线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结
第一章行列式
二三阶行列式
N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a j n=迟（-1）"" "a ij i a2j2...a nj n j l j2 j n
（奇偶）排列、逆序数、对换
行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式D=D T）
②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。

推论：若行列式中两行
（列）成比例，则行列式值为零；
推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性
⑤将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变
行列式依行（列）展开：余子式皿厂代数余子式A j =（-1）厲皿耳
定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：
D j
非齐次线性方程组：当系数行列式D式0时，有唯一解：X j =—=1、2……n）
D
齐次线性方程组：当系数行列式D=1^0时，则只有零解
逆否：若方程组存在非零解，则D等于零
特殊行列式:
a ii a i2 a i3 a ii a2i a3i
①转置行列式：a2i a 22 a23 T a i2 a22 a32
a3i a 32 a 33 a i3 a23 a33
②对称行列式：a j = a j i
③反对称行列式：a j = -a ji奇数阶的反对称行列式值为零
⑤上（下）三角形行列式： 行列式运算常用方法（主要）
行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
l
A* B = ( a ik )m*l * (b kj )l*n 二(•— a ik b kj ) m*n
乘法
1
注意什么时候有意义
般AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0
方幕：A kl A k ^ A k1 k2
(A kl )k2 = A kl k2
对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、A+B 、
数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上 （下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵
阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方
是0
a 11 a 12 a 13
④三线性行列式：
a 21 a 22
a 31
a 33
方法：用k022把a 2i 化为零，。

化为三角形行列式
第二章
矩阵
矩阵的概念:
A^n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、
n 阶方阵、相等矩阵）
矩阵的运算: 加法 （同型矩阵）
交换、结合律
数乘 k A = (ka ij )m*n
分配、结合律
转置（A T ）T 二 A
(A Bf = A T B T
(kA)T =kA T
（ABT 二B T A T （反序定理）
几种特殊的矩阵： AB 都是n 阶对角阵
分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置
注：把分出来的小块矩阵看成是元素
逆矩阵：设 A是N阶方阵，若存在 N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的,
'二B（非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵）
初等变换 1、交换两行（列） 2.、非零 k乘某一行（列）3、将某行（列）的
倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆
初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵倍加阵） 等价标准形
矩阵D r =
矩阵的秩r （A ）:满秩矩阵降秩矩阵
若A 是非奇异矩阵，则
初等变换不改变矩阵的秩
求法：1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别：
都是数表；行列式行数列数一样， 矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等, 就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵（ka ij ）^k （a ij ）n ，行列式
逆矩阵注： ①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆; ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若
A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

4、两个可逆矩阵 A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且（AB ）°
但是两个可逆矩阵 A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但（A Bp- A^ B^
A 为N 阶方阵，若|A|=0,则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

5、若A 可逆，则A ，
特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）
\A B “
____ 1
/ _1
_1 _1 \
A _A BC
则D =
2 C 丿
<O
c ，丿
1、分块矩阵D 二
若A 可逆，则满秩
r （ AB ）=r （ B ）
ka j
二 k n a j
矩阵的逆矩阵满足的
运算律：
1、可逆矩阵 的逆矩阵也是可逆的，且 （A‘）‘二A
2、可逆矩阵 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且（kA ）'
3、可逆矩阵
的转置A T 也是可逆的，且（A T ）」=（A ，）T
伴随矩阵：A 为N 阶方阵，伴随矩阵:
Al
AI2
A 21 A 22
（代数余子式）
3、
判断矩阵是否可逆：充要条件是 A = 0，此时A 」=-1 - A *
'1
IA
求逆矩阵的方法：
定义法AA J = I
初等变换法 A|l n = I n I A 」
只能是行变换
初等矩阵与矩阵乘法的关系 ：
设A = a j m*n 是m*n 阶矩阵，则对 A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等 于用同等的m 阶
初等矩阵左乘以 A:对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种 n 阶初等矩阵右乘以 A (行变左乘，列变右乘)
第三章线性方程组
消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵T 简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n 时，有唯一解；当 r^n 时，有无穷多解 r(AB)式 r(B)，无解
齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A)<n 当齐次线性方程组方程个数 <未知
量个数，一定有非零解
当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要 |A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个
N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。

希腊字母表示(加法数乘)
特殊的向量：行(列)向量，零向量 0,负向量，相等向量，转置向量 向量间的线性关系：线性组合
或线性表示
%
A
1 A/J
,则 A_ =
1
A 3
A3
A 4
<
A4
」
2、准对角矩阵A =
4、
* 1
A = AA (A 可逆)
AA = A A= Al
5、 A=|A
n -1
6、
A *—
AA
(A 可逆)
7、
* T T *
(A ) =(A T )
8、
* * *
AB B A
伴随矩阵法A 亠
向量组间的线性相关（无）：定义R79
向量组的秩：极大无关组（定义P188）
定理：如果：“，：」，..... 〉人是向量组〉1,〉2, ........... S的线性无关的部分组，则它是
极大无关组的充要条件是：：站，用2,:- s中的每一个向量都可由•"订，：」？，〉j线性表出。

秩:极大无关组中所含的向量个数。

定理：设A为m*n矩阵，则r（A） = r的充要条件是：A的列（行）秩为r。

现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系
线性组合或线性表示注：两个向量a 0若G =k B则a是B线性组合
单位向量组
任意向量都是单位向量组的线性组合
零向量是任意向量组的线性组合
任意向量组中的一个都是他本身的线性组合
向量组间的线性相关（无）注：n个n维单位向量组一定是线性无关
一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性
相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关
向量0可由S ,a2,.u n线性表示的充要条件是r（0（「0（2丁「）=「（口「0（2丁..心「B T）
判断是否为线性相关的方法：
1、定义法：设k,k2....k n，求k1k2....k n（适合维数低的）
2、向量间关系法P|83 :部分相关则整体相关，整体无关则部分无关
3、分量法（n个m维向量组）P i80 :线性相关（充要）=r（〉i T〉2T....〉n T）：：：n
线性无关（充要）=r（〉i T〉2T...；n T）二n
推论①当m=n时，相关，则A i T c（2T cf3T| =0 ;无关，则i T a2^3^0
②当m<n时，线性相关
推广：若向量：、，—,...—组线性无关，则当s为奇数时，向量组匕2」2也3,...〉s‘6
也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。

定理：如果向量组：>「2，...—，1线性相关，则向量：可由向量组：'1/'2,..?s线性表出，且
表示法唯一的充分必要条件是、冷，用2,…〉s线性无关。

极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；
不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量
组与其极大无关组是等价的。

齐次线性方程组（I ）解的结构：解为宀，〉2…
（I）的两个解的和宀卜土2仍是它的解；
（I）解的任意倍数k＞还是它的解；
（I）解的线性组合c^： 1 2 .... s也是它的解，C i,C2,...C s是任意常数。

非齐次线性方程组（II ）解的结构：解为叫』2…
（II ）的两个解的差叫-^2仍是它的解；
若）是非齐次线性方程组 AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是（II）的一个解。

定理：
如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r（A）二r ::: n，则该方程组的基础解系存在，
且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。

若」是非齐次线性方程组 AX=B的一个解，v是其导出组 AX=O的全部解，则u+v 是（II）的全部解。

第四章向量空间
向量的内积实向量
定义：(a, 3) ^P^a1t i +a2b2 +...<H a n b n
性质：非负性、对称性、线性性
(a,k 3)=k( a 3)；
(k a,k3)=k2( a 3)；
(a+ 3 ' ; )=( a )+( a、•)+( 3, )+( 3);
r s r s
a,0,Y,6 乏R n
e k i：「Tj [)八k「TjC i, <)
i =1j =1i d j =1
向量的长度
=0的充要条件是
a=0 ； a 是单位向量的充要条件是（a, a ） =1
单位化 向量的夹角
正交向量:
a3是正交向量的充要条件是（ a, 3） =0
正交的向量组必定线性无关
正交矩阵： n 阶矩阵A
AA T 二 A T A=I
性质：1、若A 为正交矩阵，则A 可逆，且 A 」=A ，且A^也是正交矩阵; 2、 若A 为正交矩阵，则 A = ±1 ；
3、 若A 、E 为同阶正交矩阵，则AE 也是正交矩阵；
4、 n 阶矩阵A=（ a ij ）是正交矩阵的充要条件是A 的列（行）向量组是
标准正交向量；
第五章 矩阵的特征值和特征向量
特征值、特征向量
A 是N 阶方阵，若数入使AX= X X ，即（入I-A ） =0有非零解，则称 九为A 的一 个特征值，此
时，非零解称为
A 的属于特征值丸的特征向量。

|A|= ‘1* '2*...'n 注：1、AX= ■ X
2、求特征值、特征向量的方法
入1 —A =0求人 将九i 代入（九I-A ） X=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）
4、特征值：若■ C - 0）是A 的特征值 则A 4 则A m 则kA
特殊：（’l）n 的特征向量为任意 N 阶非零向量或
:（C i 不全为零）
k‘
2
若A =A 则
=0或1
若A =I 贝V ------- ■ =-1 或 1
k
若A =0 贝U ------- ■ =0
迹 tr(A):迹(A) = a^ + a22+- _____________________ + a nn
性质：
1、 N阶方阵可逆的充要条件是 A的特征值全是非零的
2、 A与A二有相同的特征值
3、 N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关
4、 5、 P281
相似矩阵
定义P283: A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵 P,满足P’AP二B，则矩阵A与B 相似，记作A~B 性质1、自身性：A~A,P=I
2、对称性：若A~B 则B~A P‘AP=B A = PBP ' (P-1)‘BP‘=A
3、传递性：若A~B、B~C 贝U A~C P^AR = B F2」BF2 = C - --(PPD'A(PB)=C
4、若AB，则A与B同(不)可逆
5、若A~B，贝U A」~ B」P’AP二B两边同取逆，P’A’P二B，
6、若A~B，则它们有相同的特征值。

(特征值相同的矩阵不一定相似)
7、若A~B，则r(A)=r(B) 初等变换不改变矩阵的秩
」“ 100 100 .1
例子：P AP =B 则A 二PB P
P ‘AP 二O A=O
p‘AP=l A=I
P‘AP = ' I A= I
矩阵对角化
定理：N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无关的特征向量
注：1、P与人中的为与、顺序一致
2、A~A,则A与P不是唯一的
推论：若n阶方阵A有n个互异的特征值，则A~A ( P281) 定理：n阶方阵A~A的充要条件是对于每一个K i重特征根，都有
r ( ■ i I - A) = n _ K j
注：三角形矩阵、数量矩阵I的特征值为主对角线。

约当形矩阵
剋1 约当块：形如J = 1
九1的n阶矩阵称为n阶约当块;
约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵称为约当形矩阵。

J i
J = J2 (J i是约当块)
定理：任何矩阵 A都相似于一个约当形矩阵，即存在n阶可逆矩阵P」AP
第六章二次型
二次型与对称矩阵
只含有二次项的n元多项式f()称为一个n元二次型，简称二次型。

标准型：形如
的二次型，称为标准型。

规范型：形如的二次型，称为规范型。

线性变换
矩阵的合同：设 AB是n阶方阵，若存在一个 n阶可逆矩阵C,使得则称的，记作A B。

合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、
化二次型为标准型：配方法、做变换(二次型中不含有平方项)
A与B是合同
.行列式的定义和性质
答案B
2•行列式按一行或一列展开的公式
n
n
1) A = a j * =》a j A j , j =1,2HI l n ；( A = a j L =》a j A j , i = 1,2」| | n )
i=1
j =1
例2设某3阶行列式的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1则此行列式的值 为 ___________ . ________
测试点 行列式按行(列)展开的定理 解 D =(-1) A 21
2A 22
3他=(-1)(-1)21M 21
2(-1)2 2M 22
3(-1)2 3 M
23
--3-4 -3 - -10
例3已知行列式的第一列的元素为 1,4,-3,2，第二列元素的代数余子式为
2,3,4, x 问x =__
测试点
行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零
•
解因第一列的元素为1,4, -3,2，第二列元素的代数余子式为 2,3,4, x ,故1 2 4 3 ^3) 4 2^ 0
所以x = -1
第一章行列式
1
-1 1
1 -1 1 -1 0 1 =—
0 -1 2 1
-1 0
0 0
-1
--1 ,A 21 =(-1)21皿21 =-
1.余子式
M ij 和代数余子式
A j 的定义
例1行列式 第二行第一列元素的代数余子式
A. —2
B. -1
C. 1
D.
测试点
余子式和代数余子式的概念
解析 2)
£a j A k 屮 y
3.行列式的性质
1) A = A
2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的k倍.推论
3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论
4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.
5）行列式可以按任一行（列）拆开 6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等
a11 a12 a13
例4 已知a21 a22 a23 =3,
a31 a32 a33
A. -24
C.
测试点行列式的性质
2a11 2a12 2a13 解析a21 a22 a23
_2a31 _2a32 _2a33 答案B 2a2a12 2a13
那么a21 a22 a23 =(
_2a31 -2a32 一2a33
B. -12
D. 12
a11 a12 a13
= 2"-2) a21 a22 a23 = -12.
a31 a32 a33
例 5 设行列式a1 b1=1，a1° =2,则a1 6 +G =(
a 2 b? a 2 C2 a 2 b? +C2
A.-3
B. -1
C. 1
测试点行列式的性质
◎a1 b1 +a1 q
a2 b2 +C2 a2 b2 a2 C2
故应选D
答案D
二.行列式的计算
1.二阶行列式和三角形行列式的计算•
2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算3•对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开
4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型
5.范德蒙行列式的计算公式
D. 3
例6求4阶行列式的值.
1111
x a a a 例8计算行列式：
a x a a a a x a a a a x
测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧
=(x +3a)(x _a)3.
a b 0 III 0 0
0 a b III 0 0 例9计算行列式D n =
0 0
a III 0 0
F
I-
h
¥ I- 卜
0 0
0 川 a b
b 0
0 川 0 a
测试点
行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算
123 23 3 249 49 9 367
67 7 例7计算3阶行列式
123 23 3
100 23 3
100
20 3
解 249 49 9
=200 49 9
——
200
40 9
⑴十」)(2)
⑵殆)(3)
367 67 7
300 67 7
300 60 7
-0.
x a a a
x+3a a a a
x + 3a a a
a a x a a x+3a x a a
0 x-a 0
a a x a x+3a a x a
0 x -a 0
a a a x
x+3a a a x
000 x —a
D
测试点 行列式的计算
1114
0 —3 = (-3)
2
=6
a b 0 III 0 0
0 a b III 0 0 解Dn =
0 a III 0 0
I 1-
+
4 4
q
r
4
+
q
i
q
■
0 0 III a b
b
0 0 III 0 a
n 十
n n n
=aA bA =aM + b^1)n M a n (T)n b n
16
⑵因为 D(x) =(2 -x)(3 -x)(4 -x)(3 -2)(4 -2)(4 -3)
所以方程D （x ） =0有三个根：x , =2,x 2 =3,x 3 =4.
第二章 矩阵
一、 矩阵的概念
1. 要弄清矩阵与行列式的区别
2. 两个矩阵相等的概念
3. 几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵） 二、 矩阵的运算 1.矩阵A , B 的加、减、乘有意义的充分必要条件
C. BAC
测试点： 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案：B
例1设矩阵A =(1,2), B - I 3
A. ACB
B. ，则下列矩阵运算中有意义的是（
ABC 例10计算行列式
D 6 =
III
III
解 D 6
III III
例11设D(x)
16 问（1） D (x )中, 测试点
解（1） III
III III III
III
III (1—(6)
(2) —(5)
⑶一⑷
(-D 3
III III
27 64
x 3项的系数=?（ 1.范德蒙行列式的判别和计算公式
x 3项的系数二几4=（-1）5 * =—6!
方程D （x ） =0有几个根？试写出所有的根。

2行列式按行（列）展开的定理.
--(3-2)(4 -2)(4 -3) - -2 D. CAB
‘1 2 0、z2 0 0 ‘3 2
解A+2B = 2 1 0 +0 4 2 = 2 5 2
<0 0 b <0 2 6> 卫27」
B J2〔则A T B =
A T
B =(1,2)
勺20、q 0 0
例2设矩阵A = 2 1 0 ,B = 0 2 1 ，贝U A +
<0 0 b e 13
测试点：矩阵运算的定义
测试点：矩阵运算的定义
2 •矩阵运算的性质
例3设矩阵A ="
比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结
合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点•
((A_B )2 = A2+AB BA B2;(A B)(A - B)二A2+BA - AB - B2;
(AB)k = ABABIHAB = A k B k; (A_ E)2二A2_2A E
_1 1 1 _2 2 1
如果AB=O，可能A式0,B^0.例如A=] ,B = ] i都不为零，但AB = O •
1-1 -1一2 -2一
3.转置对称阵和反对称阵
1)转置的性质
(A _B)T=A T_B T； ( ■ A)T=■A T；(ABC)T=C T B T A T
2)若A T二A(A T - -A)，则称A为对称(反对称)阵
例4矩阵A, B,C为同阶方阵，则(ABC)T =( )
A. A T B T C T
B.C T B T A T
C.C T A T B T
D.A T C T B T 答案：B
例 5 设:=(1,2,3)J =(1,-1,1),令A 八“，试求A5.
测试点矩阵乘法的一个常用技巧
（1解因为A =口丁3 = 2 -1 1
-2 2 ,所以-3 3丿」
A -
：T （［；『）（［；：J ）（F ：J ）（F ：J ）：
5
答案B
测试点方阵多项式的概念；
_3A+2E = |1 一1][1
_1L3『
|t_2 3 ||_2 3 |[2
4. 方阵的行列式的性质
例7设A 为n 阶方阵，认为实数，则kA =（
A. ■ A C. T A
答案：C
=(l T )5:T :二[(1,-1 =25 -2
n -1
2 =32
3
-2
1〕 2 .
3
j 答案 32 2 ：3
-1 1 -2 2 . -3 3 例6A 为任意 n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ A. A A T B. A-A T c. AA T D. A T A 解析 （A A T ）T 二A T (A T )T 訣 A 二 A A T . 故A A T 为对称阵. (A-A T )T -A - A = -(A-A).故A-A 为反对称阵.
（AA T ）T =AA T .故AA T 为对称阵.同理A T A 也为对称阵.
例7已知矩阵A 」一1,
：2 3 J
E 为2阶单位矩阵，令B = A 2 - 3A • 2E,求B
T+2〕1 0l 3 一 ]0 1 _
；-1 ；3 ^8
7 ]〔6
-3 2 0 J-2
c 5 cTc
]0 2 一 _2
A T
KA=丸 A ;
AB = Al B ;
D.
A - ：T （［；『）（［；：J ）（F ：J ）（F ：J ）：
5
例8矩阵A =
2
，则行列式
A T
B )
准对角阵的逆矩阵：
如果 A ’AJH'A.都是可逆阵，则
5. 逆矩阵
1）方阵A 可逆（也称非异，A 满秩）的充分必要条件是 A =0.当A 可逆时,
[a b 『 1 [d -bl g d _ ad —be -—c a _
重要公式
n .1 2 3
仅知A = 0结论不一定成立。

）
6. 分快矩阵
矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩
阵和子块的运算）如
眄严宀小宀風〕；
A 21
B 1 + A 22 B 2 + A 23 B 3 _
分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置
A11 A12
川 Ak T '
A 11 A21 川 Am1 A 21
A 22
+
F
+
9
川
A 2k ・ ■
—
A12
A22
川
Am2
+
1
F
1
+
F _A m1 Am 2
4
+
川
Am —:
+ i r
1
A1k A 2k HI Amk -
2 重要结论：若 n 阶方阵A , B 满足AB 二E ，则A ,B 都可逆，且 A ，二B , B 」=A .
3 逆矩阵的性质： 解析 A T B - = A B-
1 1
= A B =(_2)两
其中方阵 A 的伴随阵A”的定义A =
A 21
III Am] A22 1-
卜
j II An2 +
4
・
i
F
An
III Ann
1 1
(A )二 A;;当■ -0 时,
, -11-1 -1 -1-1
(■ A) A ;(AB) = B A ；
（A T
）」 =（A ’）T
； A
-j
1 A .
4）消去律：设方阵 A 可逆，且 AB = AC （ BA 二 CA ），则必有 B 二 C .
（若不知A 可逆,
特别
当 ad -be = 0 时,
_Bj ,B = B 2
且」
A = A 11
A 2 A 3
IL A21
A 22
A 23 A i
A 12
A
■A .
O III O [-- A 」O III
O 1 O + + A2 + 川O
+ +
— O + A T
q III h O F
+
+ O
4
+
川Ak 」
1 1
+ O
R O
+ III
Ak\
a
b
例9二阶矩阵A =
，则 A =(
)
<c
d 」
A .
广d —b '
I
B
.
C c a 丿
Jd b 、
C.
<c
I
-a 丿
D .
测试点
伴随矩阵的定义
,二阶方阵的伴随阵
答案 :A
-d c <b
_a
z d
— c'\
1
C b a 丿
q 0 例10三阶阵A = 2
2 &
3 0
0，贝U AA = 3丿
测试点重要公式
AA = A^A = A E .
6 0 0
答案6E = 0 6 0
0 0 6 一 ‘2 0 0、
例 11 A = 3 6
3，则 =
“
* 34 2
解
A 〔=|A
=6 =36
1 3_
-
J
2
1 2
A. 2
1
B.
_3 4
1 2彳
C. 2
1
D.
_3 4
解 由
2 ',所以
2A=『
"
〔3 4」
[3 4 一
故A
』1
2 3
2『 4
答案 D
测试点逆矩阵的性质 1 1
2 |(
3 2144
1 0 1
—5
测试点求逆矩阵的方法
5 0 1 1 0 0 ⑵ +(- 2)(1) n 0 1 1 0 0" I AE ]=
2 1
0 1 0 (3)+3(1)
----------- 、
1 -
2 -2 1 0
-3 2
-5 0 0 b
<0 2 -2
3
0 b
所以A 」
IL 2
解 由 A 2 —2A —8E =0 得 A 2 A —3A — 3E -5E =0，即（A E ）（A — 3E ） =5E ,
（A-3E ）
丄 1
即（A E ）
E ，故（A E ） （A-3E ）.
5 5
1
答案（A E ）‘ （A -3E ）.
5
例15设A 是n 阶方阵，且（A • E）2 =0，证明A 可逆. 测试点 若AB 二E 则A,B 都可逆，且A 4 =B,B 4 = A. 证 因为（A • E）2 =0,即 A 2 2A ^0,所以-A （A 2E^ E 故A 可逆，且A° =「（A 2E ）.
例16设n 阶方阵A 满足A” = O ，其中m 为正整数，证明E - A 可逆，且
j 0 1 1 0 02⑶
1 0 1 1 0 0 0 1 -
2 2 1 0
1 -2
-2 1 0
—
?
'0
2
7
-2
1
一
0 0
1
7 -1
1
-
2
2
⑶（观）、
注意 定要验算 例14 已知 A 2 -2A-8E =0,则(A E)4 测试点 关于逆矩阵的重要推论 若A,B 都是n 阶矩阵，且满足 AB=E n ,则A,B 都可逆，且A’ B,B‘ =A.
例13设A =
（E _A ）」二 E A A^H A mJ
分析 只要检查（E - A ）（E A A^H A m -^E 即可 证因为 （E -A ）（E A A 2 A mJ ）二
=E _ A A _ A 2 A 2 _ 屮 _ A m
二 E 一 A m = E .
故 （E - A ）」二 E A A 2 IH A mJL
三、矩阵的初等变换和初等矩阵 1 •初等变换的定义和性质
称矩阵的下列三种变换为初等行变换： （1） 两行互换；
（2） 某一行乘一个非零的数； （3） 某一行的k 倍加到另一行上。

类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换
方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）
初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换 必能将矩阵 A 化为标准形 Er 0 ，其中r 为矩阵A 的秩.
9 o 」
如果矩阵A 经过有限次的初等变换变成 B,则称矩阵A 与B 等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标
准形.
2.初等矩阵的定义和性质
1） 初等矩阵的定义；初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵 •
2） 初等变换和矩阵乘法之间的关系
3）
对任意m 汉n 阶矩阵A ，总存在一系列 m 阶初等阵p,F 2，|||,P k 和一系列n 阶初等阵Q 1,Q 2J||,Q l ，使得
4）矩阵m n 阶A 与B 等价的充分必要条件是存在一系列
Q 1.Q2JH.Q 1,使得 PP2IHRAQQ2IIIQ =B.
例17下列矩阵中，是初等矩阵的为（
）
PP 2 山P k AQQHQ
"E r 0【 Jo 0 一
m 阶初等阵P,F 2,IH,P k 和一系列n 阶初等阵
■10〕■0
A. B. —1
0 0
-0 1 -1 0 1 0 1
1 0 0 C.
10
1 0 1 一
测试点初等矩阵的定义和性质
1
0 0
解析C.
1 0是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。

1 0 1
答案C
测试点矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系 答案B
四、矩阵的k 阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法 1矩阵的k 阶子式的概念
2矩阵秩的概念 定义O 矩阵的秩为0，对于非零矩阵 A ，如果有一个r 阶子式不等于0,而所有的r 1阶子 式（如果有的话）都等于 0,则称矩阵A 的秩为r .显然n 阶可逆矩阵的秩等于 n ,故可逆阵又称是满秩的.阶
;从而矩阵A 左乘（右乘）可逆阵其秩不变 .反之两个
）
所有2阶子式都为零
-
a 11
_2a 31
a 12 — 2a 32
a 13 — 2a 33
PA =
a 21
a 22 a 23 ,则P =
a 31
a 32
a 33
貝1
a 32
a 33 0 1 0 D. 0
0 3
1 0 0_
a 11
例18设三阶矩阵A= a
a 12 a 22 a 13
a 23 ,若存在初等矩阵P ,使得
1
0 0 A. 0
1 0
B.
-2 0 1一
_1 0 -2 ]
■ 1 0 0]
0 1 0
C.
-2 1 0 ]0 0 1 一
0 0 1 J
D.
1 -
2 0
0 1 0 0
1一
梯形矩阵的秩等于其非零行的个数
.
3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩） 同形矩阵只要秩相等，则二者必等价 .
4. 求矩阵秩的方法
1 0 -1 0、 例19设矩阵A =
0 -2 3 4 ，贝U A 中
（
<0 0
5
A.所有2阶子式都不为零
B.
C.所有3阶子式都不为零
D
存在一个3阶子式不为零测试点矩阵的k阶子式的概念答案D
1
广1 0
例20设矩阵A = 0 2
卫0
测试点矩阵秩的概念
0 0 1 解 B = A -E= 0 1 0
0 0 0_ 答案r(B)=2
广1 2 例21设矩阵A = 4 8
<3 6-1 3 '
-4 12 ，问a为何值时, —3 a
(1)秩(A) =1 ;
(2)秩(A) =2.
测试点求矩阵秩的方法
n 2 -1 3、⑵ D(1) j 2 -1 3 1■1 2 -1 3〕解 A = 4 8 -4 12 0 0 0 0 T0 0 0 a — 9
<3 6 -3 a」0 0 0 a —9 0 0 0 0」所以
当a =9 时,秩(A) =1 ;当a=9 时,秩(A)=2
例22设A为m K n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B二AC的秩为
测试点用可逆矩阵左(右)乘任意矩阵A,则A的秩不变.
答案r
例23设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为( )
q 1 1■q 1 1、
A. 0 0 0
B. 0 1 1
卫0 0 J 卫0 0 ；
■Z1 1 1 x■Z1 1 1'
C. 2 2 2
D. 2 2 2
2 0 0 ^
3 3
答案 B
测试点矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价解因为A,C,D的矩阵的秩都为1 , B的矩阵的秩等于2.故答案应为B.
0，矩阵B = A_E，则矩阵B的秩r(B)
1五、矩阵方程的标准形及解的公式
AX = B= X = A~B;
BA 」；
A XA 2 =
B = ■2 1、 "1A = ，B =
<5 <2 °」 ，求矩阵方程XA = B 的解X . 例24设矩阵 X =人也2巳 测试点 解矩阵方程的方法 解 X = BA-1 '1 “ -1 -12 5 2 验算！ 例25设代B 均为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵,且满足：AB • E = A 2 • B .若已知A = ■1 0
-1 I
0 ,求矩阵
1
B . 测试点解矩阵方程的方法 解因为 AB ^A 2 B ，故 AB —B =A 2 - E _1 0 -11 ■1 0 0] 一0
0 -1] A —E = 0 2 0 — 0 1 0 = 0 1 0
-1 0 1 一 0 0 1
-1 0
0」
从而(A_E)B =A 2 _E =(A_E)(A E)，又 ,显然A - E 可逆，应用消去律得 0 ■2 0 -11 0
2
验算 AB E 1 '1 0 0]
+ 0 1 0 J .
0 0
订
0 2 0 _3 0 -31 '1 0
广3 0] 一4 0 1
[一
3
-31
4
A 2
B _2
0 ~
2
_2
L-1
0 -1 所以确有 2
AB E B
2
1_
- A
知
已
6
2
例
_4
：-3
-31
-
1
D
O
X 1
-I I I J
阵 O
矩
测试点求矩阵方程的解 解由 AX BX=D_C 得(A B)X=D_C 故 X =(A B)」(D —C)
其中 A B 二 _1 2 ,D -C
-1 1|
第三章 向量空间
一、n 维向量线性运算的定义和性质
；
例 1.已知：1 一5： 2 2： 3 二-其中，：1 = (3,4,-1),： 2 =(1,0,3), —(0,2, -5), 贝y a 3 = . 测试点 n 维向量线性运算的定义和性质 解因为訂-5 2
2-.=-,所以
IA B D —C I- _1 2 1 -1 1 0 3
-2
_1
—2—1 -3 1]
__ 1-1 1 0 -2 1
10-10-
-2 -3-5
T ︱I
1 O-
-35
1 1 —2
1
-1
3-2
1 7
5
：T 4("-：T 5T ^2[
-1
一 0] -3 1
■1]
1
2
—
4 +
5 0 ]= -1
7
-1
一
I i
3
11 .2
11
*（1一2）（请验算）
测试点向量由向量组线性表示；组合系数的求法 解考虑 为一可-X 2J 2 '花-S 厂- 该线性方程组的增广矩阵
二、n 维向量组的线性相关性 1 •向量组的线性相关性的定义和充分必要条件: 1）定义：设：1/-2JIL : m 是一组n 维向量•如果存在m 个不全为零的数
‘1〉1「2—川」m 〉m =0,
则称向量组r,〉2J",〉m 线性相关，否则，即如果
’十」'2〉2 'm 〉m =°，必有
，1 =，2 =川='m
= 0，则称向量组＞1,二2,1",线性无关.
2） m 个n 维向量〉1」2,IH,〉m （m_2）线性相关的充分必要条件是至少存在某个
:i 是其余向量的线性组合
即〉1」2,IH 」m （m -2）线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合 例3设向量组〉1,〉2,IH,〉S 线性相关，则必可推出（ ）
A 〉1,〉2,HI 」S 中至少有一个向量为零向量 B. -：»,為2，川，％中至少有两个向量成比例
C 〉1,〉2,III 」S 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
答案
：3 =(1,-1,口).
2
设向量：i =（1,1,1） ,： 2 二（1,1,0） ,3= （I,。

,。

），-二 （0,1,1）则0由a 1^-2^-3线性表出的表示式为
2, 所以
答案
一1 1 1 0]
_1 110 1
——0 (
1 0 0 1 一
-1 01 1 T
1
■1 1 1 0〕
j 1 0 11
■1 0 0 1〕
1 1
-1 ---- > 0 1 0 0 ---- > 0 1 0
0 卫 0 1 一1 一
L 0 0 1
-k
L 0 0 1
-1」
-「1 -〉3（验算!）
1 0
-1
D. r ，〉2，HI ，〉s 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 测试点向量组线性相关的概念 答案C
例4向量组：-i^-2JH^ s 线性无关的充分条件是 A.
二”，二込，川，二i s 都不是零向量
B. 〉1,〉2,川，〉s 中任意两个向量都不成比例
c. r, — ,^,-中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合 D. 〉1,〉2,I|I,〉S 中任意s -1个向量都线性无关
|21 都不是零向量，但
a 1 02线性相关.
_2
中任意两个向量都不成比例
，且其中任意3 -1 = 2个向量都线性无关，
但:'1, >2, >3线性相关•故A,B,D 都不正确. 答案C
例5.设向量组:^, :-2线性无关，证明向量组 \ = :■^ ■-■>2, =:^ - :'2也线性无关•
测试点向量组线性无关的定义； 证设 k/^ k 2
因为 「=亠二2, ：2 = ：^ - 2
则 人(：'
：2) k 2
(-：» 7-2)= 0
即
(k 1
k 2
)：［(匕—k 2
)： 2
=0
k +k 2 =0
/
因为G 1/x 2线性无关，故」
，所以只能k^ k^ 0.
］匕-k? = 0
这表明若kj
k 2
=0,必有匕=k 2
= 0.据向量组线性无关的定义，知［,：2
也线性无关
例6.若向量组r =(3,1,a)」2 =(4,a,0), -(1,0,a)线性无关，则a 可能的取值应满足 一— 测试点 n 个n 维向量线性
无关二 相应的行列式-0;
4 1
2
a 0 =-4a + 2a =2a(a-2)式0
T 3
4 1 ⑶十⑺⑴ 3 «3
=
1 a 0 =
1
a 0 a
-2 a
测试点向量组线性相关的概念
充分条件；必要条件；充分必要条件• 解十
1，〉2 解 D = «T
:1
-4a 0
所以a 0,且a = 2. 答案a = 0,且a = 2.
2.关于线性相关的几个定理
1）如果向量组〉1,〉2川1, : m线性无关,而〉1宀,川宀「线性相关,则］可由〉1,〉2川1宀线性表示,且表示法唯一•
2）线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）
3）若向量组:i =（a i,a i2,川©）」=1,2,|||,m线性无关,则接长向量组
■i =（不耳2, ll）,a in,a i（n 1））,i =1,2J||，m
必线性无关.
3 •判断向量组线性相关性的方法
1）一个向量：•线性相关：=:-=0 ；
2）含有零向量的向量组必线性相关；
3）向量个数=向量维数时，n维向量组亠，〉2,lH，〉n线性相关
二A=a111 如=0.
4）向量个数 > 向量维数时，向量组必线性相关；
5）部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）
6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；
7）向量组线性无关二向量组的秩=所含向量的个数，向量组线性相关二向量组的秩 <所含向量的个数；8）向量组〉1」2,||1：\线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组
x r1x2：2川n =0
有（没有）非零解•
例7.设n维向量组〉2川l「m（m - 2）线性无关,则
A.组中减少任意一个向量后仍线性无关
B.组中增加任意一个向量后仍线性无关
m
C.存在不全为零的数匕飞2,川，和，使a “广0
i=1
D.组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出
解析因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组
中减少任意一个向量后仍线性无关
答案A
例8设向量二⑻力,。

），—=（a2,b2,c2）,［二⑻山，"^）, ：2=（a2,b2,c2,d2），下列命题中正确的是
（）
A.若［"鼻线性相关，则必有］,：2线性相关
B•若〉1「2线性无关，则必有-1, -2线性无关C.若：1, 2线性相关，则必有〉1,〉2线性无关
D若U，j线性无关，则必有线性相关
答案B
例9.设向量组：「〉2，〉3线性无关，而向量组：J，：®〉4线性相关•证明：向量>4必可表为\，〉2，〉3的线性组
合•
测试点关于线性相关性的几个定理
证1因为〉2,〉3, >4线性相关，故冷，〉2,〉3,〉4线性相关，又因为〉1,〉2,〉3线性无关，所以〉4必可表为
>1, >2, >3的线性组合•证毕•
证2因为冷，〉2,〉3线性无关,故〉2, >3必线性无关,又因为>2, >3, >4线性相关
故：4必能由>2, >3线性表示，当然可表为 ^^-2^-3的线性组合•证毕•
三、向量组的极大无关组及向量组的秩
1•极大无关组的定义：
设〉1,〉2,川，儿是向量组T的一个部分组.如果（1 ）：i/-2^L：r线性无关；（2 ）任给—T，都有■，1, -2JH/ r线性相关，则称>1, >2,川，〉r是向量组T的一个极大无关组•
2•向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的
的方法
广-1 0、
例10A= 1 3的行向量组的秩 = _____________________ .
J 6」
测试点矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；
答案2
例11设：“一，^，：,是一个4维向量组，若已知〉4可以表为^，亠，^的线性组合，且表示法惟一，则向量组>1,〉2」3」4的秩为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
测试点（1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念（3）向量组线性相关和线性无关的
概念
解因为：4可以表为：'，〜，山的线性组合，且表示法惟一，必有r,：^,^线性无关，因为
设‘1〉1 ‘2〉2 ‘3〉3 ，由>4可以表为〉1」2,〉3的线性组合，即〉4 = K〉1 ' k^ 2 k^ 3
故>4 = >4 • 0 二KJ ' k2〉2 ' k3：3•'仁」，2〉2 • '3〉3。