三次埃尔米特插值

《计算方法》课程设计报告

学生姓名:张学阳学号：1009300132

陈洋1009300109

刘睿1009300122 学院:理学院

班级: 数学101

题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序

指导教师：宋云飞职称：讲师

朱秀丽讲师

尚宝欣讲师

2012年12月30日

目录

目录............................................................................................... I

一、摘要 (1)

二、算法设计 (1)

2.1分段线性插值 (1)

2.2分段三次埃尔米特插值 (1)

2.3功能框图 (1)

三、例题计算 (1)

四、误差及结果分析 (9)

4.1例题误差分析 (1)

4.2结点个数对插值结果的影响 (1)

五、总结及心得体会 (12)

参考文献 (13)

源程序 (14)

一、摘要

分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估

算出误差,给计算带来许多的方便。

为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。

在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。

二、算法设计

2.1 分段线性插值

分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来的逼近函数)(x f 。设已知节点

b x x x a n =<<= 10上的函数值,,,,10n f f f 记,1k k k x x h -=+,max k h h =求一折线函数)(x I h 满足：

（1）];,[)(b a C x I h ∈

（2）);,,1,0()(n k f x I k k h ==

（3）)(x I h 在每个小区间],[1+k k x x 上是线性函数. 则称)(x I h 为分段线性插值函数。

由定义可知)(x I h 在每个小区间],[1+k k x x 上可表示为

.1,,1,0,,)(11111-=≤≤--+--=

+++++n k x x x f x x x x f x x x x x I k k k k

k k

k k k k h

分段线性插值的误差估计可利用插值余项公式

)()()()(11112x l y x l y x l y x L k k k k k k ++--++=

得到

|))((|max 2|)()(|max 12

1

1

+≤≤≤≤--≤

-+=k k x x x h x x x x x x x M x I x f k k kx k 或

2

28

|)()(|max h M x I x f h b

x a ≤

-≤≤ 其中.|)(''|max 2x f M b

x a ≤≤=由此还可得到

)()(lim 0

x f x I h h =→

在],[b a 上一致成立，故)(x I h 在],[b a 上一致收敛到)(x f 。

2.2 分段三次埃尔米特插值

分段线性插值函数)(x I h 的导数是间断的，若在节点),,1,0(n k x k =上除已知函数值k

f 外还给出导数值),,1,0('n k m f k k ==这样就可构造一个导数连续的分段插值函数),(x I h 它满足条件：

（1）];,[')(b a C x I h ∈

（2）),,1,0(')(',)(n k f x I f x I k k h k k h ===; （3）)(x I h 在每个小区间],[1+k k x x 上是三次多项式。

根据两点三次插值多项式可知，)(x I h 在区间],[1+k k x x 上的表达式为

111

211211)21()()21()(

)(+++++++--+--+--+--=k k x k k k k k k k k x k k h f x x x x x x x x f x x x x x x x x x I

')()(')()(

112

1211+++++---+---+k k k

k k k k k k k f x x x x x x f x x x x x x

上式对于1,,1,0-=n k 成立。

利用三次埃尔米特插值多项式的余项可得误差估计

],[|,)(|max 3841|)()(|1)4(4

1

+≤≤∈≤

-+k k z x x k h x x x x f h x I x f k k 其中k k k x x h -=+1

2.3功能框图

程序可以通过输入插值函数，插值结点个数，来实现插值，还可以选择插值方式，具体框图如下