椭圆的性质与椭圆的第二定义(二)教案
椭圆第二定义教学活动设计
椭圆第二定义教学设计一、背景分析：本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、准线方程，掌握椭圆定义的应用。
教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳总结的能力以及等价转化思想为重点的教学思想.二、教材的地位和作用：圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是高考的热点问题之一；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。
而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用.三、学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.四、教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标：1、使学生了解椭圆第二定义给出的背景；2、了解离心率的几何意义；3、使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；4、使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；5、使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.五、教学重点：椭圆第二定义、准线方程； 六、教学难点：椭圆的第二定义的简单运用；七、教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 八、教学过程（一）、引入课题(上一节的例题得出的结果)例、椭圆的方程为1162522=+y x ，M 1为椭圆上的点,若点M 1为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？解：22)34(||y MF +-=且116254202=+y 代入消去20y 得51325169||==MF 【推广】根据上面这个问题的解题思路你能否将椭圆12222=+by a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)(||222222b yax y c x MF 代入消去2y 得 2222222)(2||a x a cx ab bc cx x MF -=-++-=||||||22ca x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率a c例4：已知动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线ca x 2=的距离的比等于常数)(c a ac>求动点点的轨迹。
椭圆集体备课教案(单元)
椭圆集体备课教案(单元)第一章：椭圆的基本概念一、教学目标：1. 让学生了解椭圆的定义和性质。
2. 让学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：椭圆的长轴、短轴和焦距的关系；椭圆的离心率等。
3. 椭圆的标准方程：通过椭圆的半长轴、半短轴和焦距求解椭圆的标准方程。
三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义、性质和标准方程。
2. 难点：椭圆标准方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解椭圆的基本概念。
2. 利用图形演示，让学生直观地了解椭圆的性质。
3. 案例分析，让学生学会运用椭圆知识解决实际问题。
五、教学准备：1. 准备相关的图形和实例，用于讲解和演示。
2. 准备练习题，巩固学生对椭圆知识的理解。
六、课后作业：1. 复习椭圆的基本概念和性质。
2. 练习求解椭圆的标准方程。
3. 思考如何运用椭圆知识解决实际问题。
第二章：椭圆的图形性质一、教学目标：1. 让学生掌握椭圆的图形性质，如对称性、单调性等。
2. 培养学生运用椭圆性质解决几何问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的对称性：轴对称、中心对称。
2. 椭圆的单调性：沿长轴和短轴的单调性。
3. 椭圆的其他性质：焦点三角形、椭圆弧长等。
三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的图形性质。
2. 难点：如何运用椭圆性质解决几何问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生了解椭圆的图形性质。
2. 利用图形演示，让学生直观地了解椭圆的性质。
3. 案例分析，让学生学会运用椭圆性质解决实际问题。
五、教学准备：1. 准备相关的图形和实例，用于讲解和演示。
2. 准备练习题，巩固学生对椭圆性质的理解。
六、课后作业：1. 复习椭圆的图形性质。
2. 练习运用椭圆性质解决几何问题。
3. 思考如何运用椭圆性质解决实际问题。
椭圆的性质教案范文
椭圆的性质教案范文教案：椭圆的性质一、教学目标1.知识目标：了解椭圆的定义和一些基本性质。
2.能力目标：掌握椭圆的几何性质，能够应用椭圆的性质解决实际问题。
3.情感目标：培养学生对几何学的兴趣，激发学生思考和动手解决问题的能力。
二、教学重点与难点1.教学重点：椭圆的定义和性质。
2.教学难点：运用椭圆的性质解决实际问题。
三、教学过程Step 1 引入新知1.导入问题：椭圆是什么图形？可以通过哪些方法定义椭圆？2.对学生进行讨论，引导学生提出自己对椭圆的认识和定义。
Step 2 椭圆的定义1.呈现椭圆的定义和示意图。
2.解读定义，解释椭圆的特点和属性。
Step 3 椭圆的性质1.引导学生观察和分析椭圆的性质。
2.探讨椭圆的焦点、长轴、短轴、顶点等概念，并通过图像进行解释。
3.分析椭圆的离心率，以及离心率和长轴、短轴长度的关系。
Step 4 椭圆的方程1.学习椭圆的标准方程和一般方程。
2.分析解释椭圆方程中各个参数的含义。
Step 5 椭圆的运动学应用1.举例说明椭圆在运动学中的应用，如行星的轨道、天体运动等。
2.引导学生思考并解决一些实际问题。
Step 6 实例练习1.教师出示一些椭圆的实际问题，让学生运用椭圆的性质解决。
2.学生个体或小组进行解答，对答案进行讨论和互评。
四、教学评价方法1.展示实例练习的解题过程和答案，评价学生运用椭圆的性质和解决问题的能力。
2.布置类似的习题作为作业，检查学生对椭圆性质的掌握情况。
五、板书设计1.定义：由平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
2.椭圆的焦点：F1和F23.椭圆的长轴：通过F1和F2，并且垂直于长轴的直线称为短轴。
4.椭圆的顶点：位于长轴和椭圆轨迹交点上的两个点。
5.离心率：离心率e=c/a，其中c是焦点到原点的距离。
6.椭圆的标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=17. 椭圆的一般方程：Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0。
椭圆第二定义教案
椭圆第二定义教案教学目标1. 理解椭圆的第二定义以及它与第一定义的等价性.2. 理解椭圆第二定义中蕴含的转化思想，培养学生思维的灵活性，从而加深对椭圆性质的理解.重点难点分析教学重点：（1）用坐标法研究椭圆的第二定义. （2）理解准线与相应焦点的对应关系. （3）灵活运用椭圆第二定义解决有关问题. 教学难点：（1）椭圆两种定义的等价性. （2）椭圆第二定义的灵活运用.课前准备1. 椭圆几何性质（小黑板）.2. 练习（1）、（2）（小黑板）.3. 教法准备：准备采用探索法，引导学生运用所学知识自己探索发现椭圆的第二定义.教学设计【课前预习】课前给五分钟学生看课本第111页例4的求解过程，然后对比8.1节用椭圆定义推导椭圆标准方程时的化简过程有何异同. 【复习旧知识】（1）求点的轨迹方程的一般步骤.（2）椭圆定义？它的几何性质有哪些？ 【提出问题，引入新课】例4 点)(,M x y 与定点)(,0F c 的距离和它到定直线2:a l c 的距离的比是常数()0ca b a >>，求点M 的轨迹.分析：这是根据给定条件求点的轨迹问题，同学们只要按照求点的轨迹方程的一般步骤进行求解即可，让学生动手独立完成.解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹满足MFc da =即 ()222x c yc aa x c-+=-将两边平方得()()22222222ac x a y a a c -+=-所求的点的轨迹方程为：()()22222222ac x a y a a c-+=-. 【探索问题】1. 引导学生分析上述解法是否完成了此题？所求的仅是点M 的轨迹方程，要进一步描述图形，还得进一步化简. 2. 引导学生回忆课前的预习是否曾见过此方程？当时是如何处理的？曾在学习椭圆的标准方程时，得到了这个方程.见8.1节，若令222b ac =-，可把方程化简为 22221x y a b +=.即得到了椭圆的标准方程.3. 这是否是一种巧合呢？引导学生对照8.1节及本例题，分析两种方法得到的椭圆有何异同？把8.1节中得到的等式()222a cx ax c y -=-+变形可得到：()222a c x a x c y c ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即()222x c yca ax c-+=-也即()222x c yc aa x c-+=-.故两种方法得到的椭圆方程可以相互转化，即是等价的.这就是今天我们所要学习的椭圆的新的定义. 4.引入椭圆新定义当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a =<<时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆准线，常数e 是离心率.5. 引导学生分析新定义（常叫椭圆第二定义，也是圆锥曲线的统一定义） （1）椭圆的两种定义是等价的，只是研究角度不同.（2）椭圆第二定义中新增了准线概念，椭圆的性质又多了一个内容.(3) 由椭圆的对称性，椭圆的准线有两条，而且与焦点是对应的.对于椭圆22221x y a b +=，相对于左焦点()1,0F c -的左准线为2a x c =-，相对于右焦点()2,0F c =的右准线为2a x c =. (4) 定义中的比是有顺序的，先点后线，且是同侧对应的焦点和准线.【课堂答疑】给三分钟时间学生，针对本节课有哪个知识点有疑惑进行提问. 【课堂练习】1. 教科书练习第6题、习题8.2第7题.2.（1）已知椭圆上一点P 到两焦点的距离分别为10和14，且准线方程为18y =±.则椭圆标准方程为多少？（2） 已知P 是椭圆221100144x y +=上的点，P 到右准线的距离为8.5，则P 到左焦点的距离为多少？【课堂小结】1. 本节课学习了椭圆的第二定义，它与第一定义是等价的.2. 准线与焦点是一一对应关系，不可混淆.3. 椭圆的两种定义可以相互转化.4. 椭圆的几何性质新增了准线方程. 【作业布置】习题8.2第8、9题。
高中数学 椭圆第二定义教案 新人教A版选修-
椭圆几何性质2（椭圆的第二定义）【教学目标】椭圆第二定义、准线方程；使学生了解椭圆第二定义给出的背景；了解离心率的几何意义；使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；【重点】椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；【难点】椭圆的第二定义的运用；【教学过程】1、复习回顾例(1)：椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为(2):短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为2、引入课题例2： 椭圆的方程为221259x y +=，M1，M2为椭圆上的点求点M1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离.若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？【推广】你能否将椭圆12222=+b y a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x的函数吗？问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？椭圆的第二定义:3、典型例题例3:求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；变式1：求椭圆81922=+y x 方程的准线方程； 例4:椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，求M 到左焦点的距离为 .变式2：求M 到右焦点的距离为 .4、椭圆第二定义的应用例5：点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；例6：设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）A.相切B.相离C.相交D.相交或相切5：巩固练习1．已知 是椭圆上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____．2．若椭圆的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．5、课堂小结6、课后反思 中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
选修2-1教案22-2椭圆的简单几何性质【2】
选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.2.2椭圆的简单几何性质 第二课时：椭圆的第二定义教学目标：1.了解椭圆的第二定义，并会用第二定义解决相关问题，理解准线的概念；2.能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程，求椭圆的标准方程.教学重、难点：用坐标法研究椭圆的另一种定义；理解焦点与相应准线的相互关系及其相互转化关系.教学过程：（一）复习： 椭圆：2222 1 (0)x y a b a b +=>> 顶点坐标：(,0)a ±，(0,)b ±对称性：对称轴为坐标轴，对称中心是原点，长轴长2a ，短轴长2b焦点坐标：(,0)c ±，22c a b =-离心率：c e a=（01e <<） （二）新课讲解：1．椭圆的第二定义：例1．点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它到定直线l ：2a x c =的距离比是常数c a（0a c >>），求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离， 由题意，所求点M 属于集合||{|}MF c P M d a=， 由此得22()||x c y c a x c-+=-， 将上式两边平方，化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-设222a c b -=，上式可化为2222 1 (0)x y a b a b+=>>，为椭圆的标准方程． 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为2,2a b 的椭圆，这个定点是椭圆的焦点，c e a=为离心率，定直线为这个焦点对应的准线． 说明：21a a x a a a c c==⋅>⋅=． 2．椭圆的准线方程：（1）22221x y a b +=，对应焦点(,0)F c 的准线方程：2a x c=，右准线； 对应焦点(,0)F c -的准线方程：2a x c=-，左准线． （2）22221y x a b+=，对应焦点(0,)F c 的准线方程：2a y c =； 对应焦点(0,)F c -的准线方程：2a y c=-． x y O M F l l '【练习】方程223(1)(1)|22|x y x y -+-=++所表示的曲线的轨迹是____________. 解：22(1)(1)313|22|3x y x y -+-=<++，即点(,)P x y 到定点(1,1)F 的距离与到定直线 :220l x y ++=的距离之比为313e =<，所以点P 的轨迹是椭圆。
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解椭圆的定义及其基本性质；（2）掌握椭圆的标准方程及参数含义；（3）学会运用椭圆的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、思考、讨论，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（2）利用图形计算器或软件，进行椭圆的动态演示，提高学生的直观认识。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对椭圆几何性质的兴趣，培养其对数学美的感受；（2）培养学生团结协作、勇于探索的精神。
二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的基本性质：（1）椭圆的焦点在x轴上，设为F1(-c,0)、F2(c,0)，其中c>0；（2）椭圆的半长轴为a，半短轴为b，满足a>b>0；（3）椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1；（4）椭圆的离心率e=c/a，其中0<e<1；（5）椭圆的焦距为2c，长轴为2a，短轴为2b。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）椭圆的定义及其基本性质；（2）椭圆的标准方程及其参数含义。
2. 教学难点：（1）椭圆的性质在实际问题中的应用；（2）椭圆离心率的求解。
四、教学过程1. 导入：（1）通过复习圆的性质，引导学生思考椭圆的定义；（2）利用图形计算器或软件，展示椭圆的动态图像，引导学生观察椭圆的特点。
2. 新课讲解：（1）讲解椭圆的定义及其基本性质；（2）推导椭圆的标准方程及其参数含义；（3）通过实例，解释椭圆性质在实际问题中的应用。
3. 课堂练习：（1）利用椭圆的性质，求解椭圆上的点满足的条件；（2）根据椭圆的参数，判断椭圆的位置和形状。
五、课后作业1. 复习椭圆的定义及其基本性质；2. 练习椭圆的标准方程及其参数含义；3. 探索椭圆性质在实际问题中的应用。
六、教学活动与方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究椭圆的性质；2. 利用图形计算器或软件，进行椭圆的动态演示，增强学生的直观感受；3. 组织小组讨论，培养学生的团队合作精神。
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引导学生观察生活中的椭圆形状实例，如地球、柠檬等。
引导学生通过实际操作，用两个固定点（焦点）和一条连接这两个点的线段（半长轴）来定义椭圆。
强调椭圆的两个焦点在横轴上，且两个焦点的距离等于椭圆的长轴长度。
1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程。
引导学生通过实际操作，用两个焦点和两个顶点来确定椭圆的方程。
强调椭圆的标准方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴长度。
强调椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，其长度等于椭圆的半长轴的两倍。
2.2 椭圆的短轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的短轴长度。
强调椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，其长度等于椭圆的半短轴的两倍。
2.3 椭圆的焦距引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的焦距长度。
强调椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，其长度等于椭圆的长轴长度减去短轴长度。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式引导学生推导椭圆的面积公式。
强调椭圆的面积公式为\( A = \pi ab \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
3.2 椭圆的面积计算引导学生通过实际操作，计算给定椭圆的长轴和短轴长度，计算其面积。
强调椭圆的面积是椭圆内部所有点构成的区域的大小。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义引导学生通过实际操作，观察椭圆的离心率与长轴、短轴的关系。
强调椭圆的离心率是焦距与长轴之间的比值，其公式为\( e = \frac{c}{a} \)，其中\( c \) 是焦距的长度，\( a \) 是半长轴的长度。
4.2 椭圆的离心率性质引导学生通过实际操作，观察和记录不同椭圆的离心率性质。
教学设计2：2.2.2椭圆的几何性质
2.2.2椭圆的几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 教学难点:椭圆离心率的概念的理解. 教学方法：讲授法 课型：新授课 教学工具：多媒体设备 一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力. 在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.已知椭圆的标准方程为：1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x ,y )都适合不等式≤1, ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2 所以 |x |≤a ， |y |≤b 即 －a ≤x ≤a , －b ≤y ≤b)0(12222>>=+b a by a x 22a x 22by这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里.2.对称性复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；3.顶点研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.问题3 怎样求曲线与x轴、y轴的交点?在椭圆的标准方程里，令x=0,得y=±b.这说明了B1(0,－b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.令y=0,得x=±a.这说明了A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.如图线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长|A 1A 2|=2a ,|B 1B 2|=2b (a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即 |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|= a4.离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝，叫做椭圆的离心率. 因为a >c >0,所以0<e <1.问题4 观察图形,说明当离心率e 变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响 得出结论：(1)e 越接近1时，则c 越接近a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；(2)e 越接近0时，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆. 当且仅当a ＝b 时，c ＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆. 当e ＝1时，图形变成了一条线段.三、例题解析例1 求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形．解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2，故半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；离心率e ＝c a ＝53，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为acy ＝±239－x 2(－3≤x ≤3)．由y ＝239－x 2(0≤x ≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y )，列表如下：称性画出整个椭圆，如图所示．例2 我国自行研制的“中星20号”通信卫星，于2003你那11月15日升空精确地进入确定轨道.这可卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面距离为212km ，远地点与地球表面的距离为41981km.已知地球半径约为6371km ，求这可卫星运行轨道的近似方程（长、短半轴长精确到0.1km ）.解：以卫星运行的椭圆形轨道的中心O 为原点，如图建立平面直角坐标系，使地球中心F 在x 轴上.点F (c ,0)是椭圆的一个焦点，椭圆与x 轴的交点AB 分别是近地点和远地点. 设所求的卫星运行轨道的方程为由已知，得a -c=|F A |=6371+212=6583， a +c=|FB |==6371+41891=48352. 解得a =27467.5，因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为 22221(0)x y a b a b +=>>17841.0b ===≈22221.27467.517841.0x y +=四、小结(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;(2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.五、布置作业。
椭圆的简单几何性质教案
一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。
2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。
2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。
（2）椭圆的短轴长度为2b。
（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。
（4）椭圆的面积S=πab。
3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。
引导学生运用椭圆的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。
三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。
2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。
3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。
四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。
五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。
椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？ 【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离 【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。
椭圆集体备课教案(单元)
椭圆集体备课教案(单元)第一章：椭圆的定义与性质1.1 椭圆的定义介绍椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过图形和实例来解释椭圆的定义，引导学生理解椭圆的概念。
1.2 椭圆的性质介绍椭圆的基本性质，如对称性、焦点和准线的概念。
通过图形和实例来展示椭圆的性质，并引导学生进行观察和理解。
第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程介绍椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。
引导学生理解椭圆标准方程的推导过程，并通过图形进行解释。
2.2 椭圆的标准方程的应用介绍如何通过椭圆的标准方程来求解椭圆的焦点、准线和其他相关几何量。
提供一些实际问题，让学生运用椭圆的标准方程进行解答。
第三章：椭圆的参数方程3.1 椭圆的参数方程介绍椭圆的参数方程：\(x = a \cos \theta\)，\(y = b \sin \theta\)，其中\(\theta\)是参数。
引导学生理解椭圆参数方程的意义，并通过图形进行解释。
3.2 椭圆的参数方程的应用介绍如何通过椭圆的参数方程来绘制椭圆的图形，并研究椭圆的性质。
提供一些实际问题，让学生运用椭圆的参数方程进行解答。
第四章：椭圆的图像与变换4.1 椭圆的图像介绍椭圆的图像特点，如对称性、曲线形状等。
通过图形和实例来展示椭圆的图像特点，并引导学生进行观察和理解。
4.2 椭圆的变换介绍如何对椭圆进行平移、旋转等变换，并研究变换对椭圆图像的影响。
提供一些实际问题，让学生运用椭圆的变换进行解答。
第五章：椭圆的应用5.1 椭圆在几何中的应用介绍椭圆在几何中的各种应用，如椭圆的面积计算、椭圆的弦长和距离问题等。
提供一些实际问题，让学生运用椭圆的几何性质进行解答。
5.2 椭圆在物理中的应用介绍椭圆在物理中的各种应用，如行星运动、卫星轨道等。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与基本性质1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际例子让学生感受椭圆的形状，如地球、月球绕太阳的运动轨迹等。
引导学生思考椭圆与圆的区别和联系，明确椭圆是平面上到两个固定点距离之和为常数的点的轨迹。
1.2 椭圆的基本性质引导学生探究椭圆的长轴、短轴、焦距等基本几何参数，并了解它们之间的关系。
引导学生通过画图或利用几何软件验证椭圆的离心率与焦距的关系。
第二章：椭圆的弧长与面积2.1 椭圆的弧长引导学生利用椭圆的参数方程或积分方法计算椭圆上任意弧长的公式。
通过实际例子，让学生了解椭圆弧长公式的应用，如计算椭圆上的某个角度对应的弧长。
2.2 椭圆的面积引导学生利用椭圆的参数方程或积分方法计算椭圆的面积公式。
通过实际例子，让学生了解椭圆面积公式的应用，如计算给定长轴和短轴的椭圆的面积。
第三章：椭圆的焦点与离心率3.1 椭圆的焦点引导学生利用椭圆的定义和基本性质，确定椭圆的焦点位置和数量。
通过实际例子，让学生了解焦点与椭圆的离心率之间的关系。
3.2 椭圆的离心率引导学生利用椭圆的离心率公式，计算给定长轴和短轴的椭圆的离心率。
通过实际例子，让学生了解离心率对椭圆形状的影响，如离心率越大，椭圆越扁平。
第四章：椭圆的直角坐标方程4.1 椭圆的标准方程引导学生利用椭圆的参数方程和基本性质，推导出椭圆的标准方程。
通过实际例子，让学生了解椭圆标准方程的应用，如给定长轴和短轴，求椭圆的方程。
4.2 椭圆的参数方程引导学生利用椭圆的标准方程，推导出椭圆的参数方程。
通过实际例子，让学生了解椭圆参数方程的应用，如求椭圆上任意一点的坐标。
第五章：椭圆的简单几何性质的应用5.1 椭圆的切线与法线引导学生利用椭圆的性质和几何知识，判断给定点是否在椭圆上，并求出相应的切线和法线方程。
通过实际例子，让学生了解切线和法线在解决椭圆问题中的作用。
5.2 椭圆的焦点弦引导学生利用椭圆的性质和几何知识，求解给定两点的焦点弦方程。
与椭圆相关的高中数学知识点梳理——椭圆及其标准方程教案二
与椭圆相关的高中数学知识点梳理——椭圆及其标准方程教案二。
一、椭圆的定义椭圆是指一个平面内到两个定点（称为焦点）距离之和等于定值（称为主轴长度）的所有点的集合。
更形式化的定义是：一个椭圆是由平面上所有满足下列条件的点P组成的集合，即点P到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这里的a是椭圆的半长轴长度。
另外，b是椭圆的半短轴长度。
二、椭圆的性质1.焦点、半长轴和半短轴对于一个椭圆，其两个焦点的距离为2c，而椭圆的半长轴长度为a，因此有a=c+e，其中e称为离心率，表示椭圆中心到焦点距离与半长轴长度的比值。
另外，半短轴长度b可以表示为b²=a²-c²。
2.对称性椭圆存在中心对称性。
也就是说，椭圆上第一象限内的任意一点关于椭圆的中心都有一对称点。
3.焦点的性质对于一个椭圆，其两个焦点都在椭圆的长轴上。
并且，每个点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即2a。
三、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x/a)²+(y/b)²=1。
其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。
这个方程的中心在原点。
如果椭圆的中心不在原点上，我们需要对标准方程进行平移，变为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
其中，(h,k)是椭圆的中心坐标。
四、解题实例现在，我们来看一个具体的实例，帮助同学们更好地理解椭圆的知识点。
假设有一个椭圆，其长轴长度为10，短轴长度为6。
求其标准方程和焦点坐标。
我们可以求出椭圆的中心坐标。
由于长轴长度为10，短轴长度为6，因此有a=5，b=3。
同时，根据椭圆的定义，中心点到两个焦点的距离之和等于2a，因此c²=a²-b²=16，c=4。
由于这个椭圆的中心点是原点，因此我们可以将标准方程表示为(x/5)²+(y/3)²=1，焦点在长轴上，即x=2和x=-2。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教案：椭圆的简单几何性质一、教学目标：1.了解椭圆的定义和基本性质；2.掌握椭圆的离心率与长短轴长度的关系；3.能够判定给定的图形是否为椭圆。
二、教学内容：1.椭圆的定义；2.椭圆的焦点、离心率与长短轴之间的关系；3.如何判定给定的图形是否为椭圆。
三、教学过程：Step 1：导入新知引入椭圆的概念：椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a，且到两个点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2b的点的轨迹。
图示：绘制一个椭圆的图形，并标出其中心O、两个焦点F1、F2、长轴2a和短轴2b。
Step 2：椭圆的性质性质1：椭圆的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1+PF2=2a。
图示：绘制一个椭圆，任意选取一点P，并测量该点到两个焦点的距离PF1和PF2，证明PF1+PF2=2a。
性质2：椭圆的离心率e与椭圆的长短轴长度之比的平方等于1，即e^2=1-(b^2/a^2)。
图示：绘制一个椭圆，其中心O、两个焦点F1、F2和两个顶点A、B。
测量焦距CP和长轴2a的长度，以及短轴2b的长度，计算离心率e，并验证e^2=1-(b^2/a^2)。
Step 3：判定椭圆的图形给定一组数据，由学生判断该图形是否为椭圆。
示例：数据为横坐标x和纵坐标y的点集合。
图示：将一组数据绘制成一个坐标系，并将数据的散点连线，观察图形是否为椭圆。
Step 4：练习与巩固为学生提供一系列的练习题，巩固椭圆的性质和判定方法。
四、教学资源：1.教学PPT；2.椭圆的示意图；3.测量工具（尺子、量角器）；4.练习题集合。
五、教学评价：1.在教学过程中，引导学生积极参与讨论、思考，并及时给予帮助和指导；2.在练习环节中，及时纠正学生的错误，鼓励他们在做错的题目上找到错误原因并进行改正。
六、教学延伸：1.椭圆的方程：利用椭圆的性质，可以推导出椭圆的标准方程和一般方程；2.椭圆的焦点性质：椭圆的焦点位置与长短轴之间的关系。
椭圆的性质教案
椭圆的性质教案教案：椭圆的性质一、椭圆的定义和特点1. 定义：椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
2. 特点：- 定点F1、F2称为焦点，直线F1F2的中垂线O轴称为主轴，轴上的点O称为中心。
- 椭圆上任意一点到焦点F1、F2的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a。
- 与主轴平行的线段2b称为短轴，短轴的中点为O'。
- a和b称为椭圆的长半轴和短半轴，两者之间的关系为a>b>0。
- 离心率e定义为焦点到椭圆中心距离与短半轴之比：e=c/b，其中c为焦点到椭圆中心的距离。
- 离心率e的取值范围为0<e<1，当e=0时，为圆。
- 椭圆对称轴与椭圆的交点称为顶点，椭圆上任意一点与椭圆中心和焦点所组成的角称为偏角。
二、椭圆的方程1. 简化方程：设椭圆的中心为原点(0,0)，则椭圆的方程可以简化为x²/a² + y²/b² = 1。
2. 一般方程：设椭圆的中心为(h,k)，则椭圆的方程为[(x-h)²/a²] + [(y-k)²/b²] = 1。
三、椭圆的性质1. 焦点和半轴关系：- 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c²=a²-b²。
- 椭圆的焦半径PF1和焦半径PF2满足PF1+PF2=2a。
- 椭圆的焦点到短轴的距离为b，长轴的两个顶点到焦点的距离为a±c。
2. 对称性：- 椭圆关于x轴、y轴对称。
- 椭圆关于O轴对称，关于主轴对称。
3. 焦点与直线的关系：- 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的主轴长度。
- 椭圆上的点到椭圆的两个直径之和等于椭圆的主轴长度。
四、椭圆的应用1. 椭圆在日常生活中的应用：如天文学中的行星轨道、卫星轨道等。
2. 椭圆在工程领域的应用：如建筑设计中的弧形拱门、体育馆的顶棚等。
以上就是关于椭圆的性质的教案，通过本教案的教学，学生能够了解椭圆的定义和特点，掌握椭圆的方程和性质，以及椭圆在日常生活和工程领域中的应用。
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[教学目标]
通过教学使学生熟悉椭圆的性质，进一步熟悉椭圆的第一定义，能够利用这些性质解决一些相关问题。
[教学设计]
1．（继续完成上节课没有完成的内容。
）
·设P （x ，y ）是椭圆上的任意一点，则P 点到椭圆左焦点F 1（-c ，0）的距离与到左准线x = -c
a 2
的距离之比等于离心率e 。
反之也对。
SKETCH PROOF ：已知122
22=+b y a x ，求证e c
a x y c x =+++||)(2
22。
e c
a x y c x =+++||)(2
2
2
a c c a x y c x =+++||)(222 ||)(22a x a c y c x +=++ cx a a x c y c x 2)(22222
2++=++22222
22)(c a y a x c a -=+- 122
22=+b
y a x 。
椭圆的第二定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离之比是一个常数e （0 < e < 1）的点的轨迹称为椭圆。
这个定点叫做椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，焦点到相应准线
的距离称为焦准距（c
b 2
）。
例1 设P 是椭圆116
252
2=+y x 上的一点，若它到椭圆右焦点的距离为4，求它到椭圆左准线的距离。
（10）
例2 若椭圆14
92
2=+y x 上有一点到其左焦点的距离为2，则它到右准线的距离为（ ） A 5512 B 532 C 556 D 55
4 例3 已知F 1为椭圆122
22=+b
y a x 的焦点，过F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，求证：
|
|1||111BF AF +等于常数（22b a ）。
例4 已知椭圆122
22=+b y a x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的一点，∠F 1PF 2= α，求△F 1PF 2的面积。
（2
2αtg b ） 作业：
课本p143 5
补充1：椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点.当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___________. 5
53553<<-x 补充2：椭圆x y M 22
4924
1+=上有一点，椭圆的两个焦点为F 1、F 2，若MF 1⊥MF 2，则△MF 1F 2的面积是___________.
（24）。