数学建模中的整数规划与混合整数规划
混合整数规划及其应用
混合整数规划及其应用混合整数规划（Mixed Integer Programming，MIP）是运筹学中一个重要的分支，它可以用于解决包括生产计划、物流运输、资源调度等实际问题。
本文将探讨混合整数规划的基本概念、典型模型以及应用范例。
一、基本概念1.定义混合整数规划是指在线性规划基础上加入了整数变量的限制条件，有时还将变量限制为 0/1 取值，即 0 表示不选取某个变量，1 表示选取某个变量。
2.数学模型混合整数规划的一般数学模型如下：$max\ Z=c^{T}x+d^{T}y$$s.t.$$A x+B y \leq b$$x\in R^{n}, y \in Z^{m}$其中，$x$ 是连续变量向量，$y$ 是整数变量向量，目标函数$Z$ 为一线性函数，$A$, $B$ 为系数矩阵，$b$ 为约束条件的取值。
本模型中整数变量 $y$ 的限制条件可以是 $y \in\{0,1\}^{m}$ 也可以是 $y \in Z^{m}(m>0)$。
3.求解方法求解混合整数规划可以采用分枝界限法、Gomory 切割法、随机搜索等方法。
其中，分枝界限法是运筹学中最基本的解法，其最优性原理为“不断将问题分解成子问题，逐步地去掉某些变量，直到问题变为纯整数规划问题为止，然后通过确定某些变量取值来求解”。
随机搜索法则是通过不断随机生成可行解并比较其目标值的大小进行求解。
二、典型模型1.背包问题背包问题中，有 $n$ 种不同体积和不同价值的物品，需要将它们装入一个容量为 $V$ 的背包。
每种物品只有选择或不选择两种情况。
设$w_{i}$ 为第 $i$ 种物品的价值，$v_{i}$ 为第 $i$ 种物品的体积，则该问题的混合整数规划模型为：$max\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}$$s.t.$$\sum_{i=1}^{n} v_{i} x_{i} \leq V$$x_{i} \in\{0,1\}$2.生产调度问题生产调度问题中，对于 $n$ 种产品需要进行加工，但是加工需要设备并且不同设备的加工能力存在差异。
数学建模中常用的十种算法
数学建模中常用的十种算法在数学建模中，有许多种算法可以用来解决不同类型的问题。
下面列举了数学建模中常用的十种算法。
1.线性规划算法：线性规划是一种优化问题，目标是找到一组线性约束条件下使目标函数最大或最小的变量的值。
常用的线性规划算法包括单纯形法、内点法和对偶法等。
2.非线性规划算法：非线性规划是一种目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
常见的非线性规划算法有牛顿法、拟牛顿法和遗传算法等。
3.整数规划算法：整数规划是一种线性规划的扩展，约束条件中的变量必须为整数。
常用的整数规划算法包括分支定界法、割平面法和混合整数线性规划法等。
4.动态规划算法：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决的算法。
它适用于一类有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和最短路径问题。
5.聚类算法：聚类是一种将数据集划分为不同群组的算法。
常见的聚类算法有K均值算法、层次聚类法和DBSCAN算法等。
6.回归分析算法：回归分析是一种通过拟合一个数学模型来预测变量之间关系的算法。
常见的回归分析算法有线性回归、多项式回归和岭回归等。
7.插值算法：插值是一种通过已知数据点推断未知数据点的数值的算法。
常用的插值算法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
8.数值优化算法：数值优化是一种通过改变自变量的取值来最小化或最大化一个目标函数的算法。
常见的数值优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和模拟退火算法等。
9.随机模拟算法：随机模拟是一种使用概率分布来模拟和模拟潜在结果的算法。
常见的随机模拟算法包括蒙特卡洛方法和离散事件仿真等。
10.图论算法：图论是一种研究图和网络结构的数学理论。
常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流量算法等。
以上是数学建模中常用的十种算法。
这些算法的选择取决于问题的特性和求解的要求，使用合适的算法可以更有效地解决数学建模问题。
数学建模——混合整数规划
实验四 混合整数规划一、问题重述某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。
根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。
这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。
请帮该公司解决以下问题：(1) 就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？(2) 在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。
公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A 1，A 3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A 4，A 5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A 2，A 6，A 7，A 8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ 其中M 为你的学号后3位乘以10。
(3) 如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。
投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。
专家预测出各项目的风险率，如表2所示。
二、符号说明i A :：投资额；i b ：i A 个项目所获得的年利润；i C ：第i A 个项目投资所获得的利润； 'i C ：第i A 个项目同时投资所获得的利润；i m ：投资i A 的上限； i y ：表示0—1变量；i p ：投资第i A 个项目的投资风险；三、模型的建立 对于问题一目标函数：81max i i i c x ==∑s.t. 150000i i i i i ib x b x m ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩∑对于问题二 设定0—1变量131130...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资项目同时投资 452450...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资项目同时投资 2678326780...,,1...,,A A A A y A A A A ⎧⎨⎩,项目不同时投资,项目同时投资 目标函数：''''11133111332445524455''''322667788322667788max ()(1)()()(1)()()(1)()y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c x c x c y x c x c x c x c =++-++++-++++++-+++s.t. 11313124545232678267831500001000i i i i i ib x k y x xx x y ky x x x x y k y x x x x x x x x y kb x m ⎧≤⎪⎪=⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪≤⎨⎪⎪≥⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪≤⎩∑对于问题三：目标函数：max min max()i iii i i c x b x p =∑s.t. 150000i i i i i ib x b x m ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩∑对于问题三模型的简化固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险。
数学建模竞赛常用算法
网络流概念
网络流是图论中的一个重要概念，表示在有向图中，通过边进行 传输的流量。
图的表示方法
图的常见表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边集数组等。
图与网络基本概念
图论基础
图是由节点（顶点）和边组成的一种数据结构，用于表示对象及 其之间的关系。
在非线性规划中，凸函数和凹函数的 性质对于问题的求解和分析具有重要 意义。
局部最优解与全局最优解
非线性规划问题可能存在多个局部最 优解，而全局最优解是所有局部最优 解中目标函数值最优的解。
非线性规划基本概念
非线性规划定义
凸函数与凹函数
非线性规划是一种数学优化技术，用 于求解目标函数或约束条件为非线性 函数的优化问题。
Gomory割等。
03
迭代过程
在每次迭代中生成一个或多个割平面，将原问题转化为一个更小的子问
题，然后求解子问题并更新最优解。重复此过程直到满足终止条件。
应用案例：物流配送路径优化
问题描述
物流配送路径优化问题是指在满足一定约束条件下，寻找总成本最小的配送路径。该问题 可转化为整数规划问题进行求解。
建模方法
使用单纯形法求解该线性规划模 型，得到最优的生产计划安排。 同时，可以进行灵敏度分析以了 解不同参数变化对生产计划的影
响程度。
应用案例：生产计划优化
问题描述
某企业计划生产多种产品，每种 产品需要不同的原料和加工时间， 且市场需求和原料供应有限。如 何安排生产计划以最大化利润或
最小化成本？
建模过程
将每种产品的产量作为决策变量， 以利润或成本作为目标函数，以 市场需求、原料供应和生产能力 等作为约束条件，构建线性规划
数学建模各类方法归纳总结
数学建模各类方法归纳总结数学建模是一门应用数学领域的重要学科，它旨在通过数学模型对现实世界中的问题进行分析和解决。
随着科技的不断发展和应用需求的增加，数学建模的方法也日趋多样化和丰富化。
本文将对数学建模的各类方法进行归纳总结，以期帮助读者更好地了解和应用数学建模。
一、经典方法1. 贝叶斯统计模型贝叶斯统计模型是一种基于概率和统计的建模方法。
它通过利用先验知识和已知数据来确定未知数据的后验概率分布，从而进行推理和预测。
贝叶斯统计模型在金融、医药、环境等领域具有广泛应用。
2. 数理统计模型数理统计模型是基于概率统计理论和方法的建模方法。
它通过收集和分析样本数据，构建统计模型，并通过参数估计和假设检验等方法对数据进行推断和预测。
数理统计模型在市场预测、风险评估等领域有着重要的应用。
3. 线性规划模型线性规划模型是一种优化建模方法，它通过线性目标函数和线性约束条件来描述和解决问题。
线性规划模型在供应链管理、运输优化等领域被广泛应用，能够有效地提高资源利用效率和降低成本。
4. 非线性规划模型非线性规划模型是一种对目标函数或约束条件存在非线性关系的问题进行建模和求解的方法。
非线性规划模型在经济学、物理学等领域有着广泛的应用，它能够刻画更为复杂的现实问题。
二、进阶方法1. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元系统进行信息处理的模型。
它通过构建多层神经元之间的连接关系，利用反向传播算法进行训练和学习，实现对复杂数据的建模和预测。
神经网络模型在图像识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果。
2. 遗传算法模型遗传算法模型是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。
它通过模拟遗传、交叉和突变等过程，逐步搜索和优化问题的最优解。
遗传算法模型在组合优化、机器学习等领域具有广泛的应用。
3. 蒙特卡洛模拟模型蒙特卡洛模拟模型是一种基于随机模拟和概率统计的建模方法。
它通过生成大量的随机样本，通过对样本进行抽样和分析，模拟系统的运行和行为，从而对问题进行求解和评估。
整数规划在数学建模中的应用
中只有部分变 量要求取整数 ，则称 为混合整数规划 。而在某 些 线 性 规 划 问题 中 ，变 量 只 有 取 整 数 值 才 有 意 义 ， 这 时 约 束 条 件 时还 需添 上 变 量 取 整 数 值 的 ห้องสมุดไป่ตู้ 制 。这 就 是 纯 整 数 线 性 规 划 问题 （ 以下 简 称 整 数 规 划 ） 。
【 摘 要 】归纳总结 了整数规划 的基本知识和基本模 型 ，并探讨 了整数规 划在 ２ ０ ０ ９年全 国大学生数学建模竞赛 中的应 用，
对整数规 划在数 学建模 中如何应 用提供 了参考 。
【 关键词 】整数规划 ；Ｏ １ － 整数规划 ；数 学建模竞赛 ；Ｌｎ ｏ软件 ｉｇ 【 中图分类号 】Ｔ ３ １ Ｐ０． ６ 【 文献标识码 】Ａ
ａＩ ｌ＋ ａｌｘ２＋ … ＋ ａｌ ｌ ２ ａ２ ｌ＋ ａ２ ｘ２＋ … ＋ ａ２ ｌ ２
ｂ １ ｂ２
３ 模型建立 的一般步骤 ．
（ ）研 究 和 明确 问题 的要 求 和 条 件 ； １
该 模 型 直 接 利 用 Ｌ ｎ ｏ软 件 可 求 出最 优 解 。 ｉｇ
（ ）会议 筹备 模型 （ ９年数 学建 模竞 赛 Ｃ题 ） 三 ０
，
以 及投
资矩 阵 Ａ ＝ （ ） ， 中 ｎ 示 第 ｆ年 项 目 ， 所 需投 入 的 口 … 其 表 金额 。利润矩阵 ｃ ＝（ 。ｃ ， ， ｃ， ： … ｃ ），ｃ 为 ，项 目的利 润 。
２１ ０ ０年 第 ５期 （ 第 １ ９期 ） 总 ２
大 众 科 技
ＤＡ ＺＨＯＮＧ ＫＥ Ｊ
Ｎｏ． ２０ ０ ５， １
（ ｍｕａｉ ｌ Ｎ ．２ ） Ｃｕ ｌｔ ｅｙ ｏ１ ９ ｖ
整理了32个在数学建模比赛中常用的模型算法
整理了32个在数学建模比赛中常用的模型算法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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整数规划（数学建模）
整数规划（数学建模）-16-第⼆章整数规划§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，⼀般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型⼤致可分为两类： 1o变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.2 整数规划特点（i ）原线性规划有最优解，当⾃变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解⼀致。
②整数规划⽆可⾏解。
例1 原线性规划为21min x x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
③有可⾏解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为21min x x z +=0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整⽽获得。
1.3 求解⽅法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平⾯法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：①过滤隐枚举法；②分枝隐枚举法。
（iv ）匈⽛利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下⾯将简要介绍常⽤的⼏种求解整数规划的⽅法。
§2 分枝定界法对有约束条件的最优化问题（其可⾏解为有限数）的所有可⾏解空间恰当地进⾏系统搜索，这就是分枝与定界内容。
通常，把全部可⾏解空间反复地分割为越来越⼩的⼦集，称为分枝；并且对每个⼦集内的解集计算⼀个⽬标下界（对于最⼩值问题），这称为定界。
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
数学建模课程规划方案
数学建模课程规划方案一、课程目标数学建模课程旨在通过学习数学模型的构建、求解和分析，培养学生的综合能力，为将来从事研究、开发、管理等领域打下坚实的数学基础。
二、适用对象数学建模课程适用于各级各类高校理工类专业的学生，不限于数学、物理、计算机科学等专业背景。
同时，该课程也适用于热爱数学、对实际问题感兴趣的学生。
三、教学内容1. 线性规划模型线性规划模型是数学建模的基础。
我们将介绍线性规划的概念、求解方法、对偶模型等内容，并通过实际问题进行演示。
2. 非线性规划模型非线性规划模型是线性规划的推广。
我们将介绍非线性规划的概念、求解方法、全局优化等内容，并通过实际问题进行演示。
3. 整数规划模型整数规划模型是非线性规划的推广。
我们将介绍整数规划的概念、求解方法、混合整数规划等内容，并通过实际问题进行演示。
4. 动态规划模型动态规划模型是求解最优化问题的一种方法。
我们将介绍动态规划的概念、基本原理、应用领域等内容，并通过实际问题进行演示。
5. 概率统计模型概率统计模型是数学建模的重要工具。
我们将介绍概率统计的概念、常用分布、假设检验等内容，并通过实际问题进行演示。
6. 数据挖掘模型数据挖掘模型是现代数学建模的热门领域。
我们将介绍数据挖掘的概念、分类、聚类等内容，并通过实际问题进行演示。
四、课程评估为了检测学生对数学建模的掌握程度，我们将采取以下方式进行评估：1. 课堂测验每个章节结束后，将进行一次小测验，测试学生对该章节内容的理解。
2. 独立思考项目每个学生都需要完成一个独立思考项目，并且需要在课堂上进行展示。
3. 小组实践项目每个小组需要完成一个实践项目，并且需要在课堂上进行展示。
4. 期末考试期末考试将占课程成绩的半数以上。
五、课程教材数学建模课程推荐以下教材：1.Bertsimas D.和Freund R.《线性优化》2.Bazaraa M.S.，Shetty C.M.和Shapiro S.《非线性规划：理论和算法》3.Nemhauser G.L.和Wolsey L.A.《整数和混合整数优化》4.Bellman R.《动态规划》5.Walpole R.E.和Myers R.H.《概率与统计》6.Han J.和Kamber M.，《数据挖掘：概念和技术》六、课程要求1.学生要掌握每一章节的基本概念，并能够熟练运用相关技术解决实际问题。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
数学建模竞赛中应当掌握的常用算法
常用算法案例说明
1. 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常 见的算法之一。 举个例子就是 97 年的 A 题，每个零件都有自己的标定值， 也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一 个极其复杂的公式和 108 种容差选取方案，根本不可能去求解析 解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其 中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正 态分布随机的选 取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗 算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去 年 y 的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣 取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只 能靠随机仿真模拟。
4. 图论算法 这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及 到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法 模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较 困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较 困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法 两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论 模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高 级语言作为编程工具。
数学建模竞赛中应当掌握的常用算法
常用算法
1. 蒙特卡罗算法 该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法， 同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的 方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于 这些算法，通常使用 MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法 建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数 学规划算法来描述，通常使用 Lindo 、 Lingo 软件求解。
数学建模竞赛中的数学模型求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。
在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。
然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。
本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。
一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。
在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。
在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。
常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。
这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。
三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。
在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。
在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。
常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。
常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。
这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。
五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。
在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。
常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
整数规划和混合整数规划
整点凸包 OEFGHIJ
H
B
G
F
x0 58, x1 2, x2 4
O
EA
x1
割平面法
x0 58.8, x1 9.2, x2 2.4
先不考虑整数限制求线性规划问题的解
然后增加新的约束，这些约束将整数限制松弛后所扩大的可行域逐步 割掉，但不割掉任何可行的整数解
最后使所得到的线性规划问题的最优解就是原问题的最优整数解
最优
z* 6 x 0 ( y1, y2 , y3 ) (1, 0,1)
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应用优化技术
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整数规划与混合整数规划
混合整数规划问题 分支定界法 0-1规划的隐数法 割平面法 混合整数非线性规划
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应用优化技术
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0-1规划的隐数法(隐枚举法)
若所有变量全取0可 使目标函数达到下界 值
P4
: (98 /11, 2), x0
52 8 11
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整数规划与混合整数规划
混合整数规划问题 分支定界法 0-1规划的隐数法 割平面法 混合整数非线性规划
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分支定界法
分解 松弛 探测
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应用优化技术
min x0
xij
1 0
a j 在i上加工 a j 不在i上加工
n
s.t.
a j xij x0 i 1, , m
j 1
m
xij =1
j 1, , n
i 1
xij (0,1) i 1, , m，j 1, , n
2015/10/22
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数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，
并运用数学方法来对模型进行分析和求解。
在数学建模过程中，整数规划与混
合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。
而混合整
数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。
这两
种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。
假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。
目标是在不超过背包容量的情况下，
选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。
这个问题可以用整数
规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择
该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。
通过
对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规
划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。
一个典型的实际问题是运输网络设计问题。
假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足
需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。
这个问
题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。
将供需地视为节点，建立连通
性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可
以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的
满足。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。
它们既具备一般整数
规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的
优点，可以通过线性规划算法来求解。
同时，整数规划与混合整数规划也存在
一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。
对于这些问题，研究者们
一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解
效率。
总之，整数规划与混合整数规划是数学建模中常用的数学工具，可以应用于解
决许多实际问题。
通过合理建模和求解，可以提供决策支持和优化方案，为实
际问题的解决提供有力的工具和方法。
但在实际应用中，需要根据具体问题的
特点选择合适的规划方法，并进行适当的算法优化，以确保问题能够得到准确、高效的求解。