卡氏第二定理
材料力学能量法第3节 卡式定理
q 2 M ( x) (l x) M e 2
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M q 2 1 M ( x) (l x) M e M e 2 M ( x) M ( x) Bq M e dx EI M e 1 l q 2 [ ( l x ) M ] ( 1 ) d x e EI 0 2 3 l ql 顺时针转向 Me EI 6 ql 3 顺时针转向 B 令 Me 0 6 EI
2
1 dFi dyi U dFi yi 2
(3)
比较(2)(3)式
1 dFi dyi U dFi yi (3) 2 U ( F1 , F2 , Fn ) yi i 1,2,3,... Fi
U U dFi Fi
(Hale Waihona Puke 2)梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于 在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 y2 ， ， yn 。 F1， F2 ， ， Fn ，其相应位移分别为 y1， 在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形 能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f ( F1, F2 ,, Fn )
若 Fi
(1) ( 2)
Fi dFi ， 则 U
U U dFi Fi
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序 (1)先施加 dFi ：在施加 dFi 时，其作用点沿 dFi 方向的 1 dF dy 位移为 dyi ，梁的变形能为 i i；
44卡氏第二定理
Mechanics of Materials卡氏第二定理d d E A I N Δl l ii x xF GI F E F M ++∂∂⎰⎰T T P N ()()()()d ()()i l i x F x x EA M x M x x M x F ∂=∂∂∂⎰22F M EIEI 2NTεP ()()()d d d 222x M x x V x x x EA GI =++⎰⎰⎰F xk N 1Δnj j Nj i j j j iF l F E A F =∂=∂∑桁架结构N ()F x T ()M x ()M x N ()F x T ()M x ()M x S S ()()d 2ix F x GA F ∂+∂⎰组合变形构件图示外伸梁抗弯刚度为EI，只考虑弯曲变形，试求外伸端C的挠度wC 和截面B 的转角θB 。
解：⑴求支座约束力解得：-=AyFa F l=AyFaFl⑵求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数【例题】AB段BC段(0)x l≤≤()==AyFaM x F x xl()∂=∂M x axF l()l x l a≤≤+()()=+-M x F l a x()∂=+-∂M xl a xF⑶ 求载荷作用点相应的位移0()()()()d d +∂∂=+∂∂⎰⎰ll a C l M x M x M x M x w x xEI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 011d ()()d +=⋅++-⋅+-⎰⎰l l a lFa a x x x F l a x l a x x EI l l EI AB 段BC 段(0)x l ≤≤()==Ay Fa M x F x xl ()∂=∂M x ax F l()l x l a ≤≤+()()=+-M x F l a x ()∂=+-∂M x l aF⑶ 求载荷作用点相应的位移11221200()()()()d d ∂∂=+∂∂⎰⎰la C M x M x M x M x w x x EI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 1112220011d d =⋅+⋅⎰⎰l a Fa a x x x Fx x x EI l l EI AB 段BC 段1(0)≤≤x l 111()==Ay FaM x F x x l11()∂=∂M x a x F l 2(0)≤≤x a 22()=M x Fx 22()∂=∂M x xFlM x F x x Fa M Ay a ==-()111M lM x x a ∂=-∂()11M x Fx =()22M M x a∂=∂0()2⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数AB 段BC 段≤≤x l (0)1x a ≤≤(0)2⑴ 求支座约束力 解得：∑=MB0:Fa F l M Ay a --=0lF Fa M Aya =-↑()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1122120()()()()d d θ∂∂=+∂∂⎰⎰la B a a M x M x M x M x x x EI M EIM 11122011()d 0d a a laa M M Fa M x x x Fx x EIl lEI ==-=⋅-+⋅⎰⎰-Fal11()-=aFa M M x x l⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB 段BC 段⑶ 求载荷作用点相应的位移结果负值说明位移方向与对应载荷方向相反3EI =【讨论】图示情况 含义FV ∂∂εFV B D ∂∂ε求 B 处 F 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1. 建立内力方程【总结】卡氏第二定理求位移的解题步骤()()d ∂∂⎰l i M x M x x EI F ()[()]d -∂-∂⎰l iM x M x x EI F 2. 内力方程对 F i 求偏导3. 将内力方程及偏导代入积分表达式求位移各段内力方程坐标原点可以不一样 若所求位移处无对应载荷，可虚设对应载荷，偏导后才能令该虚载荷等于 0若所求位移为正，说明实际位移方向与对应载荷方向一致，否则与对应载荷方向相反内力正负规定不会影响计算结果 内力方程不要用约束力表示。
材料力学卡式定理
l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适 用任意荷载作用下、线性或 非线性弹性杆系、刚架或曲 杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)
材料力学第8章-能量法3-1
d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所 作的功。
W Wi
* e
e
*
外力虚功
内力虚功
l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa
1
2a 5a/3
2
3a/2
-
2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题 力法 例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能
卡氏第二定理
F3
F1
3 1
1 , 2 , , i ,
结构的变形能
11 1 V ε W 2 F 1 δ 1 2 F 2 δ 2 2 F 3 δ 3
只给 Fi 一个增量 Fi .
引起所有力的作用点沿力方向的位
移增量为 Δ1,δ Δ2,δ Δ3,δ
在作用Fi 的过程中, Fi 完成 F1
的功为
1 2
ΔFi
氏定理）（Castigliano’s Theorem）
说明 (Directions)：
（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies）
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力（generalized force） i为相应的位移
（displacement corresponding to force Fi )
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castigliano’s second theorem ) （a） 轴向拉,压（Axial tension and compression）
δ i V F ε i F i F N 2 2 ( E x )x d A F E N (x )A F N F ( ix )d x
Δδi
原有的所有力完成的功为
2
F2
F3
3 1
F 1 Δ 1 F 2 δ Δ 2 δ F iΔ i δ
结构应变能的增量为
Δ ε 1 2 V Δ iΔ i F F δ 1 Δ 1 F δ 2 Δ 2 δ F iΔ i δ
材料力学卡氏第二定理
卡氏第二定理的重要性
总结词
卡氏第二定理在材料力学中具有重要意义，它为分析和预测材料的应力分布提供了理论基础。
详细描述
卡氏第二定理是材料力学中一个重要的基本定理，它为解决复杂弹性体的应力分析问题提供了重要的理论依据。 通过卡氏第二定理，可以推导出许多其他的弹性力学公式和定理，从而更好地理解和预测材料的力学行为。
多学科交叉
加强与其他学科的交叉融合， 如物理学、化学、生物学等， 拓展卡氏第二定理在跨学科 领域的应用价值。
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04 卡氏第二定理的扩展与应 用
卡氏第二定理在弹性力学中的应用
总结词
卡氏第二定理在弹性力学中具有广泛的应用，它为解决复杂的弹性问题提供了重要的理 论支持。
详细描述
卡氏第二定理在弹性力学中主要用于求解弹性体的位移、应力和应变分布。通过应用卡 氏第二定理，可以建立各种弹性问题的基本方程，如弹性力学中的平衡方程、应变-位
02 卡氏第二定理的公式与推 导
公式展示
公式
(W = DeltaOmega + Delta K)
描述
该公式表示外力功（(W)）等于变形能（(DeltaOmega)）和动能（(Delta K)）之和。
公式推导过程
第一步
根据牛顿第二定律，外力对物体所做的功等 于物体动能的增量，即 (W = Delta K)。
弯曲梁的实例
总结词
卡氏第二定理在弯曲梁分析中起到关 键作用。
详细描述
弯曲梁在受到外力作用时会产生弯曲 变形，卡氏第二定理可以用来计算梁 内部的应力分布，确保梁的稳定性与 安全性。
扭转轴的实例
总结词
卡氏第二定理在分析扭转轴时具有重 要应用。
材料力学第27讲 Chapter3-2第三章 能量法(卡氏定理)
1
Ax
450
2
l2
l1 Ay
变形协调关系
Ax l1; A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2
450
V
FN21l1 FN22l2 2EA 2EA
E2lA1 l12 E2lA2 l22
l FNl EA
E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ysin 4 5 0 A xc o s4 5 02
变能V数值上等于余能Vc，则余能定理此时可改写为： Nhomakorabeai
V
(F1,F2 Fi
Fn)
卡氏第二定理
卡氏第二定理只适用于线性弹性情况。
19
例2 求简支梁中点作用集中力F作用时中点处的挠度。
（梁的弯曲刚度为EI，长为l）。
EI
F
A
C
l
2
l
解: 先求应变能
B
V
l M 2(x) d x 2
l 2
(
F 2
x)2 dx
Fn
1 2 i
n
图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1,2…n)，
相应位移为i (i=1, 2…n)
5
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i
n
梁内的应变能： V W
n
i 0
fid i
i 1
可见，最终梁内的应变能应是关于i (i=1,2…n)的函数，即
V V (1,2 n)
15
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i 梁内的余能：Vc Wc
n
n
F i
0
id
fi
i 1
可见，最终梁内的余能应是关于Fi (i=1,2…n)的函数，即
04-13005卡氏第二定理(1)
F 2
例：弯曲刚度为EI，拉伸刚度为EA。不计剪力的影响，试计算A截面的挠度。
3F/2
D
解： CD段轴力：FNCD
3F 2
AC段弯矩：M
x1
Fx1
0
x1
l 2
B x2
F/2
l
2l/3
C
A
x1
l/2 F
分析：CD段发生轴向拉伸变
BC段弯曲矩：M
x2
F 2
x2
0
x2
l
V
F2 NCD
i
V Fi
式中：Fi为广义力，Δi为与广义力Fi对应的广义位移。i为正表示与Fi方向相同，
为负表示与Fi方向相反，Vε 是整个结构的应变能。
广义力：可以是一个力、一个力偶、一对力、一对力偶
广义位移：对应为一个线位移、一个角位移、相对线位移、相对角位移
F
m
F
F
AB
mm AB
C
D
wC
V F
D
V m
AB
第十三章 能量法
§13-3 卡氏第二定理(1)
一、卡氏第二定理
i
V Fi
卡氏第二定理
线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一
荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理的含义：
结构的应变能为内力的函数，为荷载的复合函数。若结构的
应变能 V 表示为荷载F1、F2 …Fi …的函数，则应变能对任一荷载 Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
V F
AB
V m
例：试用卡氏第二定理求图示梁中点C的挠度。
卡氏第二定理
m+m2 RD= ——— 2a
x1
C D
x2
m2
B
RD
m
2a qC= ——(m+m2) 3EI
x3
A
RAy
实际上并无m2 ，所以令m2 =0得
2am qC= —— 3EI
通常在积分前即令m2 =0，可使积分简单
2
F2
3
1
F3
1 ΔFi Δδi 2
原有的所有力完成的功为
F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
结构应变能的增量为
1 ΔVε ΔFi Δδi F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi 2
略去高阶微量
1 ΔFi Δδi 2 ΔVε F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castigliano’s second theorem )
（a） 轴向拉,压（Axial tension and compression）
2 Vε FN ( x )dx FN ( x ) FN ( x ) δi 2 EA EA Fi dx Fi Fi
B P
A f
M ——=Rcosf P
MM PR3p y= S ——— ds = ——— 4EI EI P
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
B Pa P
M ——=R(1- sinf) Pa
A
卡氏第二定理求位移例题
卡氏第二定理求位移例题摘要：一、卡氏第二定理简介1.卡氏第二定理的概念2.卡氏第二定理的意义二、卡氏第二定理求位移例题解析1.问题描述2.解题思路3.具体步骤4.结论正文：【提纲】一、卡氏第二定理简介卡氏第二定理，又称柯西- 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，是数学分析领域中一个非常重要的不等式。
该定理可以用于求解许多与位移相关的问题，例如求解速度、加速度等物理量。
【提纲】二、卡氏第二定理求位移例题解析以下是一个利用卡氏第二定理求位移的例题：问题描述：设有一质点在一维空间的运动方程为x(t) = x0 + v0t +0.5at^2，已知质点在t = 0 时刻的位置为x0 = 1，初始速度为v0 = 2，加速度为a = 3。
求质点在t = 2 秒时的位移。
解题思路：首先，根据位移公式，我们可以得到x(2) = x0 + v0*2 +0.5*a*(2^2)。
然后，利用卡氏第二定理对速度、加速度进行替换，以求得更简单的表达式。
具体步骤：1.根据卡氏第二定理，有(x0 + v0t + 0.5at^2)^2 ≤ (x0^2 + (v0t)^2 + (0.5at^2)^2)。
2.将t = 2 代入，得到(1 + 2*2 + 0.5*3*(2^2))^2 ≤ (1^2 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2)。
3.计算得(7)^2 ≤ (1 + 4 + 12)。
4.化简得49 ≤ 17，显然成立。
5.根据柯西不等式，有(x0 + v0t + 0.5at^2)/√(1 + (v0t)^2 +(0.5at^2)^2) ≤ √(x0^2 + (v0t)^2 + (0.5at^2)^2)。
6.将t = 2 代入，得到(x(2) - 1)/√(1 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2) ≤ √(1^2 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2)。
7.计算得x(2) - 1 ≤ 5，即x(2) ≤ 6。
卡氏第二定理
解：
❖ 根据卡氏定理,有
AB段
BC段
例2.7
❖图示刚架EI为常 量，B截面受m作 用。求C截面转角
qC及D点的水平 位移x。轴力及
剪力不计。
a
a
2a
C
D
B
m
A
C点施以附加力偶矩m2,支 反力为
m+m2 RAy= ———
2a
m+m2 RD= ———
2a
a
a
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
RD
m+m2 RAy= ———
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺 (A.Castigliano )于1873年提出的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.
作用有外力: F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
2
F2
F3
M
ds =
———
EI P
3
PR p
4EI
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
M
——=R(1- sinf)
Pa
A
f
3
x=[ S ———M dsM]Pa=0 = ——— PR
EI Pa
2EI
B Pa
P
例 求A点位移A和B点位移B
解
❖ 先求A点位移
由卡氏定理
因为 所以
求B点位移
F3
F1
3 1
F1Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
材料力学C(II)下册第三章
表达式。设两杆的轴力均为FN ，两杆的伸长量和A点的位移
分别为
FN l Dl EA
2 2 2 Δ ( l Dl ) 2 l 2 [ l 2 l ( Dl ) ( Dl ) ] l
FN 2l (Δ l ) l 2 EA
第三章 能量法
由结点A的平衡方程
F FN 2 sin
M
C
x1
l/2
l/2
x2
FB
B
法二
F M FA 2 l FB F M 2 l
AC段 CB段
M F M ( x1 ) x1 l 2
F M M ( x2 ) x2 M l 2
F M M ( x1 ) x1 l 2
3
和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非
线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性 时—— 物理非线性。 （2）几何非线性时，不能用Vε
求应变能。 Vε F d Δ
V
V
v 求应变能，而只能用 ε dV
第三章 能量法
一、功和应变能、余能
利用外力功 三种方法 利用内力功 利用应变能密度
第三章 能量法
思考:
x
l x l
F
F M
V V 1 V 2
V 1
1 Fw 2
x
M
1 V 2 M 2
l
第三章 能量法
例题 原为水平位置的杆系如图所示，试计算在荷载F１作用
下的应变能。两杆的弹性模量均为E,横截面面积均为A 。
解：首先分析力F 和位移D之间的关系，求出F = f (D)的
B
材料力学2.3卡氏第2定理
ds
= —PR—3— Pa=0 2EI
例 求A点位移A和B点位移B
解
• 先求A点位移
由卡氏定理
因为 所以
求B点位移
加入虚载荷P’ AB段
BC段
所以
事实上并无P’,因此令P’=0有 其实可在进行以下积分前令P’=0
（4） 平面桁架 (Plane truss)
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
（5） 组合变形(Combined deformation)
δi
Vε Fi
[ FN2( x)dx
T 2( x)dx
M 2( x)dx ]
Fi l 2EA
l 2GIp
l 2EI
FN( x) FN( x)dx T ( x) T ( x)dx M ( x) M ( x)dx
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工 程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873年提出 的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移.
作用有外力:
F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
2
F2
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
aa
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
RD
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
求AB,BC,CD各段的弯 矩方程,并对m2求偏导, 最后由卡氏定理求得C 截面的转角qC。
卡氏第二定理求位移例题
卡氏第二定理求位移例题摘要：1.卡氏第二定理简介2.位移的概念3.求位移的例题4.例题解答过程5.总结正文：【1.卡氏第二定理简介】卡氏第二定理，又称卡氏定理二，是结构力学中的一个重要定理。
它是由俄国力学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）提出的。
卡氏第二定理主要用于研究杆件系统在位移、内力及反力作用下的平衡问题。
【2.位移的概念】位移是指物体从一个位置到另一个位置的位置变化。
在结构力学中，位移通常用来描述杆件在受力情况下的形变。
位移可以分为线位移和角位移两种。
线位移是指杆件在受力情况下的长度变化，而角位移是指杆件在受力情况下的旋转角度变化。
【3.求位移的例题】假设有一个简支梁，梁的两端分别固定在两个支座上，梁的中点处有一个集中力F 作用在梁的上方。
现在需要求解在集中力作用下，梁的位移。
【4.例题解答过程】根据卡氏第二定理，我们可以通过求解梁的内力来计算位移。
首先，我们需要列出梁在集中力作用下的力学平衡方程。
根据力学平衡原理，梁的反力和内力之和应该等于零。
设梁的上部为受压区，下部为受拉区。
由于梁是简支梁，所以梁的左右两端支座反力为零。
根据力学平衡方程，我们可以得到以下方程组：（1）梁上部受压区：ΣF_N = 0，其中F_N 表示梁上部受压区的反力。
（2）梁下部受拉区：ΣF_T = 0，其中F_T 表示梁下部受拉区的反力。
（3）梁的弯曲部分：M_x = EI * δ，其中M_x 表示梁的弯矩，E 表示梁的弹性模量，I 表示梁的惯性矩，δ表示梁的弯曲角。
根据以上方程组，我们可以求解出梁的位移。
由于梁的弯曲部分是连续的，所以梁的位移应该是均匀分布的。
我们可以通过求解梁的弯矩来计算位移。
假设梁的长度为L，集中力F 作用在距离梁端点L/4 的位置，梁的弹性模量E 为200 GPa，梁的惯性矩I 为1/12 * L^4。
代入卡氏第二定理，我们可以得到：δ= F * L^3 / (8 * E * I)根据上述公式，我们可以求解出梁的位移。
卡氏第二定律
卡氏第二定律卡氏第二定律，也称为牛顿第二定律，是物理学中最基本的定律之一。
它描述了物体的运动与所受力的关系，被广泛应用于力学和动力学的研究中。
卡氏第二定律的数学表达式为F = ma，其中F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据这个定律，如果一个物体受到一个力，它将以与该力成正比的加速度运动。
卡氏第二定律可以通过以下实例更好地理解。
假设有一个质量为2千克的小车，施加在小车上的力为10牛顿。
根据卡氏第二定律，我们可以计算出小车的加速度。
代入公式F = ma，可得10 = 2a，解方程可得a = 5米/秒²。
这意味着小车将以每秒5米的加速度向前移动。
卡氏第二定律的应用不仅限于直线运动，也可以用于描述旋转运动。
对于一个刚体的转动，卡氏第二定律可以表示为τ = Iα，其中τ表示刚体所受的合力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
这个公式告诉我们，刚体的旋转运动与所受的力矩成正比。
卡氏第二定律的重要性在于它是力学的基础，可以用来解释和预测物体的运动。
它帮助我们理解为什么物体会加速或减速，为物体的运动提供了定量的描述。
除了基本的数学表达式外，卡氏第二定律还有一些重要的特点和应用。
首先，它遵循矢量运算规则，即力和加速度是矢量量。
其次，它适用于惯性参考系，即在不受外力干扰的情况下才能准确描述物体的运动。
此外，卡氏第二定律还可以与其他定律和原理结合使用，如牛顿第三定律和动量守恒定律等。
卡氏第二定律的应用广泛，涉及许多领域。
在工程学中，它用于设计和分析机械系统的运动。
在航天学中，它用于预测和控制航天器的运动。
在生物学中，它用于理解动物和人体的运动机制。
在体育运动中，它用于优化运动员的训练和表现。
卡氏第二定律是物理学中最基本的定律之一，描述了物体的运动与所受力的关系。
它的应用范围广泛，为我们理解和控制物体的运动提供了重要的工具。
通过深入学习和应用卡氏第二定律，我们能够更好地理解和解释世界的运动规律。
卡氏第二定理求位移例题
卡氏第二定理求位移例题
（最新版）
目录
1.卡氏第二定理简介
2.位移的定义与计算方法
3.例题解析：使用卡氏第二定理求位移
4.总结与拓展
正文
【1.卡氏第二定理简介】
卡氏第二定理，又称卡氏定理二，是固体力学中关于应变和应力关系的一个重要定理。
该定理描述了在给定应力条件下，材料产生的应变情况。
卡氏第二定理在我国的工程技术领域有着广泛的应用，例如土木工程、航空航天等。
【2.位移的定义与计算方法】
位移是指物体位置的改变。
在固体力学中，位移通常用来描述物体在受力作用下的形变。
位移的计算方法通常有以下两种：
（1）微小位移法：当物体的位移较小时，可以将位移看作是各点微小位移的总和，通过求和的方式计算总位移。
（2）积分法：对于较大的位移，可以通过对物体受力情况进行积分，求得位移。
【3.例题解析：使用卡氏第二定理求位移】
假设有一个长方体，在竖直方向上受到均匀分布的荷载，我们需要求解该长方体在荷载作用下的位移。
（1）根据卡氏第二定理，首先需要求出长方体在竖直方向上的应变。
（2）根据长方体的几何参数和应变，可以求出长方体在竖直方向上的应力。
（3）利用微小位移法或积分法，可以求出长方体在竖直方向上的位移。
【4.总结与拓展】
卡氏第二定理在求解位移问题中具有重要作用，可以帮助我们更好地理解物体在受力作用下的形变情况。
在实际工程应用中，掌握卡氏第二定理对于分析结构受力、计算位移等具有重要意义。
卡氏第二定理
卡氏第二定理卡氏第二定理是意大利工程师 A.卡斯蒂利亚诺于1873年提出的。
它被用于求解弹性体的位移，也被用于求解静不定结构问题。
卡氏定理,卡氏定理(Castiglianos Theorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873,故得其名,卡氏第一定理,卡氏第二定理,设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移,作用有外力,F1 ,F2 , ,Fi ,相应的位移为,1 , 2 , , i ,结构的变形能,卡氏定理的证明,只给Fi 一个增量Fi,引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为,在作用Fi 的过程中, Fi 完成的功为,原有的所有力完成的功为,结构应变能的增量为,如果把原来的力看作第一组力,而把Fi 看作第二组力,根椐互等定理,略去高阶微量,或者,当Fi 趋于零时,上式为,这就是卡。
卡氏第二定理（Castiglianos Second Theorem )（卡氏定理）（Castiglianos Theorem,1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies,说明(Directions,2）Fi 为广义力（generalized force）i为相应的位移（displacement corresponding to force Fi,3）卡氏第二定理的应用( Application of castiglianos second theorem,a）轴向拉,压（Axial tension and co 。
【卡氏第二定理|卡氏第二定理】3、mpression,b）扭转（Torsion,c）弯曲（Bending,4）平面桁架(Plane truss,5）组合变形(Combined deformation,例 2.6,已知EI, 求 C 端挠度及A 截面的转角,解,根据卡氏定理,有,AB段,BC段,例2.7,图示刚架EI为常量，B截面受m作用。
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3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析2 内力和内力图6 强度计算7 刚度校核8 压杆稳定性校核10 动荷载9 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件材料力学公式超级大汇总汇总（推荐完整)编辑整理:张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望材料力学公式超级大汇总汇总(推荐完整）这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
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材料力学公式超级大汇总1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正)5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g )16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆(b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a)实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同(如阶梯轴)时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料;脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件？或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式，28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式，29.平面应力状态的三个主应力，，30.主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力，34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式,39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径？,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a,图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数？，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度)46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程？57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩)59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时,合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件:(a)两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0。
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卡氏第二定理
卡氏第二定理（KummerSecondTheorem）又称为卡氏二元定理，它是由德国数学家卡氏于1852年提出的一种数论定理，是多个古老定理的总结，是一个重要的代数结构之一。
卡氏第二定理涉及了几何射影以及椭圆曲线的投影，是一项重要的数学理论，被广泛应用在数论、组合数学、多元代数和特殊函数的研究中。
卡氏第二定理的主要原理可以归结为三点：
（1）设f(x)为一种单个变量的多项式，一般地，一个多项式具有n次不同的根，不论是实根还是复根，他们出现的次数总是n次。
（2）设P(x,y)为一个二元多项式，其中x和y是连续变量，该多项式的根是一个椭圆曲线E上的点的坐标。
若F(x,y)是P(x,y)的一个不可约因子，那么F(x,y)在E上的根也是E上的点的坐标，而且出现次数等于P(x,y)的根的出现次数。
（3）对于任意的二元多项式P(x,y)，如果F(x,y)是P(x,y)的一个不可约因子，则P(x,y)的根总是满足如下条件：P(x,y)是一个整数关系。
卡氏第二定理在数论、组合数学、多元代数研究和计算数学中有着重要的应用价值。
它不仅用于解决多变量多项式的求根问题，而且还可以用来寻找椭圆曲线上有趣点的坐标，以及在数论中研究质素数和平方数等问题。
此外，在数据加密领域，卡氏第二定理的应用也是非常广泛的。
其中，最重要的应用是RSA加密算法，它是目前世界上最常用的公钥
加密算法，而RSA算法的安全性完全依赖于卡氏第二定理的应用。
因此，卡氏第二定理的研究可以说是数学的“金矿”，在数学领域有着重要的应用价值，且极具前景。
现代数学家们仍一直在探索和研究卡氏第二定理，并发现了它具有良好的应用价值，为世界各地的科研人员提供了难以估量的帮助。
卡氏第二定理的研究不仅对数学的发展至关重要，而且对实际的应用也具有极大的意义，是数学巨人卡氏的一项重要成就。