初中数学竞赛决赛试卷

初中数学竞赛决赛试卷

（时间 120分钟 满分 140分）

一、选择题：（每小题6分，共42分）

1．使分式6

3

||2---x x x 没有意义的x 的取值是（ ）

（A ）―3 （B ）―2 （C ）3或―2 （D ）±3 2．设m=|1|-+x x ，则m 的最小值是（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）―1 （D ）2 3．如图，直线MN 和EF 相交于点O ，∠EON=60°，AO=2m ，∠AOE=20°．设点A 关于EF 的对称点是B ，点B 关于MN 的对称点是C ，则AC 的距离为（ ） （A ）2m

（B ）3m

（C ）23m

（D ）22m

4．已知03132=+++x x ，则2004321x x x x +++++ 的值为（ ） （A ）0

（B ）1

（C ）―1

（D ）2004

5．估计1711+大小的范围，正确的是（ ） （A ）7.2<1711+<7.3 （B ）7.3<1711+<7.4

（C ）7.4<1711+<7.5

（D ）7.5<1711+<7.6

6．如图A 、B 、C 是固定在桌面上的三根立柱，其中A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大．现想将这三个圆片移动到B 柱上，要求是每次只能移动一片(叫移动一次)，被移动的圆片只能放入A 、B 、C 三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面，那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 7．如图是一个正方体纸盒，在其中的三个面上各画一条线段构成

△ABC ，且A 、B 、C 分别是各棱上的中点．现将纸盒剪开展成平面，则不可能的展开图是（ B ）

二、填空题：（每小题6分，共42分）

1．分解因式：xy y y x x -+--42222=______________________．

2．如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，S △ABD ∶S △BCD =3∶7，则S 梯形AEFD ∶S 梯形EBCF =______________．

A B

C (A)(B)(C)(D)A

B C A

B

C

D

E F

3．已知0132

=+-x x ，则1

242

++x x x 的值为_______________．

4．如图，数一数，图中共有多少个(包含大小不同的)正方形？ 答案________．

5．如图A 是一个面积为a 的正三角形，现将它作如下变换：取三角形各边的三等分点向形外作没有底边的等边三角形，这样得到一个六角星（如图B ）；继续对六角星各边施行相同的变换，得到“雪花形”（如图C ）．则雪花形的面积为_____________． 6．已知21=x ，n

n x x 1

11-

=+（n=1，2，3，……），则2004x =________________．

7． 右图是由数字组成的三角形，除最顶端的1以外，以下出现的数字都有一定的规律．根据它的规律，则最下排数字x 的值是_____________．

三、解答题：（共56分） 1．（16分）某商场对顾客购物实行优惠，规定：（1）一次购物不超过100元不优惠；（2）一次购物超过100元但不超过300元，按标价的九折优惠；（3）一次超过300元的，300元内的部分按（2）优惠，超过300元的部分按八折优惠．老王第一次去购物享受了九折优惠，第二次去购物享受了八折优惠。商场告诉他：如果他一次性购买同样多的商品还可少花19元；如果商品不打折，他将比现在多花67元钱。问老王第一次购物、第二次购物实际各支付了多少钱？

2．（20分）如图，△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AC=BC=AD ． 求证：BD=CD ．

3．（20分）讨论一道开放性试题，老师要求同组每个同学至少要和三个同学交换意见．某学习小组共有11位同学，讨论完成后有两位同学说自己和4个同学交换了意见．请证明至少还有一位同学也至少和4个同学交换了意见．

A B C

D

A B C 10000002221111554510141616616156463216****

***x

2004年重庆市初中数学竞赛决赛初二年级试题

参考答案和评分意见

一、选择题：（每小题6分，共42分） CBCB 、CBB 二、填空题：（每小题6分，共42分）

1．)2)(2(-+-y x y x ； 2．2∶3； 3．8

1

； 4．55；

5．2； 6．1-； 7．178．

三、解答题： 1．解：设老王第一次购物的标价为x 元，实际支付0.9x 元，第二次购物的标价为y 元，实际支付8.0)300(9.0300⨯-+⨯y 元． ………………………………………………………………………（4分） 依题意，得 19]8.0)300(9.0300[]9.03008.0)300(9.0[=⨯-++⨯-⨯+⨯-+y x y x ……①

67]9.03008.0)300(9.0[)(=⨯+⨯-+-+y x y x …………………………②……（8分）

由①得，191.0=x ，∴x = 190（元） ……………………………………………………………（12分） 由②得，972.01.0=+y x ，

将x 代入，得 y =390 （元） 故，第一次支付 0.9×190=171（元），第二次支付270+(390―300)×0.8=342（元） 答：老王第一次支付了171（元），第二次支付了342（元）……………………………………（16分） 2．证法一：

如图，过C 作CE ⊥AD 于E ，过D 作DE ⊥BC 于F ． …………（4分）

∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=

2

1

AC ，………………（8分）

∵AC=AD ，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°， ∴∠FCD=90°―∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD ―∠ACE=15°……（12分） ∴△CED ≌△CFD ，

∴CF=CE=21AC=2

1

BC ，∴CF=BF ． ………………………………（16分）

∴Rt △CDF ≌Rt △BDF ， ∴BD=CD ． ……………………………………………………（20分） 证法二： 如图，作△AEB ，使AEBC 为正方形，连结ED ． ………………（4分） ∵∠BAD=45°―∠CAD=45°―30°=15°，

∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°， …………………………………（8分） 又AD=AC=AE ， ∴△ADE 是等边三角形，……………………………………………（12分） ∴ED=AD=AC=EB ， ∴∠DEB=90°―∠AED=30°………………………………………（16分） ∴△ACD ≌△EBD ， ∴CD=BD ．……………………………………………………………（20分）

A B

C

D

E

F A

B

C

D

E