28 高中数学等差等比数列证明专题训练

专题28高中数学等差等比数列证明专题训练

【方法总结】

1．等差数列的四个判定方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．

(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．

2．等比数列的四个判定方法

(1)定义法：a n ＋1a n

＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．

(3)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．

(4)前n 项和公式法：S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．

提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．

(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

【高考真题】

1．(2022·全国甲理文) 记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n

＋n ＝2a n ＋1． (1)证明：{a n }是等差数列；

(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．

【题型突破】

1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26．

(1)求a n 及S n ；

(2)令b n ＝S n n

(n ∈N *)，求证：数列{b n }为等差数列． 2．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1

(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．

3．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ．

(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是等差数列；

(2)求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前n 项和S n ． 4．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *．

(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．

5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12

． (1)求证：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3n ＋1＋3(n ∈N *)．

(1)设b n ＝a n 3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝a n n －a n 3n ，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，求T n ． 7．(2021·全国乙)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n

＝2． (1)证明：数列{b n }是等差数列；

(2)求{a n }的通项公式．

8．(2014·全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．

(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；

(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．

9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12

S n －1＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n )λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

10．若数列{b n }对于任意的n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．如数

列c n ，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

4n －1，n 为奇数，4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n ．

(1)求证：{a n }是准等差数列；

(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20．

11．已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1

(n ∈N *)，且a 1＝23． (1)求证：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前n 项和T n ．