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数学分析真题合集答案解析
数学分析真题合集答案解析是理工科学生必修的一门重要课程，也是考研数学的重点。
在备考过程中，我们常常会遇到一些难以理解的题目，这就需要我们进行深入的分析和解答。
本文将为大家提供一些典型的真题，并给出详细的解析过程，帮助大家更好地掌握这门学科。
1. 问题一：计算极限 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解析：这是一个非常经典的极限问题。
我们可以运用泰勒展开的方法进行求解。
首先，根据泰勒展开式，我们有 $\sin x = x -\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ 。
接下来，我们可以得到 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =\lim_{x\to 0} \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\cdots}{x} = \lim_{x\to 0} 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \cdots$。
由于 $x$ 趋于0时，$x$ 的幂次越高，它的值越小，因此我们可以忽略高次幂，得到 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
2. 问题二：计算积分 $\int_0^1 x^2 \ln x dx$。
解析：这是一个较为复杂的积分问题，我们可以通过分部积分的方法来解决。
首先，我们令 $u = \ln x$，$dv = x^2 dx$。
通过对上述方程进行求导和积分，可以得到 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{x^3}{3}$。
根据分部积分的公式，我们有 $\int u dv = uv - \int v du$。
代入相关的值，我们可以得到 $\int_0^1 x^2 \ln x dx =\left. \frac{x^3}{3} \ln x \right|_0^1 - \int_0^1\frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx$。
数学试题解析方法分享
数学试题解析方法分享数学是一门需要理性思维和逻辑推理的学科，而解析数学试题是学习数学的重要环节。
在解析数学试题时，我们需要运用一些特定的方法和技巧，以便更好地理解问题、找到解题思路、解决问题。
本文将分享一些常用的数学试题解析方法，帮助读者提升数学解题能力。
一、理清问题在解析数学试题之前，我们首先需要理清问题的要求和条件。
通常，数学试题会给出一定的背景信息和条件，然后要求我们回答一些问题或者完成一些任务。
我们需要仔细阅读题目，理解问题的本质，明确要求和条件。
有时候，题目中的条件可能会给出一些多余的信息，我们需要辨别出问题的核心点，避免被干扰。
二、分析问题理清问题之后，我们需要分析问题，寻找解题思路。
数学试题的解法通常有多种，我们需要根据题目的特点和要求，选择合适的方法来解决问题。
分析问题时，可以从以下几个方面入手：1. 找出问题的关键点：问题中可能有一些关键的数学概念或者定理，我们需要找出这些关键点，并理解其含义和应用。
2. 寻找问题的模式：有些数学问题具有一定的模式，例如等差数列、等比数列等，我们可以通过寻找问题中的模式，运用相应的公式和规律来解决问题。
3. 拆解问题：有时候，一个复杂的问题可以通过拆解成若干个简单的子问题来解决。
我们可以尝试将问题拆解成更小的部分，然后逐个解决这些子问题，最后将结果合并得到最终答案。
三、运用数学工具在解析数学试题时，我们需要运用一些数学工具，例如公式、定理、方法等，来辅助我们解决问题。
不同的数学题目可能需要不同的数学工具，我们需要根据题目的要求和条件，选择合适的工具来解题。
1. 公式和定理：数学中有许多常用的公式和定理，例如勾股定理、二项式定理等。
我们需要熟悉这些公式和定理，并能够灵活运用它们来解决问题。
2. 方法和技巧：除了公式和定理外，还有一些解题方法和技巧可以帮助我们解决问题。
例如，代数法、几何法、递推法等。
我们需要学习和掌握这些方法和技巧，并能够根据题目的特点选择合适的方法来解题。
数学21种解题方法与技巧全汇总太实用
数学21种解题方法与技巧全汇总太实用解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：解一些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论恒相等成立的有用条件(1)a某+b=0对于任意某都成立关于某的方程a某+b=0有无数个解a=0且b=0。
数学分析习题精选精解
数学分析习题精选精解数学分析是数学中的一个重要分支，其核心内容是函数论和微积分学。
在学习数学分析的过程中，习题的练习是不可或缺的一环。
通过多做习题，巩固知识点、提高解题能力和思维能力，进而提高数学水平。
下面我们选取一些经典的数学分析习题，进行精选精解。
一、极限【例1】设$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=a$，求$a$的值。
【解】这是一个简单的极限问题，我们采用夹逼法求解。
显然有$\sqrt[n]{n-1}<\sqrt[n]{n}<\sqrt[n]{n+1}$。
那么$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n+1}}=1$。
因此，$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=1$。
二、导数与微分【例2】已知$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x-a},x\geqa\\0,x<a\end{cases}$，求$f'(a)$和$f''(a)$。
【解】首先，我们求$f'(x)$。
当$x\geq a$时，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-a}}$。
当$x<a$时，$f'(x)=0$。
因此，$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{\sqrt{x-a}}{x-a}}=\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{\sqrt{x}}{x}}=+\infty$。
再求$f''(x)$。
当$x\geq a$时，$f''(x)=\dfrac{-1}{4(x-a)^{\frac{3}{2}}}$。
数学分析习题课讲义解答
5.6 第一组参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.7 第二组参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 实数系的基本定理
23
3.1 确界的概念与确界存在原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 闭区间套定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.4 第二组参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8 微分学的应用
41
9 不定积分
42
10 定积分
43
11 积分学的应用
44
12 广义积分
45
12.1 第二组参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 零点存在定理与介值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
数学分析精选习题全解下册pdf
数学分析精选习题全解下册pdf 《数学分析精选习题全解下册pdf》是一本对于数学分析的学习非常重要的参考资料，尤其是对于高中和大学的数学专业学生来说，更是必备的学习资料。
这本书分为第六章、第七章、第八章和第九章，其中，第六章主要研究的是无穷级数的收敛性和性质、函数项级数的收敛性、绝对收敛性和条件收敛性、幂级数及其收敛域等；第七章主要研究的是连续与一致连续、极限与连续的关系、极值与最值等；第八章主要研究的是可积性与不可积性、定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法等；第九章主要研究的是多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、梯度与方向导数、多元复合函数的微分法等。
在这本书中，每道习题都有详细的解答过程，让学生在自学的过程中更好地理解掌握知识点，提高自己的解题能力。
此外，在每一个章节的结束处，也会给出相应章节的习题答案，供学生在自学的过程中进行检验和练习。
当然，对于初学者来说，有些习题可能有些难度，但只要认真阅读书籍的相关知识和自己的相关课堂教材，再配合一些必要的
参考书籍，在老师或同学的指导下也会有所收获。
因此，为了更好地提高自己的数学学习能力，相信这本书会成为你不可或缺的一部分。
在此，为了满足广大学生的需求，相应地也提供了《数学分析精选习题全解上册pdf》，这两本书籍相互补充，可以实现更好的提高效果。
总之，无论你是高中生还是大学生，只要你是一名学习数学的学生，这本书都是不容错过的一本好书籍。
数学分析精选习题解析
数学分析精选习题解析数学分析是数学中的一门重要学科。
在数学学习中，数学分析是一门比较基础的课程。
它在工程、物理学、经济学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
在学习数学分析时，做好习题是非常重要的。
下面，我们来分析一些数学分析精选习题解析。
1. 如何证明一条曲线是一阶曲线？如果一个曲线的导数是一定的，那么这个曲线就是一阶曲线。
证明如下：设 $f(x)$ 是一条曲线，$\frac{d}{dx}f(x)=c$，则 $f(x)=cx+d$。
因此，这条曲线是一阶曲线。
2. 如何求 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 的导数？$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$证明如下：令 $y=\ln x$，则 $x=e^y$。
对 $y$ 求导：$$\frac{dx}{dy}=e^y$$对 $x$ 求导：$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$$因此，$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$。
3. 求 $f(x)=\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 的最大值和最小值。
$\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 内单调增加，因此最小值为 $\sin 0=0$，最大值为 $\sin \pi=0$。
4. 如何求 $f(x)=\frac{x}{1+x}$ 的极限？当 $x\rightarrow+\infty$ 时，$\frac{x}{1+x}$ 趋近于 $1$ 。
因此，$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{1+x}=1$。
5. 如何证明 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$？证明如下：由于 $\sin x<x$，所以 $\frac{\sin x}{x}<1$。
因此，$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\geq1$$现在我们来证明 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\leq1$。
考研数学数学分析题型解析与方法总结
考研数学数学分析题型解析与方法总结随着考研的日益普及，很多考生对数学分析这一科目有一定的恐惧感。
数学分析作为考研数学的重要组成部分，对考生的理解能力、推理能力和解题能力有着很高的要求。
本文将对数学分析题型进行解析，并总结一些解题的方法，帮助考生更好地应对数学分析考试。
首先，我们来讨论一下数学分析的主要题型。
数学分析主要包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学以及多元函数微积分学四个方面。
这四个方面的题型分别涉及到了极限和连续的概念与性质、函数的导数与微分、函数的积分以及多元函数的偏导数与积分等内容。
对于极限与连续这一部分，考生需要掌握极限的定义与性质，理解极限的运算法则，同时要熟悉连续函数的性质与运算法则。
在解题时，可以通过代入法、夹逼准则、极限运算法则等方法进行求解。
在做题时要注意分清题目所涉及的是一个点的局部性质还是全局性质，避免概念混淆。
对于一元函数微分学这一部分，考生需要掌握导数的定义与性质，熟悉常见函数的导数运算法则，能够利用导数求函数的单调性、极值、凹凸性等性质。
在解题时，可以通过求导、利用函数的单调性、利用函数的极值、利用导数的几何意义等方法进行求解。
在做题时要注意分清题目中给出函数的表达式，做到运算无误。
对于一元函数积分学这一部分，考生需要掌握积分的定义与性质，熟悉常见函数的积分运算法则，能够利用定积分求函数的面积、弧长、平均值等性质。
在解题时，可以通过不定积分、定积分、分部积分、换元积分等方法进行求解。
在做题时要注意区分题目中给出的是不定积分还是定积分，并熟悉积分上下限的处理方法。
对于多元函数微积分学这一部分，考生需要掌握多元函数的偏导数与全微分的定义与性质，熟悉多元函数的极值、条件极值与拉格朗日乘数法、多元函数的二阶偏导数与Hessian矩阵。
在解题时，可以通过求偏导、利用二阶偏导的符号判断、利用拉格朗日乘数法等方法进行求解。
在做题时要注意识别题目中是求函数的极值还是条件极值，并熟悉Hessian矩阵的性质与运算技巧。
数学分析习题集精选精解
数学分析习题集精选精解数学分析是现代数学基本学科之一，概念、定理、方法极其丰富，涉及范围极其广泛，理论和应用十分重要。
数学分析学科的理论极为严谨、精细，在应用中有着很高的实用价值。
然而，数学分析作为一门极其理论化和抽象的学科，其学习过程十分困难。
在学习和掌握数学分析的过程中，大量的习题训练和解题经验显得尤为重要。
因此，一本好的数学分析习题集对于学习数学分析的人来说是非常有用的。
习题集可以提供给学生大量的题目，学生可以进行大量的练习，以掌握和加深自己对于数学分析的理解。
同时，解题集中也会对一些题目进行深入的解析，帮助学生更好的理解和掌握知识点。
针对这一需求，近年来出版了一些比较好的数学分析习题集。
本文将针对这些习题集进行简单的介绍和评价。
《数学分析习题集》（第二版）——郭宗明这本习题集是一个经典的数学分析习题集，由中科院数学所的郭宗明教授编写。
该习题集考虑了教育和考研两个层面的需求，涵盖了数学分析的大部分重点和难点。
该习题集的特点是难度适中，覆盖面广，注重题目选材，力求每道题目既能锻炼基本功，又有一定的深度和难度，可以让读者逐步进阶。
同时，该习题集对每个章节进行了详细的解答和思路分析，帮助读者快速理解和掌握相关知识点。
《高等数学分析与解题技巧》——朱松纪朱松纪老师是清华大学数学系的教授，他的这本习题集主要针对的是高等学校数学专业的学生，涵盖了数学分析的大部分知识点和考点。
该习题集的特点是题目种类多样，难度较大，既包括基本习题，也包括难度较高的例题，适合于有一定基础的学生进行练习。
同时，该习题集的解答也包含深入的思路分析和讨论，对于加深学生对于数学分析的理解非常有帮助。
《数学分析习题解答》——汤家凤汤家凤教授是北京大学数学系的教授，他的这本习题集以题目为核心，提供了数学分析中的大量的例题、题型及其解答。
适合于有考研和数学建模需求的相关学生进行参考。
该习题集的特点是题目详细、解答精准。
针对每一个题目，该习题集都提供了思路递进式的解答方法和步骤，让读者更容易理解和掌握其中的知识点。
推荐-新星数学分析综合题解法集锦 精品
综合题解法集锦要点：所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题. 如下,我们从八个方面举例,对综合题的解题策略作一探讨.一、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘. 二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁. 三、回到定义和图形中来.四、以简单的、特殊的情况为突破口.五、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考. 六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来. 七、培养整体意识，把握整体结构。
八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论.1、成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数． 解：设四个数为d a d a d a d a 3,,,3++--则：⎩⎨⎧=+-=++++-+-40))((26)3()()()3(d a d a d a d a d a d a由①： 213=a代入②得： 23±=d ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2． 2、在等差数列{}n a 中，若21512841=+---a a a a 求15S ．解：∵124151a a a a +=+ ∴ 28-=a 而3015815-==a S3、已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．解：由题设 a S n = b S n =2∴a b a a a n n n -=+++++221 而)(2)()(22132|21221n n n n n n n a a a a a a a a a +++=++++++++++从而： )()()(32|212221213n n n n n n n na a a a a a a a a S +++++++++++=+++)(3)(3221a b a a a n n n -=+++=++4、已知11=a ，n n a n S 2= )1(≥n 求n a 及n S ．解：1221)1(----=-=n n n n na n a n S S a 从而有111-+-=n n a n n a ∵11=a ∴312=a 31423⨯=a 3142534⨯⨯=a 314253645⨯⨯⨯=a∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=⨯⨯⋅-+⨯⨯⨯⋅--=n n n n n n n a n∴122+==n n a n S n n 5、已知*)(2142N n a S n n n ∈--=- 求n n a a a 和11,+的关系式及通项公式n a解： 1214121111=⇒--==-a a S a⎪⎩⎪⎨⎧--=--=-+++-2)1(112214214n n n n n na S a S⇒②-①：21112121--+++-+-=n n n n n a a a 即：n n n a a 21211+=+将上式两边同乘以n2得： 12211+=-+n n n na a即：12211=--+n n n na a显然：{}n n a 12-是以1为首项，1为公差的AP∴ n n a n n =⋅-+=-1)1(121∴ 12-=n nn a6、已知n n n S a a 2311+==-且，求n a 及n S ． 解：∵1--=n n nS S a ∴ n n n S S 221=-- ∴12211=---n n n n S S 设nn nS b 2=则{}n b 是公差为1的等差数列 ∴11-+=n b b n又：∵2322111===a Sb ∴212+=n S n n ∴12)12(-+=n n n S 当2≥n时 212)32(--+=-=n n n n n S S a∴⎩⎨⎧⋅+=-22)32(3n nn a )2()1(≥=n n 12)12(-+=n n n S7、设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n 求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n证：∵n n n n =>+2)1( 212)21()1(2+=+<+n n n n∴ 212)1(+<+<n n n n∴ 2)12(31321++++<<++++n a nn∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n8、已知函数)2||,0,0)(sin()(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）. （I ）求)(x f 的解析式；（II ）用列表作图的方法画出函数y =f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：（Ⅰ）由已知，易得A =2． ππ3)3(200=-+=x x T，解得31,6=∴=ωπT ． 把（0，1）代入解析式)3sin(2ϕ+=xy ，得1sin 2=ϕ．又2πϕ<，解得6πϕ=．∴)63sin(2π+=x y 为所求．…………………………………………………………6分(Ⅱ)9、已知函数R x x x x f ∈+=,)(3.（I ）指出)(x f 在定义域R 上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无须证明）；（II ）若a 、b 、c ∈R ，且0,0,0>+>+>+a c c b b a ，试证明：0)()()(>++c f b f a f . 解：（Ⅰ）)(x f 是定义域R 上的奇函数且为增函数．（Ⅱ）由0>+b a 得b a ->．由增函数，得)()(b f a f -> 由奇函数，得)()(b f b f -=-∴0)()(>+b f a f 同理可得0)()(,0)()(>+>+a f c f c f b f将上三式相加后，得0)()()(>++c f b f a f ．10、已知：如图，长方体ABCD —1111D C B A 中，AB =BC =4，81=AA ，E 为1CC 的中点，1O 为下底面正方形的中心.求：（I ）二面角C —AB —1O 的正切值； （II ）异面直线AB 与1EO 所成角的正切值； （III ）三棱锥1O ——ABE 的体积. 解：（Ⅰ）取上底面的中心O ，作AB OF ⊥于G ，连1OO 和1FO ．由长方体的性质，得⊥1OO 平面ABCD ，由三垂线定理，得AB F O ⊥1则1OFO ∠为二面角1O AB C--的平面角8,22111====AA OO BC OF ． 在OF O Rt 1∆中，411==∠OF OO OFO tg（Ⅱ）取11C B 的中点G ，连G O 1和EG ． 易证明AB G O //1，则G EO 1∠为所求2211==AB G O ．524222=+=EG ． 在G EO Rt 1∆中，5211==∠GO EGG EOtg （Ⅲ）连BG ，AG ，由AB G O //1易证明//1G O 平面ABE．AB S V V V BGE BGE A ABE G ABE O ⋅⋅===∆---31112)444282(2132=⨯+⨯+⨯-=∆BGE S∴16412311=⋅⋅=-ABE O V11、已知等差数列{n a }的公差为d ，等比数列{n b }的公比为q ，且，0>n b （N n ∈），若)1,0,,1(log log 11≠>∈>-=-a a N n n b b a a a n a n ，求a 的取值.解：由0>nb 得01>b ，0>q由已知，得11111log )(log )1(b q b a d n a a n a -=--+-q n d n a log )1()1(->-∵1≠n，∴q d a log =由对数定义得q a d=当0=d ，1=q 时，得0>a ，1≠a ．当0≠d，1=q 时，得1=a ．这与已知1≠a 相矛盾． 当0≠d，1≠q 时，得dqa 1=．综上：当1,0==q d 时，1,0≠>a a当0≠d，1=q 时，a 的取值集合为空集当0≠d，1≠q 时，dqa 1=12、已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰△ABC ，AB =BC ，过水湿周.1BC AB l +=图②的过水断面为等腰梯形AD CD AB ABCD ,,=∥︒=∠60,BAD BC ，过水湿周CD BC AB l ++=2.若ABC ∆与梯形ABCD 的面积都为S ，（I ）分别求21l l 和的最小值；（II ）为使流量最大，给出最佳设计方案. 解（Ⅰ）在图①中，设θ=∠ABC，a BC AB ==．则θsin 212a S=．由于S 、a 、θsin 皆为正值，可解得S Sa 2sin 2≥=θ．当且仅当1sin =θ，即︒=90θ时取等号．所以Sa l 2221≥=．在图②中，设m CD AB ==，n BC =．︒=∠60BAD 可求得n m AD +=，m n m n S 23)(21⋅++=解得232m m S n -=． S S mmS m m S m n m l 423232233223222=≥+=-+=+=．当且仅当2332m m S =，即334Sm =时取等号．（Ⅱ）由于432>，则2l 的最小值小于1l 的最小值．所以在方案②中当2l 取得最小值时的设计为最佳方案．13、已知：如图，射线OA 为y =2x (x >0)，射线OB 为y = –2x (x >0)，动点P （x , y ）在AOx ∠的内部，OB PN M OA PM ⊥⊥,于于N ，四边形ONPM 的面积为2..（I ）动点P 的纵坐标y 是其横坐标x 的函数，求这个函数y =f (x )的解析式； （II ）确定y =f (x )的定义域.解：（Ⅰ）设)2,(a a M ，)2,(b b N - )0,0(>>b a ．则a OM 5=，b ON 5=由动点P 在AOx ∠的内部，得x y 20<<．∴5252yx y x PM -=-=，5252y x y x PN +=+=∴OPM ONP ONPM S S S ∆∆+=四边形2])()(2[21)]2()2([21)(21=--+=++-=⋅+⋅=y b a x b a y x b y x a PN ON PM OM∴4)()(2=--+y b a x b a ①又a x a y k PM--=-=221，b x b y k PN -+==221 分别解得52y x a +=，52yx b -=代入①式消去a 、b ，并化简得522=-y x ．∵0>y ，∴52-=x y ．（Ⅱ）由P 在AOx ∠内部，得x y 20<<．又垂足N 必须在射线OB 上，否则O 、N 、P 、M 四点不能构成四边形，所以还必须满足条件x y 21<∴⎪⎩⎪⎨⎧<-<-<x x xx 21525022x x 21502<-<⇔31525<<⇔x 所以)(x f y =的定义域为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<31525x x14、解关于x 的不等式：log a (x 2－x －2)＞log a (x －a2)＋1(a ＞0，a ≠1)解：原不等式等价于)2(log )2(log 2->--ax x x a a ……①1°当1>a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--22,02,0222ax x x ax x x从而⎪⎩⎪⎨⎧->-->-,22,022ax x x ax 即⎪⎩⎪⎨⎧+><>10,2a x x ax 或 ∴1+>a x2°当10<<a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--22,02,0222ax x x ax x x从而⎪⎩⎪⎨⎧-<-->--22,0222ax x x x x 即⎩⎨⎧+<<>-<1021a x x x 或∴∈x Φ综上所述，当1>a 时，原不等式的解集为}1|{+>a x x ；当10<<a 时，不等式的解集为Φ 15、在三角形ABC 中，三内角满足A ＋C ＝2B ，cosB 2cosC 1cosA 1-=-，求cos 2CA -的值 解：∵A+C=2B ，∴A+C=120°，B=60°又∵B C A cos 2cos 1cos 1-=+，∴C A C A cos cos 22cos cos -=+ ∴)]cos()[cos(21222cos 2cos2C A C A C A C A -++⋅-=-+ 即)12cos 221(22cos)21(22--+--=-⋅CA C A02232cos 2cos 222=--+-C A C A 令t C A =-2cos，则上式为0223222=-+t t∴223,2221-==t t ∵1|2cos|≤-C A ，∴222cos =-C A16、已知复数z 1＝2－3x ＋xi ，z 2＝3y —1＋(3－y)i ，x 、y 属于R ，若|z 1|＝|z 2|且argz 1/z 2=90º，求10212z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的值 解：∵2arg|,|||2121π==z z z z∴i z z 21=∴i i y y xi x ])3(13[32-+-=+-i y y )13(3-+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-13332y x y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=231231y x∴i i z 231231231231321++-=+++⋅-=， i i z 213231)2313(123132-++=+-+-+⋅=∴i i z z 2321])213231()231231[(21221+=-+++++-=+ 3sin 3cosπ+π=i∴i i z z 2321310sin 310cos )2(1021--=π+π=+17、如图，平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AC ＝22，BC ＝AA'＝A'C ＝2，∠ABC ＝90°，点O 是点A'在底面ABCD 上的射影，且点O 恰好落在AC 上. （1）求侧棱AA'与底面ABCD 所成角的大小； （2）求侧面A'ADD'底面ABCD 所成二面角的正切值； （3）求四棱锥C －A'ADD'的体积.解：（I ）连O A 1，则⊥O A 1平面ABCD 于O……1分（文1分）∴AO A 1∠就是侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角……1分（文2分）在AC A 1∆中，22,211===AC C A A AABoCD D'A'B'C'22222121)22(822AC C A A A ===+=+ ∴AC A 1∆是等腰直角三角形∴︒=∠451AO A ，即侧棱A A 1与底面ABCD 所成角为45°，（II ）在等腰AC A Rt 1∆中，AC O A ⊥1，∴2211==AC O A ，且O 为AC 中点， 过O 作AD OE⊥于E ，连E A 1。
(完整版)数学分析试题及答案解析,推荐文档
∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
考研数学数学分析常见题型解题技巧分享
考研数学数学分析常见题型解题技巧分享在考研数学中，数学分析是一个重要的考试科目。
掌握数学分析的解题技巧对于考生来说是至关重要的。
本文将介绍几种常见的数学分析题型以及解题技巧，希望对考生有所帮助。
一、极限题型极限是数学分析中的基本概念，很多题目都与极限求解相关。
解决极限问题时，可以运用以下技巧：1. 利用夹逼定理来求解复杂的极限问题。
夹逼定理是极限的一个重要概念，可以帮助我们确定一个函数的极限值。
2. 如果是无穷小量的极限问题，可以使用等价无穷小代换求解。
将原问题转化为一个等价的无穷小量，从而求取极限值。
3. 对于一些特殊的函数极限，可以使用泰勒级数展开来计算。
通过将函数展开为无穷级数的形式，可以简化计算过程。
二、导数和微分题型导数和微分也是数学分析中常见的题型。
在解题时，可以使用以下技巧：1. 利用导数定义求解导数。
导数定义是求解导数的基本方法，将函数进行微小变化，然后求解极限值即可得到导数。
2. 利用导数的四则运算法则来计算导数。
根据导数的基本运算法则，可以将复杂的函数导数运算化简为简单的运算。
3. 对于隐函数求导，可以使用隐函数求导法。
利用隐函数求导法，可以将含有隐函数的导数求解转化为常规的导数求解。
三、积分题型积分是数学分析中的重要内容。
在解决积分题型时，可以运用以下技巧：1. 利用换元法进行积分计算。
通过进行变量代换，可以将复杂的积分问题转化为简单的形式，从而解决积分问题。
2. 利用分部积分法进行积分计算。
分部积分法是积分运算的一种法则，通过对积分进行分部拆解，可以简化积分的计算过程。
3. 对于一些特殊的函数积分，可以使用定积分的性质来计算。
利用定积分的性质和几何意义，可以更加简便地计算积分值。
四、级数题型级数是数学分析中的重要内容之一。
在解决级数题型时，可以使用以下技巧：1. 利用比较判别法来判断级数的敛散性。
比较判别法是判断级数敛散的一种方法，通过将待判断的级数与已知级数进行比较，可以得出级数的敛散性。
数学分析的方法及例题选讲--分析学的思想、方法与技巧--徐利治
数学分析的⽅法及例题选讲--分析学的思想、⽅法与技巧--徐利治1.(分部求和法)设s k=a1+a2+⋯+a n(k=1,2,3,…),则n∑k=1a k b k=n−1∑k=1s k(b k−b k+1)+s n b n.证明：只要将a1=s1,a k=s k−s k−1(k=2,3,…)代⼊等式的左边，就可以看出等式是成⽴的.2.设s n=a1+a2+⋯+a n→s(n→∞)n∑k=1a k b k=sb1+(s n−s)b n−n−1∑k=1(s k−s)(b k+1−b k).提⽰：上⾯左边出现的s实际是可以消去的.3.(Abel引理)若对于⼀切n=1,2,3,…⽽⾔，b1⩾b2⩾⋯⩾b n⩾0,m⩽a1+a2+⋯+a n⩽M.则有b1m⩽a1b1+a2b2+⋯+a n b n⩽b1M.证明：应⽤命题1，并注意m⩽s k⩽M,b k−b k+1⩾0,便得到n∑k=1a k b k⩽n∑k=1M(b k−b k+1)+Mb n=Mb1,n ∑k=1⩾n∑k=1m(b k−b k+1)+mb n=mb1.4. [Abel]设对⼀切n⽽⾔,f n⩾f n+1⩾0.⼜设A=\mathrm{max}(\verb"|"a_1\verb"|",\verb"|"a_1\verb"|"+\verb"|"a_2\verb"|",\dots,\verb"|"a_1\verb"|"+\verb"|"a_2\verb"|"+\dots+\verb"|"a_n\verb"|").则得\verb"|"\sum_{n+1}^ma_nf_n\verb"|"\leqslant Af_1.证明：设s_m=\sum_{n=1}^m\verb"|"a_n\verb"|",由分部求和法有\verb"|"\sum_{n+1}^ma_nf_n\verb"|"\leqslant \sum_{n=1}^m\verb"|"a_n\verb"|"f_n=\sum_{n=1}^{m-1}s_n(f_n-f_{n+1})+s_mf_m\leqslant \sum_{n=1}^{m-1}A(b_n-b_{n+1})+Af_m=Af_1.5. 设a_1,a_2,\dots,w_1,w_2,\dots为任意实数或复数.⼜设A代表加式\verb"|" \sum_{n=1}^pa_n\verb"|",(p=1,2,\dots,m)中的最⼤值，则得\verb"|"\sum_{n=1}^ma_nw_n\verb"|"\leqslant A\{\sum_{n=1}^{m-1}\verb"|"w_{n+1}-w_n\verb"|"+\verb"|"w_m\verb"|"\}.6. [克朗内克]设\phi(n)>0,\phi(n)\uparrow \infty(n\rightarrow \infty).⼜设\sum a_n为收敛.则有\sum_{k=1}^na_k\phi(k)=o(\phi(n))(n\rightarrow \infty).证明：本题可⽤分部求和法（命题2）来证.令N表任⼀固定的正整数⽽n>N+2.按假设，s_n-s=o(1)(n\rightarrow \infty),显然可书\sum_{k=1}^na_k\phi(k)=(s_n-s)\phi(n)+s\phi(1)-\sum_{k=1}^{n-1}(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}=o(\phi(n))+O(1)-\sum_{k=1}^N(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}-\sum_{N+1}^{n-1}(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}.故对于任⼀固定N⽽⾔，我们有\verb"|"\sum_{k=1}^na_k\phi(k)\verb"|"\leqslant o(\phi(n))+O(1)+O(1)+\varepsilon_N\sum_{N+1}^{n-1}\{\phi{k+1}-\phi(k)\},(n\rightarrow \infty)此处\varepsilon_N\rightarrow 0(N\rightarrow \infty),因此对于任意预先给定的\varepsilon>0(不论如何⼩),总可选N充分⼤，使得\verb"|"\sum_{k=1}^na_k\phi(k)\verb"|"\leqslant o(\phi(n))+\varepsilon_N\phi(n)\leqslant o(\phi(n))+\varepsilon\phi(n).由于上式左端与\varepsilon并⽆关系，⾃然可令\varepsilon\rightarrow 0.故命题得证.Loading [MathJax]/extensions/TeX/verb.js。
数学分析精选习题解析
数学分析精选习题解析一、试题分析：从整体上看，本次试题难度适中，内容不偏不怪，符合学生的认知水平。
试题注重基础，内容紧密联系生活实际，注重了趣味性、实践性和创新性。
突出了学科特点，以能力立意命题，体现了《数学课程标准》精神。
有利于考察数学基础和基本技能的掌握程度，有利于教学方法和学法的引导和培养。
（ 1 ）加强科学知识体系，注重主干内容。
考查学生基础知识的掌控程度，就是检验教师教导与学生研习的关键目标之一。
学生基础知识和基本技能水平的多寡，关系到今后各方面能力水平的发展。
本次试题以基础知识居多，既特别注意全面更特别注意突出重点，对主干科学知识的考查确保了较低的比例，并维持了必要的深度。
（ 2 ）贴近生活实际，体现应用价值。
“人人学有价值的数学，”这是新课标的一个基本理念。
本次试题依据新课标的要求，从学生熟悉的生活索取题材，把枯燥的知识生活化、情景化，通过填空、选择、解决问题等形式让学生从中体验、感受学习数学知识的必要性、实用性和应用价值。
（ 3 ）注重各种能力的考查。
做为当今信息社会的成员，能力就是十分关键的。
本次试题通过相同的数学知识载体，全面考查了学生的计算能力，操作能力、观测能力和判断能力以及运用科学知识化解生活问题的能力。
（ 4 ）巧设开放题目，展现个性思维。
本次试题注意了开放意识的浸润，分别在第五、六大题中设置了“提出两个问题进行计算、”“你还能提出什么数学问题进行计算”的开放性题目，鼓励学生展示自己的思维方式和解决问题的策略。
1 、成绩分析：本次考试，我班学生达标率 100% ，得分率 95.09% ，优 A 率为82.9% ，超过优率 96.4% 。
从卷面的罚球情况来看，总体成绩极好，主要彰显在以下几个方面：（ 1 ）基础知识扎实，形成了一定的基本技能。
学生的基础知识是否扎实，直接影响到学生今后的学习和各方面能力的发展，因此，在平时的课堂教学中，教师比较注重抓基础知识的训练，无论是新授课还是练习课都如此，特别是计算，在数学中无处不在，生活中随时都会用到，所以，我们在平时坚持一早一晚天天练，故失分较少。
数学分析精选习题全解上册pdf
数学分析精选习题全解上册pdf 《数学分析精选习题全解上册pdf》是一本非常有用的数学学习资料，尤其对于准备参加大学高等数学考试的学生来说，更是必不可少的参考书。
本文将对此书进行简要介绍，并对其各方面进行评价。
首先，让我们来了解一下这本书的基本情况。
《数学分析精选习题全解上册pdf》由清华大学出版社出版，并由著名数学教育专家陆金甫、蔡少琳等人编写。
该书共分为十二章，分别涵盖了微积分基本概念、极限、连续性、导数、中值定理、泰勒公式、不定积分、定积分以及微积分中的一些应用。
每一章都配有丰富的习题，而且习题的难度也不断递增，可以满足不同层次的读者需求。
此外，该书还特别增设了一章“常用数学符号及其意义”，可以为读者提供重要的数学符号的解释和用法，有助于读者更好地理解数学概念。
对于该书的全解参考答案，也是本书的一大特色。
对于不少初学者来说，只有做对了习题并对错题进行全面的梳理，才能更好地掌握知识点，深入理解公式公式。
而且，全解参考答案对于防止学习中的盲区和误区也具有重要的作用。
因此，该书的全解参考答案为读者提供了非常难得的拓展和复习的机会，也使得读者能够全面理解数学概念和技巧，同时也增强了读者解题的信心和兴趣。
不难看出，《数学分析精选习题全解上册pdf》是一本非常优秀的数学辅导书。
首先，书籍使用大量公式和图表来解释概念与理论，注重理论与实践结合，并需要读者思考与应用。
“脚踏实地、深入浅出”地讲解符合现实生活中的实际环境，在严格的数学推理中更具实际性。
其次，难度逐渐升高的习题设置能够帮助学生渐进式地提高自己的综合才能，从而更好地掌握数学技巧，提高解题能力。
而全解参考答案的做法和策略，则是为初学者提供了大量的参考方法，相对复杂而又机智的数学领域，形成了良好的学习氛围，为读者成功准备数学考试打下了坚实的基础。
综上所述，《数学分析精选习题全解上册pdf》值得学生借鉴并作为自己的备考材料。
无论是理论还是实践，书中都融入了著名学者多年的心得经验。
数学题目解析全攻略高中数学题型解析与分享
数学题目解析全攻略高中数学题型解析与分享数学题目解析全攻略一、选择题解析选择题是高中数学考试中的常见题型，解答选择题需要对题目进行全面的分析和合理的推理。
下面将对选择题的解题技巧进行详细解析和分享。
1. 针对具体条件的判断在解决选择题中，往往需要运用具体条件对选项进行判断。
例如，对于一道平面几何题，给定了一个等边三角形，题目要求求解角度大小。
我们可以通过考察选项中的候选答案，利用等边三角形的特点进行判断，排除与角度大小矛盾的选项。
2. 利用排除法在遇到较难的选择题时，可以通过逐个排除错误选项来寻找正确答案。
如果能够确定某个选项肯定错误，那么剩下的选项就可以排除掉，从而提高正确选项的准确性。
3. 运用逻辑推理选择题中常常需要通过逻辑推理来解答。
在判断题型中，可以通过推理判断出与已知条件相符合的选项。
通过总结题目的特点和规律，可以在解答选择题时更加得心应手。
二、填空题解析填空题是数学考试中的另一类常见题型，其解题方法需要较强的数学基础和思维灵活性。
下面将对填空题解题技巧进行详细解析和分享。
1. 善于利用已知条件在解答填空题时，首先要善于利用已知条件来推导答案。
例如，一道代数题给出了两个方程，可以通过联立方程求解的方法，将已知条件进行转化，推导出未知数的值，从而填入空格。
2. 特殊情况法对于复杂的填空题，可以通过选择一些特殊的数值进行代入，从而找到答案的规律。
例如，对于一道含有未知数的几何题，可以先假设未知数等于1，然后代入计算，找到规律后再填入空格。
3. 借助数据表格在解决涉及数据统计的填空题时，可以通过构建数据表格来整理信息，进而找到填入空格的规律。
通过将相关数据进行分类和排序，并进行观察和推断，可以更好地解答填空题。
三、解答题解析解答题是数学考试中较难的题型之一，解答题需要清晰的逻辑思维和完整的解题步骤。
下面将对解答题的解题方法进行详细解析和分享。
1. 学会借助画图解题在解决几何题等问题时，可以通过画图的方式来辅助解答。
高一数学最新课件-新星数学分析三角函数总复习 精品
（2）tan A B tan 3 C
4
4
十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：
S( ) : sin( ) sin cos cos sin 要
熟
S( ) : sin( ) sin cos cos sin 悉
C( ) : cos( ) cos cos sin sin
px
q
0的两根
tan
与
tan(
)
的比是3：2，求p、q的值。
4
十六、求角类题目：
1、求出这个角的某个三角函数值；（选择函数名）
2、确定这个角的范围。
例9、已知 、、
求
都是锐角，且 的值。
tan
1 , tan
2
1 , tan
5
1, 8
十七、求值域问题：
主要是将式子化成同角度同函数名的形式，再利用正弦 函数与余弦函数的有界性求解。
（2）、终边落在y轴上的角度集合：
{ | k , k Z}
2
（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：
{ | k , k Z}
42
四、什么是1弧度的角？
五、弧度的计算：
长度等于半径长的弧所对的圆心角。
B
B
2r
| | l
r
r
角度的符号由旋转
Or A
O r A 方向确定
六、角度与弧度的换算：
三角函数总复习
一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 原点重合，角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
二、象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。
注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。
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综合题解法集锦要点：所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题. 如下,我们从八个方面举例,对综合题的解题策略作一探讨.一、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘. 二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁. 三、回到定义和图形中来.四、以简单的、特殊的情况为突破口.五、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考. 六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来. 七、培养整体意识，把握整体结构。
八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论.1、成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数． 解：设四个数为d a d a d a d a 3,,,3++--则：⎩⎨⎧=+-=++++-+-40))((26)3()()()3(d a d a d a d a d a d a由①： 213=a代入②得： 23±=d ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2． 2、在等差数列{}n a 中，若21512841=+---a a a a 求15S ．解：∵124151a a a a +=+ ∴ 28-=a 而3015815-==a S3、已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．解：由题设 a S n = b S n =2∴a b a a a n n n -=+++++221 而)(2)()(22132|21221n n n n n n n a a a a a a a a a +++=++++++++++从而： )()()(32|212221213n n n n n n n na a a a a a a a a S +++++++++++=+++)(3)(3221a b a a a n n n -=+++=++4、已知11=a ，n n a n S 2= )1(≥n 求n a 及n S ．解：1221)1(----=-=n n n n na n a n S S a 从而有111-+-=n n a n n a ∵11=a ∴312=a 31423⨯=a 3142534⨯⨯=a 314253645⨯⨯⨯=a∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=⨯⨯⋅-+⨯⨯⨯⋅--=n n n n n n n a n∴122+==n n a n S n n 5、已知*)(2142N n a S n n n ∈--=- 求n n a a a 和11,+的关系式及通项公式n a解： 1214121111=⇒--==-a a S a⎪⎩⎪⎨⎧--=--=-+++-2)1(112214214n n n n n na S a S⇒②-①：21112121--+++-+-=n n n n n a a a 即：n n n a a 21211+=+将上式两边同乘以n2得： 12211+=-+n n n na a即：12211=--+n n n na a显然：{}n n a 12-是以1为首项，1为公差的AP∴ n n a n n =⋅-+=-1)1(121∴ 12-=n nn a6、已知n n n S a a 2311+==-且，求n a 及n S ． 解：∵1--=n n nS S a ∴ n n n S S 221=-- ∴12211=---n n n n S S 设nn nS b 2=则{}n b 是公差为1的等差数列 ∴11-+=n b b n又：∵2322111===a Sb ∴212+=n S n n ∴12)12(-+=n n n S 当2≥n时 212)32(--+=-=n n n n n S S a∴⎩⎨⎧⋅+=-22)32(3n nn a )2()1(≥=n n 12)12(-+=n n n S7、设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n 求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n证：∵n n n n =>+2)1( 212)21()1(2+=+<+n n n n∴ 212)1(+<+<n n n n∴ 2)12(31321++++<<++++n a nn∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n8、已知函数)2||,0,0)(sin()(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）. （I ）求)(x f 的解析式；（II ）用列表作图的方法画出函数y =f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：（Ⅰ）由已知，易得A =2． ππ3)3(200=-+=x x T，解得31,6=∴=ωπT ． 把（0，1）代入解析式)3sin(2ϕ+=xy ，得1sin 2=ϕ．又2πϕ<，解得6πϕ=．∴)63sin(2π+=x y 为所求．…………………………………………………………6分(Ⅱ)9、已知函数R x x x x f ∈+=,)(3.（I ）指出)(x f 在定义域R 上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无须证明）；（II ）若a 、b 、c ∈R ，且0,0,0>+>+>+a c c b b a ，试证明：0)()()(>++c f b f a f . 解：（Ⅰ）)(x f 是定义域R 上的奇函数且为增函数．（Ⅱ）由0>+b a 得b a ->．由增函数，得)()(b f a f -> 由奇函数，得)()(b f b f -=-∴0)()(>+b f a f 同理可得0)()(,0)()(>+>+a f c f c f b f将上三式相加后，得0)()()(>++c f b f a f ．10、已知：如图，长方体ABCD —1111D C B A 中，AB =BC =4，81=AA ，E 为1CC 的中点，1O 为下底面正方形的中心.求：（I ）二面角C —AB —1O 的正切值； （II ）异面直线AB 与1EO 所成角的正切值； （III ）三棱锥1O ——ABE 的体积. 解：（Ⅰ）取上底面的中心O ，作AB OF ⊥于G ，连1OO 和1FO ．由长方体的性质，得⊥1OO 平面ABCD ，由三垂线定理，得AB F O ⊥1则1OFO ∠为二面角1O AB C--的平面角8,22111====AA OO BC OF ． 在OF O Rt 1∆中，411==∠OF OO OFO tg（Ⅱ）取11C B 的中点G ，连G O 1和EG ． 易证明AB G O //1，则G EO 1∠为所求2211==AB G O ．524222=+=EG ． 在G EO Rt 1∆中，5211==∠GO EGG EOtg （Ⅲ）连BG ，AG ，由AB G O //1易证明//1G O 平面ABE．AB S V V V BGE BGE A ABE G ABE O ⋅⋅===∆---31112)444282(2132=⨯+⨯+⨯-=∆BGE S∴16412311=⋅⋅=-ABE O V11、已知等差数列{n a }的公差为d ，等比数列{n b }的公比为q ，且，0>n b （N n ∈），若)1,0,,1(log log 11≠>∈>-=-a a N n n b b a a a n a n ，求a 的取值.解：由0>nb 得01>b ，0>q由已知，得11111log )(log )1(b q b a d n a a n a -=--+-q n d n a log )1()1(->-∵1≠n，∴q d a log =由对数定义得q a d=当0=d ，1=q 时，得0>a ，1≠a ．当0≠d，1=q 时，得1=a ．这与已知1≠a 相矛盾． 当0≠d，1≠q 时，得dqa 1=．综上：当1,0==q d 时，1,0≠>a a当0≠d，1=q 时，a 的取值集合为空集当0≠d，1≠q 时，dqa 1=12、已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰△ABC ，AB =BC ，过水湿周.1BC AB l +=图②的过水断面为等腰梯形AD CD AB ABCD ,,=∥︒=∠60,BAD BC ，过水湿周CD BC AB l ++=2.若ABC ∆与梯形ABCD 的面积都为S ，（I ）分别求21l l 和的最小值；（II ）为使流量最大，给出最佳设计方案. 解（Ⅰ）在图①中，设θ=∠ABC，a BC AB ==．则θsin 212a S=．由于S 、a 、θsin 皆为正值，可解得S Sa 2sin 2≥=θ．当且仅当1sin =θ，即︒=90θ时取等号．所以Sa l 2221≥=．在图②中，设m CD AB ==，n BC =．︒=∠60BAD 可求得n m AD +=，m n m n S 23)(21⋅++=解得232m m S n -=． S S mmS m m S m n m l 423232233223222=≥+=-+=+=．当且仅当2332m m S =，即334Sm =时取等号．（Ⅱ）由于432>，则2l 的最小值小于1l 的最小值．所以在方案②中当2l 取得最小值时的设计为最佳方案．13、已知：如图，射线OA 为y =2x (x >0)，射线OB 为y = –2x (x >0)，动点P （x , y ）在AOx ∠的内部，OB PN M OA PM ⊥⊥,于于N ，四边形ONPM 的面积为2..（I ）动点P 的纵坐标y 是其横坐标x 的函数，求这个函数y =f (x )的解析式； （II ）确定y =f (x )的定义域.解：（Ⅰ）设)2,(a a M ，)2,(b b N - )0,0(>>b a ．则a OM 5=，b ON 5=由动点P 在AOx ∠的内部，得x y 20<<．∴5252yx y x PM -=-=，5252y x y x PN +=+=∴OPM ONP ONPM S S S ∆∆+=四边形2])()(2[21)]2()2([21)(21=--+=++-=⋅+⋅=y b a x b a y x b y x a PN ON PM OM∴4)()(2=--+y b a x b a ①又a x a y k PM--=-=221，b x b y k PN -+==221 分别解得52y x a +=，52yx b -=代入①式消去a 、b ，并化简得522=-y x ．∵0>y ，∴52-=x y ．（Ⅱ）由P 在AOx ∠内部，得x y 20<<．又垂足N 必须在射线OB 上，否则O 、N 、P 、M 四点不能构成四边形，所以还必须满足条件x y 21<∴⎪⎩⎪⎨⎧<-<-<x x xx 21525022x x 21502<-<⇔31525<<⇔x 所以)(x f y =的定义域为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<31525x x14、解关于x 的不等式：log a (x 2－x －2)＞log a (x －a2)＋1(a ＞0，a ≠1)解：原不等式等价于)2(log )2(log 2->--ax x x a a ……①1°当1>a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--22,02,0222ax x x ax x x从而⎪⎩⎪⎨⎧->-->-,22,022ax x x ax 即⎪⎩⎪⎨⎧+><>10,2a x x ax 或 ∴1+>a x2°当10<<a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--22,02,0222ax x x ax x x从而⎪⎩⎪⎨⎧-<-->--22,0222ax x x x x 即⎩⎨⎧+<<>-<1021a x x x 或∴∈x Φ综上所述，当1>a 时，原不等式的解集为}1|{+>a x x ；当10<<a 时，不等式的解集为Φ 15、在三角形ABC 中，三内角满足A ＋C ＝2B ，cosB 2cosC 1cosA 1-=-，求cos 2CA -的值 解：∵A+C=2B ，∴A+C=120°，B=60°又∵B C A cos 2cos 1cos 1-=+，∴C A C A cos cos 22cos cos -=+ ∴)]cos()[cos(21222cos 2cos2C A C A C A C A -++⋅-=-+ 即)12cos 221(22cos)21(22--+--=-⋅CA C A02232cos 2cos 222=--+-C A C A 令t C A =-2cos，则上式为0223222=-+t t∴223,2221-==t t ∵1|2cos|≤-C A ，∴222cos =-C A16、已知复数z 1＝2－3x ＋xi ，z 2＝3y —1＋(3－y)i ，x 、y 属于R ，若|z 1|＝|z 2|且argz 1/z 2=90º，求10212z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的值 解：∵2arg|,|||2121π==z z z z∴i z z 21=∴i i y y xi x ])3(13[32-+-=+-i y y )13(3-+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-13332y x y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=231231y x∴i i z 231231231231321++-=+++⋅-=， i i z 213231)2313(123132-++=+-+-+⋅=∴i i z z 2321])213231()231231[(21221+=-+++++-=+ 3sin 3cosπ+π=i∴i i z z 2321310sin 310cos )2(1021--=π+π=+17、如图，平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AC ＝22，BC ＝AA'＝A'C ＝2，∠ABC ＝90°，点O 是点A'在底面ABCD 上的射影，且点O 恰好落在AC 上. （1）求侧棱AA'与底面ABCD 所成角的大小； （2）求侧面A'ADD'底面ABCD 所成二面角的正切值； （3）求四棱锥C －A'ADD'的体积.解：（I ）连O A 1，则⊥O A 1平面ABCD 于O……1分（文1分）∴AO A 1∠就是侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角……1分（文2分）在AC A 1∆中，22,211===AC C A A AABoCD D'A'B'C'22222121)22(822AC C A A A ===+=+ ∴AC A 1∆是等腰直角三角形∴︒=∠451AO A ，即侧棱A A 1与底面ABCD 所成角为45°，（II ）在等腰AC A Rt 1∆中，AC O A ⊥1，∴2211==AC O A ，且O 为AC 中点， 过O 作AD OE⊥于E ，连E A 1。