四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学试卷(含答案详解)

2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

2

2．函数中自变量x 的取值范围是（ ）

=

4．如图，设P 是函数

在第二象限的图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′，过P 作PA ∥y 轴，过P ′

作P ′A ∥x 轴，PA 与P ′A 交于点A ，则△PAP ′的面积是（ ）

5．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误

（ ）

7．若M （

）、N （

，y 2）、P

（，y 3）三点都在函数的图象上，则（ ）

8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，

转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）

9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小

10．如图，边长为1的正方形ABCD 绕着点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）

﹣

﹣

11．已知二次函数y=ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc ＞0；②b ﹣a ＞c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m ≠1

的实数）； 其中正确的结论有（ ）

面积y 与点P

经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．实数范围内分解因式：x 3﹣5x 2

﹣6x= _________ ． 14．（2008•聊城）已知关于x 的不等式组

的整数解共有6个，则a 的取值范围是 _________ ．

15．如图将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转90°到△A ′B ′C 的位置，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′的中点，已知AC=12cm ，BC=5cm ，则线段DD ′的长为 _________ cm ．

16．如图所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC 于点E、F，给出以下四个结论：

①AE=CF；②△EPF为等腰直角三角形；③；④EF=AP；

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有_________（填序号）

17．已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1=0两个实根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，则m的值为_________．

18．（2005•连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．

三、解答题

19．（1）计算；

（2）先化简，再求值，其中．

20．（2010•安顺）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A，B两种型号，乙品牌有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．

（1）利用树状图或列表法写出所有选购方案；

（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？

（3）各种型号打印机的价格如下表：

21．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D 不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

22．如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．

（1）求经过A、C两点的直线的解析式；

（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．

23．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．

求证：（1）ED∥BC；

（2）．

24．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

25．如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．

（1）求D点坐标．

（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．

（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．

2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

2

2．函数中自变量x的取值范围是（）

2

=

，