2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线讲义(理)(含解析)

第7讲抛物线
[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)
2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.
1．抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．
抛物线的□
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．必记结论
(1)抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p
2，也称为
抛物线的焦半径．
(2)y 2
＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a
4.
(3)直线AB 过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．
①y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
.
②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③
1
|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2p
sin 2α(α为AB 的倾斜角)．
⑤以AB 为直径的圆与准线相切．
⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.
1．概念辨析
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)方程y ＝ax 2
(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0，
准线方程是x ＝－a
4
.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2
＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．小题热身
(1)若抛物线y ＝4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716
B.1516
C.78 D ．0
答案 B
解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－1
16，设M (x ，y )，则y
＋116＝1，∴y ＝1516
. (2)已知抛物线C 与双曲线x 2
－y 2
＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )
A ．y 2
＝±22x B ．y 2
＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2
＝±42x
答案 D
解析 ∵双曲线x 2
－y 2
＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．
设抛物线C 的方程为y 2
＝±2px (p >0)，则p
2＝ 2.
∴p ＝22，∴抛物线C 的方程是y 2
＝±42x .故选D.
(3)若过抛物线y 2
＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 B
解析 由抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2
＝8x ，得(x －2)2
＝8x ，即x 2
－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.
(4)抛物线8x 2
＋y ＝0的焦点坐标为________． 答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－132
解析 由8x 2＋y ＝0，得x 2
＝－18y .
∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.
题型 一 抛物线的定义及应用
(2016·浙江高考)若抛物线y 2
＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．
答案 9
解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.
条件探究1 将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．
解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得点A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2
－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝
32
2
. 条件探究 2 将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中
A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值．
解如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，
其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．
过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，
则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，
当且仅当点M在M1的位置时等号成立．
此时点M的坐标为(1,2)．
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．
(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为( )
A.
3
3
B.
3
2
C. 3 D．3
答案 C
解析设抛物线的准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，直线l交准线于C，如图所示：
则|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，|AF |＝3|BF |，|AN |＝2|BF |，|AB |＝4|BF |，cos ∠NAB ＝1
2
，∠NAB ＝60°，则直线l 的斜率为 3. 2．已知点P 是抛物线y 2
＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.
17
2
B ．3 C. 5 D.92
答案 A
解析 如图所示，A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，由抛物线的定义知|PP ′|＝|PF |，∴|AP |＋|PP ′|＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝
14＋4＝172
.故选A. 题型 二 抛物线的标准方程和几何性质
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2
＝－x
B ．x 2
＝－8y
C ．y 2＝－8x 或x 2
＝－y D ．y 2＝－x 或x 2
＝－8y
答案 D
解析 设抛物线为y 2
＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2
＝－
x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .
2．已知抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_______．
答案 x 2
＝4y
解析 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准
线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2
2p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m 22p ＋p
2
＝4，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2＋p 22
＋m 2＝4，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m 2
＝12，
p ＝2，
所以抛物线方程为x 2
＝4y .
1．求抛物线标准方程的方法
(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2
＝mx 或
x 2＝my (m ≠0)．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的焦
点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )
A ．x 2
＝833y
B ．x 2
＝1633y
C ．x 2
＝8y D ．x 2
＝16y
答案 D
解析 双曲线的离心率e ＝c
a
＝
1＋b 2a 2＝2，所以b a ＝3，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的渐近线方程为y ＝±b
a x 即 y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，p 2，焦点到渐近线的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪p 21＋
3
2＝p
4
＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2
＝16y . 2．(2018·枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )
A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－16
9 答案 B
解析 令y ＝1，代入y 2
＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线
AB 经过焦点F (1,0)，所以k ＝
1－014
－1＝－4
3.故选B. 题型 三 直线与抛物线的综合问题
角度1 直线与抛物线的交点问题
1．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2
＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
答案 (1,0)
解析 由已知，直线l ：x ＝1，又因为l 被抛物线截得的线段长为4，抛物线的图象关于x 轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即22
＝4a ×1，解得a ＝1.故抛物线的方程为y 2
＝4x ，焦点坐标为(1,0)．
2．(2018·长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)及点
D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－p 2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别
为α，β，且α＋β＝π.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.
解 (1)把y ＝kx ＋1代入x 2
＝2py 得x 2
－2pkx －2p ＝0，
设A ⎝
⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 2
22p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知，直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零，所以x 212p ＋p 2x 1＋x 22
2p ＋p 2
x 2
＝0，
去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2
)＝0，
即2pk (p 2
－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2，所以抛物线C 的方程为
x 2＝4y .
(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，
x 2
＝4y 得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t ，y ＝t 2
4
，即点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，t 2
4.
令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，λt 2
4， 所以直线ON 的方程为y ＝
λt
4
x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝λt 4x ，x 2＝4y
且x ≠0得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝λt ，y ＝λ2t 2
4，即点H ⎝
⎛⎭⎪⎫λt ，λ2t 2
4，
所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH |
|ON |，
即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |. 角度2 与抛物线弦中点有关的问题
3．(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2
(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .
(1)求抛物线C 的焦点坐标；
(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵抛物线C ：x 2
＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .
(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝1
4
.
(3)存在，联立方程⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝mx 2
，2x －y ＋2＝0，
消去y 得mx 2
－2x －2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2
－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.
设A (x 1
，mx 2
1
)，B (x 2
，mx 22
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝2
m
，x 1x 2
＝－2
m
.(*)
∵P 是线段AB 的中点，
∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 2
22，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 1－1m
，mx 21－1m ，QB →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－1m
，mx 2
2－1m ，
若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →
＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫mx 22－1m ＝0，
结合(*)化简得－4m
2－6
m
＋4＝0，
即2m 2
－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，
而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．
1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移2.
1．已知直线l 与抛物线y 2
＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标
为(4,4)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．
答案 258 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43
. 所以直线l 的方程为y －0＝43
(x －1)， 即y ＝43
(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝43x －1消去y ，整理得4x 2
－17x ＋4＝0， 所以线段AB 的中点的横坐标为178
. 所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258
. 2．(2018·衡水模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t . (1)求抛物线C 的方程；
(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．
解 (1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a 4＝2t ，则a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，12在抛物线上，则at ＝14
.
所以a ×a 4＝14
，则a 2＝1， 由a >0，则a ＝1，故抛物线的方程为y 2＝x .
(2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1.所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)．即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3，
所以k 1·k 2＝
y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1 ＝
y 1y 2－y 1＋y 2＋1m 2y 1y 2＋m m ＋2y 1＋y 2＋m ＋22 ＝－m －3－m ＋1m 2－m －3＋m m ＋2m ＋m ＋22＝－12
， 为定值．。