答案】见解析
【解析】由题意知以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．
()22
20.150.640.150.8478m ππ⨯⨯+⨯=0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=
在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝
BC －AD cos60°
＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，
∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝1
2
DD ′＝a .
由上述计算知，圆柱的母线长为3a ，底面半径为2a ；圆锥的母线长为2a ，底面半径为a .
∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2，
圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，
∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.
又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V 柱
＝
π·(2a )2·3a ＝43πa 3，
V 锥＝1
3·π·a 2·3a ＝
3
3
πa 3. ∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－
33πa 3＝1133
πa 3. 例3【答案】
【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .
球的体积，圆柱的体积，
.
例4 【答案】B
【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，
2
3
3
143
V R π=23222V R R R ππ=⋅=123342
::233V V R R ππ∴==
则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3.∴V ＝4
3π(3)3＝43π.
跟踪训练三 1.【答案】A.
【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球
＝43×π×13＝4π3
. 2．【答案】B.
【解析】选 B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝3
3a ，OP
＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712
a 2，故S 球＝4πR 2＝7
3πa 2. 当堂检测 1-2. AA 3. 33π.
4. 4.
5．【答案】43
27π cm 3.
【解析】如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC 相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12
AC .
∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴
OE AO ＝CD AC
. ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r
3－r ＝12，∴r ＝3
3 cm ，
V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝43
27π(cm 3)，
即球的体积等于43
27
π cm 3.
《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》课后作业
基础巩固
1．若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）倍 A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1
C ．1
D
2
3．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
43
916
34
169
4．圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )．
A ．81π
B ．100π
C ．14π
D ．169π
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
6．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________．
7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．
8．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？
(1)求出球的半径；
1:4:
42,a a 8cm
6cm
(2)求球的体积.
能力提升
9．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则
____________．
11．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
素养达成
12．如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是，的中点，为的中点，，分别是，的中点，若将正三角形绕
所在直线旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积.
《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》课后作业答案解析
812π323
π8π4πR r r R
r
=ABC E F AB AC D BC H G BD CD ABC AD 180
︒
基础巩固
1．若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）倍 A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】D
【解析】由球体体积公式
，若
，则
，可知体积扩大到原来的8倍.
2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1
C ．1
D
2
【答案】C
【解析】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．
∴S 侧＝πrl
＝
πr 2，S 底＝πr 故选C ．
3．已知半径为
2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积
.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.
4．圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )．
A ．81π
B ．100π
C ．14π
D ．169π
【答案】B
【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r ，高为4r ，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，
．
4
3
9
16
34
169
r r 2
126V =π⋅
⨯=π32432
233
V =
π⨯=π213216369
V V π
π==1:4:4
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ，则，所以，所以米堆的体
积为
=
，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
6．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________．
【答案】或
【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2a 与a 的矩形,
当母线为a 时,圆柱的底面半径是,此时圆柱体积是；
当母线为2a 时,圆柱的底面半径是
,此时圆柱的体积是, 综上所求圆柱的体积是:或，
故答案为或
;
2,a a 3
a π
32a πa π2
3a a a πππ⎛⎫
⨯⨯= ⎪⎝⎭
a
2π
2
3222a a a πππ⎛⎫
⨯⨯=
⎪⎝⎭
3
a π3
2a π3
a π
3
2a π
7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．
【答案】2：1
【解析】∵圆柱的轴截面是边长为a 的正方形，
故圆柱的底面半径r=
a ，母线长l=a ， 故圆柱的表面积S=2πr（r+l ）=，
∵圆锥的轴截面是边长为a 的正三角形，
故圆锥的底面半径r=
a ，母线长l=a ， 故圆锥的表面积S=πr（r+l ）=，
故它们的表面积之比为：2：1， 故答案为：2：1．
8．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？
(1)求出球的半径； (2)求球的体积. 【答案】(1)5；(2)
. 【解析】(1)设正方体上底面所在平面截球得小圆，
1
2
2
32
a π1
2
2
34
a π8cm
6cm cm 3500
(cm )3
πM
则圆心为正方体上底面正方形的中心，
设球的半径为，根据题意，球心到上底面的距离等于， 而圆的半径为，由球的截面圆性质，得， 解得；
(2)将球的半径代入球的体积公式得. 能力提升
9．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为
所以该球的表面积为，故选A.
10．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则
____________．
【答案】
【解析】
由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有
，
M cm R ()2cm R -M 422222(2)4R OM MB R =+=-+5cm R =3
345005(cm )33
V ππ=⨯=
球812π323
π8π4π2412ππ⋅=R r r R
r
=
化简可得，；
11．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
【答案】（1）（2）时，圆柱的侧面积取得最大值，且最
大值为
【解析】（1
，
∴圆锥的侧面积.
（2）该几何体的轴截面如图所示.
设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知
，.
∴圆柱的侧面积， ∴当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为
.
素养达成
12．如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是，的中点，为的中点，，分别是
，的中点，若将正三角形绕
所在直线旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积.
()2cm 3x =26cm π=()2
12cm S π=⨯⨯=626r x -=63
x r -∴=()22
22226(3)933
S rx x x x πππ⎡⎤==-+=---⎣⎦3x =26cm πABC E F AB AC D BC H G BD CD ABC AD 180︒
【答案】
【解析】旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体. 令，，，，则，，，
∴，
.
∴所求几何体的表面积
(26π+BD R =HD r =AB l =EH
h =2R =
1r =4l
h =22
22412S
R Rl ππππ
π=+=⨯+⨯⨯=圆锥表221S rh ππ==⨯=圆柱侧(1226S S S ππ=+=+=圆锥表圆柱侧。