2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线讲义(理)(含解析)

第7讲抛物线

[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)

2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.

1．抛物线的定义

平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．

抛物线的□

2．抛物线的标准方程与几何性质

3．必记结论

(1)抛物线y 2

＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p

2，也称为

抛物线的焦半径．

(2)y 2

＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a

4.

(3)直线AB 过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．

①y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p 2

4

.

②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③

1

|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2p

sin 2α(α为AB 的倾斜角)．

⑤以AB 为直径的圆与准线相切．

⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.

1．概念辨析

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )

(2)方程y ＝ax 2

(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

4，0，

准线方程是x ＝－a

4

.( )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )

(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2

＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．小题热身

(1)若抛物线y ＝4x 2

上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716

B.1516

C.78 D ．0

答案 B

解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－1

16，设M (x ，y )，则y

＋116＝1，∴y ＝1516

. (2)已知抛物线C 与双曲线x 2

－y 2

＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )

A ．y 2

＝±22x B ．y 2

＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2

＝±42x

答案 D

解析 ∵双曲线x 2

－y 2

＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．

设抛物线C 的方程为y 2

＝±2px (p >0)，则p

2＝ 2.

∴p ＝22，∴抛物线C 的方程是y 2

＝±42x .故选D.

(3)若过抛物线y 2

＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 B

解析 由抛物线y 2

＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2

＝8x ，得(x －2)2

＝8x ，即x 2

－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.

(4)抛物线8x 2

＋y ＝0的焦点坐标为________． 答案 ⎝

⎛⎭⎪⎫0，－132

解析 由8x 2＋y ＝0，得x 2

＝－18y .

∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.

题型 一 抛物线的定义及应用

(2016·浙江高考)若抛物线y 2

＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．

答案 9

解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.

条件探究1 将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．

解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得点A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2

－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝

32

2

. 条件探究 2 将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中

A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值．