六年级奥数第8次课：圆与扇形(教师版)

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圆与扇形

一、考点、热门回首

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的有关问

题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。

圆的周长、面积计算公式：

c d 或 c 2 r s r 2

半圆的周长、面积计算公式：

c r

d s 1 r 2

2

扇形的周长、面积：

c a

d 2r s a r 2

360 360

如无特别说明，圆周率都取π=3.14 。

二、典型例题：

例 1、以下列图所示，200 米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知

每条跑道宽 1.22 米，那么外道的起点在内道起点前方多少米？（精准到0.01 米）

剖析与解：半径越大，周长越长，因此外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑

的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。固然弯道的各个半径都不知道，但是两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r ，则两个弯道的长度之差为

πR- π r ＝π（ R-r ）＝ 3.14 ×1.22 ≈ 3.83 （米）。

即外道的起点在内道起点前方 3.83 米。

例 2、有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下列图），此

时橡皮筋的长度是多少厘米？

剖析与解：由右上图知，绳长等于 6 个线段 AB 与 6 个 BC弧长之和。将图中与BC弧近似的6 个弧所对的圆心角平移拼补，获得 6 个角的和是 360°，因此 BC弧所对的圆心角是 60°，

6 个 BC弧等于直径 5 厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳

长=5× 6＋ 5

×3.14 ＝ 45.7 （厘米）。

例 3 、左下列图中四个圆的半径都是 5 厘米，求暗影部分的面积。

剖析与解：直接套用公式，正方形中间的暗影部分的面积不太好计算。简单看出，正方形中的空白部分是 4 个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，能够获得右上图。右上图的暗影部分的面积与原图同样，等于一个正方形与 4 个半圆（即 2 个圆）的面积之和，为（ 2r ）2 ＋π r 2× 2=102＋3.14 × 50≈ 257（厘米2）。

例 4 、草场上有一个长 20 米、宽 10 米的封闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30 米的绳索拴

剖析与解：如右上图所示，羊活动的范围能够分为A， B，C 三部分，因此羊活动的范围是

例 5、右图中暗影部分的面积是 2.28 厘米2，求扇形的半径。

剖析与解：暗影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。

因此，扇形的半径是 4 厘米。

例 6、右图中的圆是以O为圆心、径是10 厘米的圆，求暗影部分的面积。

剖析与解：解本题的基本思路是：

从这个基本思路能够看出：要想获得暗影部分S1的面积，就一定想方法求出S2和 S3的面积。S3 的面积又要用下列图的基本思路求：

此刻就能够求出S3的面积，从而求出暗影部分的面积了。

S3=S4 -S5=50π -100 （厘米2），

S1=S2-S 3=50π - （ 50π -100 ） =100（厘米2）。

三、习题稳固

1、直角三角形 ABC放在一条直线上，斜边 AC长 20 厘米，直角边 BC长 10 厘米。以下列图所示，三角形由地点Ⅰ绕 A 点转动，抵达地点Ⅱ，此时 B， C 点分别抵达 B1， C1点；再绕 B1点转动，抵达地点Ⅲ，此时 A，C1点分别抵达 A2， C2点。求 C 点经 C1到 C2走过的路径的长。

2、下页左上图中每个小圆的半径是 1 厘米，暗影部分的周长是多少厘米？

解：大圆直径是 6 厘米，小圆直径是 2 厘米。暗影部分周长是 6π +2π× 7=62.8 （厘

米）。

3、一只狗被拴在一个边长为 3 米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是 4 米，求狗所能到的地方的总面积。

解：以下页右上图所示，可分为半径为 4 米、圆心角为300°的扇形与两个半径为 1 米、圆心角为 120°的扇形。面积为

解：设∠ CAB为 n 度，半圆ADB的半径为r 。由题意有

解得 n=60。

5、右上图是一个400 米的跑道，两端是两个半圆，每一半圆的弧长是100 米，中间是一个长方形，长为100 米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。

6、左下列图中，正方形周长是圆环周长的 2 倍，当圆围绕正方形无滑动地转动一周又回到原

来地点时，这个圆环转了几圈？

7、右上图中，圆的半径是 4 厘米，暗影部分的面积是14π厘米2，求图中三角形的面积。

解：圆的面积是 42π =16π（厘米2），空白扇形面积占圆面积的1-

的等腰直角三角形，面积为4×4÷2=8（厘米2）。

四、习题练习

1、以下列图，在大圆中截取一个面积最大的正方形，而后在正方形中截取一个面积最大的圆。

已知正方形的面积为20cm2，求大圆和小圆的面积各是多少平方厘米？

2、有一个等腰直角三角形ABC ，它的直角边AB ＝ 1dm，将 B 点固定，让三角形按顺时针

方向绕 B 点旋转90°，获得右边的图形，求斜边在旋转过程中扫过的面积( 即图中的暗影部分) 。

3、左下列图中，暗影部分的面积是 5.7cm2，△ ABC 的面积是多少平方厘米？(第八届《小学生数学报》数学比赛题 )

C

C

A 45°

B

45°

A B

4、右图中以 O 为圆心的圆，半径是10cm。以 C 为圆心， AC 为半径画一圆弧，求阴部部分