一元二次方程-重难点讲解

一元二次方程-重难点讲解知识要点：1、直接开平方法概念：一般地，对于形如的方程)a(a x 02≥=，由平方根的定义的a x ±=。

方法步骤：（1）将方程化为形如)0()(22≥=+=p p m x p x 或的形式；（二次项系数为1） （2）两边开平方解答； (1)注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

①降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

①方法是根据平方根的意义开平方。

(2)平方根有哪些性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； ②零的平方根是零； ③负数没有平方根2、配方法定义：将一元二次方程配成：n m x =+2)(的形式，再利用直接开平方法求解的方法 1、用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；①方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ①方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ①把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；①进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是给负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程没有根。

2、配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a ab b a +=++、222)(2b a ab b a -=-+3、配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

3．计算24b ac -的值； 3、因式分解方法提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。

当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。

如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤： (1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；①提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；①提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

分解公式：1、平方差公式：))((22b a b a b a +-=-2、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++；222)(2b a b ab a -=+- 口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。

同号加、异号减，符号添在异号前。

十字相乘法：对于q px x ++2型的式子如果q 分解为分解为数a 、b 。

且有a + b = p 时(即a 与b 和是一次项的系数)，那么()()b x a x ab x b a x ++=+++)(2；或对于n mx kx ++2型的式子如果有cd n ab k ==,，且有m bc ad =+时，那么()()d bx c ax n mx kx ++=++2这种分解因式的方法叫做十字相乘法。

具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。

(拆两头，凑中间) 特点：(1)二次项系数是1； (2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

基本步骤：(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数; (3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果; (4)检验。

例题讲解：一、解一元二次方程1、直接开平方法(1)(x－1)2＝16；(2)2(x－1)2＝12；(3)4(x＋1)2＝0; (4)4(3x＋1)2－16＝0.2、配方法（1）x2﹣6x﹣6=0 （2）2x2﹣7x+6=0（3）x2﹣2x﹣4＝0 （4）3x2﹣6x﹣4＝03、求根公式法（1）2x2+3x﹣3＝0 （2）x2﹣10x+25＝9 （3）3x2+5（2x+1）=0 （4）3x2﹣4x﹣1＝04、因式分解法①提取公因式与平方差公式：2（x ﹣3）=3x （x ﹣3） 3x （x -1）=2（x -1）（x -3）2+2x （x -3）=0 x （x +4）=-3（x +4）（x -2）2=（2x +3）2 （x -3）2=（2x +5）2②十字相乘法：2560x x -+= 27120x x -+= 213360x x -+= 214240x x ++=2230x x --= 24210x x --= 260x x --= 27180x x --=二、根的判别式和求参数问题1. 利用一元二次方程根的判别式（△=b 2﹣4ac ）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立．例1．（2021·广西贵港·九年级期中）关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣m 2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等实根 B ．有两个不等实根 C ．只有一个实根D ．没有实数根例2．（2021·广西玉林·九年级期中）已知关于x 的一元二次方程224x m x +=有两个实数根，则m 的取值范围是 （ ） A ．m ≤2B ．m ＜2C ．m ≥0D ．m ＜0例3．（2021·广西玉林·九年级期中）关于x 的一元二次方程210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是( ) A ．14a ≤且0a ≠ B ．14a ≤C ．14a ≥且0a ≠ D ．14a ≥举一反三1．（2019·广西玉林·九年级期中）一元二次方程x 2﹣2x +3＝0根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法判断2．（2021·广西玉林·九年级期中）关于x 的一元二次方程210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围（ ） A ．14a ≤B ．14a ≤且0a ≠ C ．14a ≥-D ．14a ≥-且0a ≠3．（2018·广西河池·九年级期中）若一元二次方程x 2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值为_______．4．（2022·广西崇左·八年级期中）若关于x 的一元二次方程()22210k x x +--=有实数根，则实数k 的取值范围是_________．5．（2021·广西南宁·九年级期中）方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，则正整数a 的值为________.三、韦达定理以及应用 1、韦达定理：如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21acx x =21①； ②； ③； ④；⑤； ⑥；1．（2021·广西玉林·九年级期中）设1x 、2x 是方程210x mx m -+-=的两个根．若123x x +=，则12x x =______． 2．（2021·广西玉林·九年级期中）设1x ，2x 是一元二次方程23230x x --=的两根，则12x x +=________． 3．（2021·广西玉林·九年级期中）已知一元二次方程2310x x -+=有两个实数根1x ，2x ，则1212x x x x +-的值为______．4．（2021·广西·浦北中学九年级期中）已知x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则11x ＋21x ＝_______．5．（2022·山东淄博·八年级期中）若a 、b 是方程220220x x +-=的两根，则22a a b ++=_______________． 6．（2021·四川·石室中学九年级期中）设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2021＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝_________．7．（2022·广西贺州·八年级期中）若m ，n 是关于x 的一元二次方程230x x a -+=的两个根，且()()113m n --=，则a 的值为______．8．（2019·广西玉林·九年级期中）已知2210m m --=，2210n n --=，则22m n +=______.三、根与系数综合应用例1．（2021·广西玉林·九年级期中）已知关于x 的方程220x mx m ++-=． （1）求证：不论m 取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两根分别是1x ，2x ，求1212x x x x ++⋅的值．222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++例2．（2021·广西玉林·九年级期中）已知关于x 的方程x 2﹣2x +m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2 （1）求实数m 的取值范围； （2）若x 1﹣x 2=2，求实数m 的值．例3．（2020·广西玉林·一模）已知关于x 的方程22(21)20x k x k -++-=． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根m ，n 恰好是一个矩形两邻边的长，且2k =，求该矩形的其中一条对角线的长． 举一反三1．（2022·广西玉林·二模）关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k ---+=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为1x 、2x ，且22121219x x x x ++=，求k 的值．2．（2020·广西玉林·九年级期中）已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．3．（2020·广西玉林·九年级阶段练习）已知Rt ABC ∆的两条直角边长为一元二次方程2120x kx ++=的两根． （1）当7k =-时，求Rt ABC ∆的周长；（2）当Rt ABC △为等腰直角三角形时，求k 的值及ABC ∆的周长．4．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+k ＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．参考答案：1．B【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出b2-4ac＝(-1)2-4×1×（-m2）=1+4m2＞0，由此即可得出方程x2﹣x﹣m2＝0有两个不相等的实数根．【详解】解：x2﹣x﹣m2＝0①a=1，b=-1，c=-m2，①b2-4ac＝(-1)2-4×1×（-m2）=1+4m2＞0，①方程x2﹣x﹣m2＝0有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．A【分析】利用根的判别式0≥求解．【详解】解：将方程整理成一般形式为2420x x m-+=，由题意得∆0≥，①244)20(m-⨯-≥，解得m≤2，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的三种情况由此求字母系数是解题的关键．3．A【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∆=()214a--≥0且a≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：由题意可得：∆=24b ac-=()214a--≥0，a≠0解得：14a≤且0a≠故：选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键．4．C【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案.【详解】①a＝1，b＝﹣2，c＝3，①b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，①此方程没有实数根.故选C.【点睛】此题主要考查了根的判别式，当①>0时，方程有两个不相等的实数根；当①=0时，方程有两个相等的实数根；当①<0时，方程没有实数根.5．B 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到24b ac -=(−1)2−4a ≥0且a ≠0，即可求解． 【详解】解：ax 2−x +1=0 由题意可得：24b ac -=(−1)2−4a ≥0且a ≠0，解得：a ≤14且a ≠0故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键．6．9．【详解】分析：根据一元二次方程的根的判别式，满足①=b 2-4ac=0，得到有关m 的方程即可求出m 的值． 详解：①关于x 的一元二次方程x 2-6x+m=0有两个相等的实数根， ①①=b 2-4ac=36-4m=0， 解得：m=9， 故答案为9．点睛：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式①的关系： （1）①＞0，方程有两个不相等的实数根； （2）①=0，方程有两个相等的实数根； （3）①＜0，方程没有实数根．7．3k ≥-且2k ≠-##k ≠-2且k ≥-3【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：Δ=4+4（k +2）≥0， ①解得：k ≥-3， ①k +2≠0， ①k ≥-3且k ≠-2，故答案为：3k ≥-且2k ≠-．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．8．2或3##3或2【分析】当a ≠1时，原方程为一元二次方程，根据题意，令①≥0即可求出此时a 的取值范围，在此取值范围内求出正整数a 的值，即可得出结论．【详解】解：方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根， 所以：a -1≠0，故当a ≠1时，原方程为一元二次方程， ①(a -1)x 2+2(a +1)x +a +5=0有两个实根， ①①=[2(a +1)]2－4(a -1) (a +5)≥0， 解得：a ≤3①此时a ≤3且a ≠1故正整数a 的值为：a =2或者3故答案为：2或3．【点睛】此题考查的是根据方程根的情况求参数的取值范围，讨论一元二次方程根的情况与①的关系是解决此题的关键．9．2【分析】根据题意,得123x x +==m ，12x x =m -1，计算即可．【详解】①1x 、2x 是方程210x mx m -+-=的两个根，①12x x +=m ，12x x =m -1，①123x x +=，①m =3，①12x x =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，灵活运用根与系数的关系定理是解题的关键．10．23【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．【详解】解：由一元二次方程23230x x --=可知：3,2,3a b c ==-=-，①由韦达定理可得：122233-+=-=-=b x x a ； 故答案为23．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11．2【分析】先根据根与系数的关系得出x 1+x 2，x 1x 2的值，再代入原式计算即可．【详解】①一元二次方程 x 2−3x +1=0 有两个实数根 x 1 ，x 2 ，①x 1+x 2=331b a --=-=，x 1x 2 =111c a ==， ①x 1+x 2−x 1x 2=3-1=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟记两根之和与两根之积与系数之间的关系．12．-2【分析】根据根与系数的关系得到x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝−1，利用通分得到11x ＋21x ＝1212x x x x +，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝−1， 所以11x ＋21x ＝1212x x x x +＝-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a． 13．2021【分析】根据一元二次方程的解的定义可以求得，22022a a += ，利用根与系数的关系可以求得a +b = -1将其代入所求代数式，可求解．【详解】①a 、b 是方程x 2 +x - 2022 = 0的两根，① a 2+a - 2022 = 0， a +b = -1，①a 2+a = 2022，①a 2+ 2a +b =a 2 +a +a +b = 2022-1=2021故答案为：2021【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题时，采用了“整体代入”的数学思想．14．2019【分析】由方程的解得到222021,m m 再由根与系数的关系可得2,m n +=- 再整体代入求值即可. 【详解】解： m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2021＝0的两个实数根，2220210,2,m m m n222021,m m 2232m m n m m m n202122019.故答案为：2019【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键.15．5【分析】由m 、n 是关于x 的一元二次方程x ²-3x +a =0的两个解,得出m +n =3,mn =a ,整理(m -1)(n -1)= 3,整体代入求得a 的数值即可.【详解】解: ①m 、n 是关于x 的一元二次方程x ²-3x +a =0的两个解,①m +n =3,mn =a ,①(m -1)(n -1)=3,①mn -(m +n )+1= 3即a -3+1=3解得a = 5故答案为5.【点睛】本题考查了一元二次方程ax ²+bx +c =0(a ≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为1x 、2x ,则1212,b c x x x x a a+=-⋅= .16．6或m ，n 可以看作方程x 2-2x -1=0的解，由根与系数的关系可得，m +n =2，mn =-1，m 2+n 2=（m +n ）2-2mn ，求解即可.【详解】解：m ，n 可以看作方程x 2-2x -1=0的解，由根与系数的关系可得，m +n =2，mn =-1，m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =4+2=6，m =n时方程m 2-2m -1=0的解为m所以m 2+n 2故答案为：6或【点睛】根据题意转化为根与系数的关系是解题的关键.17．（1）见详解；（2）-2【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得1212,2x x m x x m +=-⋅=-，然后代入求解即可．【详解】解：（1）由方程220x mx m ++-=可知：1,,2a b m c m ===-，①()()22244224b ac m m m ∆=-=--=-+，①()220m -≥，①()2240m ∆=-+>，①不论m 取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根；（2）由题意得：1212,2x x m x x m +=-⋅=-，①121222x m x x x m =-++-+=-⋅．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．18．（1）m ＜1；（2）0【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m 即可．【详解】解：（1）由题意得：①=（﹣2）2﹣4×1×m =4﹣4m ＞0，解得：m ＜1，即实数m 的取值范围是m ＜1；（2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=2，即121222x x x x +=⎧⎨-=⎩， 解得：x 1=2，x 2=0，由根与系数的关系得：m =2×0=0．【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．19．（1）94k >-；（2（1）根据方程解的个数结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）当k=2时，原方程为x 2-5x+2=0，设方程的两个为m 、n ，根据根与系数的关系找出m+n=5、mn=2，将【详解】（1）①方程22(21)20x k x k -++-=有两个不相等的实数根，①①=[-（2k+1）]2-4×1×（k 2－2）=4k+9＞0，，①k ＞94-； （2）当k ＝2时，原方程为2x ﹣5x+2＝0，①方程的两个为m 、n ，①m+n ＝5，mn ＝2，=①【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时△＞0是解题的关键．20．(1)见解析；(2)k =7或k =-3．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k +1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，再将它们代入22121219x x x x ++=，即可求出k 的值．（1）①b 2-4ac =[-（k -3）]2-4×1×（-2k +2）=k 2+2k +1=（k +1）2≥0，①方程总有两个实数根；（2）由根与系数关系得x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，①22121219x x x x ++=， ①()2121219x x x x +-=，①()232219k k ---+=（），即24210k k --=，解得：k =7或k =-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=c a ． 21．（1）12m ；（2）1-或0【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解． （2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根， ∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+，解得12m ， ①实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=．22．（1）12；（2）k =-（1）当k=-7时，利用因式分解法解方程得到直角三角形的两直角边分别为3，4，然后利用勾股定理计算出斜边，从而得到三角形的周长；（2）利用判别式的意义得到△=k 2-4×12=0，解得k =±-k ＞0，则k =-△ABC 的周长．【详解】（1）解：当7k =-时，27120x x -+=①(3)(4)0x x --=①13x =，24x =此时两直角边长分别为3，4，则斜边5=，①ABC ∆的周长为34512++=；（2）解：当Rt ABC ∆为等腰直角三角形时，即方程有两个相等的实数根 则0∆=，①2480k -=①k =±当k =2120x ++=①12x x ==-；当k =-2120x -+=①12x x ==①k 的值为-此时Rt ABC ∆两直角边都为=①Rt ABC ∆周长为：【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a-，x 1x 2=c a．也考查了等腰直角三角形．。