一元二次方程-重难点讲解

一元二次方程-重难点讲解

知识要点：

1、直接开平方法

概念：一般地，对于形如的方程)a(a x 02≥=，由平方根的定义的a x ±=。 方法步骤：

（1）将方程化为形如)0()(22≥=+=p p m x p x 或的形式；（二次项系数为1） （2）两边开平方解答； (1)注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ①降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ①方法是根据平方根的意义开平方。 (2)平方根有哪些性质：

①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； ②零的平方根是零； ③负数没有平方根

2、配方法

定义：将一元二次方程配成：n m x =+2

)(的形式，再利用直接开平方法求解的方法 1、用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

①方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ①方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ①把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

①进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是给负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程没有根。

2、配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a ab b a +=++、222)(2b a ab b a -=-+

3、配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

3．计算24b ac -的值； 3、因式分解方法

提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤： (1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

①提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

①提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 分解公式：

1、平方差公式：))((2

2

b a b a b a +-=-

2、完全平方公式：2

2

2

)(2b a b ab a +=++；2

2

2

)(2b a b ab a -=+- 口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。同号加、异号减，符号添在异号前。 十字相乘法：

对于q px x ++2

型的式子如果q 分解为分解为数a 、b 。且有a + b = p 时(即a 与b 和是一次项的系数)，那么

()()b x a x ab x b a x ++=+++)(2；或对于n mx kx ++2型的式子如果有cd n ab k ==,，且有m bc ad =+时，那

么()()d bx c ax n mx kx ++=++2

这种分解因式的方法叫做十字相乘法。

具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。 口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。(拆两头，凑中间) 特点：

(1)二次项系数是1； (2)常数项是两个数的乘积；

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。 基本步骤：

(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;

(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数; (3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果; (4)检验。

例题讲解：

一、解一元二次方程

1、直接开平方法

(1)(x－1)2＝16；(2)2(x－1)2＝12；

(3)4(x＋1)2＝0; (4)4(3x＋1)2－16＝0.

2、配方法

（1）x2﹣6x﹣6=0 （2）2x2﹣7x+6=0

（3）x2﹣2x﹣4＝0 （4）3x2﹣6x﹣4＝0

3、求根公式法

（1）2x2+3x﹣3＝0 （2）x2﹣10x+25＝9 （3）3x2+5（2x+1）=0 （4）3x2﹣4x﹣1＝0

4、因式分解法

①提取公因式与平方差公式：2（x ﹣3）=3x （x ﹣3） 3x （x -1）=2（x -1）

（x -3）2+2x （x -3）=0 x （x +4）=-3（x +4）

（x -2）2=（2x +3）2 （x -3）2=（2x +5）2

②十字相乘法：2560x x -+= 27120x x -+= 213360x x -+= 214240x x ++=

2230x x --= 24210x x --= 260x x --= 27180x x --=

二、根的判别式和求参数问题

1. 利用一元二次方程根的判别式（△=b 2

﹣4ac ）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2

﹣4ac 有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立．