高等数学习题详解-第8章 二重积分

习题8-1

1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D

m x y d μσ=⎰⎰.

2. 试比较下列二重积分的大小：

(1) 2()D

x y d σ+⎰⎰与3()D

x y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；

(2)

ln()D

x y d σ+⎰⎰与2

ln()D

x y d σ+⎡

⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.

解：(1)在D 内，()()23

01x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D

D

x y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.

(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2

ln()[ln()]D

D

x y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰

习题8-2

1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：

(1) ()D

x y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；

(2) (32)D

x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；

(3) 2

2()D x

y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；

(4) 2D

x y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；

(5) ln D

x y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；

(6)

22D

x d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 1

1

1

1

1

1

()()20.D

x y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 2

22

200

(32)(32)[3(2)(2)]x D

x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰

⎰

2232022

20[224]4.33

0x x dx x x x =-++=-++=⎰

(3) 32

2

2

2

2

2

2

002193()()(

)248y

y D

y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰

43219113.9686

0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.D

x yd σ=⎰⎰

(5) 4420104

1ln ln (ln ln )2(1)2110e D

e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.

(6) 1222241113

11

122222

119()()124642

x x D

x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰

⎰⎰⎰⎰.

2. 将二重积分(,)D

f x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：

(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；

(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；

(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1

y x

=所围成的闭区域；

(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1

2

2120

1

(,)(,)(,).x

x y y

dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

(2) 2

441

004

(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰

⎰⎰

(3) 12

2

2

2

1111

1

2

(,)(,)(,).x

y

y

x

dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

(4) 2111

1

(,)(,).x

dx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰

3. 交换下列二次积分的积分次序：

(1) 10

(,)y

dy f x y dx ⎰⎰； （2）22

20

(,)y

y

dy f x y dx ⎰⎰；

(3) ln 10(,)e x

dx f x y dy ⎰⎰

； (4) 12330

1

(,)(,)y y

dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰

.

解：(1) 11

1

(,)(,)y

x

dy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.

(2) 22240

2(,)(,).y x y

dy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰

(3) ln 1

1

(,)(,)y e x

e

e

dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰

⎰⎰

(4) 1

233230

1

2

(,)(,)(,)y

y

x

x

dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰.

4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.

解：11100037

(623)(62).22

V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰

5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.

解：3111222

000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰

习题8-3

1. 画出积分区域，把二重积分(,)D

f x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D

是：

(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；

(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20

(,)(cos ,sin ).a

D

f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰

⎰⎰

(2) 2cos 20

2

(,)(cos ,sin ).D

f x y d d f r r rdr π

θ

πσθθθ-=⎰⎰

⎰⎰

(3) 22

1

(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰

⎰⎰

(4)

12

cos sin 0

(,)(cos ,sin ).D

f x y d d f r r rdr πθθ

σθθθ+=⎰⎰⎰

⎰

2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：