宁夏高考数学模拟考试卷及答案解析(文科)
宁夏回族自治区银川高三第一次模拟预测数学(文科)试卷有答案
宁夏回族自治区银川高三第一次模拟预测学（文）试卷参考公式：S 圆台侧面积=L R r )(+π第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合M={x|1242x ≤≤}，N={x|x-k>0},若M ∩N=φ，则k 的取值范围为 A.[)2,+∞ B.（2，+∞） C.（-∞，-1）D.(],1-∞-2．复数()21i 1i+-等于A ．-1+i B. 1+i C.1-i D.-1-i3．设a ∈R,则“1a<1”是“a>1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设三角形ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量(3sin ,sin ),(cos ,3cos ),m A B n B A ==1cos(),m n A B •=++则C=A.6πB.3πC. 56πD.23π5．在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105, a 2+a 4+a 6=99, 以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是 A ．21B ．20C ．19D ．186．在⊿ABC 中,三边a,b,c 所对的角分别为A,B,C,若a 2-b 23bc, 3sinB ,则角A=A ．300B ．450C ．1500D ．13507．运行如下程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于A ．[3,4]-B ．[5,2]-C ．[4,3]-D ．[2,5]-8．已知集合A={（x,y ）|-21x y -≤}. 若在区域A 中随机的扔一颗豆子，则该豆子落在区域B 中 的概率为 A ．14π- B ．4π C ．1-8π D ．8π 9.4 600600正视图600 侧视图俯视图2文科数学试卷 第1页(共6页)A ．112π B. 112π+6 C. 11π D.112π10．已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值10，则f(2)= A. 11或18, B. 11 C. 17或18D.1811．已知点M 是y=214x 上一点，F 为抛物线的焦点，A 在C ：22(x 1)(4)1y -+-= 上，则|MA|+|MF|的最小值为 A ．2B. 4C. 8D. 1012．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f e x f -=+（其中e =2.7182…），且在区间[e ,2e ]上是减函数，令55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则f (a ), f (b ), f (c ) 的大小关系（用不等号连接）为 A ．f (b )>f (a )>f (c ) B. f (b )>f (c )>f (a ) C. f (a )>f (b )>f (c ) D. f (a )>f (c )>f (b )第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为______、_______、________.14．已知关于x,y 的二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则x+2y+2的最小值为_________PGFE DCBA15．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________.16. 函数f (x )=Asin()x ωφ+(A ,,ωφ为常数，A >0，0ω>,||φ<π)的部分图象如图所示,则f (0)的值是_______.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）设{a n }是等差数列，{b n }是各项为正项的等比数列，且a 1=b 1=1, a 3+b 5=21, a 5+b 3=13. (1)求{a n }, {b n }的通项公式； （2）求数列{nnb a }的前n 项和S n ;18．（本题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一动点．（1）求证：BD FG ⊥；（2）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG //平面PBD ，并说明理由． （3）如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF 的体积19．（本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽 取50名测量身高，被测学生身高全部 介于155cm 和195cm 之间，将测量 结果按如下方式分成八组：第一组 [155,160)，第二组[160,165)，…， 第八组[190,195]，右图是按上述分 组方法得到的频率分布直方图的一部 分，已知第一组与第八组人数相同， 第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率并估计该校800名男生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；（Ⅱ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件=E {5x y -≤}，事件F ={15->x y }，求()P EF ．文科数学试卷 第3页(共6页)20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：222251(0)M(2,0),x y a b a b +=>>的离心率为定点 椭圆短轴的端点是B 1,B 2,且MB 1⊥MB 2。
2020年宁夏高考数学(文科)模拟试卷(1)
2020年宁夏高考数学（文科）模拟试卷1一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2]B ．（﹣1，3）C ．{1}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足（1+i ）2•z ＝2+i ，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知双曲线x 22−y 2b 2=1（b ＞0）的两条渐近线互相垂直，则b ＝（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．24．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成，在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为P ，则P 等于（ ）A ．π−1π+2B ．π−2π+2C ．2π−32π+4D ．2π−52π+45．（5分）已知函数f(x)=√3sinωx +2cos 2ωx2−1(ω＞0)的最小正周期为π．对于函数f （x ），下列说法正确的是（ ） A ．在[π6，2π3]上是增函数B ．图象关于直线x =5π12对称 C ．图象关于点(−π3，0)对称D ．把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，所得函数图象关于y 轴对称6．（5分）设常数m ＞0，n ＞0，甲、乙两个同学对问题“已知关于x 的一元二次方程x 2﹣px +m ＝0的两个复数根为x 1，x 2，若|x l ﹣x 2|＝n ，求实数p 的值”提出各自的一个猜测． 甲说：“对于任意一组m ，n 的值，p 的不同值最多有4个”；乙说：“存在一组m ，n 的值，使得p 的不同值恰有3个”．（ ） A ．甲的猜测正确，乙的猜测错误B ．甲的猜测错误，乙的猜测正确C ．甲、乙的猜测都正确D ．甲、乙的猜测都错误7．（5分）函数y ＝x +cos x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若a →，b →夹角为2π3，则|a →−b →|=（ ）A ．√7B ．√6C ．√5D ．√39．（5分）若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0，则y x+2的取值范围为（ ）A ．[−12，1] B ．[﹣∞，−12]∪[1，+∞） C ．[0，1]D ．[12，1]10．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的外接球O 半径为2，球心O 到△ABC 所在平面的距离为1，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．9√34B ．9√32C ．27√34D ．311．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和圆C '：x 2+y 2＝b 2，M 是椭圆C 上一动点，过M 向圆作两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若存在点M 使∠AMB =π3，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(0，√32] B ．[12，√32] C ．[√32，1) D ．(12，√32)12．（5分）曲线y ＝ln （2x ﹣1）上的点到直线2x ﹣y +8＝0的最短距离是（ ） A ．2√5B ．√5C ．3√5D ．0二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）已知平面α⊥平面β，下列命题：①平面α内的直线一定垂直于平面β内的任意直线； ②平面α内的直线一定垂直于平面β内的无数条直线； ③平面α内的任意一条直线必垂直于平面β；④过空间内任意一点作平面α和平面β交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β． 其中正确命题的序号是 ．14．（5分）一组数据1，3，2的方差为15．（5分）已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （x +2）＝﹣f （x ），当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ，则当x ∈[4，6]时，y ＝f （x ）的最小值为 ． 16．（5分）已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n S n +1，则S n ＝ ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且﹣2sin 2C +2√2cos C +3＝0．（1）求角C 的大小；（2）若b =√2a ，△ABC 的面积为√22sin A sin B ，求sin A 及c 的值．18．（12分）某农场计划种植某种新作物．为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中．随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙． （Ⅰ）假设n ＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率：（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块．即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位kg /hm 2）如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2…x n 的样本方差S 2=1n[（x 1−x ）]2+…+（x n −x ）2]，其中x 为样本平均数．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，BC ＝2AD ＝4．AB ＝2BC ＝2CD ＝2√5，M 为棱PC 上一点． （1）求证：平面BDM ⊥平面P AD ；（2）当三棱锥P ﹣ABD 的体积是三棱锥M ﹣PBD 体积的3倍时，求PM MC的值．20．（12分）已知曲线C 位于第一、四象限（含原点），且C 上任意一点的横坐标比其到点F （1，0）的距离小1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求曲线C 上到直线x +y +4＝0的距离最小的点的坐标． 21．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣alnx ，g （x ）=−1+ax （a ＞0） （1）若a ＝l ，求f （x ）的极值；（2）若存在x 0∈[1，e ]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cosθ+3sinθ，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为{x =cosθy =sinθ（θ为参数）．（1）求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程； （2）将曲线C 2经过伸缩变换{x ′=2√2xy′=2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知x，y都是正数．（1）若3x+2y＝12，求xy的最大值；（2）若x+2y＝3，求1x +1y的最小值．2020年宁夏高考数学（文科）模拟试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2]B ．（﹣1，3）C ．{1}D ．{1，2}【解答】解：∵集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜3}＝{0，1，2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：D ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）2•z ＝2+i ，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由（1+i ）2•z ＝2+i ，得2iz ＝2+i ， ∴z =2+i2i =(2+i)(−i)−2i2=12−i ， ∴复数z 对应的点的坐标为（12，﹣1），位于第四象限． 故选：D ． 3．（5分）已知双曲线x 22−y 2b =1（b ＞0）的两条渐近线互相垂直，则b ＝（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：双曲线x 22−y 2b =1（b ＞0）是焦点在x 轴上的双曲线，a =√2，则渐近线方程为y =b2， ∵两条渐近线互相垂直，∴√2=1，即b =√2．故选：B ．4．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成，在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为P ，则P 等于（ ）A ．π−1π+2B ．π−2π+2C ．2π−32π+4D ．2π−52π+4【解答】解：设四分之一圆的半径为r ， 则A 区域的面积为S A =12r 2，M +阴影区域的面积为S M +阴影=12(√22r)2π=14r 2π， S 阴影=14πr 2﹣S A =14πr 2−12r 2；∴在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率P =S阴影S M+阴影+S A=14πr 2−12r 214πr 2+12r2=π−2π+2．故选：B ．5．（5分）已知函数f(x)=√3sinωx +2cos 2ωx2−1(ω＞0)的最小正周期为π．对于函数f （x ），下列说法正确的是（ ） A ．在[π6，2π3]上是增函数B ．图象关于直线x =5π12对称 C ．图象关于点(−π3，0)对称D ．把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，所得函数图象关于y 轴对称【解答】解：∵f(x)=√3sinωx +2cos 2ωx2−1(ω＞0) =√3sin ωx +cos ωx ＝2sin （ωx +π6），又∵最小正周期为π，即π=2πω，解得：ω＝2， ∴f （x ）＝2sin （2x +π6）．∴把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，所得函数解析式为：y ＝2sin[2（x +π6）+π6]＝2sin （2x +π2）＝2cos2x ．由余弦函数的图象和性质可得此函数图象关于y 轴对称．D 正确． 故选：D ．6．（5分）设常数m ＞0，n ＞0，甲、乙两个同学对问题“已知关于x 的一元二次方程x 2﹣px +m ＝0的两个复数根为x 1，x 2，若|x l ﹣x 2|＝n ，求实数p 的值”提出各自的一个猜测． 甲说：“对于任意一组m ，n 的值，p 的不同值最多有4个”； 乙说：“存在一组m ，n 的值，使得p 的不同值恰有3个”．（ ） A ．甲的猜测正确，乙的猜测错误B ．甲的猜测错误，乙的猜测正确C ．甲、乙的猜测都正确D ．甲、乙的猜测都错误【解答】解：由实系数一元二次方程x 2﹣px +m ＝0得， 因为判别式△＝p 2﹣4m ， ①当△＝0时，x 1＝x 2， 此时，|x 1﹣x 2|＝0， 与n ＞0矛盾， 此时，P 的值不存在； ②当△＞0时，|x 1﹣x 2|=√p 2−4m =n ， 可得p ＝±√4m+n 2，有两个值； ③当△＜0时， |x 1﹣x 2|=√4m−p 2=n ，可得p ＝±√4m−n 2，有一个或两个值． 综上①②③可得：当4m ＝n 2时，p 的值有3个； 当4m ＞n 2时，p 的值有4个． 故知甲乙二人的猜测都正确． 故选：C ．7．（5分）函数y ＝x +cos x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由于f （x ）＝x +cos x ， ∴f （﹣x ）＝﹣x +cos x ，∴f （﹣x ）≠f （x ），且f （﹣x ）≠﹣f （x ）， 故此函数是非奇非偶函数，排除A 、C ； 又当x =π2时，x +cos x ＝x ，即f （x ）的图象与直线y ＝x 的交点中有一个点的横坐标为 π2，排除D ．故选：B ．8．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若a →，b →夹角为2π3，则|a →−b →|=（ ）A ．√7B ．√6C ．√5D ．√3【解答】解：∵|a →|=|b →|=1，＜a →，b →＞=2π3，∴(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2×1×1×(−12)+1=3， ∴|a →−b →|=√3． 故选：D ．9．（5分）若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0，则yx+2的取值范围为（ ）A ．[−12，1] B ．[﹣∞，−12]∪[1，+∞） C ．[0，1]D ．[12，1]【解答】解：作出x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0的可行域如图：△ABC ，y x+2表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组{x =22x +y =2可解得B （2，﹣2），同理可得A （2，4），当直线经过点B 时，M 取最小值：−22+2=−12，当直线经过点A 时，M 取最大值42+2=1．则yx+2的取值范围：[−12，1]．故选：A ．10．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的外接球O 半径为2，球心O 到△ABC 所在平面的距离为1，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．9√34B ．9√32C ．27√34D ．3【解答】解：∵三棱锥P ﹣ABC 的外接球O 半径为R ＝2，球心O 到△ABC 所在平面的距离为d ＝1，∴△ABC 的外接圆的半径r =√22−12=√3． ∴△ABC 是等边三角形时，△ABC 的面积最大，设等边△ABC 的边长为a ，则23×√a 2−a 24=√3，解得a ＝3，∴S △ABC =12×3×3×sin60°=9√34， ∵球心O 到△ABC 所在平面的距离为1，∴点P 到平面ABC 的距离的最大值为h ＝R +d ＝2+1＝3， ∴三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为： V =13×S △ABC ×ℎ=13×9√34×3=9√34． 故选：A ．11．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和圆C '：x 2+y 2＝b 2，M 是椭圆C 上一动点，过M 向圆作两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若存在点M 使∠AMB =π3，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(0，√32] B ．[12，√32]C ．[√32，1) D ．(12，√32)【解答】解：若存在点M 使∠AMB =π3，经分析知只需∠AMB 的最小角小于等于π3， 即只需∠AMO ≤π6，此时点M 为椭圆长轴的端点，画出大致图形如图所示， 连接OA ，OB ，则在Rt △AOM 中， 因为sin ∠AMO =AOOM =ba ， 所以sin ∠AMO ≤sin π6，即ba≤12，所以b 2a 2≤14，所以a 2−c 2a 2≤14，即1−e 2≤14，解得e ≥√32，又e ＜1，所以椭圆的离心率的取值范围为[√32，1)． 故选：C ．12．（5分）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2√5B．√5C．3√5D．0【解答】解：设曲线y＝ln（2x﹣1）上的一点是P（m，n），则过P的切线必与直线2x﹣y+8＝0平行．由y′=22x−1，所以切线的斜率22m−1=2．解得m＝1，n＝ln（2﹣1）＝0．即P（1，0）到直线的最短距离是d=|2+8|√2+(−1)2=2√5．故选：A．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知平面α⊥平面β，下列命题：①平面α内的直线一定垂直于平面β内的任意直线；②平面α内的直线一定垂直于平面β内的无数条直线；③平面α内的任意一条直线必垂直于平面β；④过空间内任意一点作平面α和平面β交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β．其中正确命题的序号是②．【解答】解：由平面α⊥平面β，得：在①中，平面α内的直线和平面β内的直线相交、平行或异面，故①错误；在②中，由面面垂直的性质定理得：平面α内的直线一定垂直于平面β内的无数条直线，故②正确；在③中，平面α内的任意一条直线与平面β相交、平行或包含于平面β，故③错误；在④中，过空间内任意一点作平面α和平面β交线的垂线，则此垂线与平面β相交a或此垂线包含于平面β，故④错误．故答案为：②．14．（5分）一组数据1，3，2的方差为23【解答】解：数据1，3，2的平均数是x =13×（1+3+2）＝2， 所以方差为s 2=13×[（1﹣2）2+（3﹣2）2+（2﹣2）2]=23． 故答案为：23．15．（5分）已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （x +2）＝﹣f （x ），当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ，则当x ∈[4，6]时，y ＝f （x ）的最小值为 ﹣1 ． 【解答】解：∵f （x +2）＝﹣f （x ）， ∴f （x +4）＝f （x ），即f （x ）的周期为4，∵f （x ）是奇函数，且x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ，设x ∈[0，2]，﹣x ∈[﹣2，0]，则f （﹣x ）＝﹣x 2+2x ＝﹣f （x ）， ∴x ∈[0，2]时，f （x ）＝x 2﹣2x ， 设x ∈[4，6]，则x ﹣4∈[0，2]，∴f （x ）＝f （x ﹣4）＝（x ﹣4）2﹣2（x ﹣4）＝x 2﹣10x +24＝（x ﹣5）2﹣1， ∴x ＝5时，f （x ）取最小值﹣1． 故答案为：﹣1．16．（5分）已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n S n +1，则S n ＝ −1n ． 【解答】解：∵a n +1＝S n +1﹣S n ＝S n S n +1； ∴整理可得，1S n+1−1S n=−1，S 1＝a 1＝﹣1；故数列{1S n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列； ∴1S n=−1−(n −1)=−n ；∴S n =−1n； 故答案为：−1n ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且﹣2sin 2C +2√2cos C +3＝0．（1）求角C 的大小；（2）若b =√2a ，△ABC 的面积为√22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． 【解答】解：（1）∵﹣2sin 2C +2√2cos C +3＝0，可得：﹣2（1﹣cos 2C ）+2√2cos C +3＝0， ∴2cos 2C +2√2cos C +1＝0， ∴cos C =−√22，∵0＜C ＜π， ∴C =3π4．（2）∵c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝3a 2+2a 2＝5a 2， ∴c =√5a ， ∴sin C =√5sin A ， ∴sin A =15sin C =√1010，∵S △ABC =12ab sin C =√22sin A sin B ， ∴12ab sin C =√22sin A sin B ，∴a sinA •bsinB •sin C ＝（csinC）2sin C =√2，∴c =√√2sinC =1．18．（12分）某农场计划种植某种新作物．为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中．随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙． （Ⅰ）假设n ＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率：（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块．即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位kg /hm 2）如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2…x n 的样本方差S 2=1n [（x 1−x ）]2+…+（x n −x ）2]，其中x 为样本平均数．【解答】解：（I ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是设第一大块地中的两小块地编号为1，2． 第二大块地中的两小块地编号为3，4， 令事件A ＝“第一大块地都种品种甲”，从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个： （1，2），（1，3），（1.4），（2，3），（2，4），（3，4）． 而事件A 包含1个基本事件：（1，2）， ∴P （A ）=16；（Ⅱ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲=18×(403+397+390+404+388+400+412+406)=400， s 2甲=18×[32+(−3)2+(−10)2+(4)2+(−12)2+02+122+62]=57.25． 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： x 乙=18×(419+403+412+418+408+423+400+413)=412，s 2乙=18×[72+(−9)2+02+62+(−4)2+112+(−12)2+12]=56．由以上结果可以看出．品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且乙的方差小于甲的方差．故应该选择种植品种乙．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，BC ＝2AD ＝4．AB ＝2BC ＝2CD ＝2√5，M 为棱PC 上一点． （1）求证：平面BDM ⊥平面P AD ；（2）当三棱锥P ﹣ABD 的体积是三棱锥M ﹣PBD 体积的3倍时，求PM MC的值．【解答】证明：（1）在△ABD 中，∵AD ＝2，BD ＝4，AB ＝2√5， ∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ， 又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面P AD ，∵BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面P AD ． 解：（2）设PM MC=m ，则PM ＝mMC ，∴三棱锥P ﹣MBD 的体积=mm+1×三棱锥P ﹣BCD 的体积， ∵AB ＝2DC ＝2√5，∴S △ABD ＝2S △BCD ， ∴V P ﹣ABD ＝2V P ﹣BCD ，∵三棱锥P ﹣ABD 的体积是三棱锥M ﹣PBD 体积的3倍， ∴V P ﹣MBD =23V P−BCD ， ∴m m+1=23，解得m ＝2．故PM MC的值为2．20．（12分）已知曲线C 位于第一、四象限（含原点），且C 上任意一点的横坐标比其到点F （1，0）的距离小1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求曲线C 上到直线x +y +4＝0的距离最小的点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）设C 上任意一点的坐标为（x ，y ），（x ≥0）， 由题意可得x +1=√(x −1)2+y 2， 平方后化简可得y 2＝4x ， 则曲线C 的方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）当曲线上的点处的切线与直线x +y +4＝0平行时，切点到直线x +y +4＝0的距离最小．设切线方程为x +y +t ＝0，（t ≠4）， 联立抛物线方程y 2＝4x ，可得y 24+y +t ＝0，由△＝1﹣t ＝0，即t ＝1， 可得y 24+y +1＝0，可得y ＝﹣2，x ＝1，则所求最小点的坐标为（1，﹣2）．21．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣alnx ，g （x ）=−1+ax（a ＞0） （1）若a ＝l ，求f （x ）的极值；（2）若存在x 0∈[1，e ]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）a ＝1时，f （x ）＝x ﹣lnx ， 函数f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）＝1−1x=x−1x， 令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1， 令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，故f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 故f （x ）的极小值是f （1）＝1，无极大值； （2）存在x 0∈[1，e ]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立， 等价于[f （x ）﹣g （x ）]min ＜0，（x ∈[1，e ]）成立， 设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x ﹣alnx +1+ax ， 则h ′（x ）=(x+1)(x−1−a)x 2，令h ′（x ）＝0，解得：x ＝﹣1（舍），x ＝1+a ； ①当1+a ≥e ，h （x ）在[1，e ]递减， ∴h （x ）min ＝h （e ）＝e 2﹣ea +1+a ，令h （x ）min ＜0，解得：a ＞e 2+1e−1；②当1+a ＜e 时，h （x ）在（1，a +1）递减，在（a +1，e ）递增， ∴h （x ）min ＝h （1+a ）＝a [1﹣ln （a +1）]+2＞2与h （x ）min ＜0矛盾， 综上，a ＞e 2+1e−1．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cosθ+3sinθ，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为{x =cosθy =sinθ（θ为参数）．（1）求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程； （2）将曲线C 2经过伸缩变换{x ′=2√2xy′=2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值． 【解答】解：（1）∵C 1的极坐标方程是ρ=244cosθ+3sinθ，∴4ρcos θ+3ρsin θ＝24， ∴4x +3y ＝24，∴C 1的直角坐标方程为4x +3y ＝24，∵曲线C 2的参数方程为：{x =cosθy =sinθ（θ为参数）．∴由{x =cosθy =sinθ，得x 2+y 2＝1，∴C 2的普通方程为x 2+y 2＝1． （2）将曲线C 2经过伸缩变换{x ′=2√2xy′=2y 后，得到曲线C 3的方程为x′28+y′24=1，则曲线C 3的参数方程为{x =2√2cosαy =2sinα，设N(2√2cosα，2sinα)， 则N 到直线的距离为d =|4×2√2cosα+3×2sinα−24|5=|2√41sin(α+φ)−24|5， 故当sin （α+φ）＝1时， |MN |的最小值为24−2√415． 五．解答题（共1小题） 23．已知x ，y 都是正数．（1）若3x +2y ＝12，求xy 的最大值； （2）若x +2y ＝3，求1x+1y 的最小值．【解答】解：（1）∵3x+2y＝12，∴xy=16•3x•2y≤16×（3x+2y2）2＝6，当且仅当3x＝2y＝6时，即x＝2，y＝3时，等号成立．∴xy的最大值为6，（2）∵x+2y＝3，∴1x +1y=13（1x+1y）（x+2y）=13（1+2+2yx+x y）≥13（3+2√2y x⋅x y）＝1+2√23，当x＝﹣3+3√2，y＝3−32√2时取等号，∴1x +1y取得最小值1+2√23．。
宁夏银川市高考数学一模试卷(文科)
宁夏银川市高考数学一模试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·西城期末) 设集合A={x|x2＞x}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A . {0，2}B . {0，1}C . {﹣1，2}D . {1，2}2. （2分） (2016高二上·商丘期中) 已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A . [﹣1，1]B . [﹣4，4]C . （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D . （﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）3. （2分） (2019高三上·凤城月考) 为虚数单位，则（）A .B . 1C .D . -14. （2分）(2018·浙江模拟) 设函数，则的值为A .B .C .D . 25. （2分）(2017·重庆模拟) 按如图程序框图运算：若运算进行3次才停止，则输入的x的取值范围是（）A . （10，28]B . （10，28）C . [10，28）D . [10，28]6. （2分）(2020·海南模拟) 将函数的图象向左平移个长度单位后得函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数f(x)是定义在R上的函数，其最小正周期为3，且时，，则f(2014)=（）A . 4B . 2C . －2D .8. （2分）已知，则sin2α=（）A .B .C . -D . -9. （2分）(2017高二下·河北期末) 已知为的导函数，若，且，则的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·梅河口模拟) 若变量满足约束条件，则的最小值是（）A .B .C .D .11. （2分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x）。
宁夏2024年高考文科数学真题及参考答案
宁夏2024年高考文科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A．{}1,2,3,4B．{}3,2,1 C.{}4,3D．{}9,2,12．设z =，则z z ⋅=（）A．i-B．1C.1-D．23．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，则5z x y =-的最小值为（）A．5B．12C．2-D．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A．2-B．73C．1D．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．236．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()10,4F 、()20,4F -，且经过点()6,4P -，则双曲线C 的离心率是（）A．4B．3C．2D．27．曲线()136-+=x x x f 在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．61B．2C．12D．23-8．函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[]8.2,8.2-的大致图像为（）9．已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．132+B．1-C．23D．31-10.已知直线02=-++a y ax 与圆01422=-++y y x C ：交于B A ,两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.611．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m =βα .下列四个命题：①若m n ∥，则n α∥或n β∥；②若m n ⊥，则n α⊥，β⊥n ；③若n α∥且n β∥，则m n ∥；④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，其中所有真命题的编号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①③④12．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A．13B．13C．2D．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()sin f x x x =-在[]0,π上的最大值是______．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ，下底面半径均为2r ，圆台的母线长分别为()122r r -，()123r r -，则圆台甲与乙的体积之比为．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =______．16．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的前n 项和．18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：（1）填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p .设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果()np p p p -+>165.1，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（247.12150≈）19．（12分）如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，4,=AD AD EF AD BC ，∥∥，2===EF BC AB ，且10=ED ，32=FB ，M 为AD 的中点．（1）证明：∥BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离．20．（12分）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且MF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,4P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与直线MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+．（1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若2AB =，求a 的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）实数a ，b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题1.A 解析：由题意可得{}843210，，，，，=B ，∴{}4,3,2,1=B A .2.D解析：∵i z 2=，∴i z 2-=，∴222=-=⋅i z z .3.D 解析：实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，作出可行域如图：由y x z 5-=可得z x y 5151-=，即z 的几何意义为z x y 5151-=的截距的51-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线z x y 5151-=过点A，联立⎩⎨⎧=-+=--09620334y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==123y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23A ，则271523min -=⨯-=z .4.D解析：法一：利用等差数列的基本量由19=S ，根据等差数列的求和公式1289919=⨯+=d a S ，整理得13691=+d a ，又()92369928262111173=+=+=+++=+d a d a d a d a a a .法二：特殊值法不妨取等差数列公差0=d ，则有1991a S ==，∴911=a ，故有922173==+a a a .5.B解析：当甲排在排尾，乙排在第一位，丙有2种排法，丁有1种排法，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁有1种排法，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理，乙排在排尾共4种排法，于是共8种排法，基本事件总数显然是2444=A ,根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为31248=.6.C解析：由题意，()4,01F ，()402-，F ，()4,6-P，则()()6446,10446,8222222121=-+==++===PF PF c F F ，则4610221=-=-=PF PF a ,24822===a c e .7.A解析：()365+='x x f ，则()30='f ，∴该切线方程为x y 31=-，即13+=x y ，令0=x ，则1=y ，令0=y ，则31-=x ，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积6131121=-⨯⨯=S .8.B解析：()()()()()x f x e e x x e ex x f x x x x=-+-=--+-=---sin sin 22，又函数定义域为[]8.2,8.2-，故函数为偶函数，可排除A,C，又()021*******sin 111sin 111>->--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=e e e e e e e f π，故排除D.9.B 解析：∵cos cos sin ααα=-，∴3tan 11=-α，解得331tan -=α，∴132tan 11tan 4tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπα.10.C 解析：由题意可得圆的标准方程为：()5222=++y x ，∴圆心()20-，C ,半径为5，直线02=-++a y ax 可化为()()021=++-y x a ，∴直线过定点()21-，D ,当AB CD ⊥时，AB 最小，易得1=CD ，故()415222=-⨯=AB .11.A 解析：对①，当α⊂n ，∵n m ∥，β⊂n ，则β∥n ，当β⊂n ，∵n m ∥，α⊂m ，则α∥n ，当n 既不在α也不在β内，∵n m ∥，βα⊂⊂m m ,，则α∥n 且β∥n ，故①正确；对②，若n m ⊥，则n 与βα，不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与βα，分别相交于直线s 和直线t ，∵α∥n ，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知s n ∥，同理可得t n ∥，则t s ∥，∵⊄s 平面β，⊂t 平面β，则∥s 平面β，∵⊂s 平面α，m =βα ，则m s ∥，又∵s n ∥，则n m ∥，故③正确；对④，若m =βα ，n 与βα，所成的角相等，如果βα∥，∥n n ，则n m ∥，故④错误；综上，①③正确.12.C 解析：∵3π=B ，294b ac =，则由正弦定理得31sin 94sin sin 2==B C A .由余弦定理可得：ac ac c a b 49222=-+=，即ac c a 41322=+，根据正弦定理得1213sin sin 413sin sin 22==+C A C A ，∴()47sin sin 2sin sin sin sin 222=++=+C A C A C A ，∵A,C 为三角形内角，则0sin sin >+C A ，则27sin sin =+C A .二、填空题13.2解析：()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=3sin 2cos 23sin 212cos 3sin πx x x x x x f ，当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,33πππx ，当23ππ=-x 时，即65π=x 时()2max =x f .14.46解析：由题可得两个圆台的高分别为：()[]()()1221221232r r r r r r h -=---=甲，()[]())12212212223r r r r r r h -=---=乙∴()()()()462233131121212121212=--==++++=r r r r h h h S S S S h S S S S V V 乙甲乙甲乙甲.15.64解析：由25log 21log 34log 1log 1228-=-=-a a a a ，整理得()06log 5log 222=--a a ，可得1log 2-=a 或6log 2=a ，又1>a ，∴6log 2=a ，∴6426==a .16.()1,2-解析：令()a x x x +--=-2313，即1523+-+=x x x a ，令()()01523>+-+=x x x x x g ，则()()()1535232-+=-+='x x x x x g ，令()()00>='x x g 得1=x ，当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()x g 单调递减；当()+∞∈,1x 时，()0>'x g ，()x g 单调递增，()()21,10-==g g ，∵曲线x x y 33-=与()a x y +--=21在()∞+，0上有两个不同的交点，∴等价于a y =与()x g 有两个交点，∴()1,2-∈a .三、解答题17.解：（1）∵3321-=+n n a S ，∴33221-=++n n a S ，两式相减可得121332+++-=n n n a a a ，即1253++=n n a a ，∴等比数列{}n a 的公比35=q ，当1=n 时有35332121-=-=a a S ，∴11=a ，∴135-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a .（2）由等比数列求和公式得2335233513511-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=nn n S ，∴数列{}n S 的前n 项和nS S S S T nn n 23353535352332321-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=++++= 4152335415233513513523--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=n n n n.18.解：（1）根据题意可得列联表：可得()6875.416755496100507024302615022==⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，∵635.66875.4841.3<<，∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为64.015096=，用频率估计概率可得64.0=p ，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p ，则()()568.0247.125.065.15.01505.015.065.15.0165.1≈⨯+≈-⨯⨯+=-+n p p p ，可知()np p p p -+>165.1，∴可以认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.19.解：（1）∵AD BC ∥，2=EF ，4=AD ，M 为AD 的中点，∴MD BC MD BC =，∥，则四边形BCDM 为平行四边形，∴CD BM ∥，又∵⊄BM 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，∴∥BM 平面CDE .（2）如图所示，作AD BO ⊥交AD 于点O ，连接OF .∵四边形ABCD 为等腰梯形，4,=AD AD BC ∥，2==BC AB ，∴2=CD ，结合（1）可知四边形BCDM 为平行四边形，可得2==CD BM ，又2=AM ，∴ABM ∆为等边三角形，O 为AM 的中点，∴3=OB .又∵四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，∴MD EF MD EF ∥,=，四边形EFMD 为平行四边形，AF ED FM ==，∴AFM ∆为等腰三角形，ABM ∆与AFM ∆底边上中点O 重合，3,22=-=⊥AO AF OF AM OF ，∵222BF OFOB =+，∴OF OB ⊥，∴OF OD OB ,,互相垂直，由等体积法可得ABM F ABF M V V --=，233243213121312=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆-FO S V ABM ABM F ,由余弦定理，()()10212102322102cos 222222=⋅⋅-+=⋅-+=∠ABF A FB AB F A F AB ，∴10239cos 1sin 2=∠-=∠F AB F AB .则2391023921021sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅=∆F AB AB F A S F AB ，设点M 到面ABF 的距离为d ，则有232393131=⋅⋅=⋅⋅==∆--d d S V V F AB ABM F ABF M ，解得13133=d ，即点M 到面ABF 的距离为13133.20.解：（1）由题意可得()x f 定义域为()∞+，0，()xax x a x f 11-=-='，当0≤a 时，()0<'x f ，故()x f 在()∞+，0上单调递减；当0>a 时，令()0='x f ，解得ax 1=，当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1a x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 1,0时，()0<'x f ，()x f 单调递减；综上所述：当0≤a 时，()x f 在()∞+，0上单调递减；当0>a 时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0上单调递减.（2）当2≤a 且1>x 时，()()x x e x x a e x f ex x x ln 121ln 1111+++≥-+--=----，令()()1ln 121>++-=-x x x ex g x ，则()()1121>+-='-x xe x g x ，令()()x g x h '=，则()()1121>-='-x xex h x ，显然()x h '在()∞+，1上单调递增，则()()0110=-='>'e h x h ，因()()x h x g ='，则()x g '在()∞+，1上单调递增，故()()01210=+-='>'e g x g ，即()x g 在()∞+，1上单调递增，故()()01ln 1210=++-=>e g x g ，即()()()01ln 111>≥-+--=---x g x x a e x f ex x ，∴当1>x 时，()1-<x ex f 恒成立.21.解：（1）设()0,c F ，由题设有1=c ，且232=a b ，故2312=-a a ，解得2=a ，故3=b ，故椭圆方程为：13422=+y x .（2）由题意知，直线AB 额斜率一定存在，设为k ，设()()()2211,,,,4:y x B y x A x k y AB -=，由()⎪⎩⎪⎨⎧-==+413422x k y y x 可得()0126432432222=-+-+k x k x k ，∵()()012644341024224>-+-=∆kkk ，∴2121<<-k ，由韦达定理可得22212221431264,4332kk x x k k x x +-=+=+，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N ，∴直线⎪⎭⎫ ⎝⎛--=252522x x y y BN ：，故52325232222--=--=x y x y y Q，∴()()()()524352452352523222122212211--+-⋅-=-+-=-+=-x x k x x k x y x y x y y y y Q()0528433254312642528522222222121=-++⨯-+-⨯=-++-=x k k k k k x x x x x k 故Q y y =1，即AQ y ⊥轴．22.解：（1）由1cos +=θρρ，将⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy x θρρcos 22代入1cos +=θρρ，可得122+=+x y x ，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为122+=x y .（2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为a x y +=.法一：直线l 的斜率为1，故倾斜角为4π，故直线的参数方程可设为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==s a y s x 2222，R s ∈.将其代入122+=x y 中得)()01212222=-+-+a s a s .设B A ,两点对应的参数分别为21,s s ，则()()12,12222121-=--=+a s s a s s ，且()()01616181822>-=---=∆a a a ，故1<a ，∴()()()218184222122121=---=-+=-=a a s s s s s s AB ，解得43=a .法二：联立⎩⎨⎧+=+=122x y ax y ，得()012222=-+-+a x a x ，()()088142222>+-=---=∆a a a ，解得1<a ，设()()2211,,,y x B y x A ，∴1,2222121-=-=+a x x a x x ，则()()()21422241122212212=---⋅=-+⋅+=a a x x x x AB ，解得43=a .23.解：（1）∵()()0222222222≥-=+-=+-+b a b ab a b a b a ，当b a =时等号成立，则()22222b a b a +≥+，∵3≥+b a ，∴()b a b a b a +>+≥+22222.（2）()b a b a a b b a ab b a +-+=-+-≥-+-222222222222()()()()()623122222=⨯≥-++=+-+≥+-+=b a b a b a b a b a b a .。
2024届宁夏银川一中高三下学期二模数学(文科)试卷及答案
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷( 银川一中第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2670,{26}A xx x B x x =--≥=+>∣∣，则A B ⋃=A ．()(),14,-∞-⋃+∞B ．(](),14,-∞-+∞ C ．()[),41,∞∞--⋃+D ．[)7,+∞2．已知a ∈R ，若i2i 1a z +=-为纯虚数，则=aA B ．2C ．1D ．123．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π4．已知函数()()1R 31xmf x m =+∈+为奇函数，则m 的值是A ．1B ．2C ．1-D ．2-5．设O 为平面直角坐标系的坐标原点，在区域(){}22,4x y x y +≤内随机取一点，记该点为A ，则点A 落在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内的概率为A ．18B ．14C ．12D ．346．已知向量,a b满足1a = ，b = a b -= ，则+=a bA ．1B C ．D ．7．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1>q ，则“15a a >”是“04>S ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8．若2)4tan(-=+πα，则()sin 1sin 2cos sin αααα-=- A. 53-B.35 C.65D. 65-9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2229a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，O 为坐标原点，若E 为FP 的中点，则双曲线的离 心率为A B C D 10．已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则A. EB. E 是一条与l 相交的直线C. E 上的点到lD. E 是两条平行直线11．在平行四边形ABCD 中，24AB AD ==，π3BAD ∠=，E ，H 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起，构成如图所示的四棱锥A BCDE '-，F 为A C '的中点，则下列说法不正确的是A ．平面//BFH 平面A DE'B ．四棱锥A BCDE '-体积的最大值为3C ．无论如何折叠都无法满足'A D BC ⊥D ．三棱锥A DEH '-表面积的最大值为412．定义域为R 的函数)(x f 满足)2(+x f 为偶函数，且当221<<x x 时，0))](()([1212>--x x x f x f 恒成立，若)1(f a =，)10(ln f b =，)3(45f c =，则a ，b ，c 的大小关系为A. B. C. D. 二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是______.0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 517914．已知(3,0),(3,0)A B -，P 是椭圆2212516x y +=上的任意一点，则||||PA PB ⋅的最大值为____.15．函数π()tan()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭经过点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.16．已知各项都不为0的数列{}n a 的前k 项和k S 满足12k k k S a a +=，其中11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切*n ∈N ，恒有216n n tT T ->成立，则t 能取到的最大整数是.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2023年宁夏银川二中高考数学模拟试卷(文科)(一)+答案解析(附后)
2023年宁夏银川二中高考数学模拟试卷（文科）（一）1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 若复数z满足为虚数单位，则( )A. 1B. 2C.D.3. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A. B. C. D.4. 若，( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.6. 甲、乙两人每人可以用手出0，5，10三种数字，同时可以喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时为胜，若甲喊15，乙喊10，则( )A. 甲胜的概率大B. 乙胜的概率大C. 甲、乙胜的概率一样大D. 不能确定7. 已知数列满足，且前n 项和为，若，则( )A. B. 145C. D. 1758. 已知定义在R 上的函数满足，且当时，，则( )A. 0B. 1C.D.9.设，是两个不同的平面，则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行.已知F 、分别为抛物线的焦点和内侧一点，抛物线上存在点P 使得，则实数p 的取值范围是( )A. B. C. D.11. “寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天如夏至的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A ，B 两地竖起高度均为a 寸的标杆AE 与BF ，AC 与BD 的差结合“寸影千里”来推算A ，B 两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，A ，B 两地的距离大约为( )A. 里B. 里C. 里D. 里12. 已知实数x，y满足，，则的最小值为( )A. B. C. D.13. 若x，y满足约束条件，则的最大值为______ .14.若向量，，且，则与的夹角大小是______ .15. 把一个所有棱长均是6的正四棱锥的每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥如图所示，则剩下的几何体的外接球的表面积等于______ .16. 等轴双曲线是一种特殊的双曲线，它有如下特征：实轴与虚轴长度相等；离心率；两条渐近线互相垂直.根据这些特征可以判断：反比例函数的图像是等轴双曲线.双曲线的焦点坐标是______ 写出一个即可17. 已知数列的前n项和为，设是首项为1，公差为1的等差数列.求的通项公式；设，求数列的前n项的和18. 如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，，求证：平面ABC；求多面体的体积19. 某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元的关系式为，投资新型项目B的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元的散点图如图所示.求y关于x的线性回归方程；根据中的回归方程，若A，B两个项目都投资单位：十万元，试预测哪个项目的收益更好.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为求椭圆C的标准方程；点，斜率为k的直线l不过点D，且与椭圆C交于A，B两点，；为坐标原点直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.21. 函数，，其中，e是自然对数的底数．若，求函数的最小值；若时，恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy中，圆心为A的圆的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求圆的极坐标方程；设点B在曲线上，且满足，求点B的极径.23. 已知，当时，解关于x的不等式；若对，，都有成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，故选：求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得【解答】解：复数z满足为虚数单位，，，故选3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得时，；时，；时，；时，，时不满足条件，退出循环，输出故选：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出正确的结论，是基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查诱导公式的应用，二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．通过诱导公式求得，然后通过二倍角公式求解即可．【解答】解：，，故选：5.【答案】B【解析】解：，为偶函数，排除选项A和C，令，则，即或，过点和，排除选项D，故选：先判断出是偶函数，再求得过点和，从而得解．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，共有种可能，若甲喊10，甲胜的情况有：甲用手出0，乙用手出10；或甲用手出5，乙用手出5；甲用手出10，乙用手出0；共3种，甲胜的概率为；若乙喊15时，乙胜的情况有：甲用手出5，乙用手出10；甲用手出10，乙用手出5；共2种，乙胜的概率为；故甲胜的概率大；故选：根据题意，用列举法分析，求出甲乙获胜的概率，比较可得答案．本题考查古典概型的计算，注意列举法的应用，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：数列满足，即为，可得数列为等差数列，设公差为d，若，则，即为，则，故选：由已知递推式判断数列为等差数列，设公差为d，再由等差数列的通项公式、求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的判断和通项公式、求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为定义在R上的函数满足，所以，故函数的周期，因为当时，，则故选：由已知先求出函数的周期，然后结合函数的周期及已知区间上的函数解析式可求．本题主要考查了函数的周期性在函数求值中的应用，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，当，相交时，设，若A、B、，且，则B、C到平面的距离相等，若线段AC的中点，则A，C到平面的距离相等，则A、B、C到平面的距离相等，“中有三个不共线的点到的距离相等”推导不出“”，若，则内所有点到平面内的距离都相等，“”“中有三个不共线的点到的距离相等”，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件．故选：根据平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义分别判断充分性和必要性．本题考查面面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：分别过P、A作PB、AC垂直抛物线的准线，垂足分别为B、C，由抛物线的定义可得，，，又，当且仅当P、A、B三点共线时取等号，即，即，又为抛物线内侧一点，则，则，即实数p的取值范围是故选：由抛物线的定义可得，又，当且仅当P、A、B三点共线时取等号，即，然后结合点A在抛物线内部求解即可．本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意可得，，，则，，，按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为故选：根据已知条件，结合三角形的性质，求出BD，AC，将二者作差，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：，表示动点到定点的距离，又因为在直线上，求与直线平行的切线，该切线与直线间的距离即为的最小值．由求导得，，令，即，即，解得负值舍去，所以切点，又切点到直线的距离，所以动点到定点的最小距离为，所以的最小值为，故选：将所求的式子变形为，其表示动点到定点的距离，又根据在直线上，可知的与直线平行的切线与直线间的距离即为的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可．本题考查了两点间距离的几何意义以及导数的几何意义的应用，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】【解析】解：，，，，且，，且，故答案为：可求出，然后根据即可求出，从而可求出的值，然后即可得出与夹角的大小．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】设正四棱锥底面的正方形为ABCD，顶点为E，棱AE的三等分点为点F和点G，棱AB的三等分点为点M和点N，连接AC与BD交于点O，连接EO，FO，GO，MO，NO，则底面ABCD，如图所示，因为正四棱锥的棱长是6，即，所以，所以，即，所以正四棱锥的外接球的球心为点O，，又因为，，，所以≌，则，同理可证≌，则，又因为，，，所以≌，则，同理可证出该几何体其他顶点到点O的距离都相等，故剩下的几何体的外接球的球心也为点O，因为，所以在中，，解得，即剩下的几何体的外接球的半径为，故剩下的几何体的外接球的表面积：，故答案为：先说明正四棱锥和剩下的几何体的外接球球心重合，再通过解三角形求出外接球半径，结合球的表面积公式即可求得答案．本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，属中档题．16.【答案】【解析】解：在等轴双曲线中，，双曲线的焦点轴为，由得或，即顶点坐标为，，则半实轴，则，设第一象限的焦点，则，得，即第一象限内的焦点坐标为，故答案为：根据等轴双曲线的定义，求出a，c的关系，结合反比例函数的焦点轴，利用待定系数法进行求解即可．本题主要考查双曲线的性质，根据等轴双曲线的定义和性质，利用待定系数法进行求解是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：是首项为1，公差为1的等差数列，，，当时，，当时，，又符合上式，；由可得，【解析】根据等差数列的性质求解得，即，结合与即可求得的通项公式；直接应用裂项相消法求和即可．本题考查等差数列的通项公式的应用，由前n项和求通项，裂项求和法的应用，属基础题．18.【答案】证明：四边形是菱形，又平面ABC，平面ABC，平面同理得，平面，平面，且，平面平面又平面，平面解：，，，，在菱形中，，，平面平面，取AC的中点为M，连接BM，，平面，平面由知，平面平面，点B到平面的距离为又点B到平面的距离为，连接，则【解析】证明推出平面然后证明平面平面说明平面取AC的中点为M，连接BM，，连接，通过求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：由散点图可知，x取1，2，3，4，5时，y的值分别为2，3，5，7，8，所以，，，则，故y关于x的线性回归方程为因为投资新型项目A的投资额单位：十万元与纯利润单位：万元的关系式为，所以若A项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；因为y关于x的线性回归方程为，所以若B项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元．因为，所以可预测B项目的收益更好．【解析】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．通过散点图求解回归直线方程的系数，得到回归直线方程．分别求得A项目和B项目的纯利润，比较可得结果.20.【答案】解：由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为设直线l的方程为，，，联立，整理得，则，，因为，所以，所以，所以，即，整理得，即，则直线l的方程为，故直线l过定点【解析】根据离心率，短轴长，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．设直线l的方程为，，，联立直线l与椭圆的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得，，由，推出，用坐标表示化简计算，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：当时，，所以，①当时，，在上单调递减；②当时，，在上单调递增．则；令，则，可得，令，则，①当时，恒成立，可得在上单调递增，所以，则恒成立，所以恒成立；②当时，当在上单调递减，当在上单调递增，则当时，，所以，时，则不恒成立．综上所述，a的取值范围是【解析】求得的导数和单调性，然后求出的最值；令，通过二次求导，以及讨论，，结合函数的最小值，即可得到a的取值范围．本题考查函数的最值求法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】解：由圆的参数方程消去参数t，得圆的普通方程为，圆心，把，代入，化简得圆的极坐标方程为；由题意，在极坐标系中，点，点B在曲线上，设，在中，由余弦定理有，即，化简得，解得或，故或，点B的极径为1或【解析】根据参数方程，直角坐标方程，极坐标方之间的相互转化关系即可求解；根据极坐标方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．23.【答案】解：当时，，当时，，，当时，，无解．当时，，，综上不等式的解集为由已知，，，等价于或，解得或，即a的取值范围是【解析】分类讨论a的值，再解不等式；将问题转化为，由绝对值三角不等式以及二次函数的性质得出，，再解不等式得出a的取值范围．本题主要考查不等式恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。
2023年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）1. 复数的共轭复数为，则在复平面对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知点，，则满足下列关系式的动点M的轨迹是双曲线C的上支的是( )A. B.C. D.3. 图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态.例如，按将导致，，，，改变状态.如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为( )A. 5B. 6C. 7D. 84. 对50件样品进行编号01，02，…，50，在如下随机数表中，指定从第2行第11列开始，从左往右抽取两个数字，抽取6个编号，则抽到的第6个编号是( )48628 50089 38155 69882 27761 7390353666 08912 48395 32616 34902 6364000620 79613 29901 92364 38659 64526A. 48B. 24C. 26D. 365. 是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数满分100分按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为( )A. 70B.C.D. 607. 如图，某几何体三视图为三个完全相同的圆心角为的扇形，则该几何体的表面积是( )A.B.C.D.8. 设数列的前n项和为，，且，则( )A. 2019B.C. 2020D.9. 已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为( )A. B. C. D.10. 已知函数是定义域为R且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是( )A. …B. 函数的图象关于对称C.的值域为D. 函数有9个零点11. 函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为______ .12. 如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，零件到达后，一件成品最少、最多需要经过的工序数目分别为______ .13. 给定参考公式：，则数列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的前100项的和是______ .14. 设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：第x天14916253649高度ycm0479111213作出这组数据的散点图发现：与天之间近似满足关系式，其中a，b均为大于0的常数.试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出y关于x的经验回归方程；在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的2个点，求这2个点中幼苗的高度大于的点的个数恰为1的概率.附：对于一组数据，，⋯，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，15. 已知三棱锥的侧棱，且M为靠近E的三等分点.证明：；求点M到平面DEF的距离.16. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线C：，其中点，依次为的左、右顶点，点B为的下顶点，点，依次为的左、右焦点.若点，分别为曲线，的圆心.求的方程；若过点，作两条平行线，分别与，和，交与M，N和P，Q，求的最小值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数，复数的共轭复数为，则在复平面对应的点位于第三象限．故选：利用复数的除法运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：，，不存在满足的点M；满足的点M在双曲线的下支；满足的点M在双曲线的上支；满足的点的轨迹是整个双曲线；故选：根据双曲线的定义判断．本题主要考查双曲线的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意可知：只有在及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下：假设开始按动前所有开关均为闭合状态，要只改变的状态，在按动后，，也改变，下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，因此会按动开关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关3次；这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动5次可以满足要求．如下表所示：按顺时针方向开关，逆时针也可以按动开开关开关关关关关按动开关开开关开关关关按动开关关开开关关关开按动开关关开开关开开关按动开关关关关关关关关则需按开关的最少次数为故选：分析可知，要只改变的状态，则只有在及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，利用表格分析即可．本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：自第2行第11列开始，第一个编号为48，去除编号不在的号码和重复号码，依次抽取的6个编号为：48，39，26，16，34，36，则抽到的第6个编号为故选：按照随机数表法的抽取原则依次抽取号码即可确定结果．本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．5.【答案】B【解析】解法一：当时，满足，但，不成立，故是的不充分条件；当时，不成立，当时无意义，即不成立，故是的必要条件；综上，是的必要不充分条件．解法二：当时，，，当且仅当时取等号，所以是的不充分条件；若，则，所以，故是的必要条件；综上，是的必要不充分条件．故选：解法一：根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果．解法二：利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性．本题主要考查了不等式的性质及充分必要条件的判断，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由题意可得，解得，因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，故市民生活幸福指数的中位数在内，设市民生活幸福指数的中位数为x，则，解得故选：根据频率分布直方图所有小长方形面积是1可得，根据中位数的定义即可求得结果．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数的估计，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，直观图如图所示．其表面积故选：由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，画出直观图，根据球的表面积公式和扇形的面积公式，即可求出结果．本题主要考查了是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．将，化为：，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：，化为：数列是等差数列，首项为，公差为则故选：9.【答案】A【解析】解：因为，且的最小正周期为，所以，即，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，当时，，当时，即时，函数取得最大值，最大值为；当时，即，函数取得最小值，最小值为，所以函数的值域为故选：利用三角函数的性质和三角函数的图象变换，求得函数，进而求得函数在区间上的值域．本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由于是定义域为R且周期为4的奇函数，对称中心为原点，对称轴为，，故，，同理，故A正确；因为是周期为4的函数，故也是周期为4的函数，据此取此时，此时在处有最大值，故，故C 错误；对称轴为，，易知，时，B正确；由时，，作出与的图象，结合时，，时，；时，；时，，如图所示，与共由9个交点，故D正确．故选：易知，然后利用，同理可得其它相同的结果，则A可解决；类比的性质，如周期性、对称性，进而解决BCD的判断．本题考查函数的图象与函数的零点之间的关系，以及数形结合思想的应用，属于中档题．11.【答案】【解析】解：根据三个函数可得定义域为：，则根据幂函数的性质可知这三个函数的图像都经过点故答案为：根据幂函数的性质即可得解．本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．12.【答案】4，6【解析】解：由某产品加工为成品的流程图看出，一件成品最少经过的工序有：粗加工，检验，精加工，最后检验，共4道程序；一件成品最多经过的工序有：粗加工，检验，返修加工，返修检验，精加工，最后检验，共6道程序．故答案为：4，根据流程图，直接判断答案即可．本题主要考查了流程图的应用，属于基础题．13.【答案】945【解析】解：在相同的数n中，最后一个n是原数列的第…项，如：最后一个3是第项，，可得最大的，也就是最后一个13是数列的第91项，，故答案为：观察知，在相同的数n中，最后一个n是原数列的第…项，则由，得最大的，进而知最后一个13是数列的第91项，即可得出答案．本题考查数列的求和，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．14.【答案】解：令，则，根据已知数据表得到如下表：x149162536491234567y0479111213，，，因为回归直线过点，所以，故y关于的回归方程；天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取2个点，即从这7天中任取2天，所有可能取到的结果为21种，这2个点中幼苗的高度大于的点的个数恰为1的概率：【解析】利用最小二乘法的计算公式即可；根据古典概型求解即可．本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．15.【答案】解：，，，，，，又，PD，平面PDE，平面PDE，又平面PDE，；设点P到平面DEF的距离为h，为靠近E的三等分点，，点M到平面DEF的距离为，，，又，，PE，平面PEF，平面PEF，又，，，，，，，，即点M到平面DEF的距离为【解析】利用勾股定理和线面垂直的判定可得平面PDE，由线面垂直性质可得结论；设点P到平面DEF的距离为h，可知所求距离为，利用体积，结合棱锥体积公式可构造方程求得h，进而得到结果．本题考查线面垂直的判定定理与性质，等体积法求点面距，属中档题．16.【答案】解：由两圆的方程知：圆心分别为，，即，，，解得：，由题意知：；，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长，设：，其与椭圆交于点和由得：，则，，，，当时，取得最小值，的最小值为【解析】由圆的方程可确定圆心坐标，即椭圆焦点坐标，进而根据椭圆a，b，c关系求得方程；根据对称性将问题转化为求解椭圆截直线的弦长的最小值，利用韦达定理和弦长公式可表示出所求弦长，由此可确定最小值．本题考查直线截椭圆所得弦长最值的求解问题，本题求解最小值的关键是能够对转化为，再根据对称性将转化为直线截椭圆所得弦长的求解问题．。
2020-2021学年宁夏高考第三次模拟考试数学(文)试卷及答案解析
宁夏高考第三次模拟考试能力测试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={-1，0，a}，B={ x|0<x<1}，若A∩B≠Ø，则实数a的取值范围是A.{1}B. (0，1)C.(1，+∞)D. (-∞，0)2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是A. B. C. D.3、已知角的终边经过点P(1.1)，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于,则=A. B. C. D.4、已知等差数列的前项和为，且，则数列的前2016项和为A. B. C. D.5．已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是A．B．C．D．6．在空间中，设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是A. 若且，则B. 若，，，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则必不垂直于7．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于A. 32B. 16C. 8D. 48.已知平面直角坐标系中的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A．B．C．D．9. 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则A. B. 31 C. 33 D.10、已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为A．B．C．D．11、设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．12、已知函数，若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围为A. B.C. D.第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．14已知向量,满足，，则向量在方向上的投影为__________．15. 高三（1）班某一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步.①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在跑步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在跑步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在.16、给出下列命题：①已知都是正数，且，则；②已知是的导函数，若，则一定成立；③命题“使得”的否定是真命题；④且是“”的充要条件；⑤若实数,，则满足的概率为，其中正确的命题的序号是______________（把你认为正确的序号都填上）三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）（1）求角A的大小；（2）若，D是BC的中点，求AD的长.18．（本小题满分12分）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分：累积净化量12以上（克）等级P1 P2 P3 P4为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中．按照，，，，均匀分组，其中累积净化量在的所有数．．据有：4.5，4.6，5.2，5.3，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图：（Ⅰ）求的值及频率分布直方图中的值；（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（Ⅲ）从累积净化量在的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．．19．（本小题满分12分）如图：是平行四边行，平面, //,，，。
2020-2021学年宁夏高考第二次模拟考试数学(文)试题及答案解析
宁夏高三年级第二次模拟考试数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的中性笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．作图可先使用2B 铅笔填涂；非选择题作图必须用黑色字迹的中性笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,2,1=A ,{}6,4,2=B ，则)(A C B U I = A ．{}2B ．{}6,4C ．{}5,3,1D ．{}8,7,6,4 2．复数 =-ii 3 A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31--D ．i 31- 3．已知)2,1(-=→a ,),2(m b =→，若→→⊥b a ，则=→bA ．5B ．3C ．1D ．214．下列有关命题的说法正确的是A ．“0)0(=f ”是“函数)(x f 是奇函数”的充要条件；B ．若01,:0200>--∈∃x x R x p 则01,:2<--∈∀⌝x x R x p ； C ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；D ．“若3πα=，则21cos =α”的否命题是“若3πα≠，则21cos ≠α”． 5．已知y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01241y x y x x ，则y x z +=2的最大值为A ．3B ．4C ．6D ．76．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25，则双曲线C 的渐近线方程为A ．x y 41±=B ．x y 31±=C ．x y 21±=D ．x y ±= 7．执行如图所示的程序框图，输出的=T A ．29 B ．44 C ．52 D ．62 8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为A ．π63B ．π1237题图正视图俯视图侧视图C ．π43 D ．π339.如果函数)2sin(2ϕ-=x y 的图像关于点)0,34(π中心对称，那么ϕ的最小值为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 10.在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若bc b a 322=-,B C sin 32sin =,则角A 为A.ο30B.ο60C.ο120 D ο15011.已知数列{}n a 满足)(21*+∈=-N n n a a n n ,31=a ,则na n 的最小值为 A.0 B.132- C. 3 D.25 12．若函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当[]1,0∈x 时，x x f =)(，若在区间(]1,1- 上，m mx x f x g 2)()(--=有两个零点，则实数m 的取值范围是 A ．131<<mB ． 310≤<mC ．210<<mD ．121≤<m 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13.在区间[2,1]-上随机选一个数x ,使得函数)1(log )(22x x f -=有意义的概率为14. 设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 是抛物线上一点,且在x 轴上方,PA l ⊥，A 为垂足，若直线PF 的倾斜角为120o15．已知函数)1()(f x x f n '+=（∈n N ），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线 与直线023=-+y x 垂直，则函数)(x f y =在区间]2,1[-上的最小值是16．已知直三棱柱111ABCA B C -(侧棱垂直于底面)的各顶点都在球O 的球面上，且AB AC BC ===,若三棱柱111ABC A B C -的体积等于92，则球O 的体积为 .三、解答题（本题包括6道小题共计70分）17.(满分12分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列， 1232a a a +=,且31a +是2a 与4a 的等差中项（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 2log 1+=，求数列{}n b 的前项和n T ．18、（本小题满分12分）某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到如图所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意，(Ⅰ)根据以上资料完成下面的22⨯列联表，并估计用户对该公司的产品“满意”的概率；3 34 6 85 1 36 4 6 2 4 5 5 17 3 3 5 6 98 3 2 1(5%的前提下，认为“满意与否”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++ (Ⅲ) 该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取2人，求这两人都是男用户或都是女用户的概率.19．（本小题满分12分）如图甲，圆O 的直径2=AB ，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，4π=∠CAB ，3π=∠DAB ．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：BA C BC甲 乙（Ⅰ）求证：DE CB ⊥；（Ⅱ）若BD 弧上存在一点G ，使得//FG 平面ACD 成立,试确定点G 的位置,并说明理由．20. （本小题满分12分）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，其左焦点到点)1,2(P 的距离为10．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在过)2,0(-的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，若存在，求出直线l 的方程，不存在请说明理由。
2023年宁夏六盘山高级中学高考数学一模试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年宁夏六盘山高级中学高考数学一模试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B.C.D.2. 若，则等于( )A. 2B. 6C.D.3. 已知函数是奇函数，且当时，，则( )A. B.C. 2D. 44.在中，，，若点M 满足，则( )A.B.C.D.5. 已知命题p ：，；命题q ：，，则下列命题中为真命题的是( )A. B.C.D.6. 已知，则( )A.B. C. D.7. 已知A 为抛物线C ：上一点，点A 到C 的焦点的距离为6，到y 轴的距离为3，O 为坐标原点，则( )A.B. 6C.D. 98. 已知l 是曲线在处的切线，若点到l 的距离为1，则实数( )A. B. C. 1 D.9. 圭表如图甲是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角即大约为，夏至正午时太阳高度角即大约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即DB 的长为a ，则表高即AC的长为( )A. B. C. D.10. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，过D ，M，N三点的平面与直线交于点P，则线段的长为( )A. B. C. D. 不确定11. 已知双曲线C：，直线l过双曲线C的右焦点且斜率为，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于两点点在x轴下方，且，则C的离心率为( )A. 2B.C.D.12. 已知函数的极值点为，函数的最大值为，则( )A. B. C. D.13. 若x，y满足，则的最大值为______ .14. 2022年11月30日，神州十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”.若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为______ .15. 圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程是______ .16. 如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置.若M为线段的中点，在翻折过程中平面，给出以下结论：①存在，使；②三棱锥体积最大值为；③直线平面则其中正确结论的序号为______ 填写所有正确结论的序号17. 已知是等差数列，其前n项和为若，求的通项公式；设，数列的前n项和为，求18. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入了我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.于是公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”，这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件，用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生，减少不必要的财产损失，某省自“国家反诈中心APP”推出后，持续采取多措并举的推广方式，积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作.经统计，省反诈中心发现全省网络诈骗举报件数件与推广时间有关，并记录了经推广x个月后举报件数的数据：推广月数个1234567件891888351220200138112现用作为回归方程模型，利用表中数据，求出该回归方程.分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗？参考数据其中：1586参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD 为菱形，，，M ，N 分别为AB ，的中点.求证：平面平面；若，求点N 到平面的距离.20. 已知函数，当时，求函数的单调区间；若函数有两个零点，求a 的取值范围.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若为等边三角形，且点在椭圆E 上.求椭圆E 的方程；设椭圆E 的左、右顶点分别为，，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点异于椭圆E 的顶点，直线、与y 轴的交点分别为M 、N ，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为为参数，，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；已知点，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求的值.23. 已知函数当时，求的最小值；若，时，对任意，使得不等式恒成立，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，集合，故选：先求出集合A，由此利用并集的定义能求出的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2.【答案】B【解析】解：，所以故选：根据复数的乘法公式可得，再根据共轭复数的概念及复数的加法运算即可求解．本题主要考查共轭复数定义，以及复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为是奇函数，所以，因为当时，，所以，所以故选：根据奇函数的性质可得，由解析式求即可得的值．本题考查了奇函数的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，则故选：根据题意结合向量的线性运算求解．本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：命题p：，；是假命题，例如时无意义，命题q：，，是真命题，例如取时成立，则选项命题中为真命题的是故选：根据已知条件，结合特殊值法，即可求解．本题考查了函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为，所以，两边平方得则故选：由已知结合二倍角公式及同角平方关系进行化简即可求解．本题主要考查了二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意可得，，，，，故选：根据抛物线的几何性质，方程思想，两点间的距离公式，即可求解．本题考查抛物线的几何性质，方程思想，两点间的距离公式，属基础题．8.【答案】A【解析】解：由题知，所以，因为l是曲线在处的切线，所以当时，，且，所以l：，因为点到l的距离为1，所以，解得：故选：根据导数的几何意义求出直线l的斜率，再根据点斜式写出直线l方程，最后由点到直线的距离公式即可求出本题主要考查导数和函数的切线方程，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：，在中，，在中，，由，得，故选：根据图形，找到角度与边长之间的关系求解．本题考查了三角形中得几何计算，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：延长DM交的延长线于点G，连接GN交于点P，如图所示：在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，则为的中点，所以为的中位线，所以，所以，故选：延长DM交的延长线于点G，连接GN交于点P，画出图形，数形结合，结合正方体的性质求解即可．本题考查了空间中两点间距离的计算，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得直线l的方程为：，联立，解得，，，联立，同理可得，，化为：，故选：双曲线的渐近线方程为，由题意可得直线l的方程为：，分别联立解得M，N坐标，根据，即可得出C的离心率．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：在上单调递增，且，，所以，由，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，所以故选：根据题目条件求出，，进而将代入到，根据单调性得出即可．本题考查利用导数研究函数的极值与最值，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：作出不等式组所表示的可行域如下图所示，令，联立，得，则点，平移直线，由图象可知，当直线经过可行域的顶点时，该直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值，即故答案为：作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义，找出目标函数取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．14.【答案】【解析】解：从4名航天员中选2名有种方法，既有男性又有女性有种方法，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为故答案为：根据古典概型公式列式计算即可．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．15.【答案】【解析】解：设所求圆的方程为，因两点，在此圆上，且圆心在上，所以得方程组，解之得，故所求圆的方程为：由已知圆心在直线上及圆过两点三个独立的条件，可利用待定系数法求出圆的标准方程本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解．16.【答案】②③【解析】解：取DE中点F，连接，CF，①假设存在，因为E为AB中点，，所以，又F为DE中点，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为为DE中点，所以DE与FC不垂直，与矛盾，故假设不成立，故①错误；②当平面平面ABCD时，三棱锥体积最大，因为，平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面，此时，所以三棱锥体积最大值为，故②正确；③取DC中点H，连接HM，HB，因为H，M分别为DC，的中点，所以，因为ABCD为矩形，且E为AB的中点，所以，且，所以四边形DEBH为平行四边形，所以，因为HB，平面，，平面，所以HM，平面，因为，HM，平面HMB，所以平面平面，因为平面HMB，所以平面，故③正确．故答案为：②③．①假设存在，根据线面垂直的判定定理和性质得到，再说明DE与FC不垂直，与矛盾，即可得到假设不成立；②根据题意得到当平面平面ABCD时，三棱锥体积最大，然后求体积即可；③证明平面平面，再利用面面平行的性质即可得到平面本题考查了线面平行的判定、三棱锥的体积计算以及空间中两直线垂直关系的判定，属于中档题．17.【答案】解：设等差数列的公差为，，，，，的通项公式为，由可知，，【解析】本题考查数列的通项公式及数列求和，属于一般题．利用等差数列通项公式及前n项和求出公差，即可求出；先求数列的通项公式，再利用分组求和法求解．18.【答案】解：由题意，令，设y关于t的线性回归方程为直线，则，则，，又，关于x的回归方程为；仅从现有统计数据所得回归方程，可发现当推广时间越来越长时，即x越来越大时，y的值会逐渐降至接近于30，可知该省一直加大力度推广下去，网络诈骗举报件数大概会逐渐降至30件，但在使用经验回归方程进行预测时，方程只适用于所研究的样本总体，一般具有时效性，不能期望回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值，所以若加大力度一直推广下去，并随着国家对网络诈骗的严厉打击和科技发展，再加上相关部门对个人信息防护手段的加强，人们对网络诈骗犯罪的防范意识逐步提高，网络诈骗举报件数是有可能降至接近于零的．【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．结合的线性回归方程，以及国家政策等信息，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．19.【答案】证明：连接AC，，且，为等边三角形，，又平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD，即平面，又平面，平面平面；解：在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，M，N分别为AB，的中点．，，，，底面ABCD是菱形，，，，由知平面CMN，设点到平面CMN的距离为，，，，，，，，设N到平面的距离为，，，解得点N到平面的距离为【解析】由题意可知为等边三角形，所以，再根据平面平面ABCD 可得平面ABCD，再利用平面与平面垂直的判定定理即可证得平面平面；求出点到平面CMN的距离为，设N到平面的距离为，由，能求出点N到平面的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：当时，，该函数的定义域为，，令可得，列表如下：x取值为正0取值为负单调递增极大值单调递减所以函数在上单调递增，在上单调递减；由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，函数的定义域为，，由，可得，列表如下：x e取值为正0取值为负单调递增极大值单调递减所以，函数的极大值为，且当时，，当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，且，，又，根据以上信息，作出其图象如下：当时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数a的取值范围是【解析】求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论与数形结合思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：为等边三角形，，又，，设椭圆的方程为，点在椭圆E上，，解得，所以椭圆E的方程为证明：由已知得，，设，，则直线的方程为，可得点M坐标为，直线的方程为，可得点N坐标为，，，又，，，整理得，①若直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，联立，消去y整理得，其中，，，即，，，所以或，当时，直线AB的方程为，此时直线AB恒过点，当时，直线AB的方程为，此时直线AB恒过点，②若直线AB的斜率不存在时，由得，即，解得或，此时直线AB的方程为或，所以此时直线AB恒过点或，综上所述，直线AB恒过点或【解析】由已知条件，椭圆的定义及a，b，c的关系可知和，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；设点，，由直线的方程即可求出点M的坐标，由的方程即可求出点N的坐标，由已知条件可知，分直线AB的斜率存在和直线AB的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线AB的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标．本题主要考查椭圆的性质与标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，，所以，所以，即曲线C的普通方程为，直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为；直线l过点，直线l的参数方程为为参数，令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即、为负，故【解析】用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；化直线方程为P点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，，当，，；当，，；当，，；当时，的最小值为证明：，，当时，恒成立可化为恒成立，令，，，，，当且仅当时取得等号；又当时，，故【解析】分段求解的最小值和范围，即可求得结果；将问题转化为，结合二次函数在区间上的最值和基本不等式，即可证明．本题考查了分段函数的最值问题以及不等式的证明问题，属于中档题．。
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷(文科)(一)(附答案详解)
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（文科）（一） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数z 满足(1+2i)z =3−4i ，则z 的实部为( )A. 1B. −1C. 2D. −22. 已知集合A ={x|x +1>0}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {1}B. {−1}C. {0,1}D. {−1,0}3. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A. 15B. 25C. 825D. 9254. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=k|b ⃗ |，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，若a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为2π3，则实数k 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 125. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. (1,√52) B. (√52,+∞) C. (1,54)D. (54,+∞)7. 在四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =1，CD =3，cos∠B =√33，则边AC 的长( )A. √3B. 4C. 2√2D. 2√38. 如图，给出的是计算1+14+17+⋯+1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A. i >100，n =n +1B. i <34，n =n +3C. i >34，n =n +3D. i ≥34，n =n +39. 四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA =AB =2，则直线PB 与平面PAC 所成角为( )A. π6B. π4C. π3D. π210. 定义行列式运算∣∣∣a 1a 2b 1b 2∣∣∣=a 1b 2−a 2b 1，已知函数f(x)=∣∣∣sinωx −1cosω√3∣∣∣(ω>0)，满足：f(x 1)=0，f(x 2)=−2，且|x 1−x 2|的最小值为π2，则ω的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，若C 是x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)椭圆上位于第一象限内的点，A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC =OF ，AB//OC 则该椭圆的离心率为( )A. √63B. √66C. 13D. √3312. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−1f(x)，且在(0,1)上f(x)=3x ，则f(log 354)=( )A. 32B. 23C. −32D. −23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(2x +1)lnx 在点(1,0)处的切线方程为______．14. 设实数x ，y 满足约束条件{3x +2y ≤12x +2y ≤8x ≥0y ≥0，则z =3x +4y 的最大值为______．)=7，则tan2α=______．15.已知tan(α+π416.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a8=82，S41=S9．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最大值．18.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：(1)请填写表(先写出计算过程再填表)：(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(x n−x−)2]参考公式：s2=1n19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，且AD⊥BC，四边形ABB1A1为正方形．(Ⅰ)求证：A1C//平面AB1D；(Ⅱ)若∠BAC=60°，BC=4，求点A1到平面AB1D的距离．20.已知抛物线C1：x2=2py(p>0)和圆C2：(x+1)2+y2=2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点且与C2相切．(1)求p的值；(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．21. 已知函数f(x)=lnx +1ax (a ∈R)在x =1处的切线与直线x −2y +1=0平行．(Ⅰ)求实数a 的值，并判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)=m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1+x 2>1．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =1+tsinα(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(2cos 2θ+cos2θ)=3． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为(2,1)，求直线l 的方程．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≤x+1；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a+b=c，求证：a2+a+1b2≥1．b+1答案和解析1.【答案】B【解析】解：由(1+2i)z=3−4i，得z=3−4i1+2i =(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5−10i5=−1−2i，∴z的实部为−1．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集的运算．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x>−1}；∴A∩B={0,1}．故选：C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，由此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，设另外三位学生分别为A ，B ，C ，基本事件有(甲、乙)，(甲、A)、(甲、B)、(甲、C)、(乙、A)、(乙、B)、(乙、C)、(A,B)，(A,C)、(B,C)共10种，甲被选中包含的基本事件的个数有4个， ∴甲被选中的概率P =410=25． 故选B ．4.【答案】A【解析】解：∵|a ⃗ |=k|b ⃗ |，<a⃗ ,b ⃗ >=2π3，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，∴b ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=|a ⃗ ||b ⃗ |cos 2π3+2b ⃗ 2=−k2b ⃗ 2+2b ⃗ 2=0，且b ⃗ 2≠0， ∴−k2+2=0，解得k =4．故选：A ．根据b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )即可得出b ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=0，然后根据|a ⃗ |=k|b ⃗ |,<a ⃗ ,b ⃗ >=2π3进行数量积的运算即可得出−k2b ⃗ 2+2b ⃗ 2=0，再由b ⃗ 2≠0即可求出k ． 本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出． 【解答】解：∵函数f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)， f(−x)=−x(e x −e −x )4x 2−1=x(e −x −e x )4x 2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y 轴对称，故排除A ；在区间(0,12)上，e x−e−x<0,x>0,4x2−1<0,故f(x)>0，故排除C；当x趋向于正无穷大，e−x−e x趋向于负无穷大，故f(x)趋向于负无穷大，故排除D；综上所述，只有B符合．故选B．6.【答案】B【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为：y=bax，∵点(2,1)在“右”区域内，∴ba ×2>1，即ba>12，∴e=ca =√1+(ba)2>√52，又e>1，则双曲线离心率e的取值范围是(√52,+∞)．故选：B．由于双曲线的一条渐近线方程为：y=ba x，及点(2,1)在“右”区域内，得出ba>12，从而得出双曲线离心率e的取值范围．本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式(组)与平面区域、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．7.【答案】D【解析】解：如图所示：，∵∠D=2∠B，cos∠B=√33，∴cosD=cos2B=2cos2B−1=2×13−1=−13，在△ACD中，AD=1，CD=3，由余弦定理得：cosD=AD2+CD2−AC22AD×CD，∴1+9−AC22×1×3=−13，解得：AC=2√3，故选：D．先利用二倍角公式求出cosD=−13，再在△ACD中，利用余弦定理即可求出AC的长．本题主要考查了二倍角公式，以及余弦定理，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵算法的功能是计算S=1+14+17+⋯+1100的值，由题意及等差数列的性质，可得，100=1+(i−1)×3，解得i=34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框的条件为i>34，根据n值的规律得：执行框②应为n=n+3，故选：C．根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件，根据n值的出现规律可得执行框②的执行式子．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值及n值的出现规律是解答本题的关键，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，因此BD⊥平面PAC；故B O⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2√2，BO=√2．所以sin∠BPO=BOPB =12，所以∠BPO=π6．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB与平面PAC 所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：函数f(x)=∣∣∣sinωx−1cosω√3∣∣∣=√3sinωx −cosωx =2sin(ωx −π6)(ω>0)， 满足f(x 1)=0，f(x 2)=−2，且|x 1−x 2|的最小值为π2， ∴T4=π2，解得T =2π， ∴ω=2πT=1．故选：A ．化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求得T 和ω的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题可知，点A(−a,0)，B(0,b)，∴k AB =ba ， ∵AB//OC ，∴直线OC 的方程为y =ba x ， 联立{y =bax x 2a 2+y 2b 2=1，解得x 2=a 22,y 2=b 22，∴|OC|=√x 2+y 2=√a 2+b 22，∵OC =OF =c ，∴√a2+b 22=c ，由于b 2=a 2−c 2，∴离心率e =c a=√2√3=√63． 故选：A ．根据AB//OC ，可知直线OC 的斜率以及方程，联立该方程与椭圆的方程，可解得点C 的坐标，利用两点间距离公式可得到线段|OC|的长，并与|OF|=c 建立等量关系，再结合b 2=a 2−c 2和e =ca 即可得解．本题考查椭圆的离心率、顶点等几何性质，还涉及曲线方程与直线方程联立后求交点坐标，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数值的求法，指数函数、对数函数的运算与性质，函数的周期性及奇函数性质的综合应用，利用条件求出函数的周期以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键．由已知条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出f(log354)的值．【解答】=f(x)，解：由f(x+2)=−1f(x)得，f(x+4)=−1f(x+2)所以函数f(x)的周期是4，因为f(x)是定义在R上的奇函数，且3<log354<4，则0<4−log354<1，且在(0,1)上，f(x)=3x，所以f(log354)=f(log354−4)=−f(4−log354)．故选C．13.【答案】3x−y−3=0【解析】解：由y=(2x+1)lnx，得：+2，y′=2lnx+1x∴f′(1)=3，即曲线y=(2x+1)lnx在点(1,0)处的切线的斜率为3，则曲线y=(2x+1)lnx在点(1,0)处的切线方程为y−0=3×(x−1)，整理得：3x−y−3=0．故答案为：3x−y−3=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14.【答案】18【解析】解：作出约束条件{3x +2y ≤12x +2y ≤8x ≥0y ≥0，所示的平面区域，如图：作直线3x +4y =0，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由{3x +2y =12x +2y =8， 可得A(2,3)，此时z =18． 故答案为：18．先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各交点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z =3x +4y 的最大值． 本题主要考查了线性规划中的最值问题，属于基础题．15.【答案】247【解析】解：∵tan(α+π4)=7，可得tanα+11−tanα=7， ∴解得tanα=34， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×341−(34)2=247．故答案为：247．由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】36π【解析】解：设圆柱的底面半径为r.因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ． 因为该圆柱的体积为54π，πr 2ℎ=2πr 3=54π，解得r =3， 所以，该圆柱的侧面积为2πr ×2r =36π． 故答案为：36π．通过圆柱的体积与求出圆柱的底面半径，转化求解圆柱的侧面积即可． 本题考查几何体的体积以及表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．17.【答案】解：(1)a 2+a 8=82=2a 5，∴a 5=41由S 41=S 9得41a 21=9a 5⇒a 2=9，得：d =a 21−a 521−5，解得d =−2(4分)故a n =a 5+(n −5)d =41+2(n −5)=51−2n ， 由(1)，得S n =−n 2+50n =−(n −25)2+625.(10分) 由二次函数的性质，当n =25时S n 有最大值625.(12分)【解析】(1)根据公式S 2n−1=(2n −1)a n ，列方程求解即可． (2)由S n 的表达式，根据二次函数的性质处理．本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，属基础题．18.【答案】7 5.4 3【解析】解：(I)由列联表中数据，计算由题图，知：甲射击10次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7． 将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9． 乙射击10次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10． 将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10． (1)x −乙=110×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=7(环)，s 乙2=110×[(2−7)2+(4−7)2+(6−7)2+(7−7)2×2+(8−7)2×2+(9−7)2×2+(10−7)2]=110×(25+9+1+0+2+8+9)=5.4． 填表如下：平均数 方差 命中9环及9环以上的次数甲 7 1.2 1 乙75.43(2)①∵平均数相同，s 甲<s 乙，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些． ③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．(I)由拆线图，求出x −乙和S 乙2，完成列联表．(2)①平均数相同，s 甲<s 乙，从而甲成绩比乙稳定．②平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，乙成绩比甲好些．③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．本题考查列联表的求法，考查平均数、方差的求法，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：如图，连接BA 1，交AB 1于点E ，再连接DE ，由已知得，四边形ABB 1A 1为正方形，E 为AB 1的中点， ∵D 是BC 的中点，∴DE//A 1C ，又DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ， ∴A 1C//平面AB 1D .(Ⅱ)解：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，且BC 为它们的交线， 又AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面CBB 1C 1，又∵B 1D ⊂平面CBB 1C 1， ∴AD ⊥B 1D ，且AD =2√3,B 1D =2√5．同理可得，过D 作DG ⊥AB ，则DG ⊥面ABB 1A 1，且DG =√3． 设A 1到平面AB 1D 的距离为ℎ，由等体积法可得：V A 1−AB 1D =V D−AA 1B 1， 即13×12AD ⋅DB 1⋅ℎ=13×12AA 1⋅A 1B 1⋅DG ， 2√3×2√5⋅ℎ=4×4×√3，ℎ=4√55． 即点A 1到平面AB 1D 的距离为4√55．【解析】(Ⅰ)连接BA 1，交AB 1于点E ，再连接DE ，由证明DE//A 1C ，然后证明A 1C//平面AB 1D .(Ⅱ)设A 1到平面AB 1D 的距离为ℎ，由等体积法可得：V A 1−AB 1D =V D−AA 1B 1，转化求解点A 1到平面AB 1D 的距离．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：(1)依题意设直线l 1的方程为y =x +p2，由已知得：圆C 2：(x +1)2+y 2=2的圆心C 2(−1,0)，半径r =√2， 因为直线l 1与圆C 2相切，所以圆心到直线l 1：y =x +p 2的距离d =|−1+p 2|√12+(−1)2=√2，即|−1+p2|√2=√2，解得p =6或p =−2(舍去)．所以p =6；(2)解法一：依题意设M(m,−3)，由(1)知抛物线C 1方程为x 2=12y ，所以y =x212，所以y′=x6，设A(x 1,y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1．令x =0，y =−16x 12+y 1=−16×12y 1+y 1=−y 1，即l 2交y 轴于B 点坐标为(0,−y 1)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1+3)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,−y 1+3)， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2m,6)， ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,3)． 设N 点坐标为(x,y)，则y =3， 所以点N 在定直线y =3上．解法二：设M(m,−3)，由(1)知抛物线C 1方程为x 2=12y ，① 设A(x 1,y 1)，以A 为切点的切线l 2的方程为y =k(x −x 1)+y 1②，联立①②得：x 2=12[k(x −x 1)+112x 12]， 因为△=144k 2−48kx 1+4x 12=0，所以k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1． 令x =0，得切线l 2交y 轴的B 点坐标为(0,−y 1)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1+3)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,−y 1+3)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2m,6)， ∴ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,3)， 设N 点坐标为(x,y)，则y =3， 所以点N 在定直线y =3上．【解析】本题主要考查了抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于中等题． (1)设出直线l 1的方程为y =x +p2，由直线和圆相切的条件：d =r ，解得p ； (2)方法一、设出M(m,−3)，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；方法二、设出l 2的方程，联立抛物线方程，运用判别式为0，可得切线斜率和方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域：(0,+∞)，因为f ′(x)=1x −1ax 2所以f′(1)=1−1a =12,解得a =2， ∴f(x)=lnx +12x ，∴f′(x)=1x −12x 2=2x−12x 2令f ′(x)<0，解得0<x <12，故上单调递减， 令f ′(x)>0，解得x >12，故上单调递增．(Ⅱ)由x 1，x 2为函数f(x)=m 的两个零点， 得lnx 1+12x 1=m,lnx 2+12x 2=m ，两式相减，可得lnx 1−lnx 2+12x 1−12x 2=0，即ln x1x 2=x 1−x 22x 1x 2，x 1x 2=x 1−x 22lnx 1x 2，因此x 1=x 1x 2−12ln x 1x 2，x 2=1−x 2x 12ln x 1x 2，令，则x 1+x 2=t−12lnt+1−1t2lnt =t−1t2lnt ， 构造函数ℎ(t)=t −1t −2lnt(0<t <1)，则ℎ′(t)=1+1t2−2t=(t−1)2t2>0，所以函数ℎ(t)在(0,1)上单调递增，故ℎ(t)<ℎ(1)=0，即t−1t −2lnt<0，又0<t<1,所以lnt<0，所以t−1t2lnt>1，故x1+x2>1.命题得证．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．(Ⅰ)求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出x1=x1x2−12ln x1x2，x2=1−x2x12ln x1x2，令t=x1x2，则x1+x2=t−12lnt+1−1t2lnt=t−1t2lnt，构造函数ℎ(t)=t−1t−2lnt(0<t<1)，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：(Ⅰ)∵曲线C的极坐标方程为ρ2(2cos2θ+cos2θ)=3，即ρ2(4cos2θ−1)=3，即4ρ2cos2θ−ρ2=3，∴曲线C的直角坐标方程为4x2−x2−y2=3，即x2−y23=1．(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵直线l与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点M的直角坐标为(2,1)，∴x1+x2=4，y1+y2=2，把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入曲线C，得：{3x12−y12=33x22−y22=3，整理，得：3(x1+x2)(x1−x2)−y1+y2)(y1−y2)=0，∴直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=6，∴直线l的方程为y−1=6(x−2)，即6x−y−11=0．【解析】(Ⅰ)曲线C的极坐标方程转化为4ρ2cos2θ−ρ2=3，由此能求出曲线C的直角坐标方程．(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直线l与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点M的直角坐标为(2,1)，得到x1+x2=4，y1+y2=2，由此利用点差法能求出直线l的方程．本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线方程的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】(Ⅰ)解：f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+1．①当x<1时，不等式可化为4−2x≤x+1，解得x≥1，又∵x<1，∴x∈⌀；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，解得x≥1，又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3．③当x>3时，不等式可化为2x−4≤x+1，解得x≤5，又∵x>3，∴3<x≤5．综上所得，1≤x≤5，∴原不等式的解集为[1,5]．(Ⅱ)证明：由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，∴c=2，即a+b=2．令a+1=m，b+1=n，则m>1，n>1，a=m−1，b=n−1，m+n=4，a2 a+1+b2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m+n+1m+1n−4=4mn ≥4(m+n2)2=1，当且仅当m=n即a=b时取等号，原不等式得证．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的运用，考查转化思想，是中档题．(Ⅰ)f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+1.通过①当x<1时，②当1≤x≤3时，③当x>3时，去掉绝对值符号，求解即可．(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，推出a+b=2.令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．。
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.已知i是虚数单位，复数z1=3−4i.若在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，则z1·z2=()A. −25B. 25C. −7D. 73.下列函数中与函数y=12|x|的奇偶性相同且在区间(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=1x B. C. y=√|x| D. y=1x24.已知|a⃗|=1，b⃗ =(0,2)，且a⃗·b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 夹角的大小为()A. π6B. π4C. π3D. π25.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员人数为()A. 12B. 10C. 8D. 66.如图所示为某几何体的三视图，正视图是高为1，长为2的长方形；侧视图是高为1，底为32的直角三角形；俯视图为等腰三角形，则几何体的体积为()A. 12B. 1 C. 32D. 37.已知sin(π3−α)=13，则sin(π6−2α)=()A. −79B. 79C. ±79D. −298.已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S7=21，则a4等于()A. 1B. 2C. 3D. 69.函数f(x)=x22x−2−x的大致图象为()A. B.C. D.10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若C=30°，b=3，△ABC的面积为3√34，则c=()A. 1B. 2C. √32D. √311.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B与两焦点F1、F2构成等边三角形，则此椭圆的离心率为()A. 15B. √34C. √33D. 1212.已知f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)，且f(5)=m，f(7)=n，即f(175)=()．A. 2mnB. m+2nC. m+nD. 2m+n二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x≥0x+y−3≥0x−2y≤0，则z=x+2y的取值范围是______．14.函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y=12x+2，f′(x)为f(x)的导函数，则f(3)+ f′(3)=______．15.双曲线Γ：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．16.如图所示在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4=2a4−1，S3=2a3−1．(1)求{a n}的通项公式；)，求b1+b2+⋯+b n的最大值．(2)记b n=log√2(16S n+118.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π，D为AC中点，E为2BC上一点，且∠CDE=∠ABC．(1)求证：DE⊥平面BCC1B1；(2)若AA1=AC=2AB=2，求三棱锥D−BCB1的体积．19.2017年9月13日，国际奥委会在秘鲁首都利马举行的第131次全会上，最终确定巴黎为2024年夏季奥运会举办地、洛杉矶为2028年夏季奥运会举办地．一次会议决定两届奥运会的举办地是很少见的，原因是无国家申请举办2028年奥运会．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知抛物线C：x2=2y，过点A(0,1)且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N．(1)求四边形MPNQ面积的取值范围；(2)记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．21.已知函数f(x)=e x−ax−1．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(−2,3)上为减函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−m|+|x+1|(m∈R)的最小值为4．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈(0,+∞)，且a+2b+3c=m，求证：1a +12b+13c≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x<−12,或x>0},B={x|x>−12}；∴A∩B={x|x>0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：由题意可知z2=−3−4i，再利用复数的运算法则即可得出．解：由题意可知z2=−3−4i，所以z1z2=(3−4i)(−3−4i)=−16−9=−25．故选A．3.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．因为函数y=12|x|为偶函数，故排除A，再检验其他选项的单调性即可．解：函数f(x)=12|x|=f(−x)为偶函数，故排除A，y=cosx在区间(0,+∞)上有增有减，不符合题意，故排除B；y=√|x|在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；y=1x2在区间(0,+∞)上为减函数，不符合题意，故排除D．故选C．4.答案：C解析：由b⃗ =(0,2)可知，|b⃗ |=2，由向量夹角的公式求解即可．解：由b⃗ =(0,2)可知，|b⃗ |=2，，又夹角的范围为[0,π]，所以夹角为π3，故选C．5.答案：D解析：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是解题的关键．设抽取的女运动员人数为x，根据在分层抽样中，在各部分抽取的比例相等求得x．解：设抽取的女运动员人数为x，∵在分层抽样中，抽取的比例相等，∴856=x42⇒x=6．故选：D．6.答案：B解析：解：∵正视图是高为1，长为2的长方形；侧视图是高为1，底为32的直角三角形；俯视图为等腰三角形，可得如图的四棱锥P−ABCD．平面ABCD⊥平面PCD，由正视图和俯视图可知AD=1，CD=2，P到面ABCD的距离为32．∴四棱锥P−ABCD.的体积为V=13×S ABCD×ℎ=13×1×2×32=1．故选：B．画出其直观图，判断几何体的高，计算底面面积，代入体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7.答案：A解析：解：∵sin(π3−α)=cos[π2−(π3−α)]=cos(π6+α)=13，∴sin(π6−2α)=cos[π2−(π6−2α)]=cos[2(π6+α)]=2cos2(π6+α)−1=2×19−1=−79．故选：A．由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查等差数列前n项和的性质.属于基础题．利用S7=7a4=21，即可求出结果．解：∵数列{a n}是等差数列，且S7=21，∴7a4=21，∴a4=3．故选C．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，由函数为奇函数排除B，D，又由f(2)=1615>1，排除C，即可求解．解：因为f(−x)=(−x)22−x−2x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除B，D，又f(2)=44−14=1615>1，排除C．故选A．10.答案：D解析：解：在△ABC中，由题意可得：S=12absinC，∴3√34=12×3asin30°，解得a=√3．∴c2=a2+b2−2abcosC=3+9−6√3×√32=3，解得c=√3．故选：D．利用三角形面积计算公式可得a，再利用余弦定理即可得出c．本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：本题考查椭圆的简单性质，求得|BF1|=a是关键，属于中档题．利用椭圆的性质知|F1F2|=2c，|BF1|=a，从而可求此椭圆的离心率．解：依题意，作图如下：∵|F1F2|=2c，|BE|=√OF12+OB2=√c2+b2=a，△BF1F2为等边三角形，|BF1|=|F1F2|=2c，a=2c，∴离心率e =c a =12． 故选：D ．12.答案：D解析：因为f(x)+f(y)=f(xy)，所以f(175)=f(25×7)=f(25)+f(7)=f(5×5)+f(7)=2f(5)+f(7)=2m +n ．13.答案：[4,+∞)解析：解：x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0，表示的可行域如图：目标函数z =x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由{x +y −3=0x −2y =0解得C(2,1)， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4,+∞)． 故答案为：[4,+∞)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．14.答案：4解析：本题主要考查导数的基本运算，根据导数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题． 根据导数的几何意义，即可得到结论．解：∵函数y =f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y =12x +2， ∴f(3)=12×3+2=72，f ′(3)=12， 即f(3)+f ′(3)=72+12=4， 故答案为：4．15.答案：8解析：本题考查了双曲线的性质及几何意义，由焦点到渐近线的距离为3，得√b2+a2=b=3，又2c=10，即c=5，所以a=√c2−b2=√52−32=4，从而得出结果．解：其中一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，因为焦点到渐近线的距离为3，得√b2+a2=b=3，又2c=10，即c=5，所以a=√c2−b2=√52−32=4，所以实轴长为2a=8，故答案为8．16.答案：√3+1解析：本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．运用余弦定理，表示出AC，进而用三角函数表示出S△BCD．解：在△ABC中，设∠ACB=α，∠ABC=β，由余弦定理得：AC2=12+22−2×1×2cosα=5−4cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD2=5−4cosα，由正弦定理得：1sinβ=ACsinα，∴AC⋅sinβ=sinα，∴CD ⋅sinβ=sinα，∵(CD ⋅cosβ)2=CD 2(1−sin 2β)=CD 2−sin 2α=5−4cosα−sin 2α=(2−cosα)2， ∵β<∠BAC ，∴β为锐角，CD ⋅cosβ=2−cosα，∴S △BCD =12⋅2⋅CD ⋅sin(π3+β)=CD ⋅sin(π3+β) =√32CD ⋅cosβ+12CD ⋅sinβ=√32⋅(2−cosα)+12sinα=√3+sin(α−π3)，当α=5π6时，(S △BCD )max =√3+1．故答案为√3+1．17.答案：解：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4−S 3=a 4得，2a 4−2a 3=a 4，所以a4a 3=2，所以q =2．又因为S 3=2a 3−1所以a 1+2a 1+4a 1=8a 1−1，所以a 1=1． 所以a n =2n−1． (2)由(1)知，S n =1−2n 1−2=2n −1，所以b n =log √2(16Sn +1)=2log 224−n =8−2n ，b n −b n−1=−2，所以{b n }是首项为6，公差为−2的等差数列， 所以b 1=6，b 2=4，b 3=2，b 4=0，当n >5时b n <0， 所以当n =3或n =4时，b 1+b 2+⋯+b n 的最大值为12．解析：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4−S 3=a 4得，2a 4−2a 3=a 4，可得a4a 3=2=q ，由S 3=2a 3−1，可得a 1+2a 1+4a 1=8a 1−1，解得a 1.即可得出． (2)由(1)知，S n =1−2n 1−2=2n −1，可得b n =log √2(16Sn +1)=2log 224−n =8−2n ，b n −b n−1=−2，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴B 1B ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥DE ， ∵∠CDE =∠ABC ，∠DCE =∠BCA ， ∴△EDC∽△ABC ，∴∠DEC =∠BAC =π2，即DE ⊥BC ，又B1B∩BC=B，∴DE⊥平面BCC1B1；(2)S△BCD=S△ABC−S△ABD=12×1×2−12×1×1=12，∵B1B⊥平面ABC，∴B1B为三棱锥B1−BCD的高，∴由等体积可得三棱锥D−BCB1的体积=13×12×2=13．解析：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定是关键．(1)证明：B1B⊥DE，DE⊥BC，即可证明DE⊥平面BCC1B1；(2)利用等体积法，求三棱锥D−BCB1的体积．19.答案：解：(1)根据题意，填写列联表如下：(2)根据表中数据，计算K2=100×(20×10−10×60)280×20×30×70≈4.762>3.841；∴能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；(3)记抽取的5人分别为A、B、c、d、e，其中A、B为教师；从这5人中任意抽取3人，所以可能的基本事件是：ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10个；其中至多1位教师有7个基本事件，为Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde；故所求的概率值是P=710．解析：本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．(1)根据题意填写列联表即可；(2)根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．20.答案：解：(1)由题意可知两直线l1，l2的斜率一定存在，且不等于0．设l1：y=kx+1(k≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则l2：y=−1kx+1(k≠0)．联立直线l1与抛物线的方程，有{y=kx+1,x2=2y,⇒x2−2kx−2=0．其中Δ=4k2+8>0，由韦达定理，有{x1+x2=2k, x1x2=−2.由上可得|PQ|=√1+k2|x1−x2|=√(1+k2)(8+4k2)，同理|MN|=√(1+1k )(8+4k)，则四边形MPNQ面积S=12|PQ||MN|=12√(2+k2+1k2)(80+32k2+32k2)．令k2+1k2=t≥2，则S=12√(2+t)(80+32t)=√8t2+36t+40．所以，当且仅当t=2，即k=±1时，S取得最小值12，且当t→+∞时，S→+∞．故四边形MPNQ面积的范围是[12,+∞)．(2)由(1)有x1+x2=2k，y1+y2=2k2+2，所以PQ的中点E的坐标为(k,k2+1)，同理点F的坐标为(−1k ,1k2+1)．于是，直线EF的斜率为k EF=k 2+1−(1k2+1)k+1k=k2−1k2k+1k=k−1k．则直线EF的方程为：y−(k2+1)=(k−1k )(x−k)⇒y=(k−1k)x+2．所以直线EF恒过定点(0,2)．解析：本题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．属于中档题．(1)设出直线l1，l2的方程，分别与抛物线联立，利用弦长公式求出|PQ|，|MN|的长度，写出四边形MPNQ的面积，利用换元法和二次函数的性质求出四边形MPNQ面积的取值范围；(2)由(1)分别求出点E和点F的坐标，写出直线EF的方程，判定出无论k取何值，直线EF恒过的定点．21.答案：解f′(x)=e x−a，(1)若a≤0，则f′(x)=e x−a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，e x−a≥0，∴e x≥a，x≥ln a．因此f(x)的递增区间是[lna,+∞)．(2)由f′(x)=e x−a≤0在(−2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(−2,3)上恒成立．又∵−2<x<3，∴e−2<e x<e3，只需a≥e3．当a=e3时f′(x)=e x−e3在x∈(−2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(−2,3)上为减函数，∴a≥e3．故存在实数a≥e3，使f(x)在(−2,3)上单调递减．解析：(1)先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a>0的情况，从而求出单调区间；(2)由f′(x)=e x−a≤0在(−2,3)上恒成立．从而a≥e x在x∈(−2,3)上恒成立，从而f(x)在(−2,3)上为减函数，得a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(−2,3)上单调递减．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．22.答案：解：(1)对于C1：x+y=4cos2θ+4sin2θ=4，即x+y=4，x⩾0,y⩾0，对于C2：x2=t2+1t2+2，y2=t2+1t2−2，即有：x2−y2=4，(2)联立C1，C2，可得P点坐标为(52,32 )，设圆心为(a,0)a>0，则：a2=(52−a)2+94，即a=1710，则圆的直角坐标方程为：(x−1710)2+y2=(1710)2转换为极坐标方程为：ρ=175cosθ．解析：本题主要考查参数方程化为直角坐标方程以及圆的极坐标方程．23.答案：解：(1)f(x)=|x −m|+|x +1|≥|(x −m)−(x +1)|=|m +1|，所以|m +1|=4，解得m =−5或m =3． (2)由题意，a +2b +3c =3．于是1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c ) =13(3+2b a +a 2b +3c a+a 3c +3c 2b +2b 3c )≥13(3+2√2b a ⋅a 2b +2√3c a ⋅a 3c +2√3c 2b ⋅2b3c )=3，当且仅当a =2b =3c 时等号成立，即a =1，b =12，c =13时等号成立， 故1a +12b +13c ≥3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题． (1)根据绝对值不等式的性质得到关于m 的方程，解出即可； (2)求出a +2b +3c =3，根据基本不等式的性质证明即可．。
2024届宁夏银川市、石嘴山市高三下学期一模文数试题及答案
银川市2024年普通高中学科教学质量检测文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22～23题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数123i z z ==-，则12z z =（ ）A ．B ．C ．3i-D ．3i2．设全集{}{}0,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,{2}U A B x Z ===∈<，则()U A B = ð（ ）A ．{}0,4,5,6B ．{}0,5,6C ．{}6D ．{}1,2,33．从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，则甲参加上午活动的概率是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．124．下列四个函数中，是偶函数且在区间()0,+∞上单调递增的函数个数是（）①2x x e e y -+=②2sin y x x = ③()lg 1y x =+④tan y x=A ．1B ．2C ．3D ．45．锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为pQ kt =，其中Q （单位mAh ）为电池容量损失量，p 是时间t 的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k 是方程剩余项未知参数的组合，与温度T 和电池初始荷电状态M 等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得0.5p =，相关统计学参数20.995R >，且预测值与实际值误差很小，在研究M 对Q 的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为()A BM p p Q kt e t +==，经实验采集数据进行拟合后获得 2.228, 1.3A B ==，相关统计学参数20.999R =，且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为80%，存放16天后，电容量损失量约为（参考数据为： 3.2223.232 3.268 3.62825.08,25.33,26.26,7.64e e e e ≈≈≈≈）（ ）A ．100.32B ．101.32C ．105.04D ．150.566．若1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．34-C ．34D ．787．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，点,E F 分别是1,BC CC 的中点，则（ ）A ．1//OC EFB ．直线EF 与平面ABCD 所成的角是30C ．//EF 平面11AC D D ．异面直线EF 与AB 所成的角是608．在ABC △中，290,,,ACB AC a BC a P ∠===是ABC △内一点，PA PC =，且PBC △的面积是PAC △的面积的2倍，则PA PB ⋅（ ）A ．423164a a +B ．423164a a -C ．423164a a -+D ．423164a a --9．已知实数0,0a b >>，则“a b >”是“11ln a b a b>-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设函数()()22sincos cos 0f x x x x x ωωωωω=-+>，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()2f x =有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是（ ）A ．814,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．814,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．713,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．如图，球1O 与圆锥PO 相切，切点在圆锥PO 的底面圆周上，圆锥PO 的母线长是底面半径的2倍，设球1O 的体积为1V ，圆锥PO 的体积为2V ，则12:V V =（）A ．32:9B ．27:8C ．26:7D ．9:412．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()2,12f x f x f -==，则()()()1230f f f +++= （ ）A ．2B ．0C ．60D ．62第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数,x y 满足约束条件270210310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．14．已知点F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点A 在抛物线上，且AF 与x 轴垂直，过点A 与OA 垂直的直线交抛物线于另一点B ，若13FB =，则抛物线C 的方程为______．15．在ABC △中，30,2,CAB AB BC AC ∠===，点D 在线段AB 的延长线上，且4AB BD =，则CD =______．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若12F PF ∠的内角平分线与x 轴的交点M 平分线段2OF ，则双曲线C 的离心率为______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为25,10,70n S a S ==，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题：（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n G ．条件①()*12,,m n m n b b b b m n N +==∈；条件②()*112n n T b n N =-∈．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm 土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成A B 、两组，测得A 组土壤可溶性盐含量数据样本平均数10.82x =，方差120.0293x s =，B 组土壤可溶性盐含量数据样本平均数20.83x =，方差220.1697x s =．用技术1对A 组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对B 组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：A 组1y 0.660.680.690.710.720.74B 组2y 0.460.480.490.490.510.51改良后A 组、B 组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为1y 和2y ，样本方差分别记为12y s 和22y s （1）求122212,,,y y y y s s ；（2）应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若1,2i i x y i ->=，则认为技术i 能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）。
宁夏2022-2022届高三第二次模拟考试 数学(文)试卷(含答案)
绝密★启普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B 的元素个数为A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则=||zA ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，）（4,x =，若c b a ⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．36．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=e z -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________.14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=；（2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为1)1(22=+-y x ，2C 的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点为A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求OBOA 3-的取值范围.23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.数学(文科)试题答案一.选择题：二.填空题：13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或（1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.S 球＝4πR 2＝36π.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.4252.5558510.45i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-，则y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,N Nt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩， 所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k 22.解：（1）曲线1C 的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=2C 的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA精品 Word 可修改 欢迎下载联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA 又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈- 23. 证明： （1）因为=++++++++=++c c b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++cb c a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c c b a ++≥++∴111 当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。
2022年宁夏银川市高考数学一模试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年宁夏银川市高考数学一模试卷（文科）1.若集合，，则( )A. B. C. D.2.在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知是第三象限角，且，则( )A. B. C. D.4.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则C的离心率为( )A. B. 2 C. D.5.已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为…，，回归直线方程为，若，，则( )A. 9B. 4C.D.6.交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施．如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为，则该圆锥体交通锥的体积为( )A.B.C.D.7.已知函数是R上的奇函数，当时，，若，e是自然对数的底数，则( )A. eB. 2eC. 3eD. 4e8.我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩．在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0，4，利用计算机产生之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：813，502，659，491，275，937，740，632，845，由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为( )A. B. C. D.9.如图所示的是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是( )A. 7B. 8C. 9D. 1010.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：：：给出下列四个命题：①平面EGHF；②平面ABC；③平面EGHF；④直线GE，HF，AC交于一点．其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为( )A. B. C. D.12.已知，是锐角，，则( )A. B. C. D.13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______.14.已知平面向量，且，则______.15.已知函数在R上单调递增，则m的最小值为______.16.已知，，O为坐标原点，若在抛物线C：上存在点N，使得，则的取值范围是______.17.某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试．已知队员的测试分数y与跳绳个数x的关系如下：，测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，当第一次测完，测试成绩达到60分及以上时，就以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次测试．根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内限时测试的成绩，将数据分成组，并整理得到如下频率分布直方图：计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；同一组中的数据用该组区间中点值作为代表将跳绳个数落人各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，求队员甲达标测试不低于80分的概率．18.如图，四棱锥的底面为等腰梯形，，且，，平面平面证明：；若，F为AD的中点，求三棱锥的体积．19.已知数列为等差数列，数列为等比数列，，且求与的通项公式；设等差数列的前n项和为，求数列的前n项和20.已知函数求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．对于任意，，证明：若，则21.已知椭圆E：的焦距为2c，左、右焦点分别是，，其离心率为，圆：与圆：相交，两圆的交点在椭圆E上．求椭圆E的方程；已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，O为坐标原点，且O为的重心．证明：的面积为定值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数求C的直角坐标方程；点是曲线C上在第一象限内的一动点，求的最小值．23.已知函数求不等式的解集；若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，或，，故选：解绝对值不等式求出集合A，求出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查集合的运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：，则z在复平面内对应的点的坐标为，则z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：先由复数的运算求出z，再确定z在复平面内对应的点所在的象限即可．本题考查了复数的运算，重点考查了复数的几何意义，属基础题．3.【答案】C【解析】解：因为，所以解得，又是第三象限角，所以可得故选：由题意利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意，双曲线C：的两条渐近线互相垂直，焦距为8，可得，得，所以双曲线的离心率故选：根据题意，列出方程组，求得a，b，c的值，再利用离心率的计算公式，即可求解．本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确列出方程组，求得a，b，c的值，再利用离心率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，，，，样本点的中心的坐标为，又回归直线方程为，，得故选：由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程，即可求得本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.【答案】C【解析】解：设该圆锥体交通锥的底面半径为r，则，解得：，所以该圆锥体交通锥的体积为故选：设出底面半径，利用侧面积求出半径，进而利用圆锥体积公式进行所求解．本题主要考查锥体体积的计算，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：依题意得，，由，可得，解得，所以当时．，所以故选：根据奇函数的性质可得，结合，即可求解a的值，最后根据计算可得结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意可知，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，共2个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为故选：根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及对立事件的概率和为1，即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，以及对立事件的概率和为1，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，此时，满足条件，退出循环，输出n的值为故选：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】B【解析】解：因为BG：：HC，所以且，又E，F分别为AB，AD的中点，所以且，则，又平面EGHF，平面EGHF，所以平面EGHF，故①正确；因为F为AD的中点，H为CD的一个三等分点，所以FH与AC为相交直线，故FH与平面ABC必不平行，AC也不平行于平面EGHF，故②③错误；因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，又平面ABC，平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，所以，即直线GE，HF，AC交于一点，故④正确．故选：依题意可得且且，即可得到平面EGHF，再判断FH与AC为相交直线，即可判断②③，由四边形EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，即可得到，从而判断④．本题考查了线面平行的判断，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为，，所以由余弦定理可得，所以，整理可得，可得，当且仅当时等号成立，则面积，当且仅当时等号成立，即面积的最大值为故选：由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：，可化为，即，而函数在上为增函数，所以，即，又，是锐角所以，所以，所以，即，所以，即故选：根据，可得，从而可得，即，再根据正切函数得单调性结合诱导公式即可得出答案．本题考查了正切函数的单调性，属于中档题．13.【答案】6【解析】解：画出不等式组表示的平面区域如图所示：目标函数可化为，平移目标函数知，当目标函数过点A时，直线在y轴上的截距最大，z取得最大值；由，解得，所以z的最大值为故答案为：画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数找出最优解，求出z的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：，且，，解得，故答案为：由平面向量的数量积知，从而解得．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：因为函数在R上单调递增，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，又因为，所以，故答案为：根据函数在R上单调递增得到在R上恒成立，求解即可．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于基础题．16.【答案】【解析】解：过M作C的一条切线，切点为Q，设，在抛物线C：上存在点N，使得，，当时，直线MQ的方程为，将代入，可得，，解得，的取值范围是过M作C的一条切线，切点为Q，设，可得，线MQ的方程为，代入抛物线方程，利用，可得，从而可得的取值范围．本题考查抛物线的几何性质、考查学生的计算能力，属中档题．17.【答案】解：由题可得，所以队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值为个队员甲达标测试得80分的概率，队员甲达标测试得100分的概率，则队员甲达标测试不低于80分的概率为【解析】根据频率分布直方图中每个小长方形的面积之和为1，求出a，再利用频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和即为平均数的估计值；由题意可知，队员甲达标测试得80分的概率及队员甲达标测试得100分的概率再求队员甲达标测试不低于80分的概率．本题考查概率的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：因为平面平面ACB，且平面平面，，所以平面又因为平面ACD，所以解：如图，连接在中，由余弦定理可得，所以在中，由余弦定理得，则，则因为平面ACD，所以，所以【解析】证明平面ACD即可；根据即可求解．本题主要考查空间中的垂直关系，锥体体积的计算等知识，属于中等题．19.【答案】解：因为，当时，，由，解得，又由，当时，可得，两式相减得，当时，适合上式，所以，因为为等差数列，为等比数列，所以的公比为2，所以，所以解：由，可得数列的前n项和为，又由，可得数列的前n项和，则，所以数列的前n项和为，所以数列的前n项和【解析】根据题设条件，当时，得到，两式相减得到，结合为等差数列，为等比数列，即可求得与的通项公式；由分别利用等差数列和等比数列的求和公式，求得与的前n项和，得到，结合裂项法求得的前n项和，即可求解．本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：因为，所以，所以切线斜率为，又因为，所以切线方程为，即，其与x轴、y轴交点坐标分别为，，所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为；证明：构造函数，，，，可知在R上单调递增，又，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以函数在R上单调递增，所以若，时，即若，则成立．【解析】根据求切线方程的方法求得切线方程，然后求得切线与两坐标轴交点坐标，最后求得三角形面积；构造函数，然后证明该函数在R上是增函数即可．本题考查导数应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于难题．21.【答案】解：由题意得，由圆与圆相交，两圆的交点在椭圆E上，可知，又，解得，，所以椭圆E的方程为证明：设，，当AB垂直于x轴时，，因为O为的重心，所以或根据椭圆的对称性，不妨令，此时，，当AB与x轴不垂直时，设直线AB：，将其代入，得，则，设，则，代入，得，又，原点O到AB的距离，所以所以，即的面积为定值．【解析】利用离心率，结合圆与圆相交，两圆的交点在椭圆E 上，求解a，b，推出椭圆方程．设，，当AB垂直于x轴时，求解当AB与x轴不垂直时，设直线AB：，将其代入，利用韦达定理，求出C的坐标，代入椭圆方程，然后转化求解三角形的面积，推出结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：由题可知，，所以因为，所以C的直角坐标方程为点是曲线C上在第一象限内的一动点，令，，则，因为上式在上单调递减，故当时，取得最小值【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用三角函数的关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：不等式等价于或或解得或故原不等式的解集为或；当时，不等式恒成立，即当时，可化为，因为，所以，即a的取值范围为【解析】采用零点分段法求解即可‘分离参数，转化为最值问题．利用三角绝对值不等式求解．’本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．。
2020年宁夏高考数学(文科)模拟试卷(3)
2020年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．∅2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）已知数列{a n }的前n 项和公式是S n =2n 2+3n ，则（ ） A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列4．（5分）现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ） A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科5．（5分）若等边△ABC 的边长为4，则AB →•AC →=（ ） A ．8B ．﹣8C ．8√3D ．﹣8√36．（5分）已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π37．（5分）已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若a ，b 在平面α内，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αC ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且α∩β＝c ，则c 必与a 或b 相交 8．（5分）函数f(x)=(21+e x −1)sinx 图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）要得到函数y ＝cos （2x +π3）的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象（ ） A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度10．（5分）已知函数f （x ）和g （x ）的定义如表一，二： 表一：x 1 2 3 f （x ） 231表二：x 1 2 3 g （x ）321则方程g （f （x ））＝x 的解集是（ ） A ．∅B ．{3}C ．{2}D ．{1}11．（5分）若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被曲线（x ﹣2）2+y 2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．2√33C ．√5D ．2√5512．（5分）已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在等比数列{a n }中，已知a 2+a 4＝8，a 6+a 8＝4，则a 10+a 12+a 14+a 16＝ ． 14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件：{x −y ≥0x +y −4≤0y ≥1，则z ＝2﹣2x +y 的最大值为 ．15．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣x 2的图象在点（1，f （1））处的切线过点（0，a ），则a ＝ ．16．（5分）已知正三棱锥S ﹣ABC 的侧棱长为4√3，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，acosC +ccosA +√2bcosB =0． （1）求B ；（2）若BC 边的中线AM 长为√5，求△ABC 的面积．18．（12分）设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛． （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（Ⅱ）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．设“编号为A 1，A 2的两名运动员至少有一人被抽到”为事件A ，求事件A 发生的概率．19．（12分）如图．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AA 1=√2，底面是边长为1的等边三角形，D 为BB 1的中点，AC 1与CA 1交于点E ． （Ⅰ）证明：DE ∥平面A 1B 1C 1； （Ⅱ）求点B 到平面DCA 1的距离．20．（12分）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），焦距为2，P 为椭圆C 上一点，F 为焦点，且PF ⊥x 轴，|PF |=32． （1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 为y 轴正半轴上的定点，过点Q 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，且S △AOB =−32tan ∠AOB ，求点Q 的坐标．21．（12分）设函数f(x)=x −alnx +a−2xx 2(a ＞0)． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）记函数f （x ）的最小值为g （a ），证明：g （a ）＜1． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2+12ty =√32t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=√10． （1）若l 与C 相交于A ，B 两点P （﹣2，0），求|P A |•|PB |；（2）圆M 的圆心在极轴上，且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．五．解答题（共1小题） 23．已知函数f(x)=|x −a 2+1a|+|x −1|（a ＞0），g （x ）＝4﹣|x ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）≤g （x ）的解集包含[0，1]，求a 的取值集合．2020年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．∅【解答】解：∵集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}＝（﹣1，1}， B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}＝（0，+∞）， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：C ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i 1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ， ∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102． 故选：C ．3．（5分）已知数列{a n }的前n 项和公式是S n =2n 2+3n ，则（ ） A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列【解答】解：n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n 2+3n ﹣2（n ﹣1）2﹣3（n ﹣1）＝4n +1， n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12+3×1＝5，符合上式， ∴a n ＝4n +1． 故选：C ．4．（5分）现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ） A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科【解答】解：由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量， 故选：D ．5．（5分）若等边△ABC 的边长为4，则AB →•AC →=（ ） A ．8B ．﹣8C ．8√3D ．﹣8√3【解答】解：如图，根据题意，|AB →|=|AC →|=4，＜AB →，AC →＞=∠BAC =60°， ∴AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos60°=4×4×12=8． 故选：A ．6．（5分）已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π3【解答】解：如图，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的 垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心， 由AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66 ∴四面体A ﹣BCD 的外接球的半径R =2+BG 2=(√66)2+(12)2=√512∴球O 的表面积为=4π×(√512)2=5π3， 故选：A ．7．（5分）已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若a ，b 在平面α内，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αC ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且α∩β＝c ，则c 必与a 或b 相交【解答】解：对于选项A ：若a ∥α，α∩β＝b ，则直线a 也可能与直线b 异面，故错误． 对于选项B ，只有直线a 和b 为相交直线时，若c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α．故错误 对于选项C ：若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a ，b ，c 都相交．故错误对于选项D ：若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且α∩β＝c ，则c 必与a 或b 相交，正确． 故选：D ．8．（5分）函数f(x)=(21+e x −1)sinx 图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：f(x)=(21+e x −1)sinx =1−e x1+e x •sin x ，则f （﹣x ）=1−e −x 1+e −x •sin （﹣x ）=e x −1e x +1•（﹣sin x ）=1−e x1+e x •sin x ＝f （x ），则f （x ）是偶函数，则图象关于y 轴对称，排除B ，D ， 由f （x ）＝0，得1﹣e x ＝0或sin x ＝0，得x ＝k π，k ∈Z ，即当x ＞0时，第一个零点为π， 当x ＝1时，f （1）=1−e1+e •sin1＜0，排除A ， 故选：C ．9．（5分）要得到函数y ＝cos （2x +π3）的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象（ ） A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度【解答】解：∵y ＝cos （2x +π3）＝cos[2（x +π6）]，∴将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π6个单位，即可得到y ＝cos （2x +π3）的图象．故选：C ．10．（5分）已知函数f （x ）和g （x ）的定义如表一，二： 表一：x123f （x ） 2 3 1表二：x 1 2 3 g （x ）321则方程g （f （x ））＝x 的解集是（ ） A ．∅B ．{3}C ．{2}D ．{1}【解答】解：∵f （1）＝2，f （2）＝3，f （3）＝1， g （f （1））＝2，g （f （2））＝1，g （f （3））＝3， ∴只有g （f （3））＝3满足，因此方程g （f （x ））＝x 的解集是{3}． 故选：B ．11．（5分）若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被曲线（x ﹣2）2+y 2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．2√33C ．√5D ．2√55【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线不妨为：bx +ay ＝0，圆（x ﹣2）2+y 2＝2的圆心（2，0），半径为√2，双曲线的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝2所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√a 2+b，4b 2c 2=4c 2−4a 2c 2=1，解得：e =ca =2√33， 故选：B ．12．（5分）已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2； 所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在等比数列{a n }中，已知a 2+a 4＝8，a 6+a 8＝4，则a 10+a 12+a 14+a 16＝ 3 ． 【解答】解：设等比数列的公比为q ，则{a 1q(1+q 2)=8a 1q 5(1+q 2)=4，解可得q 4=12，所以a 10+a 12+a 14+a 16=(a 2+a 4)q 8+（a 6+a 8）q 8＝8×14+4×14=3． 故答案为：3．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件：{x −y ≥0x +y −4≤0y ≥1，则z ＝2﹣2x +y 的最大值为 12．【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件：{x −y ≥0x +y −4≤0y ≥1，作出可行域如图，则z ＝2﹣2x +y的最大值就是u ＝2x ﹣y 的最小值时取得． 联立{x −y =0y =1，解得A （1，1），化目标函数u ＝﹣2x +y 为y ＝2x +u ，由图可知，当直线y ＝2x +u 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最大值为2﹣2+1=12． 故答案为：12．15．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a ＝1．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣x2的导数为f′（x）＝e x﹣2x，函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e﹣2，切点为（1，e﹣1），由切线过点（0，a），可得：e﹣2=e−1−a 1−0，解得a＝1，故答案为：1．16．（5分）已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4√3，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是64π．【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，外接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得：r=6 sinπ3，所以r＝2√3，即O'A＝2√3，所以三棱锥的高h=2−O′A2=√(4√3)2−(2√3)2=6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故答案为：64π．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，acosC+ccosA+√2bcosB=0．（1）求B；（2）若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，asinA =bsinB=csinC，且acosC+ccosA+√2bcosB=0，∴sinAcosC+sinCcosA+√2sinBcosB=0，∴sinB⋅(1+√2cosB)=0，又∵sin B≠0，∴cosB=−√2 2．∵B是三角形的内角，∴B=3π4；（2）在△ABM中，BM=1，AM=√5，B=3π4，AB=c，由余弦定理得AM2＝c2+（BM）2﹣2c•BM•cos B，∴c2+√2c−4=0，∵c＞0，∴c=√2．在△ABC中，a＝2，c=√2，B=3π4，∴△ABC的面积S=12acsinB=1．18．（12分）设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（Ⅱ）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．设“编号为A1，A2的两名运动员至少有一人被抽到”为事件A，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛，甲羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5×1818+9+18=2，乙羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5×918+9+18=1，丙羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5×1818+9+18=2．（Ⅱ）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．基本事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A3，A4），（A3，A5），（A4，A5），设“编号为A1，A2的两名运动员至少有一人被抽到”为事件A，事件A包含的基本事件有6个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），∴事件A发生的概率为P（A）=7 10．19．（12分）如图．直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1=√2，底面是边长为1的等边三角形，D 为BB1的中点，AC1与CA1交于点E．（Ⅰ）证明：DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求点B到平面DCA1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取A1C1的中点F，连接EF，B1F，∵EF∥AA1，BB1∥AA1，∴DB1∥EF，又∵EF=DB1=12AA1，∴四边形DEFB1为平行四边形，则DE∥B1F．又∵B1F⊂平面A1B1C1，DE⊄平面A1B1C1．∴DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）解：取AB的中点H，连接CH，由直三棱柱的性质可得CH ⊥平面AA 1B 1B ，CH =√32，S △BDA 1=√24．设点B 到平面DCA 1的距离为h ，又S △DCA 1=34， 由V B−DCA 1=V C−BDA 1，得13S △DCA 1⋅ℎ=13S △BDA 1⋅CH ，即13×34ℎ=13×√24×√32，解得h =√66．20．（12分）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），焦距为2，P 为椭圆C 上一点，F 为焦点，且PF ⊥x 轴，|PF |=32． （1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 为y 轴正半轴上的定点，过点Q 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，且S △AOB =−32tan ∠AOB ，求点Q 的坐标．【解答】解：（1）由题意可得2c ＝2，即c ＝1，则a 2﹣b 2＝c 2＝1，又因为PF ⊥x 轴，且|PF |=32，可得b 2a =32，解得a ＝2，b =√3，则椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）设Q （0，m ），直线l 的方程设为y ＝kx +m ， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由S △OAB =12|OA |•|OB |•sin ∠AOB =−32tan ∠AOB =−3sin∠AOB2cos∠AOB ， 则|OA |•|OB |•cos ∠AOB ＝﹣3，即OA →•OB →=−3， 由{y =jx +m3x 2+4y 2=12可得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0， △＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＝48（4k 2﹣m 2+3）＞0，x 1+x 2=−8km 3+4k2，x 1x 2=4m 2−123+4k2，则OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝﹣3， 即有（1+k 2）•4m 2−123+4k 2+km （−8km 3+4k2）+m 2＝﹣3，可得4（k 2m 2﹣3k 2+m 2﹣3）﹣8k 2m 2+（4k 2m 2+12k 2+3m 2+9）＝0， 解得m =√217， 则M 的坐标为（0，√217）． 21．（12分）设函数f(x)=x −alnx +a−2x2(a ＞0)． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）记函数f （x ）的最小值为g （a ），证明：g （a ）＜1．【解答】解：（Ⅰ）显然f （x ）的定义域为（0，+∞）． ………………………………（1分） f ′(x)=1−ax+−2x 2−2x(a−2x)x 4=x 2+2x 2−a ⋅x 2+2x 3=(x 2+2)(x−a)x 3．…………（3分）∵x 2+2＞0，x ＞0，∴若x ∈（0，a ），x ﹣a ＜0，此时f '（x ）＜0，f （x ）在（0，a ）上单调递减； 若x ∈（a ，+∞），x ﹣a ＞0，此时f '（x ）＞0，f （x ）在（a ，+∞）上单调递增； 综上所述：f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增． …………………（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：f(x)min =f(a)=a −2a−a(lna −1a 2)=a −alna −1a ，即：g(a)=a −alna −1a ． ………………………………………………………………（6分）要证g （a ）＜1，即证明a −alna −1a ＜1，即证明1−lna −1a 2＜1a， 令ℎ(a)=lna +1a +1a 2−1，则只需证明ℎ(a)=lna +1a +1a 2−1＞0，………………（8分）∵ℎ′(a)=1a −1a 2−2a 3=a 2−a−2a 3=(a−2)(a+1)a 3，且a ＞0， ∴当a ∈（0，2），a ﹣2＜0，此时h '（a ）＜0，h （a ）在（0，2）上单调递减； 当a ∈（2，+∞），a ﹣2＞0，此时h '（a ）＞0，h （a ）在（2，+∞）上单调递增，∴ℎ(a)min=ℎ(2)=ln2+12+14−1=ln2−14＞0．…………………………………（11分）∴ℎ(a)=lna+1a+1a2−1＞0．∴g（a）＜1．………………………………………（12分）四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−2+12ty=√32t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=√10．（1）若l与C相交于A，B两点P（﹣2，0），求|P A|•|PB|；（2）圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．【解答】解：（1）由ρ=√10，得x2+y2＝10，将{x=−2+12ty=√32t代入x2+y2＝10，得t2﹣2t﹣6＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣6，故|P A||PB|＝|t t2|＝6．（2）直线l的普通方程为√3x−y+2√3=0，设圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝a2（a＞0）圆心（a，0）到直线l的距离为d=|√3a+2√3|2，因为2√a2−d2=1，所以d2＝a2−14=3(a+2)24，解得a＝13（a＝﹣1＜0，舍去），则圆M的半径为13．五．解答题（共1小题）23．已知函数f(x)=|x−a2+1a|+|x−1|（a＞0），g（x）＝4﹣|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集包含[0，1]，求a的取值集合．【解答】解：（1）当a＝1时，函数f(x)=|x−a2+1a|+|x−1|=|x﹣2|+|x﹣1|={−2x +3，x ≤11，1＜x ＜22x −3，x ≥2，当x ≤1时，不等式f （x ）≥3化为﹣2x +3≥3，解得x ≤0； 当1＜x ＜2时，不等式f （x ）≥3化为1≥3，无解；当x ≥2时，不等式f （x ）≥3化为2x ﹣3≥3，解得x ≥0，即x ≥3； 综上知，不等式f （x ）≥3的解集为（﹣∞，0]∪[3，+∞）． （2）关于x 的不等式f （x ）≤g （x ）的解集包含[0，1]，等价于|x −a 2+1a |+|x −1|≤4﹣|x ﹣1|在[0，1]上恒成立，由a ＞0，a 2+1a≥2，所以x ∈[0，1]时，a 2+1a−x +1﹣x ≤4+x ﹣1恒成立；即x ∈[0，1]，a +1a ≤3x +2恒成立，所以a +1a≤2， 又a ＞0，则a 2+1a≥2恒成立，所以a +1a=2，解得a ＝1； 所以a 的取值集合是{1}．。
2022年银川市高三数学(文)高考第一次模拟考试卷附答案解析
2022年银川市高三数学（文）高考第一次模拟考试卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A．B．C．D．2.A. 1B．-1C．2D．-23.A.B．C．D．4.“国家反诈中心”APP集报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”。
2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某单位组织全体职工下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗考试，统计考试得分（满分100分）得到频率分布直方图如图所示。
若得分在的人数比在的人数多133人，则该单位的职工人数为（）A．295 B．343 C.380 D．532二、已知圆台的轴截面是底角为45。
的等腰梯形，且梯形的上底长是4，腰长为，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.6.“五禽戏”又名“五禽操”，是东汉名医华佗在《庄子》“二禽戏”的基础上，分别模仿动物虎、鹿、熊、猿鸟（鹤），创编而成的五套动作，是中国传统引导养生的一个重要功法，于2022年被国务院命名为第三批国家级非物质文化遗产项目。
王老师计划在“五禽戏”中随机选择三套动作练习，则“虎戏”和“熊戏”没有被同时选到的概率是（）A.B．C．D．7. 在正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则（）A.B．C．D．8.已知抛物线C:的焦点为F，直线过点F且斜率为2，则C上到的距离为的点的个数是（）A．1 B．2 C．3D．49. 已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．10.已知函数是其图像的两个相邻的对称中心，且在区间（）A．B．C．D．11.已知点A,B是双曲线右支上的两点，线段AB的中点是M(2,1),且线段AB的中垂线与轴交于点N(6,0),则的离心率是( )A．B．C．2 D．12. 已知首项为的数列的前项和为，若，则（）A．数列是等比数列B．C．为定值D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知命题是真命题，则实数的取值范围是 .14. 已知等差数列的公差为2，且为其前n项的和，则 .15.已知 .16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原。
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宁夏高考数学模拟考试卷及答案解析（文科）班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．给出下列关系：①πR ∈Q ；③3-∉Z ；④|3|-∉N ；⑤0∉Q 其中正确的个数（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设复数z 满足(1i)2i z -=+ 则||z =（ ）A B ．52C D 3．现有下面四个推理： ①每个偶函数都有最大值； ②若2log 3x > 则3log 2x >；③如果今天是星期五 那么二十天后是星期四；④已知函数()22321x x f x x -+=+ 因为()10f = ()20f =所以()30f =.其中所有推理正确的序号是（ ） A ．③B ．②③C ．②④D ．①②④4．已知()1,2OA =- ()3,OB m =若OA OB ⊥ 则m =（ ） A ．4B ．3C ．32-D ．325．已知定义域为R 的函数满足(1)(1)f x f x -=- 且在(0,)+∞单调递减 若1ln 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23e -⎛⎫= ⎪⎝⎭bf 32e -⎛⎫= ⎪⎝⎭c f 则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>6．圆()2211x y -+=的圆心到直线y x =的距离是（ ）A ．12B C ．1D 7．考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：根据以上数据 则（ ）A ．种子是否经过处理决定是否生病 B ．种子是否经过处理跟是否生病无关 C ．种子是否经过处理跟是否生病有关 D ．以上都是错误的8．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 则实数ω的取值范围为（ ）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦9．执行如图所示的程序框图 输出的结果为（ ）A ．1958B ．1960C ．1988D ．199010．已知变量x y 满足约束条件6321x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩ 若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最小值为2 则14a b+的最小值为（ ） A ．9 B ．112C ．5D ．9211．在ABC 中 A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ABC 的面积为S )2224S a c b +- 2AB BC ⋅=-且满足sin sin 2sin A C B += 则该三角形的外接圆的半径R 为（ ）AB C D ．212．函数1()ln f x x x=+的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题13．请根据矩形图表信息 ______.14．如图是中国古代的太极图 图中的黑色区域和白色区域关于圆心成中心对称 在图中随机取一点 则此点取自黑色区域的概率是____________．15．按如图连接圆上的五等分点 得到优美的“五角星” 图形中含有很多美妙的数学关系式 例如图中点H 即弦BE 的黄金分割点 其黄金分割比为0.618BH HE HE BE ==≈ 且五角星的每个顶角都为36︒等.由此信息可以求出sin18︒的值为___________.16．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左 右焦点分别为1F 2F 上顶点为()0,1A 直线()0y kx m k =+>将12AF F △分成面积相等的两部分 则m 的取值范围是_________. 三、解答题17．给定三个条件：①248,,a a a 成等比数列 ②425S a = ③1(1)n n n a na ++= 从上述三个条件中 任选一个补充在下面的问题中 并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且36S = ___________. (1)求数列{}n a 的通项；(2)若12n n b -= 求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分.(1)求证：//AN 平面PBC ； (2)求二面角B PC D --的正弦值．19．某花圃为提高某品种花苗质量 开展技术创新活动 ,A B 在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况 分别在实验地随机抽取各50株 对每株进行综合评分 将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80 及以上的花苗为优质花苗．(1)求图中a 的值 并求综合评分的中位数．(2)填写下面的列联表 并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．附：下面的临界值表仅供参考．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c a =+++）20．已知函数()e ln 1xf x a x =--.(1)设2x =是()f x 的极值点 求()f x 的单调区间； (2)证明：当1ea ≥时()0f x ≥.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F 过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A B 两点 AOB（点O 为坐标原点）的面积为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点(0,)(0)>E a a 的两直线12,l l 的倾斜角互补 直线1l 与抛物线C 交于M N 两点 直线2l 与抛物线C 交于P Q 两点 FMN 与FPQ △的面积相等 求实数a 的取值范围.23．（1）求函数()2123f x x x =--+的最大值m ; （2）若a >1 b >1 c >1 a +b +c =m 求111111a b c ++---的最小值. 参考答案与解析1．A【分析】依次判断出各数所属于的数域范围 进而判断出正误.【详解】π是实数②错误；3-是整数 ③错误；|3|3-=是自然数 ④错误；0是有理数 ⑤错误 所以正确的个数为1． 故选：A ． 2．A【分析】先由(1i)2i z -=+求出复数z 则可求得其共轭复数 从而可求出其模 【详解】由(1i)2i z -=+ 得2i (2i)(1i)13i1i (1i)(1i)2z ++++===--+ 所以13i 13i 222z -==-所以z 故选：A ． 3．B【分析】偶函数不一定有最值；由小范围可推大范围成立可判断②正确；一星期有7天 21天后是周五 则20天后是周四；可判断正确；将3x =代入求值可判断④错误 【详解】因为存在没有最大值的偶函数 所以①错误； 因为23log 3log 2> 所以②正确；如果今天是星期五 那么二十一天后是星期五 所以二十天后是星期四 所以③正确； 若函数()22321x x f x x -+=+ 则()2233323031f -⨯+=≠+ 所以④错误.故选：B 4．D【分析】根据OA OB ⊥及OA 、OB 的坐标 应用坐标表示向量垂直即可求参数m 【详解】由OA OB ⊥ ()1,2OA =- ()3,OB m = 有320OA OB m ⋅=-+= 解得32m =故选：D【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示 利用已知向量坐标及垂直关系有12120x x y y +=求参数值 5．D【分析】根据(1)(1)f x f x -=-得()f x 为偶函数 再根据单调性判断即可. 【详解】由定义域为R 的函数()f x 满足()()11f x f x -=-得： 函数()f x 是偶函数所以()14ln ln 4f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为23320e e 1ln 4--<<<< 又函数()f x 在(0,+)∞单调递减 所以2332(e )(e )(ln 4)-->>f f f 即：c b a >> 故选：D. 6．A【分析】根据圆的方程得出圆心坐标（1 0） 直接依据点到直线的距离公式可以得出答案. 【详解】圆()2211x y -+=的圆心坐标为（1 0）∴圆心到直线y x =的距离为12d ==.故选：A.【点睛】本题考查点到直线的距离公式 属于基础题型. 7．C【分析】根据表格提供的数据作出判断. 【详解】由列联表中的数据可知 种子经过处理 得病的比例明显降低 种子未经过处理 得病的比例要高些所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关. 故选：C 8．A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍 求得ω的初步范围 然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围 得到答案. 【详解】由题意有2ππT ω=≥ 可得02ω<≤ 又由πππ5π3436ω<+≤ 必有3πππ43ω+≤ 可得809ω<≤. 故选：A 9．A故选A ． 10．D【分析】根据约束条件作出可行域 再根据几何意义可得2a b += 再根据()141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭结合基本不等式即可得解.【详解】解：作出约束条件6321x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩的可行域 如图所示则目标函数()0,0z ax by a b =+>>过点()1,1C 时 取得最小值 所以2a b +=所以()141141419552222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当4b aa b = 即24,33a b ==时取等号 所以14a b +的最小值为92.故选：D.11．B【解析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角3B π=结合平面向量的数量积可求得4ac = 利用正弦定理可得出2a c b += 再利用余弦定理可求得2b = 进而利用正弦定理可求得R 的值. 【详解】由题意)2224S a c b +- 即14sin 2cos 2ac B ac B ⨯= 得tan B =又()0,B π∈ 所以3B π=.又因为()1cos cos 22AB BC ac B ac B ac π⋅=-=-=-=- 所以4ac =.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+- 又因为sin sin 2sin A C B += 所以2a c b +=所以()2223412a c ac b b +-=-= 所以2b =由正弦定理可得22sin sin 3b R B π===所以R =故选：B.【点睛】在处理三角形中的边角关系时 一般全部化为角的关系 或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理 出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时 注意公式变式的应用．解决三角形问题时 注意角的限制范围． 12．A【分析】利用导数求得函数的单调性与最小值 结合单调性与最小值 即可求解. 【详解】由题意 函数1()ln f x x x=+的定义域为(0,)+∞ 且22111()x f x x x x -'=-=当1x >时()0f x '> 函数()f x 单调递增； 当01x <<时()0f x '< 函数()f x 单调递减所以当1x =时 函数()f x 取得最小值 最小值为(1)10f => 所以函数1()ln f x x x=+在定义域内没有零点. 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题 其中解答中利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键 着重考查推理与运算能力. 13【分析】在直角三角形中利用勾股定理和三角形三边关系即得. 【详解】解：由勾股定理知AB =AC=BC =如图中的ABC 根据三角形的两边之和大于第三边 知AB AC BC ≤+ 当且仅当A B C 三点共线时 等号成立≥14．12【分析】由面积比可求得所求概率.【详解】黑色区域和白色区域关于圆心成中心对称 ∴黑色区域的面积是总面积的12 ∴在图中随机取一点 则此点取自黑色区域的概率是12.故答案为：12.15【分析】在CHE 中 利用正弦定理 结合诱导公式、二倍角公式计算作答. 【详解】在CHE 中 36,108C CHE ∠=∠= 由正弦定理得：sin sin CE HECHE C=∠∠ 而CE BE =于是得sin108sin 36BE HE = 即sin 722sin18cos18BE HE = 因此 sin 725sin182cos184HE BE ==【点睛】关键点睛：条件较隐含的解三角形问题 根据题意设出变量 再选择恰当的三角形 借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.16．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】根据已知条件求得,a b 根据直线()0y kx m k =+>与x 轴的交点的位置进行分类讨论 由此列不等式来求得m 的取值范围.【详解】依题意2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==所以椭圆C 的方程为2212x y +=由于121OA OF OF ===12122AF AF F F == 所以12AF F △是等腰直角三角形所以12112AF F S ==△直线2AF 的方程为1x y += 直线1AF 的方程为1y x =+ 设直线()0y kx m k =+>与2AF 的交点为D 与x 轴的交点为E ①当E 与1F 重合时 11121,222D D y y ⨯⨯=⨯= 则12D x =所以01122k mk m =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得13k m ==.②当E 在1O F ，之间时 113m <<所以22111,122D D EF y EF y ⨯⨯=⨯⨯=由1x y y kx m +=⎧⎨=+⎩解得1D k m y k +=+ 1111D k m mx k k +-=-=++由y kx m =+令0y = 得E mx k=- 所以21m EF k =+所以111m k mk k +⎛⎫+⨯= ⎪+⎝⎭ 整理得212m k m =- 由2012m k m=>-解得1132m <<.③当E 在1F 左侧 则10,013m k <<<< 2011k <-<设直线()0y kx m k =+>与1AF 的交点为P由1y kx m y x =+⎧⎨=+⎩解得1,11P P m k mx y k k --==--因为11122PAD S =⨯=△所以()()11111,112211D P m mm x x m k k --⨯-⨯-=-⨯-=+-()22211m k -=- )11m -=所以11m m -<>所以113m <<.综上所述 m 的取值范围是112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】求解椭圆的方程 关键点是根据已知条件求得,,a b c ,,a b c 是3个未知数 需要3个条件 其中一个条件是222a b c =+ 另外的两个条件由题目给出 如本题中的A 点坐标以及离心率 通过解方程组可求得,,a b c 进而求得椭圆的方程. 17．(1)n a n =(2)1(1)2nn T n =+-⨯【分析】（1）若选条件① 根据248,,a a a 成等比数列 得2428a a a = 然后利用基本量思想求出1a 和d最后利用等差数列通项公式进行求解；若选条件②或③ 直接利用基本量思想求出1a 和d 然后利用等差数列通项公式进行求解；（2）根据（1）n a 的通项公式 代入n n a b 中 得12n n n a b n -⨯= 然后利用错位相减法求解前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0. 选条件①：32486,,,S a a a =成等比数列 ()()()31211133637S a d a d a d a d =+=⎧⎪∴⎨+=++⎪⎩ 解得111a d =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项n a n =.选条件②：()31342113366,5,465S a d S S a a d a d =+=⎧==∴⎨+=+⎩解得111a d =⎧⎨=⎩ 故数列{}n a 的通项n a n =.选条件③：316,(1)n n S n a na +=+= ()()()311133611S a d n a n d n a nd =+=⎧⎪∴⎨⎡⎤++-=+⎪⎣⎦⎩解得111a d =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项n a n =.（2）由（1）得12n n n a b n -⋅=⨯所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯可得12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯两式相减得012122222n n n T n --=++++-⨯()11221(1)212n n n n n ⨯-=-⨯=-+-⨯-所以1(1)2nn T n =+-⨯.18．(1)证明见解析【分析】（1）取PC 中点为M 连接NM MB 进而证明四边形NMBA 为平行四边形即可证明结论； （2）取DC 中点为E 以A 为空间直角坐标系原点 AE 为x 轴 AB 为y 轴 AP 为z 轴 建立空间直角坐标系 利用坐标法求解即可；【详解】（1）证明：取PC 中点为M 连接NM MB 如图所示因为M N 分别是PC PD 的中点 所以NM DC ∥且12NM DC = 又因为ABDC 且12AB DC =所以NM AB ∥ NM AB = 所以四边形NMBA 为平行四边形 所以AN BM ∥又因为AN ⊄平面PBC BM ⊂平面PBC 所以//AN 平面PBC ．（2）解：取DC 中点为E 以A 为空间直角坐标系原点 AE 为x 轴 AB 为y 轴 AP 为z 轴 建立空间直角坐标系 如图所示因为()0,1,1BP =- ()2BC =所以0220BP m y z BC m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令1y = 解得01x z =⎧⎨=⎩ 即()0,1,1m =设平面PDC 的法向量为(),,n a b c =因为()21,1PD =-- ()0,2,0DC =所以22020PD n a b c DC n b ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩令a =解得04b c =⎧⎨=⎩ 即()2,0,4n =记平面PDC 与平面PBC 夹角为θ π02θ≤≤则42cos cos ,32m nm n m n θ⋅====⨯⋅ sin θ=所以二面角B PC D -- 19．(1)0.040a =；综合评分的中位数为82.5(2)填表见解析；有99%得到把握任务优质花苗与培育方法有关【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程 即可求出a 再根据中位数计算方法求出中位数；（2）完善列联表 计算出卡方 即可判断； （1）解：由直方图的性质可知：0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯++⨯= 解得0.040a =因为()0.020.04100.60.5+⨯=> 所以中位数位于[)80,90之间 设中位数为x 则有()0.020100.040900.5x ⨯+⨯-= 解得82.5x = 故综合评分的中位数为82.5； （2）解：根据第一问 优质花苗的频率为0.6 样本中优质花苗的数量为60 得如下列联表：所以()221002010304016.667 6.63560405050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%得到把握任务优质花苗与培育方法有关；20．(1)减区间为0,2（） 增区间为∞（2，+）； (2)证明见解析﹒【分析】(1)根据()20f '=求出a 的值 根据导数()f x '的正负判断f (x )单调区间即可；(2)1e a ≥时 ()0f x ≥⇔e ln 10e x x --≥ 令()e ln 1e xg x x =-- 判断g (x )单调性 证明其最小值min ()0g x ≥即可．(1)函数()e ln 1x f x a x =--.()10,e xx f x a x'∴>=-2x =是()f x 的极值点 ()212e 02f a '∴=-= 解得212ea = ()21e ln 12e x f x x ∴=--()211e 2e xf x x '∴=- 显然()f x '在()0,∞+上单调递增 而()2211e 02e 22f '=-= ∴当02x <<时()0f x '< 当2x >时 0fxf x 的减区间为0,2（） 增区间为∞（2，+）； (2)当1e a ≥时 ()e ln 1e x f x x ≥-- 设()e ln 1ex g x x =-- 则()e 1e x g x x '=-由()e 10e x g x x'=-= 得1x = 且()g x '在()0,∞+上单调递增∴当01x <<时()0g x '< g (x )单调递减 当1x >时 ()0g x '> g (x )单调递增1x ∴=是()g x 的极小值点 也是最小值点 故当0x >时 ()()10g x g ≥=∴当()1,0ea f x ≥≥．21．（1）24y x =；（2）(0,1)(1,2).【分析】（1）根据题意可得,A B 的坐标分别为(,),(,)22p p p p - 则2AOB S =△ 解得p 的值 即可求得抛物线的方程；（2）设直线1:()=-l x t y a 点1122(,),(,)M x y N x y 联立椭圆的方程 可得10∆> 结合韦达定理可得1212,y y y y + 由弦长公式可得MN 由点到直线的距离公式可得焦点F 到直线1l 的距离d 得FMNS同理可得1FPQ S =-△| 由FMN FPQ S S =△△ 得到22102t a=>- 解出a 的取值范围. 【详解】（1）由题意 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF所以A B 的坐标分别为(,),(,)22p pp p -所以12222AOBpSp =⨯⨯= 解得2p = 所以抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）由题意可知直线12,l l 的斜率存在 且不为0 设直线1:()=-l x t y a 设点1122(,),(,)M x y N x y联立方程组24()y xx t y a ⎧=⎨=-⎩ 整理得2440y ty a -+=所以2116160t at ∆=-> 且12124,4y y t y y at +==所以12y MN -==焦点F 到直线1l 的距离d ta =+＝所以21FMNta S==⨯+ 设直线2l 的方程为()x t y a =--联立方程组24()y x x t y a ⎧=⎨=--⎩ 整理得2440y ty a ++= 可得2216+160t at ∆=>将t 用t -代换 可得1FPQ S =-△由FMN FPQ S S =△△ 可得1a t a =+-11ta ta +- 两边平方得2212t a =-所以220a ->解得0a <<又由10∆>且20∆> 可得t a <-或t a > 可知22t a > 所以2212a a>- 即22(1)0a -> 所以1a ≠ 所以实数a 的取值范围是(0,1)(1,2).【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题 通常联立直线方程与圆锥曲线方程 应用一元二次方程根与系数的关系 以及弦长公式等进行求解 此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足 导致错解 能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．(1)cos ACD ∠=(2)BD =【分析】（1）记ACD α∠= 根据题意用α表示相关未知量 在BCD △中 利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；（2）法一：利用两角和公式求sin BCD ∠=在BCD △中利用正弦定理运算求解；法二：先求CD =在BCD △中 利用余弦定理运算求解. 【详解】（1）∵AB AC ⊥ 30ABC ∠=︒ 2AC =∴4sin ACBC ABC==∠记()0,90ACD α∠=∈︒ 则60,60,60BCD CBD BDC αα∠=+∠=-∠=︒︒︒ ∵AD CD ⊥ 2AC = ∴cos 2cos CD AC ACD α=∠= 在BCD △中 由正弦定理得：sin sin CD BCCBD BDC=∠∠ 则sin sin CD BDC BC CBD ⋅∠=⋅∠可得()12cos 4sin 604sin 2αααα⎫=︒-=-⎪⎪⎝⎭2sin αα=联立方程222sin sin cos 1αααα=+=⎪⎩解得sin cos αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵()0,90α∈︒ 则sin αα==故cos ACD ∠=（2）解法一：由（1）知：()1sin sin 60sin 2BCD ααα∠=+==︒由正弦定理得：sin sin BD BC BCD BDC =∠∠∴sin sin BC BCD BD BDC ∠==∠解法二：在Rt ACD △中 2cos CD α==在BCD △中 由余弦定理得：2222BC BD CD BD D BDC C =+-∠⋅⋅即212161672BD BD =+-⨯ 则27960BD --= 解得BD =BD =故BD =23．（1）4；（2）9.【分析】（1）根据绝对值不等式即可求出最大值； （2）利用柯西不等式可以求出.【详解】（1）由绝对值不等式()|21||23||2123|4f x x x x x =--+---=≤ 所以4m =．（2）由（1）知：4m = 即4a b c ++= 所以1111a b c -+-+-= 由柯西不等式：2111111(111)(111)9111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++-+-+-++= ⎪------⎝⎭≥ 当且仅当43a b c ===等号成立 111111a b c ++---的最小值为9． 【点睛】本题考查绝对值不等式和柯西不等式的应用 属于基础题.。