余弦定理的证明及其应用
正弦定理和余弦定理证明-概述说明以及解释
正弦定理和余弦定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正弦定理和余弦定理是在三角形中广泛应用的重要定理，它们可以帮助我们理解三角形的性质和解决相关的几何问题。
正弦定理和余弦定理在许多数学和物理学领域都有着广泛的应用，包括地理测量、建筑设计、天文学等等。
本文将对正弦定理和余弦定理进行证明，并且探讨它们在实际问题中的应用。
通过深入理解这两个定理，我们可以更好地解决相关的几何问题，并且拓展我们对三角形性质的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分的内容可以包括以下内容：在这篇文章中，我们将首先介绍正弦定理和余弦定理的概念和基本原理，然后分别进行证明。
接着，我们将通过具体的数学推导和几何图形分析，详细阐述正弦定理和余弦定理的证明过程。
最后，我们将给出一些实际问题中的应用举例，以便读者更好地理解和掌握这两个重要的定理。
结尾部分将对整篇文章进行总结，阐述正弦定理和余弦定理的意义和应用前景，以及对未来相关研究的展望。
通过这样的文章结构安排，我们希望读者能够系统全面地了解正弦定理和余弦定理，并对其在实际生活中的应用有一个清晰的认识。
"1.3 目的"部分内容可能包括：在这篇文章中，我们的目的是通过简单且清晰的方式证明正弦定理和余弦定理，并探讨它们在几何和三角学中的重要性。
这篇文章的目的是帮助读者更好地理解这两个重要的定理，以及它们在解决三角形问题和实际生活中的应用。
同时，希望读者能够通过学习这些定理，提高自己的数学技能和解决问题的能力。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地了解这两个定理的原理和意义，为进一步的学习和研究奠定基础。
2.正文2.1 正弦定理证明正弦定理是解决三角形中任意三条边和它们对应的角之间关系的一个重要定理。
在任意三角形ABC中，我们可以得到正弦定理的表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
证明过程如下：首先，我们可以利用三角形的面积公式S = 1/2 * a * b * sinC来推导正弦定理。
高中数学余弦定理
在等腰三角形中，两边长度相等，对应的角度相等或互补，也可以利用余弦定理进行计算。
等腰三角形的余弦定理证明
03
CHAPTER
余弦定理的推论
总结词
利用余弦定理可以证明三角形的内角和等于180度。
详细描述
根据余弦定理，在任意三角形ABC中，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，同理可以得到其他角的余弦值。将三个角的余弦值相加，得到cosA+cosB+cosC=0，由此可以证明三角形ABC的内角和为180度。
题目
解析
根据余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。将已知数值代入公式，即可求出墙角C的大小。
运用余弦定理解决实际问题的能力
THANKS
感谢您的观看。
VS
利用余弦定理可以解决与三角形相关的各种问题，如求边长、角度等。
详细描述
通过已知条件（如两边及夹角、三边）利用余弦定理可以求解三角形的各种问题。例如，已知三角形的两边及夹角，可以通过余弦定理求出第三边；已知三角形的三边，可以通过余弦定理求出三角形的角度等。
总结词
04
CHAPTER
余弦定理的实例应用
余弦定理在解三角形问题中应用广泛，能够解决已知两边及夹角或三边求角的问题。
当已知三角形的两边及夹角时，可以通过余弦定理求出第三边。同样地，当已知三角形的三边时，也可以利用余弦定理求出三角形的角度。
详细描述
总结词
余弦定理在求三角形的角度问题中同样具有应用价值，能够通过已知的两边及夹角或三边求出三角形的角度。
掌握余弦定理在复杂问题中的应用
总结词
在三角形ABC中，已知a=3, b=4, B=45°，求边c的大小。
余弦定理公式的含义及其证明
余弦定理公式的含义及其证明余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要公式。
它描述了三角形的一个边的平方和另外两边平方的差，与这两边之间的夹角余弦函数的乘积的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边，C表示夹角C的大小。
证明余弦定理可以使用向量法和三角法两种方法。
1.向量法证明：假设三角形ABC中，向量AB的模为a，向量AC的模为b，向量BC的模为c。
向量AB与向量AC之间的夹角为夹角C，设其大小为θ。
根据向量的加法和平方模长定义，可以得到：a² = AB² = AA² + BB² - 2(AA)(BB)cosθb² = AC² = AA² + CC² - 2(AA)(CC)cosθc² = BC² = BB² + CC² - 2(BB)(CC)cosθ将以上三个等式相加，得到：a² + b² + c² = 2(AA² + BB² + CC²) - 2(AA)(BB)cosθ -2(AA)(CC)cosθ - 2(BB)(CC)cosθ化简可得：2(AA² + BB² + CC²) = a² + b² + c² + 2(AA)(BB)cosθ +2(AA)(CC)cosθ + 2(BB)(CC)cosθ设向量AA、BB、CC的模长分别为x、y、z，则上式变成：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2xycosθ + 2xzcosθ +2yzcosθ由于AA=BB=CC=x+y+z（向量AA、BB、CC的模长相等），进一步化简得到：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2(xy + xz + yz)cosθ所以，余弦定理成立。
余弦定理的八种证明方法1500字
余弦定理的八种证明方法1500字余弦定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以描述三角形边长和角度之间的关系。
余弦定理有很多种证明方法，以下我们简单介绍其中的八种证明方法。
方法一：向量法证明推导过程如下：设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的定义和运算法则，可以得到向量AB=a，向量AC=b，向量BC=c。
由向量的点积公式可知，向量a·b=|a||b|cos(∠{向量AB，向量AC})，即(a-b)·(a-c)=-|a|²cosA。
对称地，还可以得到(b-c)·(b-a)=-|b|²cosB，(c-a)·(c-b)=-|c|²cosC。
进一步推导可知，(a-b)·(a-c)+(b-c)·(b-a)+(c-a)·(c-b)=-(|a|²+|b|²+|c|²)，即2(a·b+b·c+c·a)=|a|²+|b|²+|c|²，最终可得到余弦定理的向量形式。
方法二：面积法证明推导过程如下：设∠ACB=C，根据三角形的面积公式可知，△ABC的面积S=1/2|AC||BC|sinC。
又根据正弦定理可知，sinC=a/2R，其中R为△ABC的外接圆半径。
将sinC带入上述公式可得S=1/4R|AC||BC|a。
同样地，也可以得到S=1/4R|AB||BC|c和S=1/4R|AB||AC|b。
将这三个式子相加，并将△ABC的面积用△ABC的周长p和半周长s表示，可得2S/abc=(ac+ab-bc)/2sb+(ab+bc-ac)/2sc+(ac+bc-ab)/2sa。
经过化简可以得到余弦定理的面积形式。
方法三：勾股定理证明推导过程如下：考虑△ABC的边AB与边AC之间的夹角∠BAC=A，根据勾股定理可得AB²=BC²+AC²-2BC·ACcosA。
证明余弦定理(精选多篇)
证明余弦定理(精选多篇)第一篇：怎么证明余弦定理怎么证明余弦定理证明余弦定理：因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。
又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab 2在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
空间中余弦定理的证明
空间中余弦定理的证明在数学中，余弦定理是三角形中的一个重要定理。
对于任意三角形ABC，余弦定理可以表示为：c = a + b - 2ab * cos C。
其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，C 表示夹在 a 和 b 之间的角度。
证明：我们可以通过向量的几何性质来证明余弦定理。
假设我们有三个向量 A，B，C，它们分别表示三角形 ABC 的三条边。
则向量 C 是从向量 A 到向量 B 的差向量，即 C = B - A。
现在我们来计算向量 C 的长度的平方。
根据向量的长度公式，我们可以得到|C| = C·C，其中 |C| 表示向量 C 的长度，C·C 表示向量 C 的点积。
我们可以将向量 C 表示为 A 和 B 的线性组合，即 C = B - A = -A + B。
因此，C·C = (-A + B) · (-A + B)。
利用向量点积的性质和二次方程的展开公式，我们可以得到C·C = A·A + B·B - 2AB cos C。
其中，A·A 和B·B 分别表示向量 A 和向量 B 的长度的平方，AB 表示向量 A 和向量 B 的点积。
由于向量 A 和向量 B 分别对应三角形的两条边，因此我们可以将 AB 和 cosC 分别表示为三角形的边长和夹角的函数。
即 AB = ab，cosC = (a + b - c) / 2ab。
将 AB 和 cosC 代入上式，我们可以得到C·C = a + b - 2abcosC。
因此，|C| = c = a + b - 2ab cosC，即余弦定理成立。
初中数学重点梳理：正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识定位解三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
其中解三角形里面的正弦定理与余弦定理和证明及其基本应用；向量方法证明余弦定理的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中正弦定理与余弦定理相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ； 2、三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3、正弦定理：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）； 正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．4、正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角babaabaBACACABa=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角当a>b 时有一解. 5、余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为、6、余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 7、三角形面积公式：8、余弦定理的向量证明：2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.证明：（证法一）如图，2c BC =()()AC AB AC AB =-•- 222AC AC AB AB =-•+222cos AC AC AB A AB =-•+222cos b bc A c =-+即2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-（证法二）已知ABC ∆中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-， 即 2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-例题精讲【试题来源】【题目】在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 值．【答案】39sin 8B =【解析】 解：由正弦定理及角变换求解．由2a c b +=，得 sin sin 2sin A C B +=．再由三角形内角和定理及3A C π-=得2,3232B B AC ππ=-=-， 所以231sin sin()cos sin 32222B B BA π=-=+， 31sin sin()cos sin 322222B B BC π=-=-，又sin 2sincos 22B BB =，代入到sin sin 2sin AC B +=中得 3cos4sin cos 222B B B =，由cos 02B>得3sin 24B =， 从而13cos24B =， 所以39sin B =．【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：2A C B +=，112cos cos cos A C B+=-，求cos2A C-的值． 【答案】2cos22A C -= 【解析】 解：由题设知060B =，0120AC +=，设2A Cα-=，则2A C α-=， 可得060,60A C αα=+=-代入条件中得001122cos(60)cos(60)αα+=-+-221313cos sin cos sin αααα=--+化简得22cos 2213cos sin 44ααα=--即2422cos 320αα+-=，从而求出2cos 2α=即2cos 22A C -= 【知识点】正弦定理与余弦定理【适用场合】当堂练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】在ABC ∆中，已知466,cos 36AB B ==，AC 边上的中线5BD =，求sin A 值． 【答案】70sin 14A =【解析】 解：以B 为原点，BC 为x 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 在第一象限．由30sin 6B =，得4646(cos ,sin )33BA B B =445(,)33=． 设(,0)BC x =，则4325(,)6x BD +=， 由5BD =求出2x =（另一负值舍去）．于是由数量积得314cos 14BA CA A BA CA⋅==， 所以70sin A =．【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】ABC ∆内接于单位圆，三个内角,,A B C 的平分线延长后分别交此圆于点111,,A B C ，CAB1B C 1求1111coscos cos 222C A BAA BB CC ++的值． 【答案】2【解析】 解：如图连接BA ，则12sin()A AA B =+2cosB C-=， 故1cos2cos cos sin sin A B C AAA C -==+， 同理1cossin sin B A =+，1cos sin sin CA B =+，代入原式得1111coscos cos 222C A BAA BB CC ++ 2(sin sin sin )2sin sin sin A B C A B C++==++．【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】【题目】在ABC ∆中，记,,BC a CA b AB c ===，若22299190a b c +-=，求cot C的值．【答案】5/9【解析】 解： 由已知得22219b c +=，又由余弦定理，得 222cos a b c C +-=，所以2255sin c CC ==， 所以5sin 5sin()C A B C +==5sin cos cos sin 5(cot cot A B A B A B +==+，故cot 5C =【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】设非直角ABC ∆的重心为G ，内心为I ，垂心为H ，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．求证：（１）sin sin sin 0A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅=； （２）tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅=；（３）cot (cot cot )cot (cot cot )HG C B A GB B C A GC =-+-．【答案】如下解析【解析】 证明：（1）由定比分点的向量形式得11BD ABIB IC IB ICb IBc IC DC AC ID BD AB b c DC AC++⋅+⋅===+++， 由,IA ID 共线得AIIA ID ID=-⋅，即AB IA ID BD=-⋅，又acBD b c =+， 所以b c b IB c ICIA ID a a+⋅+⋅=-=- 即0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=，由正弦定理可得sin sin sin 0A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅=．（2）由tan ,tan AD AD B C BD DC ==，得tan tan BD CDC B=， 由定比分点公式的向量形式有tan tan tan tan tan tan tan 1tan C HB HCB HBC HC B HD C B C B+⋅+⋅==++． 又HAHA HD HD=-．下面求HAHD，tan tan BD HD BD HBD C =⋅∠=，tan AD BD B =⋅，IFDEBHEF所以HA AD HDHD HD-=tan tan tan tan 1tan BDBD B C B C BD C ⋅-==-．由tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-得tan tan tan tan 1tan B CB C A+-=． 所以tan tan tan HA B C HD A+=代入即得证． （3）由（2）知tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅=，所以tan ()tan ()tan ()0A HG GA B HG GB C HG GC ⋅++⋅++⋅+=，由G 是三角形的重心有0GA GB GC ++=得()GA GB GC =-+代入并利用：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=整理即得【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】【题目】在非直角ABC ∆中，边长,,a b c 满足a c b λ+=(1)λ>． （1）证明：1tantan 221A C λλ-=+； （2）是否存在函数()f λ，使得对于一切满足条件的λ，代数式cos cos ()()cos cos A C f f A Cλλ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()f λ，并证明之；若不存在，请给出一个理由 【答案】如下解析【解析】证明：（1）由a c b λ+=得sin sin sin A C B λ+=，和差化积得2sincos 2sin cos 2222A C A CB Bλ+-=因为222A C Bπ+=-， 所以有cos cos22A C A Cλ-+=， 展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cλλ+=-，故1tan tan 221A C λλ-=+．（2）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求cos cos A C +与cos cos A C 之间的关系．由1tan tan 221A C λλ-=+及半角公式得221cos 1cos (1)1cos 1cos (1)A C A C λλ---⋅=+++， 对其展开整理得242(1)(cos cos )4cos cos A C A C λλλ-++=-即242(1)(cos cos )4cos cos A C A Cλλλ-++=-， 即222cos cos 21cos cos 1A C A C λλλλ+-+=+， 即222cos cos 112cos cos 1A C A C λλλλ+-+=--+ 与原三角式作比较可知()f λ存在且22()1f λλλ=-+ 【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】【题目】在非钝角ABC ∆中，0,45AB AC B >=，,O I 分别是ABC ∆的外心和内心，且2OI AB AC =-，求sin A【答案】2sin A =1sin 22A =-【解析】 解：由已知条件及欧拉公式得2222OI R Rr ==-，其中,R r 分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得21tan tan ()22282c a b B c a b r c a b π+-+-===+- 结合正弦定理消去边和,R r 得212(sin sin )2(sin sin sin 21)C B A C B --=+-， 又232sin sin()cos )4B C A A A π==-=+， 代入并分解因式得 21)(221)0A A -= 即2sin A =2cos 1A =， 即2sin A =1sin 22A =- 经验证这两个值都满足条件．【知识点】正弦定理与余弦定理【适用场合】当堂练习题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】在△ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 .【答案】27.【解析】 解：令AB c =，BC a =，则由正弦定理得32,sin sin sin 32a c AC A C B ==== 2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=︒，222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+2sin 4sin(120)C C =+︒-＝2sin C +314(cos sin )4sin 23cos 22C C C C +=+27sin(+)C ϕ=(其中3tan )2ϕ= ∴当90C ϕ+=︒时，2AB BC +取最大值为27.【知识点】正弦定理与余弦定理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求cosB.【答案】【解析】 解：由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得,23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A 再由正弦定理得，.22sin sin ==a A b B由b<a ，知B<A,所以B 不是最大角，2π<B ，从而22sin 1cos 2=-=B B . 由上述结果知 ).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h,则有.213sin +==C b h 【知识点】正弦定理与余弦定理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】在ABC ∆中，已知3331tan tan tan 6181tan tan tan 216A B C A B C ⎧++=-⎪⎪⎨⎪++=-⎪⎩，求ABC ∆的三个内角的大小． 【答案】311,arctan ,arctan 432π 【解析】 解：构造方程求解．在ABC ∆中，有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，因为333tan tan tan 3tan tan tan A B C A B C ++- 2(tan tan tan )[(tan tan tan )A B C A B C =++++3(tan tan tan tan tan tan )]A B B C C A -++ 从而求得2tan tan tan tan tan tan 3A B B C C A ++=-， 所以tan ,tan ,tan A B C 是方程321210636x x x +-+=即326410x x x +-+=的三个根． 由32641(1)(21)(31)x x x x x x +-+=+-- 得tan ,tan ,tan A B C 的值分别是111,,32-， 从而三个内角为311,arctan ,arctan 432π． 【知识点】正弦定理与余弦定理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知向量→a =（2，2），向量与向量→a 的夹角为43π，且→a ·→b =－2， （1）求向量→b ；（2）若)2cos 2,(cos ,)0,1(2C A c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |的取值范围【答案】如下解析【解析】 解：（1）设=（x ,y ），则222,x y +=-且22||13||cos 4a bb x y a π⋅===+∴解得)1,0()0,1(,1001-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=y x y x 或或（2）)1,0(),0,1(,,3-=∴=⊥=B 且 π.∴),cos ,(cos )12cos 2,(cos 2C A C A =-=+ ∴)2cos 2(cos 211cos cos ||222C A C A ++=+=+=1+1cos()cos()1cos(),2A C A C A C +-=-- 22,33A C ππ-<-< ∴,1)cos(21≤-<-C A ∴.25||22<+≤c b 【知识点】正弦定理与余弦定理【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5【试题来源】【题目】ABC ∆中2,A B C =是钝角，三边长均为整数，求ABC ∆周长的最小值【答案】77【解析】 解：利用正余弦定理及整数的性质求解．32C A B B πππ=--=->3,cos 62B B π∴<>且cos B 是有理数， 令cos ,,,,(,)1n B m n m n N m n m=>∈=，由637728<<， 故8m ≥．又22sin 3(34sin )(4cos 1)sin b c B b B b B B=⋅=-=-224(1)n b m =-， 故224bn m 是整数，又(,)1m n =， 故24b m为整数，由8m ≥知16b ≥，再由3cos 2B >，得2316[4()1]32,2c >-= 故32c ≥． sin 232cos 21616327sin b B a b B B ==≥⋅⋅=>， 故28a ≥，即28163377a b c ++≥++=．即周长的最小值为77．此时 28,16,33a b c ===，由余弦定理求得177cos ,cos 328A B ==， 故cos cos2A B =，即满足2A B =，又171cos 322A =>73,cos 8B =>,63B A ππ<<， 从而角C 是钝角，满足条件．故ABC ∆周长的最小值是77，此时28,16,33a b c ===【知识点】正弦定理与余弦定理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。
正余弦定理的四种证明方法
正余弦定理的四种证明方法余弦定理是解三角形问题的重要工具之一，它表达了三角形的一个边的平方与其他两边平方的关系。
以下将介绍余弦定理的四种证明方法。
方法一：向量法证明这是一种直接而简洁的证明方法。
我们可以将三角形的任意边表示为向量，然后利用向量的运算进行证明。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，边a、b、c对应的向量分别为→a、→b、→c。
根据向量的定义，→c=→a-→b。
利用向量的模的定义有：→c，^2 = ，→a - →b，^2 = (∥→a∥ - ∥→b∥)^2 =∥→a∥^2 - 2∥→a∥∥→b∥cosC + ∥→b∥^2根据余弦定理，→c，^2 = a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA。
将上述两个表达式相等，整理可得余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA方法二：平面几何法证明这种证明方法是通过利用三角形的几何性质来证明余弦定理。
首先，我们可以进行如下构造：在边b上取一点D，使得BD与AC垂直相交于点E。
由此可得AE⊥BC。
根据直角三角形的性质，我们有：1. AE = AC⋅cosA2. AD = AC⋅sinA3. CD = BC - BD = BC - AD = b - AC⋅sinA由三角形的余弦定理可得：a^2 = AB^2 = AD^2 + BD^2 = (AC⋅sinA)^2 + (b - AC⋅sinA)^2展开并整理上式，可得到与余弦定理等价的表达式。
方法三：三角函数法证明这是一种基于三角函数的三角恒等式来进行证明的方法。
根据三角函数的定义，我们有：sinA = BC/AC，sinB = AC/BC由此可得AB = AC⋅sinB = BC⋅sinA。
假设三角形的高为h，利用三角形面积公式S = 1/2⋅AB⋅h也可得到：S = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinA = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinB此外，根据S=1/2⋅BC⋅h也可得到：h = BC⋅sinA联立上述三个等式，整理可得到余弦定理。
《余弦定理教案》课件
《余弦定理教案》PPT课件第一章：余弦定理的概念与背景1.1 余弦定理的定义介绍余弦定理的定义和表达式解释余弦定理在几何学中的应用1.2 余弦定理的证明简要介绍余弦定理的证明过程解释余弦定理的证明方法及其合理性第二章：余弦定理在三角形中的应用2.1 三角形中的边长关系利用余弦定理求解三角形中的边长解释余弦定理在解决三角形边长问题时的作用2.2 三角形中的角度关系利用余弦定理求解三角形中的角度解释余弦定理在解决三角形角度问题时的作用第三章：余弦定理在三角形的判定中的应用3.1 三角形的判定条件利用余弦定理判定三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）解释余弦定理在三角形判定中的重要性3.2 三角形的判定实例提供一些实例，让学生通过余弦定理进行三角形的判定引导学生运用余弦定理解决实际问题第四章：余弦定理在实际问题中的应用4.1 实际问题引入通过引入一些实际问题，引发学生对余弦定理的思考解释余弦定理在解决实际问题中的应用价值4.2 实际问题解决方法提供一些实际问题，让学生运用余弦定理进行解决引导学生将余弦定理应用于实际问题的解决中强调余弦定理在几何学中的重要性和广泛应用5.2 余弦定理的拓展介绍一些与余弦定理相关的拓展知识引导学生进一步学习和研究余弦定理的更多内容第六章：余弦定理的图形解释6.1 余弦定理的直观理解通过图形演示，解释余弦定理的几何意义强调图形在理解余弦定理中的应用6.2 余弦定理的图形应用提供一些图形实例，让学生通过余弦定理进行分析和解释引导学生运用余弦定理解决图形相关问题第七章：余弦定理的变换与性质7.1 余弦定理的变换介绍余弦定理在不同变换下的性质和应用解释变换对余弦定理的影响和变化规律7.2 余弦定理的性质介绍余弦定理的一些基本性质引导学生理解和运用余弦定理的性质解决相关问题第八章：余弦定理与其他数学概念的联系8.1 余弦定理与三角函数的关系解释余弦定理与三角函数之间的联系强调余弦定理在三角函数中的应用和重要性8.2 余弦定理与其他数学概念的联系介绍余弦定理与其他数学概念（如向量、矩阵等）的联系引导学生探索余弦定理在其他数学领域的应用第九章：余弦定理的综合应用实例9.1 综合应用实例一提供一个综合性的实例，让学生运用余弦定理进行解决强调余弦定理在解决综合性问题中的应用和重要性9.2 综合应用实例二提供另一个综合性的实例，让学生运用余弦定理进行解决引导学生运用余弦定理解决实际问题强调余弦定理在几何学和其他数学领域中的重要性和广泛应用10.2 余弦定理的拓展介绍一些与余弦定理相关的拓展知识引导学生进一步学习和研究余弦定理的更多内容重点和难点解析1. 余弦定理的定义与证明：理解余弦定理的基本概念和表达式是学习的基础，需要重点关注。
余弦定理的证明方法(精选多篇)
余弦定理的证明方法(精选多篇)第一篇：余弦定理的证明方法余弦定理的证明方法在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b则c =a +b -2ab*cosca =b +c -2bc*cosab =a +c -2ac*cosb下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a由勾股定理得：c =(ad) +(bd) ，(ad) =b -(cd)所以c =(ad) -(cd) +b=(a-cd) -(cd) +b=a -2a*cd+(cd) -(cd) +b=a +b -2a*cd因为cosc=cd/b所以cd=b*cosc所以c =a +b -2ab*cosc在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*c osbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2s in2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
正弦定理和余弦定理的应用
建筑设计：确 定建筑物的最 佳设计方案， 例如高度、角
度和长度等
机械设计：计 算齿轮的旋转 角度和速度， 以确保机械设 备的正常运行
水利工程：计 算水流的流速 和方向，以设 计合理的排水 系统或水电站
Part Four
正弦定理和余弦定 理的应用技巧和注
意事项
应用技巧
掌握基本公式：熟悉正弦定理和余弦定理的基本公式，能够熟练运用。
理解几何意义：理解正弦定理和余弦定理在几何图形中的应用，能够根 据图形特点选择合适的定理。
灵活变换形式：能够根据问题需要，灵活变换正弦定理和余弦定理的形 式，简化计算过程。
注意适用范围：明确正弦定理和余弦定理的适用范围，避免在不适合的 情况下使用。
注意事项
适用范围：正 弦定理和余弦 定理适用于直 角三角形，注 意角度的取值
水利工程：在水利工程中，如大坝、水库和水电站的设计和建设中，需要利用正弦定理和余弦 定理进行水流角度和速度的计算，以确保工程的安全性和稳定性。
Part Three
正弦定理和余弦Байду номын сангаас 理的实例分析
几何学中的实例分析
直角三角形中的 正弦定理应用
等腰三角形中的 余弦定理应用
任意三角形中的 正弦定理和余弦 定理综合应用
正弦定理是解三角形的重要工具，可以用于计算角度、边长等。
余弦定理的定义
余弦定理公式： a²=b²+c²-2bc cos A
适用范围：解决 任意三角形边长 和角度的问题
证明方法：利用 向量的数量积和 向量的模长公式 进行证明
应用举例：通过 余弦定理可以求 出三角形的任意 一边长度和角度
定理的证明和推导
定理
Part Two
余弦定理公式的含义及其证明
余弦定理公式的含义及其证明本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March余弦定理公式的含义及其证明少三(2) 宋伊辰在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度”的情况。
与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。
那么，有没有什么方法可以直接求解呢？我向爸爸提出了我的疑问。
“可以用余弦定理求啊。
”他回答道。
“余弦定理是什么？”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。
如左图所示，在△ABC中，余弦定理可表示为：同理，也可描述为：那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。
如右图所示，△ABC，在c上做高，将c边将等式两边同乘以c得到：①②同法二（运用相交弦定理证明）：如图，在三角形ABC 中，∠A=α，AB=a ，BC=b ，AC=c 以B 为圆心，以长边AB 为半径做圆（这里要用长边的道理在于，这样能保证C 点在圆内）。
延长BC ，交⊙B 于点D 和E∴DC=a-b ，CE=a+b ，AC=c∵AG=2acos α∴CG=2acos α-c 。
∵DC ×CE=AC ×CG∴(a-b)(a+b)=c(2acos α-c)化简得：)(cos 2222αac c a b ++=法三（平面几何）：在△ABC 中，已知AC=b ，BC=a ，∠C=γ，求c 。
过点A 作AD ⊥BC 于D ，∴AD=AC ·sin γ=b ·sin γ，CD=AC ·cos γ=b ·cos γ∴BD=BC-CD=a- b ·cos γ在Rt △ABD 中，∠ADB=90°∴222BD AD AB +==（b ·sin γ2)+（a- b ·cos γ2)﹦cos 222ab b a --γ法四(解析几何)：，A B C D以点C 为原点O ，AC 为x 轴，建立如右图所示的平面直角坐标系。
余弦定理的证明及其应用
知识篇知识结构与拓展高二数学2020年11月申孝址姦浬化余"定理％&明及其应用■河南省孟津县第一高级中学赵剑涛（特级教师）余弦定理是解三角形中最重要的定理之b2+c2—a2—■，在高考题中出现频率非常高，四川省高考2bc°题曾直接考查余弦定理的证明。
也即a2=b2+c2—2b ccos A，证毕# -、余弦定理的证明证法三：建立直角b人教版教材运用向量法对余弦定理进行坐标系，如图2#A推导证明，很好地体现了向量运算工具的作贝U A(0,0),B(c,\用，这里给出其他证明方法供大家参考。
0%,C(b cos A,b s1A%#/\证法一：在+ABC中，由正弦定理可得由两点间的距离公井a b c c式得a2=BC2=(c—sin)sin B sin C sin()+B%%b cos A%2+(b s1A%2#图2贝U b s1)=a s1B；%也即a2=b2+c2—2b ccos A，证毕#c s1)=a s1()+B%=a s1A co s B+证法四：以C为圆心，a co s A s1B#②CA的长为半径作圆，如图将①式代入②式，可得a co s B=c—3#0b cos A#③直线BC与圆交于点Y丿将①，③平方相加可得：D/，延长AB交圆于F,a2=(c—b co s A%2人延长AC交圆于G,连接图3+(b s1A%2=b2+c2—/°FG#2bc co s A，证毕#贝U AF=2b cos A,BF=2b cos A—c#证法二：如图1,过\由相交弦定理可得BA•BF=BD•点A作AD丄BC,交BC BE，艮卩c•(2b cos A—c%=(b+a)•(b—于点D，则在Rt A ABD養a%,a2=b2+c2―2bc cos A,证毕#bd图-中,s1/BAD=A*,二、余弦定理的应用余弦定理在解三角形中至关重要，可以ADco s/BAD=A*#推导出三角形中很多结论，如亠,CD 1.两边之和大于第三边，两边之差小于在Rt+ACD中，s1/CAD=ac,第三边；AD2.三角形内角和等于180A；co s/CAD#A C3.勾股定理；由co s A=co s(/BAD+/CAD%=14.中线长公式—(三/2(b2+c2)—a2 co s/BAD•co s/CAD―s1/BAD•s1/C A D，得：—b=1/2(a2+c2)-b,—c=AD AD BD CD zco s A A B•AC AB*AC1可/2(a2+b2%—c2;AD2—BD•CDbc5.高线长公式h a=2AD2—2BD•CD2—3•(3—a%•(—b%•(3—-c%,h b= 2bc ac2—BD2+b2—CD2—2BD•CD22bc亍3•(3—a%•(3—b%•(3—bc%,h c=知识篇知识结构与拓展高二数学2020年11月中孝生皋捏化a+b+c26,海伦公S+ABC/-$—a)$—b)$—c)，其中a+b+c2式余弦定理在高考中是常考知识点，常与其他知识相结合进行考查#题目：(2020年全国新高考！卷第17题)在①a c=-3!②c71A=3,③c=-3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中#若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中由①a c=/—!解得a=-3,b=c=1#因此，选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1#方案二：选条件②#由C=6和余弦定理得,a H b C h-3。
空间中余弦定理的证明
空间中余弦定理的证明余弦定理是三角形中的基本定理之一，它可以用来求解三角形中的各种角度和边长。
在平面上，余弦定理的表达式为c²=a²+b²-2abcosC，其中a、b、c分别为三角形的三条边，C为夹在a和b之间的角度。
在空间中，余弦定理的表达式为c²=a²+b²-2abcos\gamma，其中a、b、c分别为空间中的三条线段，\gamma 为夹在a和b之间的角度。
下面我们来证明空间中余弦定理的正确性。
假设有一个三角形ABC，其中AB=c，AC=b，BC=a，\angle BAC=\gamma。
我们可以将三角形ABC放置在一个三维坐标系中，使得点A位于原点，点B位于x 轴正方向上，点C位于xy平面上。
此时，点B的坐标为(a,0,0)，点C的坐标为(bcos\gamma,bsin\gamma,0)。
根据勾股定理，我们可以得到：AC²=b²+c²-2bc\cos\angle BAC将b、c、\angle BAC分别代入，得到：AC²=b²+c²-2bc\cos\gamma将AC的坐标代入，得到：AC²=(bcos\gamma)^2+(bsin\gamma)^2化简得到：AC²=b²+c²-2bc\cos\gamma这就是空间中的余弦定理。
同理，我们可以得到其他两个版本的余弦定理。
通过上述证明，我们可以看出，空间中的余弦定理与平面上的余弦定理本质上是相同的，只是在坐标系的表示上有所不同。
因此，我们可以将平面上的余弦定理推广到空间中，从而更加方便地求解三角形中的各种角度和边长。
初中数学 什么是余弦定理
初中数学什么是余弦定理在初中数学中，余弦定理是指在任意三角形中，任意两边的平方和减去它们的乘积的两倍，等于第三边的平方。
下面将详细介绍余弦定理的定义、证明和应用。
1. 余弦定理的定义：在任意三角形ABC中，设三角形的三边分别为a、b和c，对应角分别为A、B和C，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC。
2. 余弦定理的证明：余弦定理可以通过应用向量的内积和余弦函数的性质进行证明。
具体证明步骤如下：-步骤1：将任意三角形ABC的两边a和b表示为向量a和向量b。
-步骤2：将向量a和向量b的内积表示为a · b = |a| * |b| * cosC，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，cosC表示向量a和向量b之间的夹角的余弦值。
-步骤3：根据步骤2的公式，可以得到a · b = ab * cosC的等式。
-步骤4：将步骤3的等式移项并代入向量的模的定义，得到c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC 的等式。
-步骤5：由于向量的模等于对应边的长度，因此可以将步骤4的等式转化为三角形边长的平方形式的余弦定理。
3. 余弦定理的应用：-求解缺失的边长：余弦定理可以用于求解任意三角形中缺失的边长。
如果已知两个角的度数和另一边的长度，可以利用余弦定理计算出缺失边的长度。
-判定三角形的形状：余弦定理可以用于判断三角形的形状。
如果一个三角形的三条边之间满足余弦定理的等式，那么这个三角形就是锐角三角形；如果其中一条边的长度大于或等于另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是钝角三角形。
-解决与三角形相关的几何问题：余弦定理可以应用在各种涉及三角形的几何问题中，如求解三角形的面积、判断三角形的相似性等。
总结起来，余弦定理是在任意三角形中，任意两边的平方和减去它们的乘积的两倍，等于第三边的平方。
该定理可以通过应用向量的内积和余弦函数的性质进行证明。
余弦定理的应用包括求解缺失的边长、判定三角形的形状和解决与三角形相关的几何问题。
(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法)
余弦定理的证明方法大全(共十法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1图2-1A点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2图3即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.c-bcosA图7-2图7-1余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图5GA图6。
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么什么是三角形余弦定理三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a2=b2+c2-bc·cosAb2=a2+c2-ac·cosBc2=a2+b2-ab·cosC也可表示为：cosC=(a2+b2-c2)/abcosB=(a2+c2-b2)/accosA=(c2+b2-a2)/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三角形余弦定理的证明平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cos θ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC即cosC=(a2+b2-c2)/2__a__b同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB__c，AD=sinB__c，DC=BC-BD=a-cosB__c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2b2=(sinB__c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2b2=c2+a2-2accosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac高中必背的数学公式(一)两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)倍角公式1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA(三)半角公式1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))(四)和差化积1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(五)几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)提高数学成绩高效方法课后一分钟回忆及时复习数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。
余弦定理的证明
余弦定理的证明余弦公式a^2=b^2+c^2-2bc cosA余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：第一类是已知三角形两边及夹角，求第三边；第二类是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·c os Ab^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·c os Bc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cos Cc os C = (a^2 + b^2 - c^2) /(2·a·b)c os B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)c os A = (c^2 + b^2 - a^2) /(2·b·c)（物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。
余弦定理证明平面几何证法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c ，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/(2*a*c)作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。
空间中余弦定理的证明
空间中余弦定理的证明
空间中余弦定理是一种用于计算三角形边长和角度的数学公式，它可以被应用在许多领域，如航空、建筑、地理等。
下面我们将介绍空间中余弦定理的证明过程：
假设有一个三角形 ABC，其中 AB、BC、AC 的长度分别为 a、b、c。
设点 A、B、C 的坐标分别为 (x1, y1, z1)、(x2, y2, z2)、(x3, y3, z3)。
首先，我们可以通过两点间的距离公式计算出三条边的长度：
AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
BC = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2)
AC = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2) 接下来，我们可以用余弦定理计算三个角的大小：
cosA = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)
cosB = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)
cosC = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)
最后，我们可以用反余弦函数计算出每个角的度数：
A = arccos(cosA)
B = arccos(cosB)
C = arccos(cosC)
证毕。
以上就是空间中余弦定理的证明过程，它可以被用于计算三角形的各种性质，如周长、面积、角度等，是一种非常重要的数学工具。
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余弦定理的证明及其应用
首先，我们根据向量的加法，得到等式a+b=ca=c-ba2=(c-
b)2a2=b2+c2-2·b·ca2=b2+c2-2|b|·|c|·cosA （向量的数量积）a2=b2+c2-2bc·cosA得证
其实余弦定理和勾股定理一样，都有很多种证明方法，但是最常用的还是这两种其实是我不会
余弦定理的应用
讲完了证明，我们来看看余弦定理的应用
洛谷p2625 豪华游轮
题目描述（这里不是向量…）有一条豪华游轮（其实就是条小木船），这种船可以执行4种指令：
right X : 其中X是一个1到719的整数，这个命令使得船顺时针转动X度。
left X : 其中X是一个1到719的整数，这个命令使得船逆时针转动X度。
forward X : 其中X是一个整数（1到1000），使得船向正前方前进X的距离。
backward X : 其中X是一个整数（1到1000），使得船向正后方前进X的距离。
随意的写出了n个命令，找出一个种排列命令的方法，使得船最终到达的位置距离起点尽可能的远。
输入输出格式输入格式：第一行一个整数n(1 <= n <= 50)，表示给出的命令数。
接下来n行，每行表示一个命令。
输出格式:一个浮点数，它能走的最远距离，四舍五入到小数点后6位。
这道题我们看到之后很快就能够反映出来，这个地方需要做一个贪心
因为多次拐弯肯定比一次的要近，所以我们让forward走完，然后尽量转180度，然后把backward走完，这时候起点和终点之间的距离就是要算的答案了
那么我们怎么来算他能最多转多少度才能让这个度数和180度的差最小呢？我们可以运用背包的思想f[i][j]表示前i个转圈的指令，能不能转到j度，转移其实很简单，大概是这样的：
for(int i=1,i<=anglecnt;i++)for(int
j=0;j<=360;j++){if(f[i-1][j]){
f[i][j]=true;
f[i][(j+angle[i]+360)%360]=true;}}
那好了，我们现在知道了旋转角度，知道了两边的边长，那么我们就可以使用余弦定理了啊
printf("%.6lf\n",sqrt(a*a+b*b-
2*a*b*cos(degree*pi/180)));
这里运用的是弧度制，如果不理解的话可以上网去搜一搜
全代码大概是这样的
# include<cstdio># include<algorithm>#
include<cstring># include<cmath># include<climits># define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)# define
_Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)usingnamespace
std;constint N=55;constdouble pi=3.;int
n,go,back,angle[N],a,b,degree=INT_MAX;bool
f[N][1005];char
s[N];intmain(){scanf("%d",&n);Rep(i,1,n){int
x;scanf("%s%d",s,&x);if(s[0]=='f') a+=x;if(s[0]=='b') b+=-x;if(s[0]=='l') angle[++angle[0]]=x;if(s[0]=='r') angle[++angle[0]]=-x;}
f[0][0]=true;Rep(i,1,angle[0])Rep(j,0,360){if(f[i -1][j]){
f[i][j]=true;
f[i][(j+angle[i]+360)%360]=true;}}Rep(i,0,360)if( f[angle[0]][i]) degree=min(degree,abs(180-
i));printf("%.6lf\n",sqrt(a*a+b*b-
2*a*b*cos(degree*pi/180)));return0;}。