四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学试卷(含答案详解)
四川省绵阳南山中学2018-2019年度初升高自主招生数学试题(含答案)
18．一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水.任意转动这个正方体,则水 面在容器中的形状可以是 :(1) 三角形;(2)长方形;(3)正方形;(4)正六边形.其中正确的结论是 ____________.(把你认为正确的序号都填上) 三．解答题:本大题共 7 个小题,共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
由此还可以对某些函数的增减性进行判断和证明。
如：证明函数 f (x) 2 (x 0) 是减函数． x
证明：假设 x1 x2 ，且 x1 0, x2 0,
f
(x1)
f
(x2 )
2 x1
2 x2
2(x2 x1) x1x2
∵ x1 x2 ，且 x1 0, x2 0,
2018 年自主招生考试 数学试卷 第 3页 共 4 页
20．（本小题满分 12 分） 为了落实“全民阅读活动”，从某学校初一学生中随机抽取了 100 名学生，获得了他们一
周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
0 x2
6
2
2 x4
8
故 从 该 校 随 机 选 取 一 名 学 生 ， 估 计 其 该 周 课 外 阅 读 时 间 少 于 12 小 时 的 概 率 为
0.9.
……………（8 分）
（3）样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第 4 组
…………（12 分）
(每小问 4 分。重点在估计二字上，规范酌情扣分)
4．使代数式 1 4 3x 有意义的非正整数 x 有（ ） x3
2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学试卷(含答案详解)
2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷一、选择题（每小题 分，共 分）．（﹣ ） 的平方根是（）．．﹣．．．函数中自变量 的取值范围是（）．．﹣ ＜．且 ﹣．＞﹣．方程 （ ﹣ ） （ ﹣ ）的解是（）．．，．，．， ﹣ ．如图，设 是函数在第二象限的图象上的任意一点，点 关于原点的对称点 ，过 作 轴，过 作 轴， 与 交于点 ，则 的面积是（）．．．．随 的变化而变化．一次数学测试后，随机抽取九年级三班 名学生的成绩如下： ， ， ， ， ， ．关于这组数据的错误说法是（）．极差是．众数是．中位数是．平均数是．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）．个．个．个．个 ．若 （）、 （， ）、 （， ）三点都在函数的图象上，则（）．＞ ＞．＞ ＞．＞ ＞．无法确定．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成 个和 个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（）．．．．．用 根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的 倍，．根火柴．根火柴．或 根火柴．或 根火柴．如图，边长为 的正方形 绕着点 逆时针旋转 到正方形 ，图中阴影部分的面积为（）﹣ ﹣．．．．．已知二次函数 （ ）的图象如图所示，有下列 个结论：＞ ； ﹣ ＞ ； ＞ ； ＜ ； ＞ （ ）（ 的实数）；其中正确的结论有（）．个．个．个．个 ．如图，矩形 中， ， ， 是 的中点，点 在矩形的边上沿 运动，则 的面积 与点 经过的路程 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）．．．．二、填空题（每小题 分，共 分）．实数范围内分解因式： ﹣ ﹣ ．．（ 聊城）已知关于 的不等式组的整数解共有 个，则 的取值范围是．．如图将 绕直角顶点 顺时针方向旋转 到 的位置， ， 分别是 ， 的中点，已知 ， ，则线段 的长为 ．．如图所示 中， ， ，直角 的顶点 是 中点，两边 、 分别交 、 于点 、 ，给出以下四个结论：； 为等腰直角三角形； ； ；当 在 内绕顶点 旋转时（点 不与点 、 重合），上述结论始终正确的有 （填序号）．已知 ， 是关于 的一元二次方程（ ﹣ ） ﹣ 两个实根，且满足（ ）（ ） ，则 的值为 ．．（ 连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和 的长均为 ，回形线与射线 交于 ， ， ， 若从 点到 点的回形线为第 圈（长为 ），从 点到 点的回形线为第 圈， ，依此类推．则第 圈的长为 ．三、解答题．（ ）计算；（ ）先化简，再求值，其中．．（ 安顺）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有 ， 两种型号，乙品牌有 ， ， 三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．（ ）利用树状图或列表法写出所有选购方案；（ ）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么 型号打印机被选购的概率是多少？（ ）各种型号打印机的价格如下表：甲品牌乙品牌型号价格（元）．在梯形 中， ， ， ，点 ， 分别在线段 ， 上（点 与点 ， 不重合），且 ，设 ， ．（ ）求 与 的函数表达式；（ ）当 为何值时， 有最大值，最大值是多少？．如图所示，在平面直角坐标系内点 和点 的坐标分别为（ ， ），（ ， ），过点 作 轴于点 ，过 上的动点 作直线 平行于 ，与 相交于点 ，连接 ，过点 作 交 于点 ．（ ）求经过 、 两点的直线的解析式；（ ）当点 在 上移动时，能否使四边形 为矩形？若能，求出此时 ， 的值；若不能，请说明理由．．如图 中，过点 分别作 、 的外角的平分线的垂线 ， ， ， 为垂足．求证：（ ） ；（ ）．．某水果批发商销售每箱进价为 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 元，市场调查发现，若每箱以 元的价格调查，平均每天销售 箱，价格每提高 元，平均每天少销售 箱．（ ）求平均每天销售量 （箱）与销售价 （元 箱）之间的函数关系式．（ ）求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元 箱）之间的函数关系式．（ ）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？．如图，在直角坐标系中，以点 （， ）为圆心，以为半径的圆与 轴交于 、 两点，与 轴交于 、 两点．（ ）求 点坐标．（ ）若 、 、 三点在抛物线 上，求这个抛物线的解析式．（ ）若 的切线交 轴正半轴于点 ，交 轴负半轴于点 ，切点为 ， ，试判断直线 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 分，共 分）．（﹣ ） 的平方根是（）．．﹣．．考点：平方根；有理数的乘方。
【2020-2021自招】四川省绵阳南山中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年四川省绵阳南山中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
绵阳南山中学实验学校自主招生考试数学试题及答案.doc
18题保密★启用前绵阳南山中学(实验学校)2015年自主招生考试试题数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第I 卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1． －4的倒数是（ ）A ．4B ．－4C ．14D ．－142．下列运算正确的是（ ）A .3332a a a =gB . 633a a a =+C . 336)2(x x -=- D . 426a a a =÷ 3． 用科学记数法表示0.000031，结果是（ ）A ．3.1×10-4B ．3.1×10-5C ．0.31×10-5D ．31×10-64．要使式子2a a+有意义，则a 的取值范围为( ) A.2a ≥- .2B >-a.20C ≥-≠a 且a D.2≥-a 5．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形,它的左视图是（ ）A B C D6．如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°， 45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ） A.70° B.80° C.90° D.100°7.在平面直角坐标系中，已知点E (－4,2)，F (－2,－2)，以原点O 为位似中心， 相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（ ） A ．(－2,1) B. (－8,4) C ．(－8,4)或(8,－4) D. (－2,1)或(2,－1)8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O 为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 的值为（ ）A.32 B.33C.3D.29．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A.1k >-B. 1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠10．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ， ∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）。
南山中学自主招生考试数学(一)及答案
2011年绵阳南山中学实验学校自主招生考试模拟试题（一）数学试题注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题36分；第Ⅱ卷为非选择题114分；全卷共150分．考试时间为120分钟.2.本试卷的选择题答案用2B 铅笔涂在机读卡上，非选择题在卷Ⅱ上作答.3..4.非选择题必须在指定的区域内作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效.卷I （选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算3×(-2) 的结果是( )A ．5B ．-5C ．6D ．-62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60° B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．020=B ． 623)(a a = C3± D ．2a a a =+4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，则□ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式2x -< 4的解集表示在数轴上，正确的是( )6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点MC ．点RD ．点Q7．若220x x +=，则xy 的值为（ ）A ．6或0B ．6-或0C ．5或0D ．8-或0AB CD图2ABC D 40°120°图1图3A B D C8．已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ） A ．y x > B ．x =y C ．y x < D ．与a 、b 的取值有关 9．如图4,已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A B C E →→→运动，设点P 经过的路程 为 x ，△APE 的面积为y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）10．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形 一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部 分）外轮廓线的周长是( )A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图6，已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列6个代数式,,,,2,ab ac a b c a b c a b ++-++ 2a b -中其值为正的式子个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图7-1．在图7-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )卷Ⅱ(非选择题,共114分)二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．13．-的相反数是 ．14．如图8，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6， 点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为．图8图7-1图7-2图515．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌， 从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．16．已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ．17．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一 个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用 阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1； 若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 18．南山中学高一年级举办数学竞赛，A 、B 、C 、D 、E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况. A 说：B 第三名，C 第五名； B 说：E 第四名，D 第五名； C 说：A 第一名，E 第四名； D 说：C 第一名，B 第二名； E 说：A 第三名，D 第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 .三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(1)（本小题满分8分）解方程：1211+=-x x . (2)（本小题满分8分）先化简再求值： 22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中22430a a +-=. 20．（本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．甲校成绩统计表 图10-1 图10-2 乙校成绩扇形统计图 图11-1图9（1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角 等于 °．（2）请你将图11-2的统计图补充完整．（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手， 请你分析，应选哪所学校？21．（本小题满分12分） 如图12，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与 坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直 线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标； （2）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象经过点M ， 求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 22．（本小题满分12分）某仪器厂计划制造A 、B 两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？ （2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B 型仪器的售价不会改变，每套A 型仪器的售价将会提高a 万元（a >0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？乙校成绩条形统计图图13-2AD OBC 21 MN图13-1AD BM N1 2图13-3AD O BC 21MNO 23．（本小题满分12分）在图13-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图13-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图13-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图13-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图13-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图13-3，求ACBD的值． 24．（本小题满分12分）如图14，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，AD = 6，BC = 8，33=AB ，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止． 设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）． （2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积． （3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最 大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围； 若不能，请说明理由．P Q图14 （备用图）25．（本小题满分14分）如图15，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、2(,0)B x 和y 轴上的点3(0,)2C -，P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C两点，若b =，AB = 求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ？ 并说明理由；（3）设直线BD 交P 于另一点E ，求经过点E 和P 的切线的解析式．2011年绵阳南山中学实验学校自主招生考试模拟试题（一）数学参考答案一、选择题二、填空题13.5 14.5 15. 71016.1 17. = 18. C 、B 、A 、E 、D. 三、解答题19．（1）解：)1(21-=+x x ，3=x ．经检验知，3=x 是原方程的解．………………8分（2）解：………………6分由已知得2322a a +=，代入上式的原式23=………………8分20．解：（1）144；………………3分（2）如图1；………………6分（3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；………………8分 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲 校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断， 乙校的成绩较好．………………9分乙校成绩条形统计图图12222222212[](2)(2)4(2)(2)(1)2(2)442(2)442(2)41(2)12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-⨯++--+--+=⨯+---++=⨯+--+=⨯+-=+=+原式（4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．………………12分21．解：（1）设直线DE 的解析式为b kx y +=， ∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ⎩⎨⎧+==.60,3b k b解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,21b k ∴ 321+-=x y ．………………2分∵ 点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形， ∴ 点M 的纵坐标为2．又 ∵ 点M 在直线321+-=x y 上，∴ 2 = 321+-x ．∴ x = 2．∴ M （2，2）．………………4分（2）∵xmy =（x ＞0）经过点M （2，2）， ∴ 4=m ．∴xy 4=.………………5分又 ∵ 点N 在BC 边上，B （4，2）， ∴点N 的横坐标为4．∵ 点N 在直线321+-=x y 上，∴ 1=y ．∴ N （4，1）． ………………8分∵ 当4=x 时，y =4x= 1， ∴点N 在函数 xy 4=的图象上．………………9分 （3）4≤ m ≤8．………………12分22．解：（1） 设A 种型号的仪器造x 套,则B 种型号的仪器造(80-x)套, 由题意得:()20968028252090≤-+≤x x解之得:5048≤≤x ………………2分所以 x=48、49、50 三种方案：即：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套。
2023年四川省绵阳南山中学实验校区自主招生考试化学试题
四川省绵阳南山中学试验校区自主招生考试本题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）构成满分：80分时间：90分钟也许用到旳相对原子质量：H-1 O-16 N-14 C-12 Zn-65第一卷(选择题，共32分)一、选择题（每题只有一种对旳答案，每题2分，共32分。
）1、伴随社会经济旳迅猛发展，能源危机日趋凸显，乙醇汽油（汽油中加入一定比例旳乙醇）旳使用可以缓和石油危机。
从甜菜或甘蔗中提取旳蔗糖可以通过发酵产生乙醇。
下列过程中没有发生化学变化旳是（）A.甜菜旳生长B.汽油中加入乙醇C.乙醇旳燃烧D.蔗糖旳发酵2、下列各组物质中，属于纯净物旳是（）A.食醋、白酒B.可乐、雪碧C.碘盐、白糖D.纯碱、氧气3、下列物质在实际应用中，既运用了物质旳物理性质又运用了物质旳化学性质旳是（）A.氢气作为人类理想旳燃料B.氧气用于危重病人旳急救C.二氧化碳用于灭火D.熟石灰用于砌砖抹墙4、某同学从资料上获悉，某些紫色旳花瓣浸出液具有类似石蕊旳性质。
假如他想懂得紫色旳喇叭花与否具有这种性质，他应把花瓣浸出液分别滴入下列哪组物质中进行观测（）A.食醋、肥皂水B.食醋、酸奶C.食盐水、食醋D.糖水、肥皂水5、化学与人们旳生活紧密相连。
用所学化学知识判断，下列做法或说法错误旳是（）A.天然气、瓦斯等气体和面粉、煤粉等固体粉尘都轻易发生爆炸。
B.对人体所必须旳元素，要尽量通过食物摄入，摄入局限性或过量均不利于健康。
C.小强同学总是将自己旳自行车擦得很洁净，并将链条、钢圈等构件抹上油。
D.运用洗涤剂旳乳化功能，可将白衬衫上旳蓝墨水渍迅速洗掉。
6、现代生活、工业、农业、国防都离不开合成材料。
下列有关合成材料说法错误旳是（）A.塑料是高分子合成材料B.棉花、锦纶、涤纶都是合成材料C.焚烧聚氯乙烯塑料会导致环境污染D.使用过旳废弃塑料、废弃橡胶应回收运用7、下列方程式书写对旳旳是（ ）A. 4Fe + 3O 2 点燃 2Fe 2 O 3B. H 2O 2 MnO 2 H 2O + O 2↑C. 4KMnO 4 △ 2KMnO 4+2MnO 2+2O 2↑D. C + O 2 点燃 CO 28、“拒绝毒品，人人有责”，这更是青少年旳责任。
2021-2022学年四川省绵阳市涪城区绵阳南山中学高一上学期数学入学考试试题(解析版)
2021-2022学年四川省绵阳市涪城区绵阳南山中学高一上学期数学入学考试试题一、单选题1．如果0a b +=，那么,a b 两个实数一定是（ ） A ．都等于0 B ．一正一负 C ．互为相反数 D ．不确定【答案】C【分析】利用相反数的定义求解即可．【详解】解：因为0a b +=，所以a ，b 两个实数一定是相反数. 故选：C.2．下列说法中，错误的有（ ）①绝对值等于它本身的数有两个，是0和1； ②一个有理数的绝对值必为正数； ③4的相反数的绝对值是4； ④任何有理数的绝对值都不是负数. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数解答即可．【详解】解：绝对值等于它本身的数有0和正数，①错误； 0的绝对值是0，②错误；4的相反数是−4，−4的绝对值是4，③正确； 任何有理数的绝对值都不是负数，④正确， 故选：B ．3．下列说法中正确的是（ ） A ．若0a b +>，则0,0a b >> B ．若0a b +<，则0,0a b << C ．若a b a +>，则a b b +> D ．若a b =，则a b =或0a b += 【答案】D【分析】ABC 三个选项很容易举出反例，D 选项根据绝对值的定义可知正确. 【详解】A ､如果3,5a b =-=，那么20a b +=>，但是0a <，故本选项错误； B ､如果3,5a b ==-，那么20a b +=-<，但是0a >，故本选项错误； C ､如果3,5a b =-=，那么a b a +>，但是a b b +<，故本选项错误； D ､根据绝对值的定义可知该选项正确. 故选：D4．当时钟指向上午10:10分，时针与分针的夹角是（ ） A ．115︒ B ．120︒ C ．105︒ D ．90︒【答案】A【分析】根据钟面角的意义，利用钟面上时针、分针旋转过程所成角度的变化关系通过计算即可【详解】时钟指向上午10：10分，时针与分针相距3+5060=236份， 时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是30×236=115︒， 故选：A.5．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺.问绳长､井深各是多少尺？”设井深为x 尺，根据题意列方程，正确的是（ ） A ．()()3441x x +=+ B ．3441x x +=+ C ．()()3441x x -=- D ．4134x x-=-【答案】A【分析】由题可得绳长为3（x +4），或绳长为4（x +1），从而可得方程. 【详解】根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为3（x +4）， 根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为4（x +1）， 故3（x +4）=4（x +1）. 故选：A.6．一客轮沿长江从A 港顺流到达B 港需6小时，从B 港逆流到A 港需8小时，一天，客轮从A 港出发开往B 港，2小时后，客轮上的一位旅客的帽子不慎落入江中，则帽子漂流到B 港需要（ ）小时. A ．48B ．32C ．28D ．24【分析】设A 港到B 港的路程为1，由路程÷时间=速度就可以求出顺水速度和逆水速度，进而求出水速，设帽子漂流到B 港需要的时间是x 小时，根据行程问题的数量关系建立方程求其出其解即可【详解】解：设A 港到B 港的路程为1，则顺水速度为16，逆水速度为18，水流速度为11126848⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭， 设帽子漂流到B 港需要的时间是x 小时， 由题意得1112486x =-⨯解得：x =32， 故选：B7．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B C ''长度是（ ）A ．3mB ．33mC ．3mD ．4m【答案】B【分析】利用正弦函数定义求解即可. 【详解】因为322sin BC CAB AC ∠===45CAB ∠=. 因为15C AC ∠'=，所以60C AB ∠''=. 3sin 606B C '=='33B C ''=故选：B8．某旅游公司有两种客车，1辆中巴车与4辆小客车一次可以搭载46名乘客，2辆中巴车与3辆小客车一次可以搭载57名乘客，该公司用3辆中巴车与6辆小客车，一次可以搭载乘客（ ） A ．129名B ．120名C ．108名D ．96名【分析】设每辆中巴车载客x 人，每辆小客车载客y 人，由此即可列出方程组，即可求出答案.【详解】设每辆中巴车载客x 人，每辆小客车载客y 人，由题意，得4462357x y x y +=⎧⎨+=⎩解得187x y =⎧⎨=⎩ 则3辆中巴车与6辆小客车一次可以搭载乘客318+67=96⨯⨯（名）， 故选：D.9．用圆心角为120，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）A ．2cmB ．32cmC ．42cmD ．4cm【答案】C【分析】先根据弧长公式算出扇形的弧长，即圆锥底面周长，再求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求解即可. 【详解】解：圆锥底面周长为()12064cm 180L ππ︒⨯⨯==︒；圆锥的底面半径为()422cm ππ÷=，∴这个圆锥形筒的高为()226242cm -= 故选：C10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx a =+与反比例函数a b cy x++=在同一坐标内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据二次函数图象可得0,0,0a b a b c ><++<，从而可判断出一次函数和反比例函数的图象.【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a >0， ∵对称轴为直线x =-2ba>0， ∴b <0，∵当x =1时，y =a +b +c <0，∴y =bx +a 的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，反比例函数y =a b cx++图象在第二､四象限，只有D 选项图象符合. 故选：D.11．从1,1,2,4-四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},k k k M a b =（其中1,2,k S =，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{}(),,1,1j j j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值为（ ） A ．10 B ．6 C ．5 D ．4【答案】C【分析】由题意可写出123456{1,1},{1,2},{1,4},{1,2},{1,4},{2,4},M M M M M M =-=-=-===则可知34M M 、对应的数之和相等，即可选出答案. 【详解】由题意知：123456{1,1},{1,2},{1,4},{1,2},{1,4},{2,4},M M M M M M =-=-=-===∵110,121,143,123,145,246-+=-+=-+=+=+=+= 可得34M M 、对应的数之和相等，∴3M 和4M 不符合题意，可得S 的最大值为5. 故选：C.12．如图，若锐角ABC 内接于O ，点D 在O 外（与点C 在AB 同侧），则下列三个结论：①sin sin C D ∠∠>；②cos cos C D ∠∠>；③tan tan C D ∠∠>中，正确的结论为（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①③【答案】D【分析】先连接BE ，再利用圆周角定理和图中角的关系能得到C D ∠>∠，最后根据锐角三角函数的增减性即可得到答案【详解】如图，连接BE ，根据圆周角定理，可得C AEB ∠=∠， ∵AEB D DBE ∠=∠+∠，∴AEB D ∠>∠，∴C D ∠>∠， 根据锐角三角函数的增减性， 可得，sin sin C D ∠∠>，故①正确；cos cos C D ∠<∠，故②错误；tan tan C D ∠∠>，故③正确，故选：D二、填空题13．16的平方根与8-的立方根的和是___________.【答案】2或6-【分析】直接求解平方根和立方根，再求其和【详解】16的平方根为164±=±，8-的立方根为382-=-， 所以16的平方根与8-的立方根的和是 4(2)2+-=或4(2)6-+-=-，故答案为：2或6-14．点()2,13P a a -是第二象限内的一个点，且点P 到两坐标轴的距离之和为6，则点P 的坐标是___________. 【答案】(2,4)-【分析】根据题意可得2136a a -+-=，从而可求出a ，进而可求得点P 的坐标 【详解】因为点()2,13P a a -是第二象限内的一个点，且点P 到两坐标轴的距离之和为6，所以2136a a -+-=，解得1a =-，所以22(1)2a =⨯-=-，1313(1)4a -=-⨯-=， 所以，点P 的坐标为(2,4)-. 故答案为：(2,4)-15．八年级（1）班全体学生参加了学校举办的安全知识竞赛，如图是该班学生竞赛成绩的频数分布直方图（满分为100分，成绩均为整数），若将成绩不低于90分的评为优秀，则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是___________.【答案】30%【分析】首先求得总人数，确定优秀的人数，即可求得百分比． 【详解】解：总人数是5+10+20+15=50（人），优秀的人数是：15人， 则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是1550×100%=30%. 故答案为：30%.16．如图，函数1(0)y x x=>和3(0)y x x =>的图象分别是1l 和2l .设点P 在2l 上，PA y∥轴，交1l 于点,A PB x ∥轴，交1l 于点B ，则PAB △的面积为___________.【答案】23【分析】设点3P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，可求得点B 和点A 的坐标，从而得到BP ，AP 的长，最后求得PAB △的面积【详解】P 是反比例函数()30y x x =>图象上的点，所以设点3P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， PB x ∥轴，B ∴点的纵坐标为3m， 将点B 的纵坐标代入反比例函数的解析式()10y x x =>得，3m x =，3,3m B m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭同理可得：1,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭2312,33m m PB m PA m m m ∴=-==-= 112222233PAB m S PA PB m ∴=⋅=⨯⨯=△ 故答案为：2317．如图，在平面直角坐标系xOy 中，()()2,0,0,2,A B O -的半径为1，点C 为O 上一动点，过点B 作BP ⊥直线AC ，垂足为点P ，则P 点纵坐标的最大值为___________cm .【答案】132+ 【分析】当AC 与⊙O 相切于点C 时，P 点纵坐标的最大值，直线AC 交y 轴于点D ，连结OC ，作CH ⊥x 轴于H ，PM ⊥x 轴于M ，DN ⊥PM 于N ，AC 为切线，在直角三角形中利用边角关系可得答案.【详解】当AC 与⊙O 相切于点C 时，P 点纵坐标的最大值，如图，直线AC 交y 轴于点D ，连结OC ，作CH ⊥x 轴于H ，PM ⊥x 轴于M ，DN ⊥PM 于N ，∵AC 为切线，∴OC ⊥AC ，在△AOC 中，∵OA =2，OC =1，∴30OAC ∠=，∠AOC =60， 在Rt AOD △中，32330,DAO OD ∠=∴==， 在Rt BDP △中，1123360,2122BDP ADO DP BD ∠∠⎛==∴=== ⎝⎭在Rt DPN △中，11330,22PDN PN DP ∠=∴==而12MN OD PM PN MN ==∴=+==即P三、双空题18．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定每户每月用水不超过36m 时，按其本价格收费，超过36m 时，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4､5月份的用水量和水费如下表所示，则用水收费的两种价格为不超过36m 时每立方米收___________元，超过36m 时，则超过的部分每立方米收___________元.【答案】 2 4【分析】设不超过63m 时，收费为x 元/3m ，超过63m 时，收费为y 元/3m ，由表格所给数据即可列出方程组，解出即为答案.【详解】设每户居民每月用水不超过63m 时，收费为x 元/3m ，超过63m 时，收费为y 元/3m .由题意，得62206324x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩ 故答案为2；4.四、解答题19．（1）计算：20132(1)sin6024π--+---⨯（2）化简：22x y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+÷-+⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）314-；（2）1x y -. 【分析】（1）根据实数的混合运算法则求解即可， （2）利用分式的运算法则求解.【详解】（1）原式11333142243=-+-⨯-⨯ 33334443⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 331444=-+ 314=-（2）原式2()()2()()()()x x y y x y x x y x y x y x y x y-++-+-=÷+-+ 2222()()x y x yx y x y x y ++=⋅+-+ 1x y=- 20．端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”､“20元”､“30元”､“40元”的字样（如图）.规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了两次转盘.(1)该顾客最少可得___________元购物券，最多可得___________元购物券. (2)求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率. 【答案】(1)20元；80元 (2)58【分析】（1）用树状图或表格即可列出所有情况，由此即可写出答案；（2）由树状图或表格可知一共有16种等可能的结果，不低于50元的有10种情况，由此即可求出答案.【详解】(1)画树状图如下：如果是列表法，列表如下：由此可见：该顾客最少可得20元购物券，最多可得80元购物券.(2)树状图或表格可以看出，一共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况，所以该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为10516821．某公司计划从甲､乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件.已知产销两种产品的有关信息如表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元）每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a20200 乙 20102400.05x +80其中a 为常数，且35a ≤≤(1)若产销甲､乙两种产品的年利润分别为1y 万元､2y 万元，直接写出12y y ､与x 的函数关系式；(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.【答案】(1)1(6)20(0200)y a x x =--<≤，220.051040(080)y x x x =-+-<≤，(2)(1180200)a -万元，440万元 (3)生产乙产品利润较高，理由见解析【分析】（1）根据表中的数据直接可得12y y ､与x 的函数关系式， （2）根据函数的单调性可求得产品的最大年利润，（3）分1180200440a -=，1180200440a ->和1180200440a -<三种情况结合35a ≤≤分析求解即可.【详解】(1)1(6)20(0200)y a x x =--<≤，220.051040(080)y x x x =-+-<≤，(2)对于1(6)20(0200)y a x x =--<≤，因为60a ->，所以当200x =时，1y 取得最大值(1180200)a -万元，对于2220.0510400.05(100)460(080)y x x x x =-+-=--+<≤，所以当80x =时，2y 取得最大值440万元，(3)①当1180200440a -=时，解得 3.7a =， ②当1180200440a ->时，解得 3.7a <， ③当1180200440a -<时，解得 3.7a >， ∵35a ≤≤，∴当 3.7a =时，生产甲乙两种产品的利润相同.当3 3.7a ≤<时，生产甲产品利润比较高.当3.75a <≤时，生产乙产品利润较高.22．如图，在O 中，弦,AD BC 相交于点E ，连接OE ，已知,AD BC AD CB =⊥.(1)求证：AB CD =；(2)如果O 的半径为5,1DE =，求AE 的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)7【分析】（1）根据同一圆中等弦与等弧间的关系可得证；（2）过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.根据垂径定理可得AF=CG，由直角三角形的判定和正方形的性质可得OF=EF. 设OF=EF=x，由勾股定理可建立方程求解即可.【详解】(1)证明：∵AD=BC，∴AD=BC.∴AB=CD，∴AB=CD.(2)解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.则AF=FD，BG=CG.∵AD=BC，∴AF=CG.在Rt△AOF与Rt△COG中，AF CGOA OC=⎧⎨=⎩，，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG.又AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形.∴OF=EF.设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在Rt△OAF中.由勾股定理得到x2+（x+1）2=52，解得x=3.则AF=3+1=4，即AE=AF+EF=4+3=7.23．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图像如图所示.(1)请写出这个反比例函数的解析式；(2)蓄电池的电压是多少？(3)完成下表：/ΩR 3 4 5 6 7 8 9 10/I A(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1)36I R= (2)36 (3)答案见解析(4)用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内【分析】（1）根据题意设kI R=，然后将点(9,4)代入可求出k 的值，从而可得反比例函数的解析式；（2）由U IR =结合解析式可得答案， （3）根据解析式计算完成表格， （4）由题意得36R≤10，解不等式可得结果. 【详解】(1)解：电流I 是电阻R 的反比例函数，设k I R=， ∵图像经过()9,4，∴49k =，解得4936k =⨯=，∴36I R =；(2)解：蓄电池的电压是4936U IR ==⨯=. (3)解：填表如下：(4)解：3610I R=≤，∴ 3.6R ≥， 即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内.24．例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.052m .我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题：(1)若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明. 【答案】(1)542m (2)现在窗户透光面积的最大值变大，理由见解析【分析】（1）求出AD 可得S ； （2）设AB x =m ，则734AD x =-m ，设窗户面积为S ，可得 =⋅S AB AD ，再由利用二次函数配方可得答案. 【详解】(1)由已知可得：16111152=24-----=AD ，则551=44=⨯S 2m ； (2)设AB x =m ，则734AD x =-m ，∵7304x ->，∴1207x <<，设窗户面积为S ，由已知得：2776934477⎛⎫⎛⎫=⋅=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S AB AD x x x ，当67x =m 时，且67x =在1207x <<的范围内，S 最大值=229m 1.05m 7>， ∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.25．设抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于两不同的点(1,0),(,0)A B m -（点A 在点B 的左边），与y 轴的交点为点(0,2)C -，且90ACB ∠=︒.(1)求m 的值和该抛物线的解析式；(2)若点D 为该抛物线上的一点，且横坐标为1，点E 为过A 点的直线1y x =+与该抛物线的另一交点.在x 轴上是否存在点P ，使得以P ､B ､D 为顶点的三角形与AEB △相似，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.(3)连结AC ､BC ，矩形FGHQ 的一边FG 在线段AB 上，顶点H ､Q 分别在线段AC ､BC 上，若设F 点坐标为(,0)t ，矩形FGHQ 的面积为S ，当S 取最大值时，连接FH 并延长至点M ，使HM k FH =⋅，若点M 不在该抛物线上，求k 的取值范围. 【答案】(1)2134,222m y x x ==--； (2)存在，113(,0)7P 或222(,0)5P -； (3)0k >且60124k -≠且601+24k ≠【分析】（1）根据抛物线的解析式可知C 点坐标为(0,2)-，即2OC =，由于90ACB ∠=︒，根据射影定理2OC OA OB =⋅，可求出OB 的长，进而可求出B 点的坐标，也就求出了m 的值，然后将A 、B 的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE 的解析式求出E 点和D 点的坐标，经过求解不难得出45FAB DBO ∠=∠=︒，因此本题要分两种情况进行讨论：①DPB ABE ∠=∠；②PDB ABE ∠=∠．可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP 的长，进而可求出P 点的坐标．（3）由二次函数的性质即可求得H ，F 的坐标，根据相似三角形的性质，即可求得直线HF 与抛物线的交点的横坐标，即可求得对应的k 的值，从而确定当不与抛物线相交时k 的范围．【详解】(1)解：令0x =，得2y =-，(0,2)C ∴-，90ACB ∠=︒，CO AB ⊥，AOC COB ∴△∽△，2OC OA OB ∴=⋅，22241OC OB OA ∴===，4m ∴=，将(1,0),(4,0)A B -代入22y ax bx =+-，得2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =--. (2)解：(1,)D n 代入213222y x x =--，得3n =-， 联立方程组2113222y x y x x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩， 可得1110x y =-⎧⎨=⎩（不合题意舍去），2267x y =⎧⎨=⎩，(6,7)E ∴.过E 作EH ⊥x 轴于H ，则(6,0)H ，7AH EH ∴==，45EAH ∴∠=︒.过D 作DF ⊥x 轴于F ，则(1,0)F ，3BF DF ∴==，45DBF ∴∠=︒，45EAH DBF ∴∠=∠=︒， 135DBH ∴∠=︒，90135EBA ︒<∠<︒.则点P 只能在点B 的左侧，有以下两种情况： ①若1DBP EAB ∽，则1BP BD AB AE =，∴153215772AB BD BP AE ⋅⨯==， ∴11513477OP =-=，∴113(,0)7P . ②若2DBP BAE ∽，则2BP BD AE AB =，∴27232425AE BD BP AB ⋅⨯===，∴24222455OP =-=，∴222(,0)5P -.综合①､②，得点P 的坐标为：113(,0)7P 或222(,0)5P -. (3)解：∵HQ ∥AB ，∴CHQ CAB ∽，∴HQ ：AB =CR ：CO ，即：设HG =x ，则252HQ x-= 解得：552HQ x =-+，∴矩形的面积2552S HG HQ x x =⋅=-+ 当51522x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，面积取得最大值.则H ，R ，Q 的纵坐标是1-.则551522HQ =-⨯+=设直线AC 的解析式是y kx b =+根据题意得：02k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：22k b =-⎧⎨=-⎩ 则AC 的解析式是：22y x =--，在解析式中，令1x =-，解得：0y = 则H 的坐标是1(,1)2--，F 的坐标是(2,0).则HF 29. 设直线FH 的解析式是11y k x b =+根据题意得：111111220k b k b ⎧-+=-⎪⎨⎪+=⎩解得：112545k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则直线FH 的解析式是2455y x =-.解方程组：2245513222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：19601x ±=当直线与抛物线相交时，k =1196016012421052---=1960116012410252++=则k 的范围是：k >0且60124k -≠且601+24k ≠.。
【新】2019-2020绵阳南山中学实验学校初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年绵阳南山中学实验学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线33y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
四川省绵阳市绵阳中学初中数学自主招生试题
一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(2)(2)x x x x -=+-+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x++-=，则1x x的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ） A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％ 8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且3θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C.82D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案
2C ． ( －8, 4)或( 8, － 4) D. ( －2, 1)或( 2, －1) 8. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6 ， BC=8 ，⊙ O 为△ ABC 的内切圆，点 D是斜边 AB 的中点，则 tan ∠ ODA 的值为（ ）C 保密★启用前绵阳南山中学 ( 实验学校 )2015 年自主招生考试试题3 3 A.B. O23BA数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份 ,试题卷共 6 页,答题卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 .注意事项 :C. 3D.29. 若关于 x 的一元二次方程 kx 22 x A. k1B.k 1 且 k 0 D1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( )C. k1D.k 1 且 k 01. 答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上 ,并认真核对姓名与考号 ;10. 如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ， E 都在边 BC 上，∠ ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为 P ，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ）。
2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其它答案标号 ,答在试题卷上无效 ;A. 32 B. 5A 2 3. 非选择题 (主观题 )用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上 ,答在试题卷上无效 .作图一律用 2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔 ;4. 考试结束后 ,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.C.3D.4PQBD E C（第 10 题）第 I 卷( 选择题, 共 36 分)11.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 0,3），△ OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O ′A ′B一.选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分,共 36 分) 1.－ 4 的倒数是（ ） A ． 4B ．－ 4C ． 14D ．－ 14点 A 的对应点在直线 y 9A.43x 上一点，则点 B 与其对应点 B ′间的距离为（）4B. 3C. 4D. 52. 下列运算正确的是（） A . a 3a 32a3B . a3a3a6C . ( 2 x ) 36x 3D . a 6a2a 412．如图 12，抛物线 y ax bx+c(a 0) 过点（ 1，0）和点（ 0，-2），且顶点在第三象限， 设 P= a b c ，则 P 的取值范围是（） .3.用科学记数法表示 0.000031 ，结果是（ ）A ． 3.1 ×10-4B ． 3.1 ×10-5C ． 0.31 ×10-5D ．31×10-6A ． - 4＜ P ＜0B ． - 4＜ P ＜ -2 a 2C ． - 2＜ P ＜ 0D ． - 1＜ P ＜04. 要使式子有意义，则 a 的取值范围为 ( )a二、填空题（每小题4 分，共 24 分）A. a2 B.a 2 C.a 2且a 0 D. a 213．分解因式： 4ax12ax 9 a ＝．图 1216 题图 5. 如图是由 5 个大小相同的正方体摆成的立方体图形 ,它的左视图是（）14：已知 22m -6m-1=0 求 2m 1 -6m+2 =.Cm2x m 15. 已知关于x 的方程3 的解是正数，则 m 的取值范围为 ：.x 1AOBAB C D16. 在平面直角坐标系中，点O 是原点，点 B （ 0， 3），17 题图6. 如图，已知直线AB ∥ CD ， C 125°，点 A 在第一象限且 AB ⊥BO ，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线A 45°，那么 E 的大小为（ ） OM 对称，且则点 M 的坐标是 ( ，) ．A. 70°B. 80° 17．如图， AB 是半圆 O 的直径，且 AB 8 ，点 C 为半圆上的一点．将此C.90°D. 100° 7. 在平面直角坐标系中，已知点 E( －4, 2)， F(－ 2, －2)，以原点 O 为位似中心，相似比为1 ，把△ EFO 缩小，则点 E 的对应点 E ′的坐标是（）2半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O ，则图中阴影部分的面积是（结果保留）．18.射线 QN 与等边△ ABC 的两边 AB ， BC 分别交于点 M ，N ，且 AC ∥ QN ，18 题A ． ( －2, 1)B. ( －8, 4)AM=MB=2cm ，QM=4cm 。
四川省绵阳市南山中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试卷(PDF版)
绵阳南山中学2023年高一新生入学考试数学试卷题本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共5页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.81的平方根为（）A.3± B.9± C.3D.32.下列各式，运算正确的是（）A.325()a a-= B.33(39a a =C.246a a a ⋅= D.33222ab a b ab-=3.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记数字6对面的数字为a ，数字2对面的数字为b ，那么a b +的值为（）A.3B.7C.8D.114.点11(,)M x y ，22(,)N x y 在反比例函数3y x=-的图象上，且120x x <<，则（）A.120y y >> B.120y y << C.120y y >> D.120y y <<5.设全集{}9,8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2 B.{}6,4 C.{}5,3,1 D.{}8,7,6,46.在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，⊙A 的半径长为3，若⊙D 与⊙A 相切，且点B 在⊙D 内，则⊙D 的半径长度为（）164453321A.2或8B.5或8C.5D.87.数据1x ，2x ，3x …，n x 分别是某学校教职工*(3,)N n n n ≥∈个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入数据1n x +，则对这(1)n +个数据，下列说法正确的是（）A．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大B．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大C.年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变8.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知4CA =米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．24sin θ米B．24cos θ米C．24(4)tan θ+米D．2(44tan )θ+米9.有一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，任意抛掷一次该骰子，朝上的面的点数记为x ，计算3x -，则其结果大于2的概率是（）A.13B.14C.16D．1210.若关于x 的不等式组213(2),x x x m ->-⎧⎨<⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m >B．5m ≥ C.5m ≤D．5m <11.已知集合{}022≤--∈=x x N x A ，则满足条件B B A =⋂的集合B 的个数为（）A．3B．4 C.7D．812.对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则202320232211......B A B A B A +++的值是（）A.20222023B.20242022 C.20242023 D.20222023第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填写在答题卷中的横线上.13.已知对任意的,900,900︒<<︒︒<<︒βα都有βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+则︒75sin 的值为14.底面圆半径为6cm ，高为8cm 的圆锥，其侧面展开扇形圆心角的度数为15.已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023b a +的值为18.对于正数x ，规定xx f +=1)(，计算+++⋯⋯++)1()21(20221(20231(f f f f =++⋯⋯+)2023()2022()2(ff f 三、解答题：共7小题，满分90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（分）023tan 605(2019)2(cos 45)π-----⨯ (2)先化简，再求值：1(1)14xx +÷-，其中2x =20.（本题满分12分）某校为庆祝中华人民共和国建国70周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：分数段频数频率60≤x ＜700.1570≤x ＜80m0.4580≤x ＜9060n90≤x ＜100频数1209060300分数（分）90100806070请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)求上表中的数据m ，n 的值；(2)通过计算，补全频数分布直方图；(3)比赛成绩的中位数落在哪个分数段？(4)如果比赛成绩在80分以上（含80分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？21.（本题满分12分)已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C，交y 轴于点D.(1)求OCD ∠tan 的值；(2)求证：︒=∠135AOB ．22.（本题满分12分）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．(1)改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？(2)若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？(3)我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？yO B AxDC23.（本题满分12分）如图，ABC ∆内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN 使MAC ABC ∠=∠．D 是弧AC 的中点，BD 交AC 于G ，DE AB ⊥于E ，交AC 于F .(1)求证：MN 是半圆的切线；(2)求证：FD FG =．(3)若DFG ∆的面积为4.5，且3DG =，4GC =，求BCG ∆的面积．24.（本题满分12分）如图，抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(10)，，3OC OB =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25.（本题满分14分）如图1，已知直线EA 与x 轴、y 轴分别交于点E 和点)2,0(A ，过直线EA 上的两点G F 、分别作x 轴的垂线段，垂足分别为)0,()0,(n N m M 和，其中0,0><n m ．(1)如果1,4=-=n m ，试判断AMN ∆的形状；(2)如果4-=mn ，(1)中有关AMN ∆的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图2，题目中的条件不变，如果4-=mn ，并且4=ON ，求经过N A M 、、三点的抛物线所对应的函数关系式；(4)在(3)的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段AN 交于点P ，点Q 是对称轴上一动点，以点N Q P 、、为顶点的三角形和以点N A M 、、为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q 的坐标．AMNDCBGEFlNM EF P GB AxOyyNMFEOGx A绵阳南山中学2023年高一新生入学考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每个小题3分，共36分）题号123456789101112选项ACBABDADCBDC二、填空题（每个小题4分，共24分）13.426+14.21615.-116.1817.5或218.2022.5三、解答：（共90分）19．解（1）原式514=---=·····················································8分（2）原式4411x x x x =⨯=--·············································································4分把2x =+代入得原式1==································8分20．解（1）∵总人数302000.15==（人）∴2000.4590m =⨯=，600.3200n ==.……………………………………………3分（2）由（1）的计算知70至80分段的人数为90人，………………………4分90至100分段的人数20030906020=---=人，补全条形图如下图所示：……………………………………6分（3）比赛成绩的中位数落在：70～80分…………………………………9分（4）恰好抽中获奖选手的概率为：602022005+=.…………………………12分21．解（1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y ································3分5(0)4C -，，5(0)3D ，．在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ，···································5分∴OCD ∠tan 34==OC OD ．·········································································6分频数12090603009010080607020（2）取点A 关于原点的对称点(21)E ，，则问题转化为求证︒=∠45BOE ．由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=，∴△EOB 是等腰直角三角形．∴︒=∠45BOE ．∴135AOB ∠=°…………………12分22．解（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依题意得：22302205a b a b +=⎧⎨+=⎩·····································································2分解之得6085a b =⎧⎨=⎩···················································································3分答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元········································································································4分（2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则60851575m n +=···············································································5分173151212m n =-+················································································6分∵A 类学校不超过5所∴1731551215n -+≤∴15n ≥即：B 类学校至少有15所．·································································8分（3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：()()507064001015670x x x x +-⎧⎪⎨+-⎪⎩≤≥·······································································10分解之得14x ≤≤··················································································11分∵x 取整数∴1234x =，，，即：共有4种方案．···········································12分23.证明（1）：∵AB 是直径∴90ACB ∠= ，90CAB ABC ∠+∠= ……………2分∵MAC ABC ∠=∠∴90MAC CAB ∠+∠= ，即MA AB ⊥∴MN 是半圆的切线.…………………………4分（2）如图∵D AC 是弧的中点，∴DBC DBA ∠=∠……………………………5分∵AB 是直径∴90ACB ∠= ，故90DBC CGB ∠+∠=∵DE AB ⊥，∴90DBA FDG ∠+∠= ，∴FDG CGB FGD ∠=∠=∠∴FD FG =…………………………………………………………………8分（3）连结AD 则90ADB ∠= ，∵DE AB ⊥，D AC 是弧的中点∴ADF DBA DAF∠=∠=∠∴AF DF FG ==………………………………………………………………9分∴29ADG DFG S S ∆∆==……………………………………………………………10分又∵90ADG BCG DGA CGB∠=∠=∠=∠ ，∴ADG BCG ∆∆∽………………………………………………………………11分∴22416((39BCG ADG S CG S DG∆∆===∴169169BCG S ∆=⨯=.……………………………………………………………12分(其它解法，请酌情评分)24．解（1）∵点(1,0)B ,3OC OB =，(0,3)C -…………………………………1分M N AEDCGB F42-5xyA O NM GF E把()1,0B 、(0,3)C -代入23y ax ax c =++得：330c a a c =-⎧⎨++=⎩解得：334a c ==-，∴所求抛物线的解析式为239344y x x =+-……………………………………2分（2）过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M N 、．∵对称轴3322a x a =-=-，()1,0B ，∴点(4,0)A -∴ABC ACD ABCD S S S ∆∆+四边形＝111553()2222DM AN ON DM⨯⨯+⨯⨯+=+＝易得直线AC 的解析式为334y x =--…………………4分令239(3)44D x x x +-，，3(3)4M x x --，，其中40x -<<，2233933(3)(2)34444DM x x x x =---+-=-++………6分当2x =-时，DM 有最大值3此时四边形ABCD 面积有最大值272．…………………7分（3）如图，有如下情况：①过点C 作1CP ∥x 轴交抛物线于点1P ，过点1P 作11PE ∥AC 交x 轴于点1E ，此时四边形11ACPE 为平行四边形，∵(03)C -，，令2393344x x +-=-得：1203x x ==-，∴点1(33)P --，……………………………………9分②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC PE =时，四边形ACEP 为平行四边形，∵(03)C -，，∴由对称关系令(3)P x ，，由2393344x x +-=化简得：2380x x +-=，解得3412x -+=或3412x --=，此时存在点2341(3)2P -+和3341(3)2P -…………………………11分综上，存在3个点符合题意，坐标分别是1(33)P --，，23(3)2P -+，3341(3)2P -.…………………………12分25.(1)△AMN 是直角三角形.……1分依题意得OA ＝2，OM ＝4，ON ＝1，∴MN ＝OM ＋ON ＝4＋1＝5在Rt △AOM 中，AM 在Rt △AON 中，AN A B CD x y NMO AB C x y2P 1P 3P1E 2E 3E O42-55F G EP l A xyON MB42-2-4-6-55G FEQ 2Q 1P l AxyON M∴MN 2＝AM 2+AN 2∴△AMN 是直角三角形(解法不惟一)………………………3分(2)答：(1)中的结论还成立.…………………………………4分依题意得OA ＝2，OM ＝－m ，ON ＝n ∴MN ＝OM ＋ON ＝n －m∴MN 2＝(n －m )2=n 2－2mn ＋m 2∵mn ＝－4∴MN 2=n 2－2×(－4)＋m 2＝n 2＋m 2又∵在Rt △AOM 中，AM在Rt △AON 中，AN ∴AM 2＋AN 2=4＋m 2＋4＋n 2＝n 2＋m 2＋∴MN 2=AM 2＋AN 2∴△AMN 是直角三角形.(解法不惟一)………………6分(3)∵mn ＝－4，n ＝4，∴1-=m .方法一：设抛物线的函数关系式为y ＝a x 2＋bx ＋c.∵抛物线经过点M (－1，0)、N (4，0)和A (0，2)2a-b c 04402a b c c +=⎧⎪∴++=⎨=⎪⎩12322a b c ⎧=-⎪⎪∴=⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.………………8分方法二：设抛物线的函数关系式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．∵抛物线经过点A (0，2)∴－4a ＝2解得a ＝－12∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12(x ＋1)(x －4)即y ＝－12x 2＋32x ＋2.……………8分(4)抛物线的对称轴与x 轴的交点Q 1符合条件，∵l ⊥MN ，∠ANM ＝∠PN Q 1，∴Rt △PN Q 1∽Rt △ANM∵抛物线的对称轴为x ＝32，∴Q 1(32，0)………………10分∴NQ 1＝4－32＝52.………………11分过点N 作NQ 2⊥AN ，交抛物线的对称轴于点Q 2.∴Rt △P Q 2N 、Rt △NQ 2Q 1、Rt △PNQ 1和Rt △ANM 两两相似∴AMN Q AN Q Q 121=即Q 1Q 2＝1525Q N AN AM ⋅=…………12分∵点Q 2位于第四象限，∴Q 2(32，5-)…………13分因此，符合条件的点有两个，分别是Q 1(32，0)，Q 2(32，5-).…………14分(解法不惟一)。
自主数学参考答案
四川省绵阳南山中学高2012级自主招生考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每题3分，共36分）二、填空题（每题4分共24分）13、 )1)(3(+-x x y 14、3或12 15、31<<-x 16、1681 17、81、87 18、（2）（3）（4）三、解答题19、（每小题8分共16分） （1）解：原式=321321)13(4--⋅+-+-………………………4分=43213134-=-++-+-……………………..8分（2）解：由题知62±=x ………………………………………………2分原式=2)1)(1()1()1(212x x x x x x x =-+-⋅-+…………………………….6分∴当62=x 时，原式=6………………………………….7分当62-=x 时，原式=6-………………………………8分20、（每小题6分共12分） （1）解：由题知56b x a <≤………………………………………………2分因为满足条件的整数解只有1和2，故有⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<352160ba (4)分⎩⎨⎧≤<≤<⇒151060b a ，得整数a=1、2、3、4、5、6；…………...5分b=11、12、13、14、15… ……….6分 （2）解：由4112=-+xx 得21=x …………………………………………..2分将其代入0122=+-kx x 得3=k从而方程化为：01322=+-x x ……………………………….4分. 解得：211=x ，12=x ，即方程的另一个解为1=x ………….…6分21、（本题12分）解：(1)当用①②作为条件时，能够确定BEC ∆是等腰三角形………….…..1分现证明如下：在ABE ∆和DCE ∆中，由条件可知DCE ABE DEC AEB DCE ABE DC AB ∆≅∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=………………………………….3分EC EB =∴，即BEC ∆是等腰三角形…………………………………..4分(2)树状图如下所示：① ②③④②③④ ①③④ ①②④ ①②③ 一共有12种结果……………………………………………………………..8分 根据三角形全等的判定定理知：①③作为条件时在ABE ∆和DCE ∆中是边边角的关系， ②④作为条件时在ABE ∆和DCE ∆中是角角角的关系，均不能得到ABE ∆与DCE ∆全等，共有4种结果………………………..10分∴使BEC ∆不能构成等腰三角形的概率是31124=………………………..12分22（本题12分）解：由题知⎩⎨⎧-=⋅-=+)1(412m OB OA m OB OA…………………………………………….2分91242)(2222+-=⋅⋅-+=+∴m m OB OA OB OA OB OA ……………..4分又菱形ABCD 的周长为20，故AB=5且OB OA ⊥………………………..6分25222==+∴ABOBOA ，即2591242=+-m m ………………………8分解得：41=m ，12-=m …………………………………………………….10分 当1-=m 时有03<-=+OB OA ，不合题意应舍去，4=∴m …………12分23（本题12分）（1）证法1：连结OP 则OP AP ⊥︒=∠+∠∴90APC CPO …………..2分BE PD ⊥ 于点E︒=∠+∠∴90AOD CDO ………….4分 OD OP =CDO CPO ∠=∠∴………………...5分 AOD APC ∠=∠∴…………………6分证法2：连结PE 、DE由AP 与圆O 相切于点P 得PED APC ∠=∠….2分 BE PD ⊥ 于点E 且BE 是圆O 的直径PED POD AOD ∠=∠=∠∴21…………………5分A O D A P C ∠=∠∴……………………………6分EE（2）如右图：设OC=x ，则CB=2x ，从而OP=OD=3x ……..1分 在Rt CPO ∆中由222OC OPPC-=得x PC 22=又在Rt APO ∆中CO AC PC ⋅=2，得x x x ⋅+=)26(82，即12=x ，1=∴x ，从而圆O 的半径为3 由AP 与圆O 相切于点P 得PEC APB ∠=∠ 22422t a n t a n ===∠=∠∴CEPC PEC APB ………6分24（本题12分）解：（1）在甲地的销售售为x x xp 142012+-=甲（万元）)0(9092031420122>-+-=-+-=x x x y x x w 甲………………..4分（2）90)5(51)905101(101222--+-=++-+-=x n x x x nx x w 乙=904)5(5]2)5(5[5122--+---n n x35904)5(52=--∴n ，得100)5(2=-n15=∴n （不符合题意应舍去5-=n ） ……………………..8分 （3）当18=x 时，5117=甲w ，5126=乙w ∴>=5117甲w 5126=乙w∴应选择在乙地投产并销售时能获得较大的年利润。
2022-2023学年四川省绵阳市南山中学高二上学期入学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年四川省绵阳市南山中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．等比数列{}n a 中，259,243,a a ==则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192【答案】B 【解析】根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】35227a q a ==,∴ 3q =，又29,a =所以21139,3a a a ⨯===， ∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于基础题. 2．已知向量(1,2),(,4)a b x ==-,若//a b ,则a b ⋅= A ．10- B ．6- C ．0 D ．6【答案】A【解析】根据平面向量共线定理求出参数x 的值，再利用向量的数量积的坐标运算计算可得.【详解】解：向量(1,2),(,4)a b x ==-,若//a b ,则1(4)2x ⨯-=,解得2x =-, 所以(2,4)b =--,有2810a b ⋅=--=-. 故选：A .【点睛】本题考查平面向量共线定理及向量的数量积，属于基础题.3．在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222a b c +<，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或直角三角形 【答案】C【分析】由余弦定理确定C 角是钝角．【详解】三角形ABC 中，222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角， 三角形为钝角三角形． 故选：C ．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成角的大小为（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90【答案】C【解析】利用平行的传递性得出11//EF D B ，得出异面直线1B C 与EF 所成角为11D B C ∠，再由11B CD 为等边三角形，确定异面直线1B C 与EF 所成角. 【详解】如下图所示，连接111,,BD B D D C 11//,//EF DB DB D B ，11//EF D B ∴则异面直线1B C 与EF 所成角为11D B C ∠ 1111D B B C D C ==，即11B CD 为等边三角形1160D B C ︒∴∠=故选：C【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.5．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】A【详解】∵过点(1,1)P a a -+和(3,2)Q a 的直线的倾斜角为钝角 ∴直线的斜率小于0，即21031a a a--<-+.∴(1)(2)0a a -+<∴21a -<< 故选A.6．若0,0x y >>，且18x y +=） A ．9 B ．18 C ．36 D ．81【答案】A【分析】由基本不等式求解． 【详解】因为0,0x y >>，18x y +=，92x y+≤=，当且仅当9x y ==时等号成立．9． 故选：A ．7．圆E 经过三点()()()0,1,2,0,0,1A B C -，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为（ ）A ．2232524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B ．22325416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C ．22325416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．2232544x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用待定系数法求出圆的标准方程.【详解】设圆的圆心坐标为()(),00,a a >半径为2325,416a r ==r . 由题意可得：()()()2222222220101a r a r a r ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪+-=⎪⎩，解得：2325,416a r ==. 故选：C.8．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.9．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．y x =D ．12y x =±【答案】C【分析】依题意可得222b c =⎧⎪⎨=⎪⎩b 、c ，再根据222c a b =+，即可求出2a ，从而求出双曲线方程，最后求出渐近线方程；【详解】解：依题意222b c =⎧⎪⎨=⎪⎩1b c =⎧⎪⎨⎪⎩222c a b =+，所以22a =，所以双曲线方程为2212x y -=，所以双曲线的渐近线方程为y =；故选：C10．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．(][),01,-∞+∞【答案】A【分析】当0k =时，该不等式成立，当0k ≠时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立问题.【详解】当0k =时，该不等式为80≥，成立；当0k ≠时，要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，只需()236480k k k k >⎧⎨-+≤⎩，解得01k <≤， 综上所述，k 的取值范围是[]0,1， 故选：A.11．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线的焦点的距离是 A ．6 B ．4C ．8D ．12【答案】A【详解】试题分析：由抛物线28y x =知，点P 到y 轴的距离是4，那么P 到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P 到该抛物线的焦点的距离是6，故选A ．【解析】本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．12．如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义． 故可知动点P 的轨迹是椭圆． 故选C.【解析】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.二、填空题13．不等式2230x x -->的解集为___________. 【答案】{1x x <-或32x ⎫>⎬⎭【分析】直接求解一元二次不等式，即可得到其解集. 【详解】不等式2230x x -->可化为()()2310x x -+>，解得1x <-或32x >所以不等式的解集为{1x x <-或32x ⎫>⎬⎭故答案为: {1x x <-或32x ⎫>⎬⎭14．点P(1,2)-到直线2100x y +-=的距离为___________.【答案】【分析】由点到直线的距离公式计算． 【详解】由已知所求距离为d ==故答案为：15．过点(1,5)P -的圆22(1)(2)4x y -+-=的切线方程为___________. 【答案】1x =-或512550x y +-=.【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．【详解】已知圆圆心坐标为(1,2)，半径为2，易知直线1x =-是圆的切线， 当切线斜率存在时，设切线方程为5(1)y k x -=+，即50kx y k -++=，2=，解得512k =-，切线方程为55(1)12y x -=-+，即512550x y +-=．故答案为1x =-或512550x y +-=．16．当实数x ，y 满足不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩时，1ya x ≥+，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[)4,+∞.【分析】本题根据题意画出可行域，再求出1yx +的最大值，即可解题. 【详解】画出不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示的三角形BCD 及其内部，其中(0,4)D .1yx +表示(,)P x y 与(1,0)A -连线的斜率， 当(,)P x y 取(0,4)D 时，1yx +的最大值为4， 所以4a ≥． 故答案为：[)4,+∞.【点睛】本题考查线性规划求目标函数的最大值，是中档题.三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式．【答案】(1)212n a n =-;(2)413()nn S =-.【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n 项和的综合运用．、（1）设{}n a 公差为d ，由已知得1126{50a d a d +=-+=解得110{2a d =-=, 212n a n =-（2）21232324b a a a a =++==-， ∴等比数列{}n b 的公比212438b q b -===- 利用公式得到和8(13)4(13)13n n n S -⨯-==--．18．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.(1)求AB 边所在的直线方程； (2)求中线AM 的长(3)求AB 边的高所在直线方程. 【答案】(1)6110x y -+=；(2) (3)6220x y +-=.【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；（2）由中点坐标公式求得中点M 坐标，再由两点间距离公式计算可得；（3）先求直线AB 的斜率，由垂直关系可得AB 边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】(1)法一：由两点式写方程得511521y x -+=---+，即6110x y -+=； 法二：直线AB 的斜率为()15621k --==---，直线AB 的方程为()561y x -=+，即6110x y -+=； (2)设M 的坐标为()00,x y ，则由中点坐标公式可得0024131,122x y -+-+====，故()1,1M ，所以AM ==；(3)直线AB 的斜率为()15621k --==---，所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=. 19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1a =，sin(2)2(1cos )sin A B C A+=-．(1)求b 的值；(2)若ABC c 的值． 【答案】(1)2b =(2)3c =或7c =【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，结合正弦定理求得b . （2）利用三角形的面积公式列方程，求得C ，利用余弦定理求得c . 【详解】(1)依题意sin(2)2(1cos )sin A B C A+=-，sin(2)2sin (1cos )A B A C +=-，()sin 2sin 2sin cos A B A A A C ⎡⎤++=-⎣⎦，()()()sin cos cos sin 2sin 2sin cos A B A A B A A A A B +++=++， ()()sin cos cos sin 2sin A B A A B A A +-+=，()sin sin 2sin A B A B A +-==，由正弦定理得22b a ==.(2)依题意13sin sin 22ABCSab C C ===， 由于0πC <<所以π3C =或2π3C =. 当π3C =时，22π2cos 33c a b ab =+-=， 当2π3C =时，223π2cos73c a b ab =+-=. 所以3c =或7c =.20．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60ADC ︒∠=，2,==PA AD E 为AD 的中点.(1)求证：平面PCE ⊥平面PAD ； (2)求PC 与平面PAD 所成的角的正切值； 【答案】(1)证明见解析 15【分析】（1）由平面几何知识证明CE AD ⊥，由线面垂直的性质定理得CE PA ⊥，由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而可得面面垂直；（2）由（1）得CPE ∠是PC 与平面P AD 所成角的平面角，求出这个直角三角形（需证明）中两直角边长，然后可得结论．【详解】(1)∵四边形ABCD 为菱形，∴DA DC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC 为等边三角形，∴CA CD =，在ADC 中，E 是AD 中点，∴CE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，∴CE PA ⊥，∵PA AD A ⋂=，PA ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴EC ⊥平面P AD ，∵CE ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面P AD .(2)∵EC ⊥平面P AD ，∴斜线PC 在平面内的射影为PE ， 即CPE ∠是PC 与平面P AD 所成角的平面角， ∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥，在Rt PAE 中，PE =Rt CED 中，CE ==∵EC ⊥平面P AD ，PE ⊂平面P AD ，∴EC PE ⊥，在Rt CEP 中，tan CE CPE PE ∠==，∴PC 与平面P AD 21．圆228x y +=内有一点()012P -,，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦. （1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程.【答案】（1）AB （2）250x y -+=.【分析】（1）求出直线AB 的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，AB 与0OP 垂直，由此可求出直线AB 的斜率，写出其点斜式方程化简即可.【详解】（1）依题意，直线AB 的斜率为1-，又直线AB 过点()012P -,， 所以直线AB 的方程为：()21y x -=-+，圆心()0,0O 到直线AB 的距离为2d =，则12AB ==，所以AB（2）当弦AB 被点0P 平分时，AB 与0OP 垂直，因为02OP k =-，所以12AB k =， 直线AB 的点斜式方程为()1122y x =++，即250x y -+=. 【点睛】本题考查直线的点斜式方程、直线截圆所得弦长，属于基础题.22．已知P 点坐标为(0,2)-，点,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右顶点，ABP △是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.【答案】(1)2214x y +=(2)2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由对称性得a 值，再由已知关系得b ，从而得椭圆标准方程；（2）设直线l 方程设为2y kx =-，代入椭圆方程，由判别式大于0，得234k >，设()11,M x y ，()22,N x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，利用原点O 位于以MN 为直径的圆外，即0OM ON ⋅<，代入1212,x x x x +，又可得24k <，从而得k 的范围．【详解】(1)由△ABP 是等腰直角三角形，得2a =，又因为2a b =，1b =,所以椭圆E 的方程为2214x y +=. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为2y kx =-. 联立222,1,4y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()221416120k x kx +-+=.（） 因直线l 与E 有两个交点，即方程（）有不等的两实根，故()()221648140k k ∆=--+>，解得234k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ， 由根与系数的关系得12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以0OM ON ⋅>，即12120x x y y +>，又由()()1212121222x x y y x x kx kx +=+--()()21212124k x x k x x =+-++()222121612401414k k k k k =+⋅-⋅+>++， 解得24k <，综上可得2344k <<，2k <<或2k -<<.则满足条件的斜率k 的取值范围为2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题，解题方法是设出直线方程，设出交点坐标为11(,)x y ，22(,)x y ，直线方程代入椭圆方程，由判别式大于0得一不等关系或范围，再利用韦达定理得1212,x x x x +，代入已知条件得另一不等关系，从而求得参数范围．。
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2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共36分）22．函数中自变量x 的取值范围是（ ）=4．如图，设P 是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′，过P 作PA ∥y 轴，过P ′作P ′A ∥x 轴，PA 与P ′A 交于点A ，则△PAP ′的面积是（ ）5．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误（ ）7．若M （）、N （，y 2）、P（，y 3）三点都在函数的图象上，则（ ）8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小10．如图，边长为1的正方形ABCD 绕着点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）﹣﹣11．已知二次函数y=ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc ＞0；②b ﹣a ＞c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）； 其中正确的结论有（ ）面积y 与点P经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）二、填空题（每小题4分，共24分）13．实数范围内分解因式：x 3﹣5x 2﹣6x= _________ ． 14．（2008•聊城）已知关于x 的不等式组的整数解共有6个，则a 的取值范围是 _________ ．15．如图将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转90°到△A ′B ′C 的位置，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′的中点，已知AC=12cm ，BC=5cm ，则线段DD ′的长为 _________ cm ．16．如图所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC 于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF为等腰直角三角形；③；④EF=AP；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有_________（填序号）17．已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1=0两个实根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，则m的值为_________．18．（2005•连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．三、解答题19．（1）计算；（2）先化简，再求值，其中．20．（2010•安顺）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A，B两种型号，乙品牌有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．（1）利用树状图或列表法写出所有选购方案；（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？（3）各种型号打印机的价格如下表：21．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D 不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？22．如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的解析式；（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．23．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．求证：（1）ED∥BC；（2）．24．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？25．如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．（1）求D点坐标．（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）22．函数中自变量x的取值范围是（）2=，4．如图，设P是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′，过P作PA∥y轴，过P′作P′A∥x轴，PA与P′A交于点A，则△PAP′的面积是（）×5．（2007•枣庄）一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这6．（2006•成都）如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）7．若M（）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数的图象上，则（）＜﹣，8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（），9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小10．（2006•潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）﹣﹣=，﹣11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；其中正确的结论有（）﹣﹣）12．（2007•临沂）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）时，最小是；由二、填空题（每小题4分，共24分）13．实数范围内分解因式：x3﹣5x2﹣6x=x（x﹣6）（x+1）．14．（2008•聊城）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是﹣5≤a＜﹣4．15．如图将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，D，D′分别是AB，A′B′的中点，已知AC=12cm，BC=5cm，则线段DD′的长为cm．AB==13AB=13=，CD=故答案为：16．如图所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC 于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF为等腰直角三角形；③；④EF=AP；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有①②③（填序号）=AP=BC17．已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1=0两个实根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，则m的值为﹣1．==，=，==，=，++1=m+118．（2005•连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为79．三、解答题19．（1）计算；（2）先化简，再求值，其中．﹣（×+1+2…÷•，时，原式20．（2010•安顺）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A，B两种型号，乙品牌有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．（1）利用树状图或列表法写出所有选购方案；（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？型号的打印机被选购的概率为，解得21．（2007•南京）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？y=•xx﹣+有最大值，最大值为．22．如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的解析式；（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．y=k=，故可设直线y=，，y=y=x+5x+n（﹣n∴（﹣n=y=，为矩形，此时，23．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．求证：（1）ED∥BC；（2）．24．（2007•贵阳）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？x=25．（2003•陕西）如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．（1）求D点坐标．（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．OA=AD=2，OD==（﹣，∴抛物线为．AP=2 AM=4，5，的解析式为∵抛物线的顶点坐标为（x=y=∴点（）在直线。