北京市海淀区人大附中2022年数学八上期末联考试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．分式方程32x -+32x x --=1的解是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝4
2．下列计算正确的是（ ）
A ．235+=
B ．222()-=-
C ．33231-=
D ．33(1)1-=- 3．用计算器依次按键
,8,=，得到的结果最接近的是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．2.8 D ．3
4．已知一次函数y =kx +b 的图象经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A ．-1 B ．-2 C ．0 D ．2
5．如图，已知D 为△ABC 边AB 的中点，E 在AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．若∠B=65°，则∠BDF 等于（ ）
A ．65°
B ．50°
C ．60°
D ．1．5°
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点D ，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．AD ＝DC
B ．AD ＝BD
C ．∠DBC ＝∠A
D ．∠DBC ＝
∠ABD 7．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若CD m =，AB n =，30B ∠=︒，那么ABD ∆的面积是( )
A ．12mn
B ．mn
C ．13mn
D ．2mn
8．关于x 的一次函数y ＝kx ﹣k ，且y 的值随x 值的增大而增大，则它的图象可能为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9．不等式组1
{1x x >-≤的解集在数轴上可表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知∠ABC=∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（ ）
A ．∠A=∠D
B ．AB=D
C C ．∠ACB=∠DBC
D ．AC=BD
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在ABC 中，DM ，EN 分别垂直平分边AB 和AC ，交BC 于点D ，E ．若110BAC ∠=︒，则DAE =∠______︒．
12．已知一粒米的质量是1．111121千克，这个数字用科学记数法表示为__________．
13．如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为__.
14．已知 x+y=1，则 12x ² + xy + 12
y ² =_______ 15．若式子4x 2－mx ＋9是完全平方式，则m 的值为__________________．
16．在平面直角坐标系中, 点B(1,2)是由点A(-1,2)向右平移a 个单位长度得到,则a 的值为______
17．点（2，b ）与（a ，-4）关于y 轴对称，则a= ，b= .
18．已知2,3m n a a ==，则32m n a +=______________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程：
（1）3731
x y x y +=⎧⎨-=-⎩ （2）12325
x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩ 20．（6分）计算
（1）（x ﹣3）（x +3）﹣6（x ﹣1）2
（2）a 5•a 4•a ﹣1•b 8+（﹣a 2b 2）4﹣（﹣2a 4）2（b 2）4
21．（6分）已知ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点M 是AC 的中点，延长BM 至点D ，使DM ＝BM ，连接AD ．
（1）如图①，求证：DAM
≌BCM ；
（2）已知点N 是BC 的中点，连接AN ． ①如图②，求证：ACN ≌BCM ；
②如图③，延长NA 至点E ，使AE ＝NA ，连接，求证：BD ⊥DE ．
22．（8分）计算或分解因式：
（1）计算：()223127231334
----+-； （2）分解因式：①382a a -；②32244x x y xy -+
23．（8分）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，且,,AC BD A B E F =∠=∠∠=∠
（1）求证：ADE BCF ∆≅∆
（2）若65BCF ︒∠=，求DMF ∠的度数.
24．（8分）如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于D 点，//DE CB 分别交直线AB 、AC 于点E 、F ．
（1）如图1，当点E 在AB 边上时，求证：EF BE CF =-；
（2）如图2，当点E 在BA 延长线上时，直接写出EF 、BE 、CF 之间的等量关系．（不必证明）
25．（10分）在边长为的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC （三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）
（1）写出ABC ∆的面积；
（2）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；
（3）写出点A 及其对称点1A 的坐标．
26．（10分）如图，AD 为ABC 的高，,AE BF 为ABC 角平分线，若32,72CBF AFB ∠=︒∠=.
（1）求BAD ∠的度数；
（2）求DAE ∠的度数；
（3）若点G 为线段BC 上任意一点，当GFC 为直角三角形时，则求BFC ∠的度数.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据分式方程的计算方法先将方程转化为一元一次方程，然后进行计算即可得解.
【详解】解：原式化简得3(3)2x x --=-即332x x -+=-，解得4x =， 经检验，当4x =时，原分式方程有意义，故原分式方程的解是4x =，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握去分母，去括号等相关计算方法是解决本题的关键.
2、D
【分析】先对各选项进行计算，再判断.
【详解】A
B 2，故错误；
C 选项：=
D 1=-，故正确；
故选：D.
【点睛】
考查立方根、平方根和算术平方根的问题，关键是根据立方根、平方根和算术平方根的定义分析．
3、C
【详解】解：8 2.828≈，
∴最接近的是2.1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查计算器的使用，解题的关键是掌握计算器上常用的按键的功能和使用顺序．
4、D
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b 的符号，再找出符合条件的b 的可能值即可．
【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴b>0，
∴四个选项中只有2符合条件.
故选D.
【点睛】
此题考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握其性质.
5、B
【解析】试题分析：∵△DEF 是△DEA 沿直线DE 翻折变换而来，∴AD=DF ，∵D 是AB 边的中点，∴AD=BD ，
∴BD=DF ，∴∠B=∠BFD ，∵∠B=65°，∴∠BDF=180°﹣∠B ﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．
考点：翻折变换（折叠问题）
6、C
【分析】根据等腰三角形的性质可得,ACB ABC ACB BDC ∠=∠∠=∠，再结合三角形的内角和定理可得DBC A ∠=∠．
【详解】AB AC =
ACB ABC ∴∠=∠
∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧
DB BC ∴=
ACB BDC ∴∠=∠
ACB BDC ABC ∴∠=∠=∠
180180ACB ABC A ACB BDC DBC ∠+∠+∠=︒⎧⎨∠+∠+∠=︒⎩
DBC A ∴∠=∠
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的相关性质是解题关键．
7、A
【分析】作DE ⊥AB,由角平分线性质可得DE=ED,再根据三角形的面积公式代入求解即可．
【详解】过点D 作DE ⊥AB 交AB 于E,
∵AD平分∠BAC, ∴ED=CD=m,
∵AB=n,
∴S△ABC=11
22
AB ED mn
⋅=．
故选A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质,关键在于通过角平分线的性质得到AB边上高的长度．
8、B
【分析】根据一次函数的性质可得k的取值范围，进而可得﹣k的取值范围，然后再确定所经过象限即可．
【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣k，且y的值随x值的增大而增大，
∴k＞0，﹣k＜0，
∴图象经过第一三四象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b ＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
9、D
【分析】先解不等式组
1
1
x
x
>-
⎧
⎨
≤
⎩
可求得不等式组的解集是11
x
-<≤,再根据在数轴上表
示不等式解集的方法进行表示.
【详解】解不等式组
1
1
x
x
>-
⎧
⎨
≤
⎩
可求得:
不等式组的解集是11x -<≤,
故选D.
【点睛】
本题主要考查不等组的解集数轴表示,解决本题的关键是要熟练掌握正确表示不等式组解集的方法.
10、D
【解析】A ．添加∠A =∠D 可利用AAS 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；
B ．添加AB =D
C 可利用SAS 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；
C ．添加∠ACB =∠DBC 可利用ASA 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；
D ．添加AC =BD 不能判定△ABC ≌△DCB ，故此选项符合题意．
故选D ．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】依据DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC ，即可得到AD=BD ，AE=EC ，进而得出∠B=∠BAD ，∠C=∠EAC ，依据∠BAC=110°，即可得到∠DAE 的度数．
【详解】解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°-110°=70°，
∵DM 是线段AB 的垂直平分线，
∴DA=DB ，
∴∠DAB=∠B ，
同理，EA=EC ，
∴∠EAC=∠C ，
∴∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠EAC=∠BAC-（∠B+∠C ）=1°，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12、
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
11-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．
【详解】解：1.111121=2.1×
11-2． 故答案为：2.1×
11-2． 【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×
11-n ，其中1≤|a|＜11，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．
13、 (－12，－12
) 【解析】试题解析：先过点A 作AB′⊥OB ，垂足为点B ′，由垂线段最短可知，当B′与点B 重合时AB 最短，
∵点B 在直线y=x 上运动，
∴△AOB′是等腰直角三角形， 过B′作B′C ⊥x 轴，垂足为C ，
∴△B′CO 为等腰直角三角形，
∵点A 的坐标为（﹣1，0），
∴OC=CB′=1
2OA=1
2×1=12，
∴B′坐标为（﹣12，﹣1
2），
即当线段AB 最短时，点B 的坐标为（﹣1
2，﹣1
2）．
考点：一次函数综合题．
14、1
2 【分析】根据完全平方公式即可得出答案.
【详解】∵x+y=1
∴222()21x y x xy y +=++=
∴2211
1
222x xy y ++=
【点睛】
本题考查的是完全平方公式：()222 2a b a ab b ±=±+.
15、±12
【分析】由完全平方公式进行计算即可得解.
【详解】由22249(2)3x mx x mx =-+－＋可知22312mx x x -=±⨯⨯=±，则12m =±，
故答案为：±
12. 【点睛】
本题主要考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的相关公式是解决本题的关键.
16、1
【分析】根据平面直角坐标系中，点坐标的平移规律即可得． 【详解】点(1,2)A -向右平移a 个单位长度得到(1,2)B
11a ∴-+=
解得2a =
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中，点坐标的平移规律，掌握点坐标的平移规律是解题关键．设某点坐标为(,)x y ，则有：（1）其向右平移a 个单位长度得到的点坐标为(,)x a y +；（1）其向左平移a 个单位长度得到的点坐标为(,)x a y -；（3）其向上平移b 个单位长度得到的点坐标为(,)x y b +；（4）其向下平移b 个单位长度得到的点坐标为(,)x y b -，规律总结为“左减右加，上加下减”．
17、-2，-4.
【解析】试题分析：关于y 轴对称的点的坐标的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数. 由题意得，.
考点：关于y 轴对称的点的坐标的特征.
18、1
【分析】根据题意直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵2,3m n
a a ==，
∴2332m m n n a a a +⨯=（）（）3223=⨯=1． 故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，运用相关运算法则正确将原式进
行变形是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）21x y =⎧⎨=⎩；（2）13x y =⎧⎨=-⎩
【分析】（1）把①×3+②消去y ，求出x 的值，再把x 的值代入①求出y 的值即可； （2）用②-①消去x ，求出y 的值，，再把y 的值代入②求出x 的值即可．
【详解】（1）3731x y x y +=⎧⎨
-=-⎩①②， ①×3+②，得
10x=20，
∴x=2，
把x=2代入①，得
6+y=7，
∴y=1，
∴21
x y =⎧⎨=⎩； （2）12325x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩①②
， ②-①，得
1273
y y +=-， y=-3，
把y 的值代入②，得
x-6=-5，
x=1，
∴13x y =⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
20、（1）﹣5x 2+12x ﹣15；（2）﹣2a 1b 1
【分析】（1）直接利用乘法公式计算进而合并同类项得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则进而计算得出答案．
【详解】解：（1）原式＝x2﹣9﹣6（x2﹣2x+1）
＝x2﹣9﹣6x2+12x﹣6
＝﹣5x2+12x﹣15；
（2）原式＝a1b1+a1b1﹣4a1b1
＝﹣2a1b1．
【点睛】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，积的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握乘法公式。

21、（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）由点M是AC中点知AM=CM，结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证；
（2）①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC=BC可得CM=CN，结合∠C=∠C和BC=AC即可得证；
②取AD中点F，连接EF，先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC，从而由∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证．
【详解】解：（1）∵点M是AC中点，
∴AM=CM，
在△DAM和△BCM中，
∵
AM CM
AMD CMB
DM BM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DAM≌△BCM（SAS）；
（2）①∵点M是AC中点，点N是BC中点，
∴CM=1
2
AC，CN=
1
2
BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，
∴CM=CN，
在△BCM和△ACN中，
∵CM CN C C BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCM ≌△ACN （SAS ）；
②证明：取AD 中点F ，连接EF ，
则AD=2AF ，
∵△BCM ≌△ACN ，
∴AN=BM ，∠CBM=∠CAN ，
∵△DAM ≌△BCM ，
∴∠CBM=∠ADM ，AD=BC=2CN ，
∴AF=CN ，
∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC ，
由（1）知，△DAM ≌△BCM ，
∴∠DBC=∠ADB ，
∴AD ∥BC ，
∴∠EAF=∠ANC ，
在△EAF 和△ANC 中，
AE AN EAF ANC AF NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EAF ≌△ANC （SAS ），
∴∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DFE=90°，
∵F 为AD 中点，
∴AF=DF ，
在△AFE 和△DFE 中，
AF DF AFE DFE EF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFE ≌△DFE （SAS ），
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ，
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°，
∴BD ⊥DE ．
【点睛】
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．
22、（1
）72
-（2）①()()22121a a a +-；②()22x x y - 【分析】（1）求出每一部分的值，再代入求出即可；
（2）整理后再根据平方差公式分解即可.
【详解】.解：（1
）原式339132
=--+
72
=--（2）①382a a -
()2241a a =-
()()22121a a a =+-；
②32244x x y xy -+
()2244x x xy y =-+
()2
2x x y =-
【点睛】
本题考查了分解因式，绝对值，立方根，算术平方根等知识点的应用,熟悉概念和运算法则是解题关键．
23、（1）证明见详解；（2）130°
【分析】（1）由AC BD =，得AD=BC ，根据AAS 可证明ADE BCF ∆≅∆； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质，即可得到答案.
【详解】（1）∵点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，AC BD =，
∴AC+CD=BD+CD ，即AD=BC ，
在ADE ∆与BCF ∆中，
∵A B E F AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADE BCF ∆≅∆(AAS)
（2）∵ADE BCF ∆≅∆，
∴65ADE BCF ︒∠=∠=
∴130DMF ADE BCF ︒∠=∠+∠=.
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键.
24、（1）证明见解析；（2）EF CF BE =-．
【分析】（1）由BD 平分∠ABC ，得到∠ABD=∠DBC ，根据平行线的性质得到
∠EDB=∠DBC ，由等腰三角形的判定定理得到BE=ED ；同理可证：CF=DF ，由线段的和差和等量代换即可得到结论；
（2）同（1）可得DE BE =，DF CF =，从而可得出结论．
【详解】（1）证明：//DE CB ，
EDB DBG ∠=∠∴，
又BD 平分ABG ∠，
DBG DBE ∠=∠∴，
EDB DBE ∠=∠∴，
DE BE ∴=．
同理可证：DF CF =，
EF DE DF BE CF =-=-∴；
（2）解：同（1）可得，DE BE =，DF CF =，
∴EF DF DE CF BE =-=-．
即EF 、BE 、CF 之间的等量关系为：EF CF BE =-．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
25、（1）7；（2）见解析；（3）A(-1，3)，A 1(1，3)．
【分析】（1）过点B 作BD ∥x 轴交AC 于点D ，由图可知BD=2，AC=7，AC ⊥x 轴，
从而得出BD ⊥AC ，然后根据三角形的面积公式求面积即可；
（2）找到A 、B 、C 关于y 轴的对称点111A B C 、、,然后连接11A B 、11B C 、11A C 即可； （3）由平面直角坐标系即可得出结论．
【详解】解：（1）过点B 作BD ∥x 轴交AC 于点D ，
由图可知BD=2，AC=7，AC ⊥x 轴
∴BD ⊥AC
∴S △ABC =1172722
AC BD •=⨯⨯= （2）找到A 、B 、C 关于y 轴的对称点111A B C 、、,然后连接11A B 、11B C 、11A C ，如下图所示：111A B C ∆即为所求．
（3）由平面直角坐标系可知：点A(-1，3)，点A 1(1，3)．
【点睛】
此题考查的是求平角直角坐标系中三角形的面积、画已知三角形关于y 轴的对称图形和根据坐标系写点的坐标，掌握三角形的面积公式和关于y 轴对称的图形的画法是解决此题的关键．
26、（1）26°（2）12°（3）108︒
【分析】（1）根据评价分析的定义求出∠ABC 即可解决问题．
（2）根据∠DAE ＝∠BAE−∠BAD ，求出∠BAE 即可解决问题．
（3）根据补角的定义即可求解．
【详解】（1）∵BF 平分∠ABC ，
∴∠ABC ＝2∠CBF ＝64°，
∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB ＝90°，
∴∠BAD ＝90°−64°＝26°，
（2）∵∠AFB ＝∠FBC ＋∠C ，
∴∠C ＝72°−32°＝40°，
∵∠BAC ＝180°−∠ABC−∠C ＝180°−64°−40°＝76°，
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE ＝12
∠BAC ＝38°， ∴∠DAE ＝∠BAE−∠BAD ＝38°−26°＝12°．
（3）∵72AFB ∠=︒
∴BFC ∠=180°
-108AFB ∠=︒. 【点睛】
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。