数学中的切比雪夫逼近与最小二乘
数值分析之最小二乘法与最佳一致逼近
这里 ( x) 0是 [a, b]上的权函数，它表示不同点 ( xi , f ( xi ))
处的数据比重不同.
5
S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x) (n m) 用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在
S ( x )中求一函数 y S * ( x)， 使误差取得最小.
23
结果如下：
24
2
用正交多项式做最小二乘拟合
用最小二乘法得到的法方程组，其系数矩阵
n . G是病态的
(
(k 0,1,, n). （5.6） j 0 如果 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是关于点集
k
, j )a j d k
{xi } (i 0,1,, m) 带权 ( xi ) (i 0,1,, m)
4 2.00 8.46 2.135
21
( 0 , y ) yi 9.404,
i 0 4
4
(1 , y ) xi yi 14.422.
i 0
故有法方程
5 A 7.50b 9.404, 7.50 A 11.875b 14.422.
解得
A 1.122, b 0.505, a e A 3.071.
使误差平方和
* 2 [ S ( x ) y ] i i i 0 2 i i 0 m m m
min
S ( x )
2 [ S ( x ) y ] , i i i 0
这里
S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
(n m).
y S * ( x) 与所给数据{( xi , yi ), i 0,1,, m} 拟合.
最小二乘,切比雪夫,拉格朗日,牛顿,样条差值及仿真之令狐文艳创作
令狐文艳第一题：曲线拟合最小二乘法和切比雪夫的相同和不同，以及适用的场合令狐文艳背景及意义：在很多日常生活以及科研活动中，我们需要对一些离散的点集进行拟合，使得拟合的曲线尽量多的穿过所给出的离散点，并且误差小。
从而通过拟合的函数，找出离散点的规律，以此进行进一步的研究。
下面，就最小二乘法和切比雪夫两种拟合方法进行研究和分析。
1、最小二乘法它的标准是，所求得的拟合函数*()y S x =与给出的实际离散点{(,),0,1,,}i i x y i m =之间的误差平方和最小。
公式为：其中ϕ是规定区间上的线性无关函数族，01{,,,}m span ϕϕϕϕ=。
为了使问题提法更具一般性，在各自的离散点的区间中添加权函数()0x ω≥以表示各个离散点数据的比重不同。
要想求出函数*()S x ，就要求出其各阶系数，转而变成求多元函数极小点***01,,,n a a a其中：()j x ϕ取21,,,,n x x x的问题。
为了求取极值，其必要条件为 简化上式可得到矩阵形式其中01(,,,)T n a a a a =，01(,,,)T n d d d d =，要想使所求极值有唯一解，就要求G 非奇异。
又因()j x ϕ的组所组成向量为非奇异，则G 为非奇异，故而存在唯一的解*,0,1,.k k a a k n ==使得*()S x 为所求最优解。
例题：在相同离散点下用最小二乘法完成曲线拟合程序及结果如下clear all; clc; x0=1:10;y0=[1.1 3.5 9.7 2.6 9.4 6.5 5.6 2.1 6.5 5.9];plot(x0,y0,'o');hold on;x=1:0.1:10;hold on;q=polyfit(x0,y0,3);for i=1:length(x);y1(i)=q(4)+q(3)*x(i)+q(2)*x(i)*x(i)+q(1)*x(i)*x(i)*x(i) plot(x(i),y1(i),'*');hold on;end阶次为一的时候拟合曲线阶次为二的时候拟合曲线阶次为三时拟合曲线分析：最小二乘法的拟合需要提前确定离散点分布情况的阶次，即使是相同的离散点所拟合的多项式阶次不同所得曲线会有很大差异，并且当离散点的规律超过三次多项式的时候所拟合曲线的误差就会很大并出现病态问题。
叙述切比雪夫不等式
叙述切比雪夫不等式
【最新版】
目录
1.切比雪夫不等式的定义和背景
2.切比雪夫不等式的基本形式
3.切比雪夫不等式的应用举例
4.切比雪夫不等式的推广和发展
正文
1.切比雪夫不等式的定义和背景
切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种概率论中的基本不等式，由俄国数学家切比雪夫（Chebyshev）在 19 世纪末提出。
切比雪夫不等式用于估计一个随机变量偏离其数学期望的概率，为研究随机变量的分布和性质提供了一种有效的方法。
2.切比雪夫不等式的基本形式
切比雪夫不等式的基本形式如下：
对于任意实数 k > 0，随机变量 X 的数学期望为μ，方差为σ^2，则有
P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k^2
其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率。
3.切比雪夫不等式的应用举例
假设我们要估计一个袋子里面装有 n 个红球和 k 个蓝球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率。
我们可以用切比雪夫不等式来估计这个概率。
设红球的概率为 p，蓝球的概率为 1-p，根据切比雪夫不等式，我们
可以得到：
P(抽到红球) ≥ 1 - 1/n^2
这意味着，当我们从袋子中抽取的次数越多，我们估计抽到红球的概率会越来越接近真实的概率。
4.切比雪夫不等式的推广和发展
切比雪夫不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
随着研究领域的不断拓展，切比雪夫不等式也得到了不断的推广和发展。
例如，在多元随机变量的情况下，切比雪夫不等式可以推广到切比雪夫 - 马尔可夫不等式（Chebyshev-Markov inequality）等。
函数绝对值的最大值最小值问题切比雪夫逼近下的图像法
函数绝对值的最大值的最小值问题----切比雪夫逼近下的图像法 题目：已知函数当时，的最大值记为，则的最小值为_________解：如图，画出在上的图像，为一直线，即考虑这两个函数竖直方向距离的最大值。
取水平直线，则此时，取其上一点，将绕点旋转，易知其对应的均大于，再考虑不过点的，其必与前面过点的某条直线平行，比较可知，不过点的更大，即的最小值为。
从此题的解答，有点用到切比雪夫逼近理论：定理1（限定参数下的平行线逼近法）：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，若存在过()y f x =上点的直线11()h x ax b =+，22()h x ax b =+，使21()()()h x f x h x ≤≤恒成立，记()f x ax b --在D 上的最大值为(,)M a b ，则12(,)2b b M a b -≥ 推论1：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，则()f x b -在D 上最大值为()M b ，则m a x mi n ()()(,)2fx fx Ma b -≥当且仅当max min()()2f x f x b +=时取等号。
接下来我们来尝试定理1及推论1的应用例1：（2016年4月浙江学考第18题）设函数2()f x ax b x=--,若对于任意正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是 。
解法1：（利用定理1） 记2ax b x--在[1,2]上的(,)M a b 最大值为 可知2()g x x=图像夹在两直线1()2h x ax a =-+，2()21(0)h x ax a a =-+>之间，由定理1得，(2)(12)1(,)22a a a M a b ---+≥=， 110,(,)22a a +>∈+∞，所以12m ≤ 解法2：由0a >，所以2()g x ax x =-在[1,2]单调递减，max min ()2,()12g x a g x a =-=-，(2)(12)1(,)22a a a M ab ---+≥=， 所以12a m +≤对0a >恒成立，11(,)22a +∈+∞，可得12m ≤ 上面我们用定理1及推论1很好的解决了例1，若题目条件中0a >变为任意实数a ，由于此时2()g x ax x =-的最值不容易求，所以我们需要更加一般的方法来解决。
指数函数与对数函数的函数逼近与最小二乘法
指数函数与对数函数的函数逼近与最小二乘法在数学中，指数函数和对数函数是非常常见且重要的函数。
它们在许多领域中扮演着重要的角色，例如物理学、经济学和统计学等。
本文将讨论指数函数和对数函数的函数逼近问题，并介绍最小二乘法在函数逼近中的应用。
一、指数函数的函数逼近指数函数可以表示为y = a^x的形式，其中a为底数，x为指数。
指数函数具有与底数a有关的特定增长率。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现下降趋势。
在实际问题中，我们经常需要通过已知的数据去逼近一个未知的指数函数。
最常用的方法是使用最小二乘法进行函数逼近。
最小二乘法通过优化参数估计，来找到最能拟合给定数据的指数函数。
最小二乘法的基本原理是使得观测值与预测值之间的误差平方和最小化。
对于指数函数逼近，我们可以使用以下步骤：1. 收集指数函数的已知数据，包括自变量x和对应的函数值y。
2. 取对数转化：计算ln(y)，将指数函数转化为对数函数。
3. 建立线性方程：将对数函数转化为线性方程，形式为ln(y) =ln(a)·x + ln(b)。
4. 进行最小二乘拟合：对转化后的线性方程应用最小二乘法，计算出拟合的参数估计值ln(a)和ln(b)。
5. 反转转化：根据拟合得到的ln(a)和ln(b)，反转转化为a和b，得到拟合的指数函数。
通过这样的方法，我们可以使用最小二乘法逼近给定的指数函数，并找到最能拟合已知数据的指数函数。
二、对数函数的函数逼近对数函数可以表示为y = log_a(x)的形式，其中a为底数，x为对数的真数。
对数函数具有与底数a有关的特定增长率。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现下降趋势。
对于对数函数的函数逼近，我们同样可以使用最小二乘法进行拟合。
以下是逼近对数函数的步骤：1. 收集对数函数的已知数据，包括自变量x和对应的函数值y。
2. 建立线性方程：将对数函数转化为线性方程，形式为y = a·ln(x)+ b。
两个随机变量切比雪夫不等式
两个随机变量切比雪夫不等式（实用版）目录1.切比雪夫不等式的定义和背景2.切比雪夫不等式的应用3.切比雪夫不等式的举例说明正文【1.切比雪夫不等式的定义和背景】切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种概率论中的基本不等式，用于估计一个随机变量的偏差。
切比雪夫不等式可以告诉我们，在给定的概率分布下，某个随机变量的取值偏离其数学期望的程度。
这个不等式的名字来源于 19 世纪俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）。
设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，数学期望为μ，方差为σ，则切比雪夫不等式可以表示为：P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k其中，k 为常数，称为切比雪夫常数。
【2.切比雪夫不等式的应用】切比雪夫不等式在概率论和统计学中有广泛应用，例如：- 估计随机变量的偏差：切比雪夫不等式可以用来估计一个随机变量的取值偏离其数学期望的程度。
- 风险管理：在金融领域，切比雪夫不等式可以用来估计投资组合的风险，帮助投资者制定合理的风险管理策略。
- 统计推断：在统计学中，切比雪夫不等式可以用来估计样本均值的置信区间，从而对总体均值进行估计。
【3.切比雪夫不等式的举例说明】假设有一个随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，数学期望为μ，方差为σ。
现在我们想要知道，在给定的置信水平下，X 的取值偏离μ的程度。
根据切比雪夫不等式，我们可以计算出切比雪夫常数 k，然后得到 X 的取值偏离μ的置信区间。
例如，若置信水平为 95%，则 k=1.96（查表可得）。
假设我们要估计 X 的取值偏离μ的程度，可以计算：P(|X - μ| ≥ 1.96σ) ≤ 1/(1.96) = 0.05这意味着，在 95% 的置信水平下，X 的取值偏离μ的程度不会超过1.96σ。
概率论第四章-切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
或 成立， P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε 成立，
1
2
|x−µ |
2
ε
2
f (x)dx ≤ ∫
2
|x−µ |2
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
切比雪夫不等式xi
切比雪夫不等式xi切比雪夫不等式xi是19月科学家乔治切比雪夫发现的一个重要的数学定理，也被称为“切比雪夫不等式”。
它与其他不等式有着根本的不同，它只能定义有限多个未知数，而不是无限多个未知数。
它是数学家和科学家们许多工作和研究中不可或缺的重要理论。
历史上，切比雪夫不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫发现的。
切比雪夫发现这个不等式有助于描述多变量函数的最大值和最小值。
它被用来给出多变量的解析解，从而为多变量函数的计算打开了大门。
此外，它还被用来推导数学空间的完备性定理，证明某些数学定理的正确性。
切比雪夫不等式的原理非常简单：如果两个变量（a和b）满足不等式xi，则它们之间的差值不能超过常数xi，即：|a - b|此外，它还表明如果N个变量满足不等式xi，则它们之间差值的大小不能超过N-1倍的常数xi：|a1 - a2||a2 - a3||an-1 - an|这是切比雪夫不等式xi的核心原理，它表明不等式xi对多变量函数的行为具有极大的约束力。
迄今为止，切比雪夫不等式一直是数学界的一个重要问题，因为它的许多应用可以帮助解决难题。
例如，它可以用来优化多变量函数，求解最佳参数，以及构建函数图像。
此外，它还可以引入数值近似解，有效解决多变量函数的极值点查找问题。
可以看出，切比雪夫不等式xi是一个伟大的数学定理，它的发现为数学研究提供了极大的帮助。
它的基本原理既简单又有效，因此一直被许多学者所重视。
它的强大优势可以帮助研究人员解决复杂的数学问题，从而为科学的发展做出重大贡献。
总之，切比雪夫不等式是一个著名的数学定理，由于它极大地促进了数学研究的发展，因此得到了众多学者的赞誉和推崇。
它将为科学界做出更多贡献，持续推动数学研究的发展，并且将来还会帮助解决更多科学难题。
数值分析ch2最佳逼近和最小二乘法
10/23/2018 9:35:56 AM
第2章 最佳逼近和最小二乘法
在[0,1]上，当最佳平方逼近空间 M span 1, x, x2, , x n 时，法方程系数
矩阵为 Hilbert 矩阵
1
1 2
1 1
1
n
1
1
H 2 3
n2
1 1
1
n 1 n 2
2n 1
当 n 较大时 Hilbert 矩阵和对应的法方程组 Hx b 是病态的，用数值方法
求解方程组 Hx b 是不稳定的。为了避免求解病态方程组,通常找M 中的
一组正交多项式。常用的正交多项式有：勒让德多项式，切比雪夫多项式，
拉盖尔多项式，埃尔米特多项式等。
正交多项式:若多项式序列i
(
x),
x
[a,
b] i0
满足
j ,k
b a
(
x)
j
(
x)k
(
x)dx
0, Ak
0,
jk ( j, k 0,1, 2,
函数的最佳逼近问题：
对于给定的函数 f (x)，要求在一个简单函数类 B 中，寻找一个函数 s(x) B ，
使得 s(x) 与 f (x) 的误差在某种度量下达到最小，这一问题称为最佳逼近问题，
s(x) 称为 f (x)的最佳逼近函数。
函数最佳逼近常用的误差度量标准
2 范数: (x) f (x) s(x) min f (x) y(x) ,最佳平方逼近或均方逼近
1
f b (x) f 2(x)dx 2
2
a
其中(x) L2[a,b] 为权函数，在(a,b)上非负，且满足：
（1） b x j (x)dx a
第三章函数逼近及最小二乘法
第三章 函数逼近及最小二乘法 §1 内积空间及函数的范数定义1 设)(x ρ是定义在(a,b)上的非负函数，且满足：1）dx x x nba )(ρ⎰存在 （n=0,1,2,…）2）对非负的连续函数g(x)，若0)()(=⎰dx x x g ba ρ则在(a,b)上有g(x)=0，则称)(x ρ为(a,b)上的权函数。
定义2 设f(x),g(x)为[a,b]上的连续函数，)(x ρ为(a,b)上的权函数，称),(g f =dx x x g x f ba)()()(ρ⎰为函数f(x)与g(x)在[a,b]的内积。
特别当)(x ρ=1时，上式变为 ),(g f =dx x g x f ba⎰)()(设],[b a C 表示在区间[a,b]上连续函数的全体，那么定义了内积之后，],[b a C 就变成了一个内积空间。
显然有),(f f =dx x x f ba)()(2ρ⎰为一个非负值，因此我们有定义3 对],[)(b a C x f ∈，称),()(2f f x f = 为)(x f 的欧氏范数（又称2-范数）。
其实，我们还经常用到函数的其他范数。
比如，)(max)(xfxfbxa≤≤∞=dxxxfxf ba)()()(1ρ⎰=n维向量空间中两个向量正交的定义也可以推广到连续内积空间],[baC中.定义4 若],[)(),(baCxgxf∈,满足),(gf = dxxxgxf ba)()()(ρ⎰=0则称函数f(x)与g(x)在[a,b]上带权)(xρ正交.若函数族),(,),(),(1xxxnϕϕϕ满足⎰⎩⎨⎧=>≠==bakkjkj kjAkjdxxxx)()()(),(ϕϕρϕϕ则称函数族{})(xkϕ是[a,b]上带权)(xρ的正交函数族.特别地,若1=kA,就称之为标准正交函数族.由高等数学的知识，我们知道, Foureir级数展开中函数族1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……即为],[ππ-上带权)(xρ=1的正交函数族.如同线性代数中的向量组线性无关概念一样,在此也有函数组的线性无关概念.定义5设函数组)(,),(),(11xxxn-ϕϕϕ 在[a,b]上连续,若)()()(1111=+++--xaxaxannϕϕϕ当且仅当011====-naaa 时成立,则称函数族)(,),(),(11xxxn-ϕϕϕ 在[a,b]上是线性无关的.否则称为线性相关函数组。
切比雪夫多项式指北
有关结论（不证明）
为偶函数，
为奇函数。
在
上有 个实根，第
个
。
在
上有
个极值点，轮流取最大值 和最小值 （谁是第一个由 奇偶性决定），第
个
为
。
次第一类切比雪夫多项式次数为 （这不是废话？），最高次项系数为
（
）。
推论. 任意最高次项系数为 的 次多项式在
上的最大值/最小值的绝对值的最小值为
一类切比雪夫多项式相对应时取最值。
任意最高次项系数为aa的nn次多项式在区间ilrilr上的最大值最小值的绝对值的最小值为ar?ln22n?1ar?ln22n?1当且仅当该多项式与等次的第一类切比雪夫多项式相对应时取最值
第一类切比雪夫多项式 比较常见的是第一类切比雪夫多项式（
切比雪夫多项式指北 ），其递推式为：
得”即可。
最小。
若
凹凸性不变化，那么即求解常数 满足：
则
取最大值的点即为这个函数（如果能换元成多项式函数）整理为第一类切比雪夫多项式的极值点。
第二类切比雪夫多项式
有两种求法比较好算（ 次第二类切比雪夫多项式记为
）：
与第一类切比雪夫多项式的关系：
其实还有一些关系应该是用不到的。 定义式为：
如果需要证明，象征性地“归纳得”即可。 有关结论（不常用更不用证明）
为定值。
又
，则定值为
。
于是有：
就可以像前面一样做了（即类第二类切比雪夫多项式 (记得给辛苦的博主 tlx 点赞哦>_<
、
的情况）。
为偶函数，
为奇函数。
在
上有 个实根，第
个
。
在
上有
个极值点，轮流取最大值和最小值 （谁是第一个由 奇偶性决定），第
切比雪夫不等式推导
切比雪夫不等式推导切比雪夫不等式是概率论与统计学中一种重要的不等式，它描述了一个随机变量离其期望值的距离与标准差之间的关系。
通过切比雪夫不等式，我们可以得到对于任意分布的随机变量，在概率上限制其偏离期望值的范围。
为了推导切比雪夫不等式，我们先从定义入手。
令X为一个随机变量，其期望值为μ，标准差为σ。
现在我们想要知道X离μ的距离超过多少时是非常罕见的情况，即X与μ的偏差较大的概率有多小。
为了求得这个概率，我们可以利用马尔可夫不等式。
根据马尔可夫不等式，对于一个非负随机变量Y和任意t > 0，有P(Y ≥ t) ≤ E(Y)/t。
我们将Y定义为(X-μ)^2，即X与μ之间的偏差的平方。
由于Y非负，我们可以使用马尔可夫不等式得到以下不等式：P((X-μ)^2 ≥ t^2) ≤ E((X-μ)^2) / t^2。
注意到E((X-μ)^2)正好是X的方差，记作σ^2。
将其代入上述不等式中，我们得到以下形式的不等式：P((X-μ)^2 ≥ t^2) ≤σ^2 / t^2。
由于X的标准差为σ，即σ^2 = σ^2，我们可以将不等式变形为：P(|X-μ| ≥ t) ≤ σ^2 / t^2。
现在，我们将不等式改写成概率形式，就变成了切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2，其中k = t/σ。
切比雪夫不等式的意义在于它不受随机变量分布形式的限制，适用于任意随机变量。
通过这个不等式，我们可以得到一个随机变量离其期望值一定范围内的概率上界，无论是正态分布、均匀分布还是其他分布都适用。
例如，假设X是服从任意分布的随机变量，其期望值为μ，标准差为σ。
我们可以利用切比雪夫不等式来推导X离μ的距离超过2个标准差的概率上限。
根据切比雪夫不等式，我们有P(|X-μ| ≥ 2σ) ≤ 1/2^2 = 1/4，即X离μ的距离超过2个标准差的概率不会超过1/4。
切比雪夫不等式在实际应用中具有重要意义。
它告诉我们，如果我们想要控制一个随机变量离其期望值的距离的概率，我们只需要关注该随机变量的标准差。
切比雪夫不等式证明(精选多篇)
切比雪夫不等式证明(精选多篇)第一篇：切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且~xb(1000,1/2).因此500211000=×==npex,250)2答题完毕，祝你开心!11(211000)1(=××==pnpdx,而所求的概率为}500600500400{}600400{}100{975.010012=≥dx.二、切比雪夫(chebyshev)不等式对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,恒有p{|x-ex|>=ε}=1-dx/ε切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}越小，p{|x-ex|同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。
需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k 。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16……与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev_polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
概率论第四章-切比雪夫不等式
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
P | X − µ |≥ε}≤σ /ε {
2
2
P | X −µ |<ε}≥1−σ /ε {
2
2
对未知分布X 对未知分布X，取
ε =3 , 2 , σ σ
2 2
9 2 3 2 P{| X −µ |< 2 } ≥1−σ / ( 2 ) = = 0.75 σ σ 4
P{| X −µ |< 3 } ≥1−σ / ( 3 ) = 8 = 0.89 σ σ
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
切比雪夫最大最小误差定理
切比雪夫最大最小误差定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：切比雪夫最大最小误差定理，又称作切比雪夫准则，是概率论中的一项重要定理，用于衡量一个随机变量与其期望值之间的差距。
该定理是俄国数学家切比雪夫在19世纪提出的，被广泛应用于统计学、概率论、信息论等领域。
切比雪夫最大最小误差定理的表述是：对于一个随机变量X，其期望值为μ，方差为σ^2，任意正数ε，至少有1-1/ε^2 的概率，X与其期望值μ之间的差距不会超过εσ。
换句话说，大部分的随机变量都集中在期望值附近，而不会远离过多。
这个定理的重要性在于，它为我们提供了一种衡量随机变量分布的离散程度的方法。
通过切比雪夫准则，我们可以知道一个随机变量的波动范围，这对于决策制定和风险评估都具有重要意义。
举个例子来说明切比雪夫最大最小误差定理的应用。
假设我们有一个赌博游戏，掷一枚公平的骰子，如果点数为6就获胜，否则就输掉赌注。
我们可以利用切比雪夫定理来分析这个游戏的胜率。
假设随机变量X表示掷骰子的结果，它的期望值为3.5，方差为2.92。
如果我们希望计算出在95%的概率下我们至少能获胜多少次，我们可以利用切比雪夫定理来估计，设ε=1，那么根据切比雪夫定理，我们至少能获胜的概率不低于1-1/1^2=0.75，也就是说我们在95%的概率下至少能获胜75%的次数。
通过以上例子，我们可以看到切比雪夫最大最小误差定理的实际应用。
它不仅适用于赌博游戏，还可以用于金融风险管理、医学统计学、信息论等多个领域。
在实际应用中，我们可以根据切比雪夫准则来估计随机变量的分布范围，从而更好地制定决策和评估风险。
除了切比雪夫最大最小误差定理之外，还有其他一些衡量随机变量分布离散程度的方法，比如标准差、方差、熵等。
不同的方法适用于不同的场景，我们需要根据具体情况选择合适的方法进行分析。
第二篇示例：切比雪夫最大最小误差定理是概率论和统计学中一个非常重要的定理，它可以用来度量一个随机变量与其均值之间的差异程度。
第一类切比雪夫多项式
第一类切比雪夫多项式第一种的切比雪夫多项式是一组正交多项式定义解决方案切比雪夫微分方程和表示。
他们是作为一个近似最小二乘适合,的一个特例盖根堡多项式与。
他们用三角也密切相关多角度的公式。
第一类切比雪夫多项式表示和实现Wolfram语言作为ChebyshevT[n x]。
归一化,这样。
最初几个多项式上面和,2,…5。
第一种的切比雪夫多项式可以定义的围道积分(1)轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken 1985,p . 1985)。
最初几个第一类切比雪夫多项式(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)命令从最小到最大的权力时,三角形的非零系数是1;1;,2;4,18;5、16岁……(OEIS A008310).一个美丽的情节可以通过策划径向,增加每个值的半径,并填写曲线之间的区域(Trott 1999,pp。
10和84年)。
切比雪夫多项式的第一种定义的身份(9)切比雪夫多项式的第一种可以获得的生成函数(10)(11)和(12)(13)为和(分为et al . 1972,15项)。
(密切相关生成函数的定义的基础吗第二类切比雪夫多项式.)一种是直接表示(14)中定义的多项式也可以总结(15)(16)(17)在哪里是一个二项式系数和是层功能,或产品(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。
也满足好奇行列式方程(19)(1986年纳什)。
第一种的切比雪夫多项式的一个特例雅可比多项式与 ,(20)(21)在哪里是一个超几何函数(Koekoek 和Swarttouw 1998)。
0时(22)为2……。
极值出现的(23)在哪里。
在最大,,至少, .切比雪夫多项式是正交多项式关于权重函数(24)在哪里是克罗内克符号。
第一类切比雪夫多项式满足额外的离散的身份(25)在哪里为 , ...,是0的 .他们也满足递归关系(26)(27)为,以及(28)(29) (沃特金斯和蔡Rivlin 1993;1990年,p . 5)。
切比雪夫不等式
（切比雪夫不等式）一般指切比雪夫定理设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα )存在，a>0，则不等式成立。
这叫做切比雪夫定理，或者切比雪夫不等式。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数±m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内 [2] 。
切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件概率作出估计。
[3]定理设随机变量X具有数学期望，方差则对任意正数ε，不等式或成立。
注意：应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。
若对于任意的ε>O，当n很大时，事件“”的概率接近于0，则称随机变量序列{X n}依概率收敛于a [4]。
正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。
所以，依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法，记为。
[3]切比雪夫定理设X1，X2，…，X n，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(X i)和方差D(X i)都存在(i=1，2，…)，且D(X i)<C(i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0，有特别地：X1，X2，…，X n，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(X i)=μ和方差D(X i)=σ2(i=1，2，…)，则对任意给定的ε>0，有即 [3]切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了理论根据．设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，X n是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1，X2，…，X n的试验数值，并且有同一数学期望a。
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数学中的切比雪夫逼近与最小二乘数学中的切比雪夫逼近与最小二乘是两种常见的函数逼近方法。
它
们在实际问题中的应用广泛，并且在数学领域有着重要的理论基础。
本文将分别介绍切比雪夫逼近和最小二乘的基本原理和应用，并且对
二者进行比较分析。
一、切比雪夫逼近
切比雪夫逼近是一种基于切比雪夫多项式的函数逼近方法。
切比雪
夫多项式是指满足以下条件的多项式：
$$T_n(x) = \cos(n\arccos(x))$$
其中，$n$ 是多项式的阶数，$-1\leq x \leq 1$。
根据切比雪夫逼近定理，对于任意给定的函数 $f(x)$，在闭区间 $[-1,1]$ 上存在一个切比雪夫多项式 $P_n(x)$，使得在该区间上的切比雪
夫范数最小：
$$\|f(x)-P_n(x)\|_{\infty} = \min_{T_n(x)} \|f(x)-T_n(x)\|_{\infty}$$
其中，$\| \cdot \|_{\infty}$ 表示切比雪夫范数，即函数的最大差值。
切比雪夫逼近方法的优点是可以在给定的误差限下找到最优逼近多
项式，并且能够保证逼近误差在整个区间上得到均匀分布。
但是该方
法在实际计算中由于多项式的高阶会导致计算量较大，同时由于切比
雪夫多项式在区间端点处存在震荡现象，因此需要额外加工边界条件。
二、最小二乘法
最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来求取逼近函数的方法。
给定一组数据点 $(x_i, y_i)$，其中 $x_i$ 是自变量，$y_i$ 是因变量，我们希望找到一个函数 $f(x)$，使得在这些数据点上的误差最小。
最小二乘法的目标是使得残差平方和最小：
$$\min \sum_{i=1}^{m} (y_i - f(x_i))^2$$
最小二乘法的解可以通过求解线性方程组来得到。
具体地，假设函数 $f(x)$ 可以表示为一个多项式形式：
$$f(x) = \sum_{j=0}^{n} a_j x^j$$
其中，$n$ 是多项式的阶数，$a_j$ 是待求系数。
带入数据点 $(x_i, y_i)$，可以得到一个线性方程组：
$$\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2 &
x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_m & x_m^2 & \cdots & x_m^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix}$$
通过求解上述线性方程组，可以得到多项式的系数，并且满足最小二乘法的要求。
最小二乘法适用于各种类型的函数逼近问题，并且具有良好的数值稳定性。
三、切比雪夫逼近与最小二乘法的比较
切比雪夫逼近和最小二乘法都是常见的函数逼近方法，但在具体应用中存在一些差异。
首先，在计算复杂度方面，切比雪夫逼近需要求解切比雪夫多项式的系数，而最小二乘法需要求解线性方程组。
一般情况下，最小二乘法的计算复杂度较低，特别是当多项式的阶数较高时。
其次，在逼近效果方面，切比雪夫逼近能够在给定的误差限下找到最优逼近多项式，并且逼近误差在整个区间上均匀分布。
最小二乘法则是通过最小化残差平方和来确定逼近函数，在数据点附近的逼近效果较好。
最后，在数值稳定性方面，最小二乘法更加稳定，对于数据中的噪声和异常值相对较为鲁棒。
而切比雪夫逼近对于数据的分布情况较为敏感，需要注意选择合适的切比雪夫多项式阶数和区间。
综上所述，切比雪夫逼近与最小二乘法都是重要的函数逼近方法，在数学中有着广泛的应用。
选择合适的方法需要根据具体的应用场景和要求进行综合考虑。
无论选择哪种方法，在实际问题中都需要注意数值计算的稳定性和逼近效果的准确性。