人教版九年级数学下册《第二十六章 反比例函数》简介

《第二十六章反比例函数》简介

课程教材研究所

本章包括反比例函数的概念、图象及其性质．本章首先从现实世界中具有反比例关系的实例出发，从函数角度描述反比例关系，再次经历用函数研究变化规

律的过程，认识反比例函数（k为常数，k≠0）中两个变量x，y之间的依赖关系：在变量y随变量x的变化而变化的过程中，它们的积xy始终保持不变（xy=k）；然后用“描点法”画出反比例函数的图象，观察图象并结合解析式，得出反比例函数的性质；最后运用反比例函数解决简单的实际问题．本章教学时间约需8课时，具体安排如下（仅供参考）：

26.反比例函数3课时26.2 实际问题与反比例函数 4课时

数学活动

小结1课时

一、教科书内容和课程学习目标

1. 本章知识结构

本章知识结构如下图所示：

2. 教科书内容

反比例函数是《义务教育数学课程标准（2011年版）》“数与代数”领域的内容．其学习基础是函数的概念、函数的表示方法以及反比例关系；我们类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，展开反比函数的概念、图象、性质及其应用．

章引言通过生活中常见的路程、速度与时间的关系式s=vt，指出在路程s 一定的前提下，平均速度v与运行时间t的成反比例关系．当从函数角度进行研

究时，平均速度v随着运动时间t的变化而变化的规律可以用解析式表示，引出本章学习内容——反比例函数．

本章分两节．“26. 1 反比例函数”的内容是反比例函数的概念、图象和性质．本节首先给出“思考”栏目中现实世界和数学中具有反比例关系的三个问题：（1）距离一定时，平均速度v随着运动时间t的关系；（2）矩形面积s一定时，矩形长y与宽x的关系；（3）人均占有土地面积与总人口之间的关系，指出这三个问题中均有三个量，其中一个量不变，另外两个量中一个量随着另一量的变化而变化，而且对于一个量的每一个确定的值，另一个量都有唯一确定的值与它对应，因此上述问题中两个量之间具有函数关系，而且这个函数关系可以用形如

的形式表示，从而给出反比例函数的概念：形如（k为常数，k≠0）的函数，并指出反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型．为了巩固反比例函数的概念，教科书例1是由反比例函数的自变量和因变量的值，确定常数k的值，从而得到反比例函数的解析式；根据反比例函数的解析式，我们就可以得到与任意自变量对应的函数值．显然，反比例函数的解析式由常数k唯一确定．根据以往研究函数的经验，对于具体的函数，如一次函数、二次函数等，我们都是在其概念的基础上，由其解析式，通过描点画图，得出其图象，然后通过图象，并结合解析式研究其性质，反比例函数的研究也不例外．对于反比例函数

，我们先研究k>0的情形，然后类比k>0的情形，研究k<0的情形．从形状、位置，因变量y如何随自变量x的变化而变化等方面归纳它们的性质．“26. 2 实际问题与反比例函数”的内容是用反比例函数解决简单的实际问题，以及用反比例函数解释现实世界中的一些现象．本节选取了四个不同背景的实际问题：（1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；（2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；（3）在杠杆中，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；（4）电压一定时，输出功率是电阻的反比例函数．通过这些问题的解决，进一步加深对反比例函数的认识．

3. 本章学习目标

（1）认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型．

（2）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．

（3）能画出反比例函数（k为常数，k≠0）的图象，根据图象和解析式探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况．

（4）能用反比例函数解决简单的实际问题．

二、编写时考虑的几个问题

1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型

反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指

出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．

“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．

在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳

三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k 为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反

例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．

2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数

函数是初中数学重要的概念，对函数的研究方法一脉相承．它们都是变化规律的数学模型，虽然描述的是不同的变化规律，但都概括得出函数解析式；根据解析式，由自变量的值求出相应的函数值，通过列表表示这些自变量的值和函数值；然后把这些值对应的点在坐标系中表示出来；最后用平滑的曲线把这些点连接起来，得到函数的图象．由它的图象，同时结合其解析式，我们得到其性质：图象的形状、大小、位置和变化规律等等．这是学习每类具体函数时采用的相同研究方法，反比例函数也不例外．

在每类函数的学习中，我们都是按照从特殊到一般，从具体到抽象的方式展开．对反比例函数的学习，我们重点研究k>0时的情形，归纳得到它的性质：图象是双曲线；图象分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随的x增大而减小．然后类比k>0的情形，研究k<0的情形，得出它们的性质．

3. 加强与物理等学科之间的横向联系

数学既是科学技术的语言，又是科学技术的工具．反比例函数不仅在现实世界中具有众多原型，而且在现实世界中具有广泛的应用．本章众多问题来源于物理学科，运用反比例函数知识加以解决，了解这些问题的物理背景是解决它们的前提．本章从原八年级下册移至九年级下册，主要考虑是学生必须熟悉物理背景，而相关的物理背景学生在九年级物理课中才接触．实际上，加强不同学科之间的联系，从其他学科引入数学问题，然后运用数学加以解决始终是数学学习的重要方面．

本章涉及的主要物理背景包括路程、速度与时间，电流、电阻与电压，电功率、电流和电阻，压力、面积与压强等之间的关系，这些具有反比例关系的物理问题是反比例函数研究的重要内容．实际上，凡是能够抽象为a=bc型数量关系的物理问题，我们都可以从正比例函数和反比例函数的角度去认识它们．