量子力学 第一节 力学量算符 教案
量子力学教案
量子力学教案一、教学目标1. 了解量子力学的基本概念和原理。
2. 掌握波粒二象性的概念及其实验表现。
3. 理解量子力学中的不确定性原理及其应用。
4. 熟悉量子力学的基本数学形式。
5. 能够应用基本量子力学理论解决简单问题。
二、教学重点1. 量子力学基本概念和实验表现。
2. 不确定性原理的理解和应用。
3. 基本数学形式的掌握和应用。
三、教学难点1. 不确定性原理的理解。
2. 量子力学基本数学形式的应用。
3. 量子力学在实际问题中的运用。
四、教学内容及方法1. 教学内容：（1）量子力学基本概念和实验表现- 波粒二象性的概念及实验验证（双缝干涉实验等）。
- 波函数的概念和物理意义。
- 波函数的归一化和量子态的正交性。
（2）不确定性原理的理解和应用- 不确定性原理的概念和表述。
- 不确定性原理在实际问题中的应用。
（3）量子力学基本数学形式的掌握和应用- 时间演化方程及薛定谔方程的引出。
- 算符及其期望值的计算。
- 可观测量与本征值问题。
2. 教学方法：（1）讲授法：通过讲述基本概念和理论原理，引导学生理解量子力学的基本思想和数学形式。
（2）实验演示法：通过展示双缝干涉实验等经典实验，直观呈现波粒二象性现象。
（3）示例分析法：通过解析具体问题，引导学生掌握量子力学基本数学形式的应用。
五、教学步骤1. 导入环节通过提问方式引出波粒二象性的概念，并展示双缝干涉实验等相关实验现象。
2. 理论阐述（1）量子力学基本概念和实验表现讲解波粒二象性概念及实验验证，并引出波函数的概念和物理意义，讲解波函数的归一化和量子态的正交性。
（2）不确定性原理的理解和应用介绍不确定性原理的概念和表述，并结合实际问题进行应用示例分析。
（3）量子力学基本数学形式的掌握和应用讲解薛定谔方程的引出和时间演化方程，引导学生掌握算符及其期望值的计算方法，并介绍可观测量与本征值问题。
3. 实例讲解通过解析实例问题，引导学生应用所学的基本量子力学理论解决实际问题。
量子力学电子教案(第三章 量子力学中的力学量)
2
0 0
注：球谐函数 Ylm ( , ) 既是
ˆ ˆ2 的本征函数，也是 Lz L
的
ˆ ˆ 本征函数，是 L2，Lz 共同本征函数，仅本征值不同。
2 2 c.本征值： L l (l 1) ， (2l 1) 重简并。
三．坐标算符
ˆ x 的本征方程、本征函数与本征值。
ˆ 1.本征方程： x x ( x) x x ( x) 本征函数： 分析，若粒子处本征态 x (x) ，则其本征值是确定的，
(1) (2)
同理，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r2 R 2 ( ) r 2 2 2 2 M M Xx Yy Zz 2 2
厄米算符的特点： a. 厄米算符的本征值是实数。 b.厄米算符不同本征值的本征函数正交。 二．力学量算符与力学量算符的构成。 1 量子力学中某一力学量总是与一个厄米算符对应（一个基本假 定）。 2.力学量算符的构成 a.基本算符：
ˆ ˆ ˆ ˆ 动量算符 p i pxi py j pz k
i p ( r ) p z p ( r ) z
i p ( r ) p y p ( r ) y
(3) (4)
2．本征函数
(1）、（2）、（3）、（4）本征函数都为
p (r ) Ce
i p.r
其中C为归一化系数。
（1）归一化系数C求法：
其中，
本征函数： nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
z 2 m es4 本征值： Enl 2 2 2 n
zes2 V (r ) r
n=1.2.3,….
但以上解都假设氢原子核不动，处在原点。若考虑原子核与 电子都在运动，如何求解？这是二体问题, 在原子物理课程 里已讲过，只要用二体的约化质量μ 代替电子质量m，就可 得原子核与电子都在运动时的有关公式与结论。 本节对这个问题作进一步说明，并对氢原子的电子几率颁作 一些讨论。 一．原子核在运动时的薛定谔方程及其求解 设电子、原子核坐标为：(x1,y1,z1), (x2,y2,z2) 电子、原子核坐标为：μ 1, μ 2 波函数为：Ψ (x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)
量子力学基础教案
量子力学基础教案
量子力学基础教案
一、教学目标
1.掌握量子力学的基本概念和原理，理解量子力学的实验基础和基本假设。
2.掌握量子力学中的基本运算和符号表示，了解量子力学中的基本概念和术
语。
3.理解量子力学中的基本问题和方法，了解量子力学在物理、化学、生物等
领域的应用。
二、教学内容
1.量子力学的历史背景和基本概念。
2.量子力学的基本原理和假设。
3.量子力学中的基本运算和符号表示。
4.量子力学的基本问题和解决方法。
5.量子力学的应用领域和实例。
三、教学步骤
1.导入新课，介绍量子力学的历史背景和基本概念。
2.讲解量子力学的基本原理和假设，通过实例帮助学生理解。
3.讲解量子力学中的基本运算和符号表示，让学生掌握基本操作方法。
4.讲解量子力学的基本问题和解决方法，让学生了解量子力学的应用领域和
实例。
5.课堂练习和讨论，让学生加深对量子力学的理解。
6.总结本节课内容，布置课后作业。
四、教学评价
1.通过课堂表现和作业评价学生的学习效果。
2.通过小组讨论和报告评价学生的合作能力和表达能力。
3.通过定期测验和期末考试评价学生的学习成果。
量子力学简明教程授课教案
量子力学简明教程授课教案第一章：量子力学概述1.1 量子力学的发展历程了解量子力学的历史背景，包括普朗克的量子假说、爱因斯坦的光量子理论、波粒二象性等。
学习量子力学的基本原理，如波函数、薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
探索量子力学在原子、分子、固体物理等领域中的应用。
第二章：波函数与薛定谔方程2.1 波函数的概念学习波函数的定义和数学表达，了解波函数的物理意义和作用。
掌握波函数的归一化条件和物理意义。
2.2 薛定谔方程推导薛定谔方程，并了解其在量子力学中的重要性。
学习一维势阱、势垒和量子隧穿等模型。
第三章：量子力学的基本概念3.1 量子态的叠加与测量学习量子态的叠加原理，了解测量对量子态的影响。
探讨量子纠缠和量子超位置等现象。
3.2 量子力学的基本数学工具学习算符的概念和运算规则，了解算符在量子力学中的应用。
掌握态空间、算符表示和测量理论等基本概念。
第四章：原子和分子的量子力学4.1 氢原子的量子力学学习氢原子的薛定谔方程和解空间波函数。
探讨能级、能级跃迁和光谱线等现象。
4.2 多电子原子的量子力学学习多电子原子的薛定谔方程和电子间的相互作用。
探讨原子轨道、电子云和原子性质等概念。
第五章：固体物理中的量子力学5.1 晶体的量子力学学习晶体的周期性边界条件和布拉格子模型。
探讨能带结构、能带间隙和电子在晶体中的行为等概念。
5.2 量子阱和量子线学习量子阱和量子线的结构及其电子性质。
探讨量子阱中的量子态和量子线中的电子传输等现象。
第六章：量子力学与经典力学的比较6.1 经典力学的局限性探讨经典力学在描述微观粒子行为时的不足之处。
学习量子力学与经典力学在概念和方法上的差异。
6.2 量子力学的非经典特性探讨量子力学的非经典特性，如波粒二象性、量子纠缠等。
学习量子力学与经典力学在预测和解释现象上的不同。
第七章：量子力学与相对论的关系7.1 狭义相对论的基本概念复习狭义相对论的基本原理，如时空相对性、质能等价等。
《量子力学简明教程》授课教案
《量子力学简明教程》授课教案一、第1章：量子力学导论1.1 课程简介介绍量子力学的发展历程及其在现代物理学中的重要性。
解释量子力学与经典力学的区别和联系。
1.2 教学目标让学生了解量子力学的历史背景和发展。
让学生理解量子力学的基本概念和原理。
1.3 教学内容量子力学的历史背景和发展。
量子力学的基本概念：波函数、薛定谔方程、测量问题等。
1.4 教学方法采用讲授法，辅以案例分析、讨论等方式，帮助学生理解和掌握基本概念。
二、第2章：一维势阱与量子束缚态2.1 课程简介研究一维势阱中粒子的行为，探讨束缚态和散射态的性质。
2.2 教学目标让学生掌握一维势阱的基本性质和量子束缚态的解法。
让学生了解束缚态和散射态的区别。
2.3 教学内容一维势阱的基本性质：能级、能态、束缚态和散射态。
量子束缚态的解法：数学表达式、图形表示、解的存在性等。
2.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解一维势阱的性质。
通过实例分析，让学生掌握量子束缚态的解法。
三、第3章：势垒穿透与量子隧道效应3.1 课程简介研究在势垒作用下，粒子穿过势垒的概率问题，探讨量子隧道效应的性质。
3.2 教学目标让学生了解势垒穿透的条件和量子隧道效应的物理意义。
让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
3.3 教学内容势垒穿透的条件：入射粒子的能量、势垒的宽度、形状等。
量子隧道效应的物理意义和数学表达式。
量子隧道效应的应用：纳米技术、扫描隧道显微镜等。
3.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解势垒穿透和量子隧道效应。
通过实例分析，让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
四、第4章：哈密顿算符与量子平均值4.1 课程简介引入哈密顿算符的概念，研究量子系统的能量本征值和本征态。
探讨量子平均值的计算方法及其在实际问题中的应用。
4.2 教学目标让学生理解哈密顿算符的概念及其物理意义。
让学生掌握量子平均值的计算方法及其应用。
大学七年级量子力学基础教案
大学七年级量子力学基础教案一、引言量子力学是现代物理学的重要分支，是研究微观领域物质与能量相互作用的理论。
在本教案中，我们将介绍大学七年级量子力学的基础知识，帮助学生建立起对量子力学的初步认识。
二、教学目标1. 了解量子力学的历史背景和基本概念；2. 理解量子力学的数学表达形式；3. 掌握量子力学中的波粒二象性和不确定性原理；4. 理解量子力学中的量子态和波函数；5. 了解量子态的测量和叠加原理。
三、教学内容1. 历史背景量子力学的发展历程：从黑体辐射到普朗克假设，再到波尔理论和德布罗意假设。
2. 基本概念(1) 粒子与波的二象性：介绍电子双缝干涉实验，解释粒子与波的二象性。
(2) 不确定性原理：介绍海森堡不确定性原理，解释测量过程中的不确定性。
3. 数学表达形式(1) 波函数：介绍波函数的定义、性质和物理意义。
(2) 算符：引入算符的概念，解释算符在量子力学中的作用。
4. 波粒二象性(1) 波动性：介绍波动性的数学表达形式，如薛定谔方程。
(2) 粒子性：介绍粒子性的数学表达形式，如粒子的位置和动量的算符表达式。
5. 量子态和波函数(1) 量子态的表示：介绍量子态的表示方法，如几何矢量表示和波函数表示。
(2) 波函数的解释：解释波函数的实部和虚部分别表示什么物理量。
6. 量子态的测量(1) 算符的本征值和本征态：引入算符的本征值和本征态的概念，解释测量时的可能结果。
(2) 坍缩原理：解释测量后量子态的坍缩现象。
7. 量子叠加原理(1) 叠加态：介绍叠加态的概念，如叠加态的波函数和几何矢量表示。
(2) 叠加态的测量：解释叠加态的测量结果。
四、教学方法1. 讲授法：通过教师的讲解，介绍量子力学的基本概念和数学表达形式。
2. 案例分析法：引入实际案例，分析量子力学的应用和实验现象。
3. 讨论互动法：组织学生进行小组讨论，共同探讨量子力学的相关问题。
五、教学评估1. 课堂测试：通过课堂练习和习题解析，检验学生对量子力学的理解程度。
1.7-量子力学中的算符和力学量
算符即运算规则算符即运算规则。
它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。
例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。
量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。
例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。
例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。
力学量与算符
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
量子力学简明教程授课教案
量子力学简明教程授课教案第一章：量子力学概述1.1 量子力学的发展历程1.2 量子力学的基本概念1.3 量子力学与经典力学的比较第二章：波函数与薛定谔方程2.1 波函数的概念2.2 薛定谔方程的建立2.3 薛定谔方程的求解方法第三章：量子态的叠加与测量3.1 量子态的叠加原理3.2 量子态的测量3.3 测量结果的概率解释第四章：一维势阱与量子束缚态4.1 一维势阱的经典问题4.2 量子束缚态的能量与波函数4.3 束缚态的跃迁与吸收、发射现象第五章：量子力学在原子物理中的应用5.1 氢原子的能级与光谱5.2 多电子原子的能级结构5.3 激光原理与激光器第六章：量子力学在分子物理中的应用6.1 分子轨道理论的基本概念6.2 分子轨道的能级与形状6.3 分子间相互作用与化学键第七章：量子力学在凝聚态物理中的应用7.1 晶体结构的基本概念7.2 电子在晶体中的能带结构7.3 半导体与超导体的量子性质第八章：量子力学在量子计算中的应用8.1 量子比特与量子电路8.2 量子门的操作与量子计算的基本原理8.3 量子算法与量子计算机的优势第九章：量子力学在量子通信中的应用9.1 量子态的传输与量子纠缠9.2 量子密钥分发与量子通信的安全性9.3 量子通信的未来发展与应用第十章：量子力学在粒子物理中的应用10.1 粒子物理的基本概念10.2 量子场论的基本原理10.3 粒子的产生与衰变过程重点和难点解析一、量子力学的发展历程难点解析：理解量子力学与经典力学的本质区别，以及量子概念的引入对物理学带来的革命性变革。
二、波函数与薛定谔方程难点解析：解薛定谔方程的技巧，特别是束缚态和散射态的求解，以及如何从解中提取物理信息。
三、量子态的叠加与测量难点解析：量子测量理论，包括测量结果的概率解释和量子纠缠现象。
四、一维势阱与量子束缚态难点解析：理解量子束缚态的概念，以及如何计算束缚态的能量和波函数。
五、量子力学在原子物理中的应用难点解析：如何用量子力学解释氢原子的光谱线系列，以及激光产生的物理过程。
大学一年级量子力学教案
大学一年级量子力学教案一、教学目标本课程旨在使学生了解和掌握以下内容：1. 量子力学的基本概念和原理；2. 薛定谔方程的引入和解析；3. 粒子的波粒二象性及其数学描述；4. 量子态、测量和观测。
二、教学重点及难点1. 量子力学的基本概念和原理；2. 薛定谔方程的引入和解析。
三、教学内容和进度安排第一章量子力学的基本概念和原理（2学时）1.1 量子力学的发展历程1.2 量子力学的基本假设和特点1.3 波粒二象性及其数学描述第二章薛定谔方程的引入和解析（4学时）2.1 单粒子的薛定谔方程2.2 薛定谔方程的解析解2.3 波函数的物理意义第三章粒子的波粒二象性及其数学描述（6学时）3.1 德布罗意假设3.2 波函数和波动方程3.3 波函数的统计解释第四章量子态、测量和观测（4学时）4.1 哈密顿算符和能量本征值问题4.2 算符的期望值与测量4.3 不确定性原理四、教学方法和学时安排本课程采用以下教学方法：1. 理论授课：通过讲授基本概念和原理，解析薛定谔方程等内容，使学生掌握量子力学的基本理论知识。
2. 讨论研究：鼓励学生在教学过程中积极提问，参与讨论，加深对量子力学概念的理解和应用。
3. 实验演示：针对量子力学的实验现象进行演示，帮助学生直观理解波粒二象性等概念。
本课程学时安排如下：第一章：2学时第二章：4学时第三章：6学时第四章：4学时五、教学评价方式本课程的评价方式包括：1. 平时表现：包括课堂讨论、实验报告等。
2. 期中考试：考察学生对量子力学基本理论知识的掌握和理解能力。
3. 期末考试：综合考察学生对全学期所学内容的理解与运用能力。
六、教学资源本课程所需的教学资源包括：1. 教材：《量子力学导论》等相关教材；2. 实验设备和材料：激光装置、光栅等。
七、教学参考书目1. Griffiths, D. J. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd ed. Prentice Hall, 2016.2. Sakurai, J. J., and Napolitano, J. Modern Quantum Mechanics. 2nd ed. Pearson, 2017.以上是大学一年级量子力学教案的内容，通过系统的教学安排，旨在使学生在本课程中系统学习量子力学的基本概念和原理，掌握薛定谔方程的引入和解析等关键知识点。
《量子力学》教学大纲
《量子力学》课程教学大纲一、课程基本信息英文名称 Quantum Mechanics 课程代码 PHYS3004课程性质 专业必修课程 授课对象 物理学学 分 4学分 学 时 72学时主讲教师 修订日期 2021.9指定教材 曾谨言，《量子力学教程》，科学出版社，2000年二、课程目标（一）总体目标：本课程的知识目标：了解量子力学的实验基础和发展史、应用和前沿，及其对现代科学技术的支撑作用；系统掌握量子力学的基本概念、基本原理及处理量子系统实际问题的计算方法。
能力目标：掌握微观体系的物理研究方法和前沿进展，提高解决交叉学科领域量子问题的能力，锤炼科学思维能力和科研创新能力。
素质目标：掌握辩证唯物主义基本原理，建立科学的世界观和方法论；富有科学精神，勇于在物理学前沿及交叉领域探索、创新与攀登。
（二）课程目标：课程目标1：了解量子力学的发展简史，量子力学理论发展中的著名物理实验及其地位和作用；了解量子力学的诠释及适用范围；了解量子力学实验和理论研究的前沿进展和应用前景；使学生认识到量子力学理论在现代科学研究领域的重要性，掌握辩证唯物主义基本原理，建立科学的世界观和方法论。
课程目标2：掌握量子力学基本原理和基本计算方法，学会运用量子力学理论对一维定态若干问题，以及中心力场氢原子等问题的分析和处理；训练学生运用理论公式求解并分析量子系统的能力，培养和提高学生的抽象思维能力和解决交叉学科领域量子问题的能力。
课程目标3：掌握定态微扰论的近似计算方法，掌握利用含时微扰理论处理近代物理实验量子跃迁等的方法，掌握自旋及全同粒子体系的处理方法；培养和提高学生对非精确求解、自旋纠缠态等复杂系统的求解能力，掌握对近似解的误差分析和数据处理等基本技能，锤炼科学思维能力和科研创新能力。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系表1：课程目标与课程内容、毕业要求的对应关系表课程目标对应课程内容对应毕业要求课程目标1 第一章 波函数和薛定谔方程第四章 中心力场第六章 自旋与全同粒子第七章 微扰论与量子跃迁毕业要求3：了解物理学前沿和发展动态，新技术中的物理思想，熟悉物理学新发现、新理论、新技术对社会的影响。
《量子力学》课程教学大纲(本科)
量子力学Quantum Mechanics课程编号:01410110学分：4学时：64 （其中：讲课学时：64实验学时：0 上机学时：0）先修课程：力学，电磁学，热学，光学，数学物理方法，原子物理学适用专业：物理（师范）教材：《量力力学》周世勋编高等教育出版社2009-06一、课程性质与课程目标（一）课程性质量子力学是物理学的基础理论之一，也是相关专业学习的基础课。
用最现代的观点理解物质世界，运用能量了假设，建立量子观念，解决经典力学无法解决的问题。
本课程设置目的就是使同学们能够掌握量子力学基本规律及其基本概念，为进一步学习其他相关课程打下良好的理论基础。
（二）课程目标课程目标1：理解量子力学的基本原理，了解量子力学的前沿理论、应用前景及国际发展动态。
课程目标2：使学生认识到量子力学规律的发现是人类对于自然界认识的深化，量子力学不仅深入到物理学各个领域，而且深入到化学、生物学、信息科学等许多领域，而且在许多近代技术也得到了广泛的应用。
课程目标3：能够利用文献检索杳阅量子力学研究新进展，把握最新研究动向。
二、课程内容与教学要求第一章绪论（一）课程内容（1）本课程的性质、研究对象与方法、目的、任务;（2）经典物理学的困难（3）光的波粒二象性（4）微粒的波粒二象性（二）教学要求（1）了解本课程的性质、研究对象与方法、任务；（2）了解经典物理学在解释相关量子物理现象的困难（3）掌握光和粒子的波粒二象性关系（三）重点与难点（I）重点是微观粒子的波粒二象性（2）难点是微观粒子的波粒二象性第二章波函数和薛定谓方程（一）课程内容（1）波函数的统计解释（2）态迭加原理（3）薛定谤方程（4）粒子流密度和粒子数守恒定律（5）定态薛定谓方程（6）一维无限深势阱（7）线性谐振子（8）势垒贯穿（二）教学要求（1）了解熟悉薛定渭方程的假设；（2）理解波函数的统计解释解释与标准条件：（3）掌握：波的态迭加原理及波函数的标准条件；粒子流密度和粒子数守恒定律；求解•维无限深势阱、线性谐振子的定态薛定印方程，并能分析势垒贯穿。
大学量子力学教案
课时安排：12课时教学目标：1. 理解量子力学的基本概念和原理，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态等。
2. 掌握量子力学的基本运算方法，如薛定谔方程、海森堡矩阵力学等。
3. 能够运用量子力学知识解释和解决实际问题。
教学重点：1. 量子态和波函数的概念。
2. 薛定谔方程及其解法。
3. 量子力学中的力学量算符和测量问题。
教学难点：1. 波粒二象性的理解。
2. 不确定性原理的数学表述和应用。
3. 量子态叠加和纠缠现象。
教学内容：一、绪论（2课时）1. 量子力学的起源和发展。
2. 量子力学的实验基础。
3. 量子力学的基本假设和原理。
二、波函数与波动方程（2课时）1. 波函数的概念和性质。
2. 波函数的薛定谔方程。
3. 一维定态问题。
三、量子力学中的力学量（2课时）1. 量子力学中的力学量算符。
2. 力学量的本征值和本征态。
3. 力学量的测量问题。
四、变量可分离型的三维定态问题（2课时）1. 变量可分离型薛定谔方程的解法。
2. 三维势阱问题。
3. 氢原子模型。
五、量子力学的矩阵形式及表示理论（2课时）1. 海森堡矩阵力学的基本原理。
2. 矩阵力学中的力学量算符。
3. 矩阵力学中的测量问题。
六、自旋（2课时）1. 自旋的概念和性质。
2. 自旋算符和自旋态。
3. 自旋与磁矩的关系。
教学过程：1. 讲授法：教师通过讲解、板书等方式，引导学生理解和掌握量子力学的基本概念和原理。
2. 案例分析法：通过分析具体的量子力学问题，帮助学生运用所学知识解决实际问题。
3. 讨论法：组织学生进行课堂讨论，激发学生的思维，提高学生的参与度。
教学评价：1. 课堂提问：通过提问检查学生对基本概念和原理的掌握程度。
2. 作业与练习：布置相关作业和练习，检验学生对量子力学基本运算方法的掌握情况。
3. 考试：通过考试全面评估学生对量子力学知识的掌握程度。
教学资源：1. 教材：《量子力学》（闫学群主编）2. 教学课件：PPT教学课件3. 在线资源：相关学术论文、视频讲座等备注：在教学过程中，教师应根据学生的实际情况调整教学内容和进度，注重培养学生的创新思维和实际应用能力。
《量子力学教程》教案设计
（1）
（2）
h p n
这就是著名的德布罗意关系式， 这种表示自由粒子的平面波称为德布罗意波 或“物质波” 。
设自由粒子的动能为 E，当它的速度远小于光速时，其动能 E 式可知，德布罗意波长为：
P2 ，由（2） 2
h p
h 2E
（3）
如果电子被 V 伏电势差加速，则 E ev 电子伏特，则：
波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成 比例，即描写粒子的波可以认为是几率波。 分析：电子的衍射实验，见书 18 页
量子力学的一个基本原理：微观粒子的运动状态可用一个波函数 (r , t ) 来描写。
四、波函数的性质
1.
dw( x, y, z , t ) c ( x, y, z , t ) d
量子力学教案
§1.1 经典物理学的困难
一、 经典物理学是“最终理论”吗？
十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时， 一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v<<c 时） 牛顿力学 电磁现象 麦克斯韦方程 光现象（光的波动） 热现象 热力学、统计物理学（玻耳兹曼、吉布斯等建立） 有人认为： 物理现象的基本规律已经被揭穿，剩下工作只是应用和具体的计 算。 这显然是错误的，因为“绝对的总的宇宙发展过程中，各个具体过程的发展 都是相对的， 因而在绝对真理的长河中，人们在各个一定发展阶段上的具体认识 只具有相对的真理性” 。
二、经典物理学的困难
由于生产力的巨大发展， 对科学实验不断提出新的要求，促使科学实验从一 个发展阶段进入到另一个发展阶段。 就在物理学的经典理论取得上述重大成就的 同时，人们发现了一些新的物理现象无法用经典理论解释。 1. 黑体辐射问题 2. 光电效应问题 3. 原子的线状光谱和原子结构问题 4. 固体在低温下的比热问题
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第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。
五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。
二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
厄密算符的本征值必为实数证： 设为厄密算符取是实数表示力学量的算符为厄密算符 2．力学量算符为线性算符态叠加原理决定了力学量算符为线性算符【证】： 设也应是体系的态即为线性算符三 厄密算符本征函数的性质 1正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
如果两函数 和 满足 积分是对变量变化的全部区域进行,则称 与 相互正交。
[证]: 已知为实数由厄密算符性质这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的对归一化的本征函数分离谱连续谱这样的本征函数构成正交归一系.2.完备性设为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为,对应的本征值为则任一函数可按展开本征函数的这种性质称为完备性与x无关,利用的正交归一性,将等式两边，对x在整个区域积分即:如总归一化讨论:当是算符的一本征函数时,即即其它系数为零,这时测量力学量的测量值必是当不是的本征函数时, 可按本征函数展开,测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为的几率为波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符的本征值之一,测得的几率是四力学量算符的平均值.对于一态,将其按某力学量的本征函数集展开是归一化的出现本征值的几率为,则按由几率求平均值的法则上式可改写为是归一化的[证明]如未归一化：如本征值是连续谱定理: 在任何状态下,厄密算符的平均值都是实数[证明]逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符例1:设为厄密算符, 则[证明]第四节几种典型力学量算符的本征函数一.坐标算符即为坐标算符本征值为的本征函数。
二.动量算符动量算符的本征值方程，，它们的解如何确定归一化系数C这是由于本征值可取任意值，动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样的.对连续谱的本征函数,我们一般将函数归一化函数=取, 归一化为函数归一化的动量本征函数为箱归一化:如给波函数加上边界条件,即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值，，同理：，，为正负整数或零。
本征值谱由分离变为连续.加进周期性边界条件后,动量本征函数可归一化为1，归一化常数为。
归一化波函数为三.角动量算符，，用球坐标表示：，，可以看出角动量算符只与有关1.的本征函数，解出应满足边界条件exp =1 ，归一化后，是的本征值为的归一化本征函数。
2．角动量的共同本征态：球谐函数的共同本征函数为球谐函数：轨道角量子数磁量子数具体表达式：是正交归一的：对应于的一个本征值有个不同的本征函数。
我们把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并。
的本征值是度简并。
第五节算符的对易关系共同本征态函数测不准关系一.量子力学的基本对易关系记1.坐标与动量算符的对易关系为任意波函数,所以同理概括起来2.角动量算符的对易关系式同理可证常用的对易关系式二.共同本征态如两算符, 满足. 称对易定理: 如果两算符有一组共同本征函数，而且组成完全系，则对易[证]设是任一波函数＝逆定理: 如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数上述定理可推广到两个以上情况。
它们的共同本征函数完全集是相互对易，它们有共同本征函数要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。
完全集合中力学量的数目一般与体系自由度数目相符。
从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。
体系微观规律与宏观规律之间差异，如在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。
三．测不准原理设两算符对易关系为令考虑积分是实参数都是厄密算符不等式成立的条件是对坐标和动量例：通过测不准原理关系说明线性谐振子的零点能【解】振子的平均能量是和不能同时为零最小值不能为零为求最小值，测不准关系取等号得出的最小值，测不准关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。
第六节电子在库仑场中的运动氢原子一．电子在库仑场中的运动核（Ze），核外电子(-e)氢原子 Z=1类氢原子 Z>1势能薛定谔方程分离变量法径向方程的解与角度部分有关的解n主量子数轨道角动量量子数m磁量子数可以看出能量本征值是和n有关，对应于第n个能量有个波函数电子第个能级是度简并的。
二．氢原子对氢原子应考虑核运动，这是一两体问题薛定谔方程相对坐标质心坐标约化质量分离变量带入方程用除方程两边与坐标无关<1><2><2>式描述质心运动，这是能量为的自由粒子的定态薛定谔方程。
<1>式是电子相对于核运动的波函数所满足的方程，即是一个质量为的粒子在势能为的力场中运动，这里我们只需要把前面结果中Z的取为1，把电子质量换成约化质量即可氢原子能级能级随n增大而增大电子电离电离能=13.60=13.597 ( 取约化质量)电子由能级跃迁到时辐射出光的频率里德伯常数 R=10973731.1/mR=10967758/m （约化质量）电子按半径r的分布几率玻尔电子轨道半径的本质：分布几率出现极值的地方。
第七节力学量随时间变化与守恒定律一．力学量平均值随时间的变化，守恒量在量子力学中，处于一定状态下的体系在每一时刻不是所有力学量都有确定值，只是具有确定的平均值及几率分布有薛定谔方程若力学量不是含t 则，。
如又和对易即，则：满足上式，即力学量平均值不随时间变化的力学量称为守恒量，守恒量的几率分布不随时间改变。
证：设为守恒量,则，取的一组共同本征态对任一态按展开总结：如果是与对易的不含t的力学量（守恒量）则在体系的任何态下，平均值不随时间改变在体系的任何态下，的几率分布不随时间改变。
（3）若初始时刻，体系处于守恒量的一个本征态，则以后仍将保持该本征态，若初始时刻，体系不处于本征态，则以后状态也不是本征态。
例：（1）自由粒子的动量动量守恒动量守恒（2）中心力场中运动的粒子角动量守恒只与有关角动量平方及角动量分量都是守恒量。
(3)哈密顿不现含时间的体系能量守恒能量守恒（4）哈密顿对空间反演不变时的宇称守恒空间反演宇称算符的本征值是1，的本征值是（偶宇称）（奇宇称）设体系的哈密顿算符在空间反演后不变则和可以有共同本征函数。
宇称守恒定律: 体系能量本征函数可以有确定宇称且不随时间改变。
守恒量与定态的区分：1.定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量，即不显含时间与对易的力学量2.在定态下，不显含t的一切力学量（不管是不是守恒量）的平均值及几率分布均不随时间改变，而力学量只要是守恒量，则在一切状态下（不管是不是定态），它的平均值和几率分布都不随时间改变。
第三章小结一.力学量用算符表示,1.力学量与力学量算符的关系全部本征值是且仅是相应力学量F的所有可能取值。
2．表示力学量的算符须具有的基本性质(1). 线性算符,即满足条件:叠加原理要求薛定谔方程必须是线性的,要求是线性的,而又是由诸力学量算符构成.(2). 厄密算符，，。
物理要求力学量所有可能值 (观测值) 均为实数,即力学量的本征值为实数,只有厄密算符的本征值全是实数。
3．力学量算符本征函数具有的基本性质(1). 正交归一性，这是由算符的厄密性决定的.分离谱连续谱(2).算符的本征函数集具有完备性（a）分离值, .取值为的几率（b）连续谱：完备性的另一描述：分离谱连续谱[证]：,若上式=, 则要求4．力学量算符的平均值一般表示，分离谱连续谱上述波函数是归一化的。
二.几种基本的力学量算符及本征函数1. 坐标算符本征值谱为连续谱,所有实数本征值为的本征函数正交归一性:完备性:2. 动量算符本征值为连续谱,区间内所有实数值,本征值为的归一化本征函数正交归一化条件:完备性:2.轨道角动量算符常用球坐标表示与有共同的本征函数角量子数磁量子数的本征函数正交归一性:完备性:3.一维无限深势阱的能量本征函数（宽度a）4.一维线性谐振子的能量本征函数厄米多项式逆推关系:三.算符的对易关系测不准关系1.常见对易关系(1)(2)(3)(4)2.测不准关系.四.氢原子(电子在库仑场中运动)哈密顿量:能量本征值:能量本征函数: , 能级度简并.第三章例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一.有关算符的运算1.证明如下对易关系(1.)(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。