第16讲 分式方程八年级数学下册同步讲义(北师大版)

第16讲分式方程

目标导航

2.通过将简单的分式方程转化为整式方程进行求解，领会分式方程“整体化”的化归思想和方法；

3.理解增根的概念，会检验分式方程的根；

4.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用.

知识精讲

知识点01 分式方程的定义

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．

【知识拓展】（2021秋•平罗县期末）下列方程中，不是分式方程的是（）

A．B．

C．D．

【即学即练】（2021秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（）

A．B．C．D．

知识点02 分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

【知识拓展】（2022春•北碚区校级月考）若实数a使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组至少有4个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（）A．12B．15C．19D．22

【即学即练】（2022春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．2B．0C．1D．﹣1

知识点03 解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程时，一定要检验．

【知识拓展】（2022•德城区校级开学）方程的解为（）A．B．﹣4或1C．﹣4D．无解

【即学即练1】（（2022•江汉区模拟）方程的解为．

【即学即练2】（（2021秋•利通区校级期末）若分式值相等，则x的值为．

知识点04换元法解分式方程

1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．

【知识拓展】（2021春•淮安月考）用换元法解分式方程x2+2x﹣＝8，若设x2+2x＝y，则原方程可化为（）

A．20y2+8y﹣1＝0B．y2﹣8y﹣20＝0

C．y2+8y﹣20＝0D．8y2﹣20y+1＝0

【即学即练】（2021春•宝山区校级月考）用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（）

A．y2+y＝4B．y2+y＝2C．y2+y＝6D．y2﹣y＝4

知识点05分式方程的增根

（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未

知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．

【知识拓展】（2021秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6

【即学即练】（2021秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（）A．0B．2或3C．2D．3

知识点06由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．

（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．

（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．

【知识拓展】（2022•罗山县校级模拟）郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加50人，结果提前2小时完成检测任务．假设原计划每小时检测x人，则依题意，可列方程为（）

A．B．

C．D．

【即学即练】（2021秋•和硕县校级期末）在新农村建设中，为了美化乡村，八年级同学积极参加植树造林，已知八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵树所用的天数相等，若设八（1）班每天植x棵，根据题意列出的方程是（）

A．B．C．D．

知识点07分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．

【知识拓展】（2022•麻栗坡县校级模拟）根据云南省《关于加快推进城镇老旧小区改造工作的指导意见》，在2021年底要基本完成云南全省城镇老旧小区改造提升工作．某小区计划对面积为1200m2的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的改造时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的停车位改造？

【即学即练1】（2021秋•利通区校级期末）“阅读陪伴成长，书香润泽人生，”吴忠市第四中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？