人教版八年级上册数学全册同步讲义

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或
BD＝CD＝ BC。AD是ΔABC的中线 BD＝CD＝ BC。
要点诠释：
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．
外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点三：镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.
(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;(4)有一个角是直角的三角形是直角三角形;
(5)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形.其中正确的说法有____________.
题型二 三角形三边的关系
例题2．以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.2cm, 3cm, 5cm B.1cm, 11cm, 11cm C.5cm, 8cm, 2cm D.三边之比为5:10:4
5.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ）
A、1∶2∶4 B、1∶3∶4 C、3∶4∶7 D、2∶3∶4
6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
二、填空题
1.如图4，图中所有三角形的个数为，在△ABE中，AE所对的角是，∠ABC所对的边是，AD在△ADE中，是的对边，在△ADC中，是的对边；
2.如图5，已知∠1=0.5∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为；
3.如图6，D、E是边AC的三等分点，图中有个三角形，BD是三角形中边上的中线，BE是三角形中边上的中线；
4.如图7，在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”“＝”）。
5.如图8，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =度。
A、①②④B、②③④
C、①④D、①②
5、如图2，DE∥BC，CD是△ABC的平分线，∠A B C=60°，∠A=50°，则∠EDC=________。
6、如图，AD为△ABC的中线，若AB=10，AC=7，则△ABD与△ACD的周长之差是：________。
第2讲 三角形中的角、多边形
知识点梳理：
知识点一：三角形的内角与外角
④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
3、三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线的数学语言：
如图4，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上。
即AD是ΔABC的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC
2.已知三角形三边长为a、b、c，化简|a＋b－c|-|a－b－c|
3.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长.
课后巩固
1.已知三角形的三边长分别为3、x、8，若x的值为奇数，则x的值有（）。
A、1个B、2个C、4个D、3个
2.下列各组三条线段中，不能组成三角形的是（）。
要点诠释：
①三角形的高是线段；
②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。
③三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点。
2、三角形的中线
3.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
4.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ）
A、3cm，5cm ，8cm B、8cm，8cm，18cm C、0.1cm，0.1cm，0.1cm D、30cm，40cm，8cm
举一反三
【变式1】下列说法:(1)三角形的高必在三角形内部;(2)三角形的中线必在三角形内部;(3)三角形的角平分线必在三角形内部;(4)三角形的高、中线、角平分线都是线段.其中正确的有__________.
【变式2】如图,BM是△ABC中AC边上的中线,已知AB=6cm,BC=4cm,那么△ABM与△BCM的周长差是多少?
要点诠释：
①三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
②三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图2，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，
或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。
AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
并说明理由。
巩固练习
一、选择题
1.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
2.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )毛
A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种
【变式3】(1)已知AD是△ABC的中线,△ABD的面积为4,则△ABC的面积是________;
(2)已知在△ABC中，D是BC上一点，BD:CD=2:1,△ABD的面积为6,则△ABC的面积是___________;
【变式4】在△ABC中，AB=2BC,AD、CE分别是BC、AB边上的高，试判断AD和CE的大小关系，
举一反三
【变式1】用9根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为;
用10根呢?
【变式2】已知三角形的三边长分别为3,8, ;若 的值为偶数,则 的值有______个.
【变式3】等腰三角形的两边长分别为12和6，则此三角形的周长为（）。
A、24B、30 C、24或30 D、以上都不对
知识点二：多边形
（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做.
注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
2、三角形的分类
(1)按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形;
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，
两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
(2)按角分类：
要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
（二）多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从 边形的一个顶点出发，可以画条对角线， 边形一共有条对角线.
（三）多边形的内角和公式： 边形的内角和为.
内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.
（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于.
(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)
要点诠释：
①三角形的角平分线是线段；
②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心．
④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。
知识点四：三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定边等于6cm，求此三角形的周长；
⑵ 已知等腰三角形的一边等于5cm，另一边等于2cm，求此三角形的周长。
提高拓展：
1.如图3所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S△ABC=4cm2,则 =( )
A.2cm2B.1cm2C. cm2D. cm2
第1讲三角形中的线段
知识要点梳理
知识点一：
1、三角形有关概念
（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
（2）三角形的基本元素：
①三角形的三条边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。
A、三线段之比为2：2：3 B、a + 1，a + 2，a + 3（a﹥0）
C、5cm，6 cm，10 cm D、3cm，5cm，9 cm
4.下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条中线都在三角形内部；③三角形的高有两条在三角形外部，还有一条在三角形内部；④如果P是△ABC的AC边的中点，则PB是△ABC的中线。其中正确的是（）。
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。
（3）三角形的特征：
①三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；
②三角形是一个封闭的图形。