3杆系结构的有限元法

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杆系结构有限元

有限元位移法是在每一个结点上建立平衡方程，集合各结点的平衡方程得到一个平衡方程组 [K]{D}={P}，出现在方程组内的待定未知数便是求解的结点位移分量。
有限单元法
土木工程学院
P-4
1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
有限单元法
土木工程学院
P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况，使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
有限单元法
土木工程学院
0
0

第五章杆系结构的有限元法

第五章杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。

其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。

杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。

杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。

显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。

杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。

因此，本章将采用这种方法进行单元分析。

至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。

5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1．杆件的每个节点仅有两个线位移； 2．杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。

3．外载荷均为作用于节点的集中力。

由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。

5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。

两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。

图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。

由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。

3_杆系结构有限元分析

1
TT 。
杆单元
当用局部坐标系位移表示总体坐标系中的位移时有
T
e
1
'
e
T
T
'
e
利用类似的办法，可以建立起总体坐标系与局部坐标系间结点力的关系式
F e T T F '
e
(2.12)
将式(2.9)代入式(2.12)，再把式(2.11)代入得
F e T T F ' T T K ' ' T T K ' T e
杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 N 及其
N i , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
即

（2.8）
K e e F e 0
故
K e e F e
（2.9）
杆单元
式(2.9)即为杆单元的平衡方程。其中杆单元在局部坐标系单元刚度矩阵的显式为
1 1 K B DBdV E 1 1 Adx V 0 l 1
e T l
EA 1 1 l 1 1
e e e e
令K T
e
T
K '
e
T ，则
F e K e e
(2.13)
杆单元
式(2.11)，(2.12)，(2.13)就是两种坐标系中的全部转换关系，利用式(2.13) 就可以很容易将局部坐标系的刚度矩阵转换为总体坐标系的刚度矩阵。对于图 2.4 所示的杆单元，其表示式为

3杆系有限元

1
形函数自然坐标
x N2 = = ξ l
1
任意点的位移可用形函数表为 u=(1-x／l)u1+ u2x／l=Ｎ1u1＋Ｎ２u２／／
本点处为1；它点处为；处总和为1 本点处为；它点处为0；ξ处总和为
单元位移模式的建立方法
y GJ，l ，以等直杆扭转为例 m 2 θ2,M2 θ1,M1 1 结构中拆出的单元如图所示。结构中拆出的单元如图所示。 i x j 右手系试凑法由性质试凑得到为满足“ 设任意点自然坐标为 ξ ,为满足“本1，它0” 为满足，可设 N1=1-ξ ，N2= ξ 。
拉压杆单元列式的讨论
由虚位移原理 δW外 ≡ δW变
l T e
dδu dx (∫ p(x)Ndx + F )δδe ≡ ∫ FNa 0 0 dx 对右端进行分部积分 l l l dFNa dδu ∫0 FNa dx dx = FNaδu 0 −∫0 dx δudx
l
T e l
dFNa = F (δδe ) − ∫ Ndx(δδe ) 0 dx 代回原式，且由虚位移的独立性、任意性，代回原式，且由虚位移的独立性、任意性， l dF 有 [ Na + p(x)]Ndx = 0 ∫0 dx
0
L
[ N1 N2 ]
T
(
)
0
0
(N N EAN N [ δ] - pN1 N2 )dx = 0 L T EA 1 −1 −1 1 [δ ] − ∫0 p N1 N2 dx = k e [δ ] − FE e = 0 L FE e = 0.5 pl[1 1]T 如果p为常数为常数，如果为常数，则
杆系结构有限元分析

杆结构分析的有限元方法(有限元)

局部坐标系中的单元述
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。

有限元第三章杆系结构单元分析

u N ui ui T N δe
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N

δ
edx

W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN

EA du dx
（3-7）
M

EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元，则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向量）：

第2章杆件结构的有限元法_直接刚度法

对于弹簧2-3（2单元）
F2( 2) 1800 − 1800 u 2 ( 2) = u F3 − 1800 1800 3
对于弹簧3-4（3单元）
F3( 3) 1500 − 1500 u 2 ( 3) = u F4 − 1500 1500 3
上式可以简写为 {F} = [K ]{δ } 上述过程可以用节点力平衡来完成。为此，先写出单元的节点位移和节点力向量的关系式： F1( e1 ) k1 − k1 u1 ( e1 ) = u F2 − k1 k1 2 F2( e2 ) k 2 − k 2 u2 ( e2 ) = u F3 − k 2 k 2 3
F 2 = 10 kN
F 3 = 20 kN
F1
F4
1
k1
2
k2
3
k3
4
三弹簧受力系统
解：（1）单元分划一个弹簧为一个单元，一共3个单元，4个节点。（2）形成每个单元的刚度矩阵对于弹簧1-2（1单元）
F1(1) 1200 − 1200 u1 (1) = u F2 − 1200 1200 2
用下，发生与杆长垂直方向的位移。
（3）局部坐标系和总体坐标系的关系为了根据节点的力平衡条件建立杆系总体刚度矩阵，必须将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换到总体坐标系下。
y
(e Fy(e ) 2
F
(e) y1
2
Fx(1e )
o
o
ϕ
F22 = (k1 + k 2 )u 2
F12 = −k1u2
F32 = −k 2u2

杆系结构的有限元法分析

杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。

杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。

利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。

下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。

首先，进行前期准备工作。

这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。

这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。

接下来，建立有限元模型。

将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。

常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。

然后，确定单元刚度矩阵。

对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。

对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。

接着，组装全局刚度矩阵。

将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。

在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。

然后，应用边界条件。

根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。

这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。

接下来，求解结构的位移和应力。

通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。

位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。

最后，进行后处理。

在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。

通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。

综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。

有限单元法第2章杆系结构的有限元法分析

义 & 可以进一步求得单元刚度矩阵为 )
( & # 0# ( $’ $ % 8 . ! 1 # $ ’ 0# # 同时 & 我们可以根据式 $ % 求出等效结点荷载矩阵 ’ 这里要指出的是 ) 分布荷载 ! .$
! # !! !
! # $! !
! 第 ! 章 ! 杆系结构的有限元法分析 # #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
不适定的 " 第九步 # 求解方程组 " 计算结构的整体结点位移列阵 ## 并进一步计算各单元的应力分量及主应力 $ 主向 " 第十步 # 求单元内力 # 对计算成果进行整理 $ 分析 # 用表格 $ 图线标示出所需的位移及应力 " 大型商业软件 % 如 )* + , + 等 & 一般都具有强大的后处理功能 # 能够由计算机自动绘制彩色云图 # 制作图线 $ 表格乃至动画显示 "
矩阵 ’ $ %进行应力 ( 应变分析 ’ 根据材料力学中应变的定义 & 有 ) ! # # $’ 2 + 2 $ ( ( ( ( $’ $’ $’ . 0 ! ! . " 3 3 .% ". . ! ! ! !! "# ’ ’ 2 # 2 #

第三讲杆件结构有限元分析

du dx

l
0
AE
l du d u dx f x udx 0 dx dx
其中E表示弹性模量，A表示横截面积，方程左端得到单元的刚度矩阵。
建立有限元模型
现考虑一个由5个长度相同(le=1m)横截面积不同的杆件构成的一维杆件，各杆弹性模量都为 E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4 m2，A3=0.3 m2，A4=0.2 m2，A5=0.1 m2，如图1所示，右端给定位移 u右=0.1，左端固定位移u左，分析杆件内位移分布：
根据虚功原理，方程两边乘以虚位移δu，平衡方程可以写为：

其弱形式为：
l
0
[
d ( A x ) f ( x)] udx 0 dx

l
0
A x
l d u dx f x udx Pj u j 0 dx j
基本方程的最终弱形式
其中，右端最后一项可以看作是节点力情况，所以可以不单独列出，同时 x E 所以上式可以继续写为：
网格尺寸设置
网格划分信息
网格划分
选择calculate → calculate，在弹出的对话框，点击OK，保存，前处理完毕。
工程求解
点击工具栏中“求解计算”按钮，完成模型的求解计算。
后处理
点击工具栏中的“后处理”按钮进入GID，查看计算结果，如下图所示。
结果分析：本章针对一个变截面一维杆件，通过理论分析和ELAB1.0软件实现两种方式来分析，一方面对有限元
几何模型
将其划分为五个单元六个节点，即每根杆件作为一个单元，每个单元的节点关系如下图所示：
单元拓扑关系
确定杆单元的形函数
考虑其中一个杆单元，其两个端点分别为节点1，节点2，基本变量为节点位移u1，u2:：

有限元方法第三章杆系结构有限元

稳定性以及波浪载荷的影响。
应用实例
某大型桥梁的稳定性分析
采用杆系结构有限元对某大型桥梁进行稳定性分析，评估其在不同载荷下的变形和承载能力。
高层建筑的抗震性能研究
利用杆系结构有限元模拟高层建筑的抗震性能，分析地震作用下结构的响应和破坏模式。
汽车悬挂系统的优化设计
通过杆系结构有限元模拟汽车悬挂系统的运动和受力情况，优化悬挂参数以提高车辆行驶的稳定性和舒适性。
有限元方法第三章杆系结构有限元
• 引言 • 杆系结构有限元的基本概念 • 杆系结构有限元的建模方法 • 杆系结构有限元的求解方法 • 杆系结构有限元的应用案例 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
杆系结构是工程中常见的一种结构形式，广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域。由于其具有复杂的几何形状和受力特性，因此需要采用有限元方法进行数值分析。
THANKS
感谢观看
04
杆系结构有限元的求解方法
求解步骤
确定边界条件
根据实际情况，确定杆系结构的边界条件，如固定、自由、受压等。
求解线性方程组
将所有单元的平衡方程组合成一个线性方程组，然后使用数值方法求解该线性方程组。
建立离散模型
首先将杆系结构离散化为若干个小的单元，每个单元具有一定的物理属性。
应用力学平衡方程
杆系结构有限元的优缺点
优点
能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于大规模问题求解，计算精度可调，可模拟复杂的结构和场。
缺点
需要针对不同的问题建立不同的模型，计算量大，需要较高的计算机资源，对于非线性问题求解较为困难。
03
杆系结构有限元的建模方法
建模步骤
确定研究问题

3 杆系结构有限元法解析

有限元法对杆系结构离散，通常采用自然离散的形式，也就是把等截面的杆件作为单元。
当单元的两端为铰接，杆件内力只有轴力存在，“杆单元”－“桁架” 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆。桁杆的连接处可以自由转动，因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。
K
e
1

ka ka
ka
ka

中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
kk121111
k112
k
1 22
0 0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
FF12

AE 1 L 1
1
1

uu12

2、坐标变换、整体坐标系下的单元刚度矩阵
3 杆系结构有限元法
杆系结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方
向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。
是在节点处通过铆接、焊接或用其他方法把若干个杆件连接起来组成一个能共同承担外部载荷的结构。石油工程中的井架、管汇结构等。
杆件结构可分为桁架和刚架两种

0

0
0 0
0
0

3杆系结构有限元

F2 FN
EA (u2 u1 ) l
F1 EA 1 1 u1 K e qe F2 l 1 1 u2
单元刚度矩阵(stiffness matrix of element)：
单元力-位移方程：
K eqe Fe
EA 1 1 Ke 1 1 l
(b) Liebherr履带式起重机
Finite Element Method
(c) 钢结构桥梁
(d) 埃菲尔铁塔
杆系结构有限元当构件的长度远远大于其宽度和厚度时，可简化为杆件，由杆件组成的结构为杆系结构。常见的有刚架、桁架等。杆系结构采用矩阵方法来求解，然后又将杆系结构矩阵分析方法推广应用于连续介质，把连续介质离散化为有限个单元的集合进行分析。广义上讲，杆系结构矩阵分析方法可以包含在有限元法中。在求解超静定问题中，应兼顾平衡条件，变形条件及物理条件三方面的要求。而解决问题的关键往往在于正确的分析变形条件。
Finite Element Method
杆系结构有限元 1.节点编号和单元划分
其节点和单元编号（numbering of element)如下
u1F1(1)
u2 F2(1)
u2 F2( 2)
u3 F3( 2)
u3 F3(3)
u4 F4(3)
2.计算各单元的刚度方程
单元1的刚度方程：
F1 EA 1 1 u1 K e qe F2 l 1 1 u2
u2 u1 u ( x) u1 x l
杆系结构有限元用矩阵形式表达为:
x u ( x) [1 l
u2 u1 u ( x) u1 x l