函数定义域、值域、解析式习题及答案

函数定义域、值域、解析式习题及答案

一、求函数的定义域

1、求下列函数的定义域：

⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$

先求分母的取值范围，$x+3\neq 0$，$x\neq -3$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。然后考虑分子的取值范围，$x^2-2x-15$的值域为$(-\infty,-16]\cup [3,\infty)$，$2x-1$的值域为$(-

\infty,\infty)$，$4-x^2$的值域为$[-4,\infty)$。因此，$y$的定义域为$(-\infty,-3)\cup (-3,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty)$。

⑵ $y=1-\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-4}$

先求分母的取值范围，$x^2-4\neq 0$，$x\neq \pm 2$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。然后考虑分子的取值范围，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$。因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。

⑶ $y=x+1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}}$

先求分母的取值范围，$x-1\neq 0$，$x\neq 1$；$4-

x^2\neq 0$，$x\neq \pm 2$。然后考虑分母的值域，

$1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}>0$，即$\frac{2x-1}{x^2-4}>-\frac{1}{x-1}$。因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-

2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。

4）$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2}$的定义域为$(-\infty,-

\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},3)\cup (3,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$。

5）$f(x)=2x-9$的定义域为$(-\infty,\infty)$。

6）$f(x)=x+1-\frac{1}{2-\frac{x}{x+1}}=\frac{x^2+2x-

1}{x^2+x-2}$的定义域为$(-\infty,-1)\cup (-1,-2)\cup (2,\infty)$。

7）$y=\frac{x}{2-x}$的定义域为$(-\infty,2)\cup (2,\infty)$。

2、设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，则函数$f(x+1)$的定义域为$[1,2]$。

函数$f(x-2)$的定义域为$[-2,-1]$。

若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域是$[-\frac{3}{2},2]$；函数$f(-2)$的定义域为$[-1,0]$。

f(x+1)$的定义域为$[1,2]$，则$f(x)$的定义域为$[0,1]$，$f(x+1)$的定义域为$[2,3]$，则$f(x+2)$的定义域为$[1,2]$。因此，$f(x+2)=f((x+2)-1)$的定义域为$[0,1]$。

f(x)$的定义域为$[-1,0]$，则$f(x+1)$的定义域为$[0,1]$，$f(x+1)=f((x+1)-1)$的定义域为$[-1,0]$。

4、$f(x+1)$的定义域为$[1,2]$，因此$f(x)$的定义域为$[0,1]$。

5、$f(x+1)$的定义域为$[-1,0]$，因此$f(x)$的定义域为$[-2,-1]$。

二、求函数的值域

5、求下列函数的值域：

⑴ $y=x+\frac{2}{x-3}$，$x\in R\backslash \{3\}$

当$x\rightarrow \pm \infty$时，XXX；当$x\rightarrow

3$时，XXX因此，$y$的值域为$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3},\infty)$。

⑵ $y=x+\frac{2}{x-3}$，$x\in [1,2]$

当$x=1$时，$y=-\frac{1}{2}$；当$x=2$时，XXX因此，$y$的值域为$[-\frac{1}{2},4]$。

⑶ $y=\begin{cases} 0.& x<5 \\ \frac{x}{x+1}。& x\geq 5 \end{cases}$

当XXX时，$y\rightarrow 1$；当$x\rightarrow 5^+$时，

$y\rightarrow \frac{5}{6}$。因此，$y$的值域为$[0,1]$。

5）$y=x-1-2x=-x-1$，$x\in [-1,3)$。因此，$y$的值域为$[-4,0)$。

6）$y=-x+4x-1=3x-1$，$x\in [-1,3)$。因此，$y$的值域为$[-4,8)$。

三、求函数的解析式

1、$2f(x+1)+f(x-1)=2x-4x$，即$2f(x)+f(x-2)=2(x-1)-4(x-

1)$，令$t=x-1$，则$2f(t+1)+f(t-1)=2t-2$，即$2f(t)+f(t-2)=2t-6$。解得$f(t)=t^2-t+2$，因此$f(x)=(x-1)^2-(x-1)+2=x^2-3x+3$。

2、设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$2f(x)+f(-x)=3x+4$，即

$2ax^2+2bx+2c+ax^2-bx+c=3x+4$。比较$x^2$的系数得

$3a=2a$，即$a=0$；比较$x$的系数得$2b-b=3$，即

$b=\frac{3}{2}$；比较常数项得$2c+c=4$，即$c=\frac{4}{3}$。因此，$f(x)=\frac{3}{2}x+\frac{4}{3}$。