2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．用列举法表示小于10的正偶数所构成的集合为A =______． 【答案】{}2,4,6,8【分析】直接根据列举法的概念即可得结果.【详解】小于10的正偶数所构成的集合为{}2,4,6,8A =， 故答案为：{}2,4,6,8.2．不等式|1|3x +≤的解集为_______． 【答案】{}42x x -≤≤【分析】将其化为二次不等式求解.【详解】()221319280x x x x +≤⇔+≤⇔+-≤，解得：{}42x x x ∈-≤≤. 故答案为：{}42x x -≤≤.3．“>4x ”是“2x >”的___________条件. 【答案】充分非必要【分析】根据充分非必要条件的定义可得答案,【详解】因为“>4x ”可以推出“2x >”,且“2x >”不能推出“>4x ”, 所以“>4x ”是“2x >”的充分非必要条件. 故答案为充分非必要【点睛】本体考查了充分非必要条件的定义,属于基础题. 4．2310x x --=的两根分别是1x 和2x ，则1211x x +=___________. 【答案】3-【分析】利用根与系数关系得12123,1x x x x +==-，即可求目标式的值. 【详解】因为方程2310x x --=的两根分别是12,x x ， 所以12123,1x x x x +==-，则21121211331x x x x x x ++===--.故答案为：3- 5．不等式103x x -<-的解集是______． 【答案】()1,3【分析】将分式不等式转化成一元二次不等式，即可得到答案 【详解】由103x x -<-可得()()130x x --<，解得13x <<，即解集为()1,3. 故答案为：()1,36．已知x 、y 为正实数，且满足4312x y +=，则xy 的最大值为_____． 【答案】3【分析】用基本不等式求得最值，然后化简既可得最大值.【详解】由已知得1243x y =+≥，即12≥解得3xy ≤（当且仅当43x y =时取""=） 故答案为：37．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q ＝{x |x ＝a +b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P +Q 中元素的个数是____． 【答案】8【分析】先确定a ，b 的取值，再求两者之和，由元素的互异性，和相等的算一个，可求出答案． 【详解】解：∵a ∈P ，b ∈Q ，∴a 可以为0，2，5三个数，b 可以为1，2，6三个数，∴x ＝0+1＝1，x ＝0+2＝2，x ＝0+6＝6，x ＝2+1＝3，x ＝2+2＝4，x ＝2+6＝8，x ＝5+1＝6，x ＝5+2＝7，x ＝5+6＝11，∴P +Q ＝{x |x ＝a +b ，a ∈P ，b ∈Q }＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，有8个元素． 故答案为8．8．已知集合{}|A x y x Z ==∈，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则A B =________．【答案】{1}【解析】化简集合,A B ，根据集合的交集运算可得结果. 【详解】由210x -≥得11x -≤≤， 所以{1,0,1}A =-，所以{1,2}B =， 所以{1}A B ⋂=. 故答案为：{1}.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.9．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(2,)+∞，则关于x 的不等式0ax bax b+≤-的解集是______． 【答案】[)2,2-【分析】根据题意得到20b a =>，故原不等式等价于(2)(2)020x x x +-≤⎧⎨-≠⎩⇔22x -≤<.【详解】0ax b ->的解集是(2,)+∞，0,b a x a∴>>，得2ba =，解得20b a =>0ax b ax b +≤-⇔0b a x a b a x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤⎛⎫- ⎪⎝⎭⇔()()00b b x x a a b x a ⎧+-≤⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩⇔(2)(2)020x x x +-≤⎧⎨-≠⎩⇔22x -≤<.故答案为：[)2,2-. 10．已知命题1:1,:(1)(1)02p x q x x a ≤≤-+-≤，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】12a ≥【分析】分类讨论1a -与1的大小，解不等式(1)[(1)]0x x a ---≤，根据p 是q 的充分条件列式，解不等式组可得结果.【详解】由(1)(1)0x x a -+-≤，得(1)[(1)]0x x a ---≤， 当11a -<，即0a >时，得:q 11a x -≤≤， 因为p 是q 的充分条件，所以1{|1}{|11}2x x x a x ≤≤⊆-≤≤， 所以112a -≤，解得12a ≥；当11a -≥，即0a ≤时，:11q x a ≤≤-， 因为p 是q 的充分条件，所以1{|1}{|11}2x x x x a ≤≤⊆≤≤-， 所以11211a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，此不等式组无解.综上所述：12a ≥.故答案为：12a ≥11．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，则k 的取值范围是________．【答案】32k -≤<【分析】解220x x -->，得解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞；分类讨论k -与52-的大小关系，解不等式5()()02x x k ++<，再根据不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，列式可求出结果.【详解】由220x x -->，得(2)(1)0x x -+>，得1x <-或2x >，所以220x x -->的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，由22(52)50x k x k +++<，得5()()02x x k ++<，当52k -<-，即52k >时，得52k x -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，此解集中不含2-，不符合题意； 当52k -=-，即52k =时，5()()02x x k ++<化为25()02x -<，所以22(52)50x k x k +++<的解集为空集，不符合题意； 当52k ->-，即52k <时，得52x k -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，因为不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，所以23k -<-≤，得32k -≤<. 故答案为：32k -≤<12．设集合{}01324,,,,S a a a a a =，在S 上定义运算*为：*i j k a a a =，其中||k i j =-，,0,1,2,3,4i j =，那么满足条件()()21**,i j i j a a a a a a S =∈的有序数对(,)i j （其中当i j ≠时，(,),(,)i j j i 为两个不同的有序数对)共有_______个． 【答案】12【分析】结合集合新定义得12i j =--，去绝对值结合,i j 取值范围分类讨论即可求解.【详解】由()()21**,i j i j a a a a a a S =∈，*i j k a a a =，其中||k i j =-，,0,1,2,3,4i j =，可得12i j =--，即1i j -=或3，即1,1,3,3i j -=--，当1i j -=时，()()()()(,)1,0,2,1,3,2,4,3i j =； 当1i j -=-时，()()()()(,)0,1,1,2,2,3,3,4i j =； 当3i j -=时，()()(,)3,0,4,1i j =； 当3i j -=-时，()()(,)0,3,1,4i j =.故共有12个. 故答案为：12二、单选题13．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()MP SB ．()MP SC ．()⋂⋂M P SD ．()⋂⋃M P S【答案】C【分析】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，从而得到答案. 【详解】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，即()⋂⋂M P S . 故选：C14．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<-【答案】D【分析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论．【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b ，可得111,12a b =-=-，∴11a b>，故A 不正确． 可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确． 故选：D ．15．下列各代数式中，最小值为2的是（ ） A ．1x x+B ．221x x +C 222x + D ．142x x+- 【答案】B【分析】对选项逐个用基本不等式处理，但是要满足基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.【详解】对于A 不能保证0x >，故A 错误；对于B 由基本不等式得2212x x +≥（当且仅当221x x =即1x =±时取""=），故B 正确；对于C 22=≥=无法取得最小值，故C 错误； 对于D 不能保证0x >，故D 错误. 故选：B16．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，{|41,}C x x k k ==+∈Z ，又a A ∈，b B ∈，则必有（ ） A ．a b A +∈ B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．以上都不对【答案】B【分析】利用列举法,写出集合A 、集合B 、集合C 的几个元素,即可判断出错误选项;对正确选项进行证明即可.【详解】集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,则{2,0,2,4,6,8,10}A =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 则{1,1,3,5,7,9,11}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|41,}C x x k k ==+∈Z 则{3,1,5,9,13,17,21}C =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 又a A ∈,b B ∈当2,1a b ==时, 21a b A +=+∉,所以A 错误; 当2,1a b ==时, 21a b C +=+∉,所以C 错误;因为集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 又a A ∈,b B ∈则()121222121a b k k k k +=++=++ 所以a b +表示奇数,而集合B 表示奇数 所以a b B +∈ 故选:B【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合与集合关系的应用,属于基础题.三、解答题17．已知集合{}22|1,|352021x A x B x x x x -⎧⎫=≥=-++>⎨⎬-⎩⎭． (1)求A 、B ；(2)求A B ⋂、A ．【答案】(1)1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭；1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭(2)11|32A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；|1{x A x =<-或1}2x ≥【分析】（1）解出分式不等式和二次不等式即可； （2）由（1）利用集合交集和补集运算即可. 【详解】（1）由2121x x -≥⇔-21021x x --≥-()()221021x x x ---⇔≥-()()121011002121210x x x x x x x ⎧+-≤--+⇔≥⇔≤⇔⎨---≠⎩11121122x x x ⎧-≤≤⎪⎪⇔⇔-≤<⎨⎪≠⎪⎩，所以集合1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭； 由22135********x x x x x -++>⇔--<⇔-<<，所以集合1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭，1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭所以11|32A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；|1{x A x =<-或1}2x ≥.18．已知集合{}{}22430,90A x x x B x x ax =-+==-+=，且A B A ⋃=.（1）用反证法证明B A ≠； （2）若B φ≠，求实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6a =.【解析】（1）先求得集合{}1,3A =，假设B A =，利用反证法，即可得证.（2）由（1）和A B A ⋃=，得到B 是A 的真子集，进而得到B 可能为{}{}1,3，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由2430x x -+=，解得1x =或3x =，所以{}1,3A =，又由{}290B x x ax =-+=假设B A =，则必有13139a+=⎧⎨⨯=⎩，与39≠矛盾，所以假设错误，所以B A ≠可证.（2）由（1）知B A ≠，因为A B A ⋃=，可得集合B 是A 的真子集， 又由B φ≠，所以集合B 可能为{}1或{}3，当{}1B =时，则方程290x ax -+=有两个相等的实数根是1，则11119a+=⎧⎨⨯=⎩，无解；当{}3B =时，则方程290x ax -+=有两个相等的实数根是3，则33339a+=⎧⎨⨯=⎩，解得6a =，综上可得，实数6a =.19．命题α：关于x 的方程2320x x m +++=有两个相异负根．命题β：关于x 的不等式248120x mx m +++>对x ∈R 恒成立．(1)若命题α为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)(]12,1,34⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭【分析】（1）用二次函数的性质求命题α为真命题时实数m 的取值范围； （2）先确定命题β成立时实数m 的取值范围，再分类讨论求解得结果. 【详解】（1）命题α：关于x 的方程2320x x m +++=有两个相异负根． 则()220194204m m m m >-⎧+>⎧⎪⇒⎨⎨-+><⎩⎪⎩，解得：124m -<<. 若命题α为真命题，则实数m 的取值范围为12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）命题β：关于x 的不等式248120x mx m +++>对x ∈R 恒成立,()21648120m m ∆=-+<，解得：13m -<<.若这两个命题中，有且仅有一个是真命题， 若α真β假，12431m m m ⎧-<<⎪⎨⎪≥≤-⎩或，解得：21m -<≤-，若β真α假，13124m m m -<<⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩或，解得：134m ≤<， 综上：实数m 的取值范围为：(]12,1,34⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭.20．已知集合{}224|||||4,(0,1)(2,4),|21033A x x x B C x x mx ⎧⎫=-+-<==+-<⎨⎬⎩⎭．(1)求A B ⋃；(2)对于任意的实数a ，不等式24|2||2|33a a x x ++-≥-+-恒成立，求实数x 的取值范围； (3)若()C A B ⊆，求m 的取值范围． 【答案】(1)(1,4)-； (2)[1,3]x ∈-； (3)[7.75,1]-.【分析】（1）根据绝对值的性质，结合集合并集的定义进行求解即可. （2）根据绝对值的性质，结合（1）的结论进行求解即可； （3）根据子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）当43x ≥时，由24244||||443333333x x x x x x -+-<⇒-+-<⇒<⇒≤<； 当2433x <<时，由242424||||44333333x x x x x -+-<⇒-+-<⇒<<；当23x ≥时，由24242||||441133333x x x x x x -+-<⇒-+-<⇒>-⇒-<≤， 所以(1,3)A =-， 因此(1,4)A B =-；（2）因为|2||2|224a a a a ++-≥++-=， 所以要想不等式24|2||2|33a a x x ++-≥-+-恒成立， 只需24433x x -+-≤成立，由（1）可知：[1,3]x ∈-； （3）设一元二次方程2210x mx +-=的判别式280m ∆=+>，所以C =，因为()C A B ⊆，所以47.7511m ≤-≤≤⎨⎪-≤⎪⎩， 所以m 的取值范围为[7.75,1]-.【点睛】关键点睛：利用绝对值的性质是解题的关键. 21．已知有限集{}123,,,n A a a a a =()*2,n n N ≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n =满足121n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”.（1）判断集合⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由； （2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围； （3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =. 【答案】（1）是；理由见解析；（2）()(),04,-∞+∞；（3）见解析；【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案． 【详解】(1)1=-，故集合⎪⎪⎩⎭是 “复活集”；(2)不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知1a ，2a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根， 由△0>，可得0t <，或4t >，120a a ∴<或124a a >； (3)不妨设A 中123n a a a a <<<⋯<，由1212n n n a a a a a a na ⋯=++⋯+<，得121n a a a n -⋯<，当2n =时， 即有12a <，11a ∴=，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集” A ，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{1，2，3}． 当4n 时，由121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯-，即有(1)!n n >-， 也就是说“复活集” A 存在的必要条件是(1)!n n >-，事实上，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+>，矛盾，∴当4n时不存在复活集A，n=.所以，“复活集”A有且只有一个，且3【点睛】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大第 11 页共 11 页。