2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线讲义(理)(含解析)
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第7讲抛物线课件文
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3．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别 为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xy11yx22的值一定等于__－__4______． [解析] ①若焦点弦 AB⊥x 轴， 则 x1＝x2＝p2，则 x1x2＝p42； ②若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，
2．设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 A(0，2)．若线段
FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为 32
___4_______．
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[解析] 抛物线的焦点 F 的坐标为p2，0，线段 FA 的中点 B 的坐标为p4，1，代入抛物线方程得 1＝2p×p4，解得 p＝ 2， 故点 B 的坐标为 42，1，故点 B 到该抛物线准线的距离为
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第三十三页，共四十四页。来自如图，已知两条抛物线 E1：y2＝2p1x(p1>0) 和 E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点 O 的两条直线 l1 和 l2，l1 与 E1，E2 分别交于 A1，A2 两点，l2 与 E1，E2 分别交于 B1, B2 两点．
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x2＝－2py (p>0)
O(0，0)
y＝0
x＝0
Fp2，0 F－2p，0 F0，p2 F0，－p2
e＝____1______
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标准 方程 准线 方程
范围
y2＝2px (p＞0) _x_＝__－__p2__
x≥0， y∈R
y2＝－2px (p＞0)
【数学】2020届高考数学一轮复习：第八章 平面解析几何
第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率＝tan_α.(2)P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)在直线l 上，且1≠2，则l 的斜率＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用范围斜截式 纵截距、斜率 y ＝＋b 与轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率y －y 0＝(－0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式A ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线 若点P 1，P 2的坐标分别为(1，y 1)，(2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝表示过点P 1(1，y 1)，且斜率为的直线方程 B ．直线y ＝＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb＝1D ．方程(2－1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(－1)表示过点P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)的直线解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：＋y ＋2＝0在轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：＋y ＋2＝0，令y ＝0，得＝－2，即直线l 1在轴上的截距为－2；令＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝－2，即－y －2＝0.答案：－2 －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于轴的直线；两点式方程不能表示垂直于，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．直线cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数， 故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为－5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为， 则所求直线方程为y －10＝(－5)， 即－y ＋10－5＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得＝34.故所求直线方程为3－4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为－5＝0或3－4y ＋25＝0. 答案：－5＝0或3－4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则PA ≤≤PB ，而PB ＞0，PA ＜0，故＜0时，倾斜角α为钝角，＝0时，α＝0，＞0时，α为锐角．又PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤≤1. 又当0≤≤1时，0≤α≤π4；当－1≤＜0时，3π4≤α＜π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b 的值． 解：∵AB ＝0－2a －2＝－2a －2，AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，的值由－∞趋近于0(≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A (1，y 1)，B (2，y 2)，一般根据斜率公式＝y 2－y 1x 2－x 1(1≠2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为A ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率＝－AB . 考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，∴直线方程为y ＝14，即－4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，解得a ＝5，∴直线方程为＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为－4y ＝0或＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(＋1)，即3＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(－3)． 即所求直线的方程为－y ＋1＝0或＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．(2)过点(2,1)且在轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(＋3)， 即3－y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为＋y －3＝0或＋2y －4＝0. 答案：(1)3－y ＋6＝0 (2)＋y －3＝0或＋2y －4＝0考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝(－2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)． ∵直线l 与轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得＜0. ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2)＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k＝－4，即＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(－2)，即＋2y－4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)(＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2＝3－2－1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2＝－1k ，即＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(－2)， 即＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)(＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4， 当且仅当－＝－1k ，即＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(－2)，即＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝2＋2＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2＋2，设P (0，y 0)， 则＝20＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤≤1，即0≤20＋2≤1，故－1≤0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：a －2y ＝2a －4，l 2：2＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12. [通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线＋my ＝0和过定点B 的动直线m －y －m ＋3＝0交于点P (，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线＋my ＝0与m －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：－y ＋1＋2＝0(∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求的取值范围；(3)若直线l 交轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝(＋2)＋1，故无论取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝＋2＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得≥0，故的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2)．又－1＋2kk＜0且1＋2＞0，∴＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2)＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4＝1k ，即＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为－2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可知斜率＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B.2．直线sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为1，2，3，则( ) A ．1＜2＜3 B ．3＜1＜2 C ．3＜2＜1 D ．1＜3＜2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜3＜2，因此1＜3＜2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝3－＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝32－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．＋y ＝0 B ．－y ＋2＝0 C ．＋y ＋2＝0D ．－y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为－y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线－2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3＋2B ．y ＝3－2C ．y ＝3＋12D ．y ＝－3＋2 解析：选A ∵直线－2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：a ＋y ＋b ＝0和直线l 2：b ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．4．若直线－2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数y ＝a 1－(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在m ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a 1－(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn ＞0)． ∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n 的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即＋13y ＋5＝0.答案：＋13y ＋5＝07．若直线a ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由a ＋y ＋3a －1＝0，可得a (＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2＋3y －6＝0上，设直线2＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2＋3y ＋12＝0.答案：2＋3y ＋12＝08．若圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0关于直线a －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________．解析：由圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0知其标准方程为(＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0关于直线a －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号． 故1a ＋3b 的最小值是163.答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝(＋3)＋4，它在轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3＋4，由已知，得(3＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得1＝－23或2＝－83.故直线l 的方程为2＋3y －6＝0或8＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16＋b ，它在轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为－6y ＋6＝0或－6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得OA ＝tan 45°＝1， OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝，l OB ：y ＝－33. 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以AB ＝AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(－1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)－2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e ＞0，所以e ＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e ＝1e x ，即＝0时取等号)，所以e ＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当＝0时取等号)．所以当＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(－0)，即＋4y －2＝0.该切线在轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号． 此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率存在且＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝(－3)(＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3)， S △ABO ＝12(2－3)⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9＝4－k，即＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为1，2，则有l 1∥l 2⇔1＝2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为1，2，则有l 1⊥l 2⇔1·2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 点P 0(0，y 0)到直线l ：A ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线A ＋By ＋C 1＝0与A ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线m ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线m ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(,1－)，∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(，y )，则y ＝1－，即动点P 的轨迹方程为＋y －1＝0.原点到直线＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值． 答案：＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：－y －1＝0与直线l 2：＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：－y －1＝0与直线l 2：＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线a ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线a ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4－1和＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为＝－4a 和y ＝a 4－34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2－4b ＋2和y ＝－a b －2＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线a ＋by －6＝0与直线2＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：m ＋8y ＋n ＝0和l 2：2＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：－y ＋6＝0，l 2：－y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝(＋1)，即－y ＋＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3－1|＝|－3－3|，∴＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(＋1)，即＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为＋3y －5＝0或＝－1.法二：当AB ∥l 时，有＝AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(＋1)，即＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为＝－1.故所求直线l 的方程为＋3y －5＝0或＝－1. 答案：＋3y －5＝0或＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2－3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为－y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：a ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三对称问题(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2＋y－8＝0和l2：－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为＋4y－4＝0.答案：＋4y－4＝02．已知直线l：2－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．解析：法一：在l：2－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2－3y－9＝0.法二：设P(，y)为l′上任意一点，则P(，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－)－3(－4－y)＋1＝0，即2－3y－9＝0.答案：2－3y－9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l：2－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．解：(1)设A ′(，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9－46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2－y ＋3＝0关于直线－y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．－2y ＋3＝0 B ．－2y －3＝0 C ．＋2y ＋1＝0D ．＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (，y )，则P 关于－y ＋2＝0的对称点为P ′(0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(0，y 0)在直线2－y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(＋2)＋3＝0， 即－2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (1，y 1)及N (，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(1，y 1)与P 2(2，y 2)关于直线l ：A ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(2，y 2)(其中B ≠0，1≠2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2的对称点为(，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(－3)，即3＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(＋4)，即－3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：－y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：－y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6－y －6＝0. 答案：6－y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2－y ＋2＝0上，点C 在轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2－y ＋2＝0的对称点为A 1(1，y 1)，点A 关于轴的对称点为A 2(2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2－y ＋2＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线a ＋3y ＋3＝0和直线＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线a ＋3y ＋3＝0和直线＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(－2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)． 3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6＋5y －1＝0B ．5＋6y ＋1＝0C ．5－6y －1＝0D ．6－5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(－1)，即6－5y －1＝0.4．已知点P (4，a )到直线4－3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3－2y －1＝0,6＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________． 解析：依题意知，63＝a－2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6＋ay ＋c ＝0可化为3－2y ＋c2＝0，又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：a ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：－ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线a ＋y －1＝0与过定点Q 的直线－ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上， ∵|P Q |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2－3在＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－32，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为＝2－3＝－1，所以切线的方程为＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3＋4y －12＝0与6＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2－3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (，y )＝0，P 1(1，y 1)和P 2(2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (，y )＝0，知方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(1，y 1)为直线l 上的点，则f (1，y 1)＝0，f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0化为f (，y )－f (2，y 2)＝0，显然P 2(2，y 2)满足方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0，所以f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：－y －1＝0和l 2：－1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2－y ＋3＝0. 答案：2－y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝(－3)， 即－y ＋4－3＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴＝2或＝－23.∴所求直线l 的方程为2－y －2＝0或2＋3y －18＝0. 答案：2－y －2＝0或2＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2－y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为－2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2－y －5＝0， 得20－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(－4)，即6－5y －9＝0.。
2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第七节 抛物线
A. B. C. D.
D
[解析] 抛物线 上一点 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4， ，解得 ，∴抛物线的标准方程为 .故选D.
（3） 抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为________.
5. （2021东北四市高三模拟）若点 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，则 的最小值为_ _.
[解析] 由题意知 ，则 ，设 ，则 ，所以当 时， .
迁移应用
3. （2021山东淄博二模）如图，过抛物线 的焦点 的直线依次交抛物线及准线于点 ， ， ，若 ，且 ，则抛物线的方程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 如图，分别过点 , 作准线的垂线，交准线于点 , ，
设 ，则 ，由抛物线的定义得 ，故 ，∴在 中， ， , ， ，解得 ， ， ， ，因此抛物线的方程为 ，故选D.
变式1 若将本例（2）中的“ ”改为“ ”，求 的最小值.
[解析] 由题意可知点 在抛物线的外部， 的最小值即为 , 两点之间的距离, ，即 的最小值为 .
变式2 在本例（2）的条件下，求点 到 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值.
[解析] 如图，易知抛物线的焦点为 ，准线是直线 ,
C
[解析] 设焦点为 ，点 的坐标为 ，由抛物线定义得 ,∵点 到 轴的距离为9， ， , .故选C.
（2） 设 是抛物线 上的一个动点， 为抛物线的焦点，若 ，则 的最小值为___.
[解析] 如图，过点 作 垂直于准线，交准线于点 ,交抛物线于点 ,连接 ，则 .又 ,则有 ,即 的最小值为4.
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线教学案理新人教版
第七节 抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程与几何性质1．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p ，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2,3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p ＞0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]3．(教材改编)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8yD [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1， ∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .故选D.]4．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]5．(教材改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于________．8 [|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74(2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，A (3,2)，则|PA |＋|PF |的最小值为________，取最小值时点P 的坐标为________．(1)C (2)72 (2,2) [(1)如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.因为6＞2，所以点A 在抛物线内部，如图所示．过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PQ |， 当PA ⊥l ，即A ，P ，Q 三点共线时，|PA |＋|PQ |最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以所求点P 的坐标为(2,2)．] 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化注意灵活运用抛物线上一点P x 0，0到焦点(1)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．(2)(2017· 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(1)y 2＝4x (2)6 [(1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x(2)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝_______.(1)B (2)4 [(1)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30° ，则在Rt△ACE 中，2|AE |＝|AC |，又|AF |＝4，∴|AC |＝4＋3a ，|AE |＝4，∴4＋3a＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .故选B. (2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－cos∠AFO＝4.](1)△POF 的面积为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(1)B (2)C [(1)抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为直线x ＝－1.设点P (x ，y )，由抛物线的定义，得|PF |＝x ＋1＝4，所以x ＝3.把x ＝3代入y 2＝4x ，得y ＝±23，故△POF 的面积S ＝12×|OF |×|y |＝12×1×23＝ 3.故选B.(2)如图所示，抛物线y 2＝2px 的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线方程为l ：x＝－p 2.由|MF |＝5，可得点M 到准线的距离为5，则点M 的横坐标为5－p2，可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，m ，则MF 中点B 的坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，m 2，∵以MF 为直径的圆过点A (0,2)，∴|AB |＝12|MF |＝52，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，解得m ＝4，由点M 在抛物线上可得m 2＝42＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，∴所求抛物线方程为y 2＝4x 或y2＝16x ，故选C.]直线与抛物线的位置关系【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝2x得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋y 1＋y 2x 1＋x 2＋.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解(1)________条．(2)(2019·临沂模拟)已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C . ①求证：直线BC 的斜率为定值；②若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围．(1)3 [结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．] (2)[解] ①证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4，又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.②设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4) 关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴M (1，－2＋b )．又点M 在抛物线内部，∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2＋8x －4b ＝0，∴x 3＋x 4＝－8，x 3x 4＝－4b . ∴|BC |＝1＋4|x 3－x 4|＝5·x 3＋x 42－4x 3x 4＝5×64＋16b . 又b ＞94，∴|BC |＞10 5.∴|BC |的取值范围为(105，＋∞)．1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8D [过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋，y 2＝4x ，得x 2－5x＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5， ∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.2 [由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y ，得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1ky ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.]4.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋2＝y 0－x 0＋22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第7节抛物线课件
[规律总结] 1．求抛物线的标准方程常用待定系数法．求抛物线方程时，需先定位，再 定量． 2．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，将抛物线方程化成 标准方程．同时要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
考向 2 抛物线的定义及应用
能力考点
题型：选择、填空题 难度：中 命题指数：★★☆
命题热点：以抛物线的定义为载体，求焦半径的长或求
距离的最值问题.
[师生共研]
(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，
|AF|＝54x0，则 x0＝( )
A．4
B．2
C．1
D．8
(2)已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )
【答案】 4
考向 3 直线与抛物线的位置关系
能力考点
题型：解答题 难度：中 命题指数：★★☆
命题热点：(1)与弦长有关的问题．
(2)直线、抛物线与圆的综合问题.
[师生共研]
(2015·浙江高考)如图 8-7-3，已知抛物线 C1：y＝14x2，圆 C2：x2＋(y－1)2＝1，
过点 P(t,0)(t>0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
|AM|+|MF|-1-2≥|AF|-1-2= ( + ) + -1-2=2.
当且仅当N,M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时,两个等号成立,
因此,|MN|+d的最小值为2.故选D.
(1)两个距离的转化:“到焦点的距离”和“到准线的距离”可以
互相转化,解题时要做到“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.
当x≥0时,因为动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,所
以动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,所以动
点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4,所以抛
物线的方程为y2=8x.
综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
求抛物线的标准方程的方法
根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
2=-20y或
x
(2)焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程为
y2=-60x
.
解析:(2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15,
所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0),
所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.
考点二
抛物线的标准方程
[例2] (1)如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物
线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为
(
)
2
A.y =x
B.y2=9x
2
C.y =x
√
D.y2=3x
解析:(1)如图,设准线与x轴的交点为G,分别过点A,B作准线的垂线,
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7 抛物线课
p＝2，焦点坐标为1，0，故选 B.
1 23 45
解析答案
A
解析 由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋14， ∵|AF|＝54x0，∴x0＋14＝54x0，∴x0＝1.
1 23 45
解析答案
3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0). 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( B )
解析答案
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小 值为____4____. 解析 如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于 点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝ |BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4.
245＋16＝
89 2.
引申探究
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A， B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝____8____ 解析 分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛 物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋ |BN|＝2|PQ|＝8.
A.2 2
B.2 3
C.4
D.2 5
解析 设抛物线方程为 y2＝2px，则点 M(2，±2 p). ∵焦点p2，0，点 M 到该抛物线焦点的距离为 3， ∴2－p22＋4p＝9，解得 p＝2(负值舍去)， 故 M(2，±2 2).
∴|OM|＝ 4＋4×2＝2 3.
1 23 45
2
2 .
思维升华
解析答案
跟踪训练2
高考数学一轮复习第8章解析几何第7讲抛物线
第七讲 抛物线知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线 方程 __x ＝－p 2____x ＝p 2____y ＝－p 2____y ＝p 2__范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p2__|PF |＝__－x 0＋p2__|PF |＝__y 0＋p2__|PF |＝__－y 0＋p2__重要结论抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a4．( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＝p24,y 1y 2＝－p 2,弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1．根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ) A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2,可得标准方程为x 2＝－14y ,则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116,准线方程为y ＝116,设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1,解得y 0＝－1516．故选B ． 题组三 走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴3p －p ＝p 24,∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一 抛物线的定义及应用——多维探究 角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切,且和直线x ＝1相切,则动圆圆心的轨迹是( D ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[解析] 设动圆的圆心为C ,则C 到定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心的距离等于r ＋1,而动圆的圆心到直线x ＝1的距离等于r ,所以动圆到直线x ＝2距离为r ＋1,即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x ＝2的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D ．角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点,F为其焦点,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上,且|AF|＝4,则|P A|＋|PO|的最小值为(B)A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,所以C的坐标为(－1,2),过M作l的垂线,垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|,所以问题求|MF|＋|MC|的最小值,就转化为求|ME|＋|MC|的最小值,由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|ME|＋|MC|有最小值,最小值为|CE|＝2－(－1)＝3,故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4,∴y A＝2,代入x2＝8y,得x A＝±4,不妨取A(4,2),又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4),∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213,当且仅当A、P、O′共线时取等号,故选B．[引申]本例(2)①中,(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N为⊙C上任一点,则|MF|＋|MN|的最小值为__2__．角度3到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0,抛物线y2＝8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d＋|PC|的最小值为(A)A．41 B．7C．6 D．9[解析]由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4,圆心C的坐标为(－3,－4)．由抛物线定义知,当d＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上,过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线,垂足分别为G ,H ,则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线,焦点F (1,0),由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |,∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22,当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号,∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __． (2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ,点A (4,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△P AF 周长取最小值时,线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22,0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ,y ),则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离,故P 的轨迹是以A 为焦点,直线y ＝－2为准线的抛物线,所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值,即求|P A |＋|PF |的最小值,设点P 在准线上的射影为D ,根据抛物线的定义,可知|PF |＝|PD |,因此,|P A |＋|PF |的最小值,即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识,可得当D ,P ,A 三点共线时|P A |＋|PD |最小,此时P (94,3),且|PF |＝94＋1＝134,故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ,其焦点坐标为F (0,1),准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22,0),所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ,交x 轴于点D ,如图所示．结合抛物线的定义,有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2,即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线,抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ,过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线,和抛物线的交点就是点P ,所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2,故选C ．考点二 抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __,准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2),∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0,得y ＝－2,令y ＝0,得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,－2)． 当焦点为(4,0)时,p2＝4,∴p ＝8,此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0,－2)时,p2＝2,∴p ＝4,此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y , 对应的准线方程分别是x ＝－4,y ＝2．(3)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设|BF |＝a ,则由已知得|BC |＝2a ,由定义得|BD |＝a ,故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中,∵|AE |＝|AF |＝3,|AC |＝3＋3a ,2|AE |＝|AC |, ∴3＋3a ＝6,从而得a ＝1．∵BD ∥FG ,∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |,即1p ＝23,求得p ＝32,因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,若焦点位置确定,因为未知数只有p ,所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ,若|AF |＝1,则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点P (m ,－3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ,又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1,∴p ＝23,∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ,故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0),所以3＋p2＝5,即p ＝4,所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ,故选D ．考点三 抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点(点A 在第一象限),过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段,垂足分别为M 、N ,若|MF |＝4,|NF |＝3,则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0,准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9,解得p ＝10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)由抛物线定义知|AM |＝|AF |,|BN |＝|BF |,∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°,∴∠MFN ＝90°, 又|MF |＝4,|NF |＝3, ∴|MN |＝5,∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125, 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ,∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0),过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,若|AF |＝4|BF |,则|AB |＝__254__．(2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |＝9,设抛物线的焦点为F ,则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1,∴p ＝2,不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1,得y 2－4my －4＝0, ∴y 1y 2＝－4,又|AF |＝4|BF |,∴y 1＝－4y 2, ∴y 2＝－1,从而x 2＝14,∴|BF |＝1＋14＝54,∴|AB |＝5|BF |＝254．(2)设P (x 0,y 0),由抛物线y 2＝4x , 可知其焦点F 的坐标为(1,0), 故|PM |＝x 0＋1＝9,解得x 0＝8, 故P 点坐标为(8,42), 所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四 直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合,直线y ＝x －4与抛物线交于A ,B 两点,则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点,则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8． ①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点,与直线x ＝－1交于H 点,过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点,求证：直线MN 过定点． [解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8,故抛物线方程为y 2＝16x ,易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0,故x 1＋x 2＝24． 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝2,由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2,知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2, ∴AB 的方程为y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0,故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1,消x 可得y 2－2py －2p ＝0,∴y 1＋y 2＝2p ,y 1y 2＝－2p ,∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8,解得p ＝2或p ＝－4(舍去),∴p ＝2,②由①可得y 2＝ 4x ,设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0, ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x , 当x ＝－1时,∴y H ＝－4y 0, 代入抛物线方程y 2＝4x ,可得x N ＝4y 20, ∴N ⎝⎛⎭⎫4y 20，－4y 0, ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4, 直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1), 故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要将两方程联立,消元,用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上),可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点,且交抛物线于A ,B 两点,交其准线于C 点,已知|AF |＝4,CB →＝3BF →,则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2． ①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|,求直线l 的方程．[解析] (1)过A ,B 分别作准线的垂线交准线于E ,D 两点,设|BF |＝a ,根据抛物线的性质可知,|BD |＝a ,|AE |＝4,根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |, 即a 4＝3a 3a ＋a ＋4,解得a ＝2, 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |,即a p ＝3a 4a, 解得p ＝43a ＝83,故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2,即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2,解得p ＝2,所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0),设直线l ：y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ,整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,所以x 1＋x 2＝2＋4k2, ① x 1x 2＝1,②又由|AB →|＝3|BP →|,得AB →＝3BP →,可得x 1＝4x 2,③ 由②③,可得x 1＝2,x 2＝12, 代入①,可得2＋4k 2＝52,解得k ＝±22, 所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p ＝( D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ,节选)已知曲线C ：y ＝x 22,D 为直线y ＝－12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2,双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0),两点连线的方程为y ＝－p 4(x －2),联立⎩⎨⎧ y ＝－p 4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ,易知在M 点处切线的斜率存在,则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x＝m ＝m p． 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0,其与切线平行,所以m p ＝33,即m ＝33p ,代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0,得p ＝433或p ＝0(舍去)． (2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12,A (x 1,y 1),则x 21＝2y 1,由于y ′＝x , ∴切线DA 的斜率为x 1,故y 1＋12x 1－t＝x 1, 整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0,即y －12＝tx ． ∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题,使问题变得巧妙而简单,若用判别式解决抛物线的切线问题,计算量大,易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件,过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),过点M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0作C 的切线,则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ,过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ,PB ,切点为A ,B ,若直线AB 恒过定点,则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0,－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ,则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0,即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1,∴k ＝±1．(2)设A ,B 的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),∵y ＝x 28,y ′＝x4,∴P A ,PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1),y －y 2＝x 24(x －x 2),由y 1＝x 218,y 2＝x 228,可得y ＝x 14x －y 1,y ＝x 24x －y 2,∵切线P A ,PB 都过点P (b,4),∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2,故可知过A ,B 两点的直线方程为4＝b4x －y ,当x ＝0时,y ＝－4,∴直线AB 恒过定点(0,－4)．故选C ．。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线课件理
基础知识过关
1.抛物线的定义
平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物
线．点 F 叫做抛物线的__□_0_1_焦__点__，直线 l 叫做抛物线的__□0_2__准_线__．
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．必记结论 (1)抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0 ＋p，也称为抛物线的焦半径． 2
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
1．已知双曲线 C1：xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x2
＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为 ()
A．x2＝8 33y C．x2＝8y
B．x2＝163 3y D．x2＝16y
解析
(3)若过抛物线 y2＝8x 的焦点作倾斜角为 45°的直线，则被抛物线截得的 弦长为( )
A．8 B．16 C．32 D．64的焦点为(2,0)，得直线的方程为 y＝x－2，代入 y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即 x2－12x＋4＝0，所以 x1＋x2＝12，弦长为 x1＋x2 ＋p＝12＋4＝16.故选 B.
1．过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 作直线 l，交抛物线于 A，B 两点，
且点 A 在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线 l 的斜率为( )
3 A. 3
3 B. 2
C. 3
D．3
答案 C
答案
解析 设抛物线的准线交 x 轴于 F′，分别过 A，B 作准线的 垂线，垂足分别为 A′，B′，直线 l 交准线于 C，如图所示： 则 |AA′|＝ |AF|， |BB′|＝ |BF|， |AF|＝ 3|BF|， |AN|＝ 2|BF|， |AB| ＝4|BF|，cos∠NAB＝12，∠NAB＝60°，则直线 l 的斜率为 3.
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线学案
第7讲抛物线板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．考点2 抛物线的标准方程与几何性质[必会结论]抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p .[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(5)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．[2018·江西八校联考]已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点到准线的距离为2，则a ＝( )A ．4B ．2 C.14 D.12答案 C解析 化为标准方程x 2＝1a y ，据题意1a ＝2×2，∴a ＝14.3．[课本改编]设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12 答案 B解析 抛物线准线方程x ＝－2，∴点P 到准线的距离为6，∴P 到焦点的距离也为6，选B.4．[课本改编]已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 由已知知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.5．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12 C.32 D.52答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，∴x 1＋x 2＝3，∴点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.故选C.6．[2018·唐山模拟]若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________．答案 54解析 由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝14a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为y A ＋1＝14＋1＝54.板块二 典例探究·考向突破 考向抛物线的方程及几何性质例1 (1)[2016·全国卷Ⅱ]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴，可得x P ＝1，代入抛物线方程，得y P ＝2(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝kx(k >0)，得k ＝2.(2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.①求该抛物线的方程；②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 ①由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .②由①得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.触类旁通求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，要注意根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【变式训练1】 (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得：x 2－3px ＋p 24＝0，可得x 1＋x 2＝3p .根据中点坐标公式，有3p2＝3，p ＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1. (2)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.答案163解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1，F (1,0)， 又A 到抛物线准线的距离为4， ∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3， ∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13，∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.考向抛物线定义及应用命题角度1 到焦点与到定点距离之和最小问题 例2 [2018·赣州模拟]若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．(1，2)D ．(2,2)答案 D解析 过M 点作准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．命题角度2 到点与准线的距离之和最小问题 例3 [2018·邢台模拟]已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.命题角度3 到定直线的距离最小问题例4 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.命题角度4 焦点弦中距离之和最小问题例5 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74 答案 C解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考向 抛物线在实际生活中的应用例6 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图所示，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4.5 m ，此车能否通过隧道？说明理由．解 建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A ，B ，则A (－3，－3)，B (3，－3)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)，所以p ＝32.所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0)． 因为车与箱共高4.5 m ，所以集装箱上表面距抛物线隧道拱顶0.5 m. 设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)，则x 20＝32，所以|x 0|＝32＝62，所以2|x 0|＝6<3. 此车不能通过隧道． 触类旁通与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低等问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建立直角坐标系后坐标的正负及其实际意义．考向 直线与抛物线的综合问题例7 [2017·全国卷Ⅰ]设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7. 触类旁通求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．【变式训练2】[2016·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．解 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0.因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程y 2＋2py －2pb ＝0的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p . 由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0， 所以p <43.因此，p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.核心规律认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．满分策略1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题，要多从抛物线的定义入手，这样可以简化问题．3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列 9——化归转化法解决抛物中的比值问题(1)[2018·温州十校联考]已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.18 B.14C ．2D ．4 解题视点 由四点共线得出斜率相等，进而得出M 点的坐标．解析 设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k FA ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝(5－1)p 2(5＋1)，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×(5－1)p 2(5＋1)，解得p ＝2.故选C.答案 C(2)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B ，若S △OAF ＝4S △OBF ，则直线AB 的斜率为( )A ．±35B ．±45C ．±34D ．±43解题视点 将已知中的比值转化为相关点的坐标比值．解析 根据题意设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由S △OAF ＝4S △OBF ，得|AF |＝4|BF |，AF →＝4FB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝4y 2，即y 1y 2＝－4.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消元得ky 2－2py －kp 2＝0，故y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，∴－4k 2＝－94，解得k ＝±43，即直线AB 的斜率为±43.故选D. 答案 D答题启示 圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法进而转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解.跟踪训练过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且斜率为22的直线交抛物线于A ，B 两点(x A >x B )，则|AF ||BF |＝( )A.32B.34 C ．3 D ．2 答案 D解析 设直线方程为y ＝22(x －1)与y 2＝4x 联立得：2x 2－5x ＋2＝0，∴(2x －1)(x －2)＝0，∴x 1＝12，x 2＝2．∵x A >x B ，∴x A ＝2，x B ＝12.∴|AF ||BF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A ＋p 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B ＋p 2＝2＋112＋1＝2.故选D.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p2－2＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 A解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.故选A.3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2， 5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.4．[2018·运城模拟]已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . 5．已知直线ax ＋y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，点F 在直线ax ＋y ＋1＝0上，∴a ＋1＝0，即a ＝－1，∴直线方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.设直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.6．[2018·郑州模拟]已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，若|AF |＋|BF |＝5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 94解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝5，即x 1＋14＋x 2＋14＝5，解得x 1＋x 2＝92，所以线段AB 的中点到y 轴的距离x 1＋x 22＝94.7．[2017·河北六校模拟]抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上． 又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2.又由题意可知x M ＝p 4，∴p4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .8．[2017·天津高考]设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．答案(x＋1)2＋(y－3)2＝1解析由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝3，所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.9.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点D.(1)若点O到直线l的距离为32，求直线l的方程；(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．解(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以|－k |1＋k2＝32，解得k ＝± 3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)． (2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得，x ＝2x 0yy 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线C 相切．10．[2018·湖南模拟]已知过A (0,2)的动圆恒与x 轴相切，设切点为B ，AC 是该圆的直径．(1)求C 点轨迹E 的方程；(2)当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证：△PQC 恒为直角三角形．解 (1)设C (x ，y )，A (0,2)，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋22，又因为圆与x 轴切于B 点，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，圆的半径为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋22.根据AC 是圆的直径得，|AC |＝|y ＋2|， 即x 2＋(y －2)2＝|y ＋2|，两边平方整理得x 2＝8y ，所以C 点的轨迹E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：设AC 所在直线的方程为y ＝kx ＋2， 与曲线E 联立得x 2－8kx －16＝0， 设C (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝－16. 曲线E ：x 2＝8y 在点P (x 2，y 2)处切线的斜率为k 1＝x 4| x ＝x 2＝x 24，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，直线BC 的斜率为k 2＝y 1x 1－x 12＝x 218x 12＝x 14， 所以k 1·k 2 ＝x 24×x 14＝x 1x 216＝－1616＝－1，所以PQ ⊥BC ，即△PQC 为直角三角形．[B 级 知能提升]1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.2．[2018·安徽模拟]过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 答案 C解析 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.3．[2017·山东高考]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 4．设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λPA →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解 (1)知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 坐标为(x p ，y p )， 切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理l 2：y ＝－14x －1，联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝－2，y p ＝－12，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1，由PM →＝λPA →＋μPB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝⎛⎭⎪⎫6，－32，即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32(λ－μ)，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝(y 0＋2)29，μ＝(y 0－1)29，则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.5．[2018·合肥模拟]已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2.F 1F 2→·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴C 2的方程为x 2＝4y .(2)设过点O 的直线为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y得N (4k,4k 2)(k <0)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2－4k ，点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k－2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k＋1. 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2时，S △PMN 有最小值8，此时k ＝－1.即当过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_7抛物线课件理新人教A版
2
，D
－p2，
5
，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得
16 p2
＋8＝
p42＋5，解得p＝4，故选B.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点 D，E(图略)． ∵|PA|＝12|AB|， ∴33yx1＝1＋y22，＝x2＋2， 又yy2122＝ ＝44xx12， ， 解得x1＝23， 则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53.
解得xy00＝ ＝32， 或xy00＝ ＝1－1，6， 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. [答案] (1)A
名师点拨 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似， 一般要用到根与系数的关系． 2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物 线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦 点，则必须用一般弦长公式． 3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采 用“设而不求”“整体代入”等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
跟踪训练
(1)双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为
2 ，双曲线C的渐近线
与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物
线的方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝4 3x
答案：C
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一
2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_7抛物线课件理新人教版
F0，－p2
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
准线 方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
x≥0，y
范围
x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
∈R
开口 方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
|PF|＝ x0＋p2
答案 C
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率
为23的直线与
C
交于
M，N
→→ 两点，则FM·FN＝(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为 y＝23(x＋2)，与
抛物线方程联立y＝32x＋2， 消元整理得：y2－6y＋8＝0，解得 M(1,2)， y2＝4x，
→ 根据根与系数的关系，得 x1＋x2＝5，x1x2＝4。易知 F(1,0)，所以FM＝(x1
→
→→
－1，y1)，FN＝(x2－1，y2)，所以FM·FN＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1
＋x2)＋1＋4 x1x2＝4－5＋1＋8＝8。故选 D。
4．(2017·全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N。若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________。
|PF|＝ －x0＋p2
|PF|＝ y0＋p2
|PF|＝ －y0＋p2
注：抛物线上 P 点坐标为(x0，y0)。
2020高考数学一轮复习第八章解析几何8.7抛物线课件
2．[2019· 河南九校联考]若抛物线 y2＝4x 的准线为 l，P 是抛物 线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与 P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的 距离之和的最小值是( ) 13 14 A ．2 B. 5 C. 5 D．3
解析：由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，由抛物线 y2＝4x 及直线方程 3x＋4y＋7＝0 可得直线与 抛物线相离．∴点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值为点 F(1,0)到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离，即 |3＋7| 2 2＝2.故选 A. 3 ＋4 答案：A
二、必明 2 个易误点 1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件， 当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． 2． 抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p>0， 才能证明其几何 意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义．
【小题热身】 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹 一定是抛物线．( × ) (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且 a a ， 0 其焦点坐标是 4 ，准线方程是 x＝－4.( × )
悟· 技法 1.求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p， 所以只需一个条件确定 p 值即可. (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需 先定位，再定量． 2.确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是 将抛物线方程化为标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节抛物线课件新人教版
知识点一 抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离 相等 ； (3)定点 不在 定直线上．
• 温馨提醒 • 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定
直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有( C )
解析：设圆M与y轴相切于点N，直线x＝
p 2
与圆M交于A，B两点，如图所
示，设M(x0，y0)，则|MN|＝|MA|＝|MB|＝x0，|AB|＝
2
p，所以
22p
2＋
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－p2
2＝x
2 0
，解得x0＝
3 4
p，由抛物线的定义知，|MF|＝x0＋
p 2
，因为|MF|
＝52，所以52＝34p＋21p，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
图形
顶点 对称轴
焦点 F
离心率
p2，0
准线方 程
x＝－p2
O(0,0)
x轴
y轴
F －p2，0
F 0，p2
e＝ 1
F 0，－p2
x＝2p
y＝－p2
y＝2p
标准 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离
A.41，0 C．(1,0)
B．21，0 D．(2,0)
解析：法一：∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称．可得 出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2 p)，(2，－2 p)．不妨 设D(2，2 p)，E(2，－2 p)，则O→D＝(2,2 p)，O→E＝(2，－2 p)．又∵ OD⊥OE，∴O→D·O→E＝4－4p＝0，解得p＝1，∴C的焦点坐标为12，0. 法二：∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称．∵OD⊥ OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D(2，2)，将点D 的坐标代入C：y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，故C的焦点坐标为12，0.
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲作业课件理
解析
2.如图，已知直线与抛物线 x2＝2py 交于 A，B 两点，且 OA⊥OB，OD ⊥AB 交 AB 于点 D，点 D 的坐标为(2,4)，则 p 的值为( )
A．2
B．4
3 C.2
5 D.2
答案 D
答案
解析 ∵OD⊥AB，∴kOD·kAB＝－1.又 kOD＝42＝2，∴kAB＝－12，∴直线 AB 的方程为 y－4＝－12(x－2)，即 y＝－12x＋5，由xy2＝＝－2p12yx，＋5， 消去 y 可 得 x2＋px－10p＝0，∴Δ＝p2＋40p>0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－ p，x1x2＝－10p，则 x1x2＋y1y2＝0，又 x1x2＋y1y2＝x1x2＋－21x1＋5－21x2＋5＝ 54x1x2－52(x1＋x2)＋25＝54×(－10p)－52×(－p)＋25＝0，∴p＝52.
解析
10．过抛物线 C：x2＝2y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点， 若抛物线 C 在点 B 处的切线的斜率为 1，则|AF|＝________.
答案 1
答案
解析 把抛物线 C 的方程 x2＝2y 改写为 y＝x22求导得 y′＝x，因为抛物 线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，即 y′＝xB＝1，所以点 B 的坐标为1，12，抛 物线的焦点 F 的坐标为0，12，所以直线 l 的方程为 y＝12，所以 A－1，21，|AF| ＝1.
解析
4．设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，过抛物
线 C 上一点 P 作准线 l 的垂线，垂足为 Q.若△QAF 的面积为 2，则点 P 的
坐标为( )
A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)
抛物线(高三一轮复习)
可知当A，P，H三点共线时周长最小，为6＋2 2，故选C.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 抛物线的标准方程
例2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其
准线于点C，准线与对称轴交于点M，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程
A．y2＝4x或y2＝16x B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 23 —
解析 (1)由抛物线定义，知|BF|等于B到准线的距离，因为|BC|＝2|BF|，所以∠
BCM＝30°，又|AF|＝3，从而A
p2＋32，3
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
思维点睛► 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法； (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
— 26 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 27 —
针对训练
1．(2023·张家界质检)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点
2
3
，A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝
2px，得247＝p2＋3p，解得p＝32. 故抛物线方程为y2＝3x.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
(2)设P为(x0，y0)，则M→P ＝(x0，y0－2)， 又Fp2，0，∴M→F ＝p2，－2. ∵MF⊥PM，∴M→F ·M→P ＝0，
第八章 平面解析几何
第7讲 抛物线
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课标解读
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第7讲抛物线[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．抛物线的□2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78 D ．0答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y＋116＝1，∴y ＝1516. (2)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝ 2.∴p ＝22，∴抛物线C 的方程是y 2＝±42x .故选D.(3)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.(4)抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－132解析 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.题型 一 抛物线的定义及应用(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.条件探究1 将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得点A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322. 条件探究 2 将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值．解如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时点M的坐标为(1,2)．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为( )A.33B.32C. 3 D．3答案 C解析设抛物线的准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，直线l交准线于C，如图所示：则|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，|AF |＝3|BF |，|AN |＝2|BF |，|AB |＝4|BF |，cos ∠NAB ＝12，∠NAB ＝60°，则直线l 的斜率为 3. 2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 如图所示，A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知|PP ′|＝|PF |，∴|AP |＋|PP ′|＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝14＋4＝172.故选A. 题型 二 抛物线的标准方程和几何性质1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y答案 D解析 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_______．答案 x 2＝4y解析 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y .1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析 双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，所以b a ＝3，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x 即 y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋32＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 2．(2018·枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169 答案 B解析 令y ＝1，代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k ＝1－014－1＝－43.故选B. 题型 三 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题1．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 由已知，直线l ：x ＝1，又因为l 被抛物线截得的线段长为4，抛物线的图象关于x 轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a ×1，解得a ＝1.故抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2018·长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)及点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解 (1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0，设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知，直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零，所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 24，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，λt 24， 所以直线ON 的方程为y ＝λt4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x ，x 2＝4y且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λt ，y ＝λ2t 24，即点H ⎝⎛⎭⎪⎫λt ，λ2t 24，所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |. 角度2 与抛物线弦中点有关的问题3．(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移2.1．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(4,4)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．答案 258 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43. 所以直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即y ＝43(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝43x －1消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 所以线段AB 的中点的横坐标为178. 所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258. 2．(2018·衡水模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t . (1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．解 (1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a 4＝2t ，则a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12在抛物线上，则at ＝14.所以a ×a 4＝14，则a 2＝1， 由a >0，则a ＝1，故抛物线的方程为y 2＝x .(2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1.所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)．即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3，所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1 ＝y 1y 2－y 1＋y 2＋1m 2y 1y 2＋m m ＋2y 1＋y 2＋m ＋22 ＝－m －3－m ＋1m 2－m －3＋m m ＋2m ＋m ＋22＝－12， 为定值．。