高等数学练习题(附答案)
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《高等数学》
专业 年级 学号 姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）
（ ）1. 收敛的数列必有界.
（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.
（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.
（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.
（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.
（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则
)0(f 为)(x f 的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1. 设2
)1(x x f =-，则=+)1(x f .
2. 若1
212)(11+-=
x
x
x f ，则=+→0
lim x .
3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则
=')3(g .
4. 设y
x
xy u +
=, 则=du . 5. 曲线3
2
6y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .
6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2
x f x
f x F f +==',则=')1(F .
7. 若
),1(2)(0
2x x dt t x f +=⎰
则=)2(f .
8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分
=-+∞⎰
dx e x 20
.
10. 设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D
5
2
2
1,
1 . 三、计算题（每题5分，共40分）
1. 计算))
2(1
)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ . 2. 求10
3
2
)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在（0，+∞）内的导数.
3. 求不定积分
dx x x ⎰
-)
1(1.
4. 计算定积分
dx x x ⎰
-π
53sin sin .
5. 求函数2
2
3
24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==
,围成，计算dxdy y
y
D
⎰⎰
sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.
8. 求微分方程y
x
y y 2-
='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）
1.
证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .
2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f
dt t f dt t f x F x x
b
⎰⎰
+=0
)
(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√ ；
2.× ；
3.×；
4.× ；
5.×；
6.× ；
7.× ；
8.× ；
9.√ ；10.√.
二、 填空题.（每题2分，共20分）
1.442
++x x ； 2. 1； 3. 1/2； 4.dy y x x dx y y )/()/1(2
-++；
5. 2/3 ；
6. 1 ；
7.
3
36 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：因为
21(2)n n +22
211
1(1)(2)n n n <+++
<+2
1
n n + 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，2
1
lim
n n n →∞+=0 由迫敛性定理知： ))
2(1
)1(11(
lim 222n n n n ++++∞
→ =0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y
10
1022111++++++='∴
x x x y y )(
10()1(++='∴x x y )10
10
2211++++++x x x 3.解：原式=⎰
-x d x
112
=⎰
-x d x 2
)
(112
=2c x +arcsin
4.解：原式=
dx x x ⎰
π
23cos sin