电动力学 复习 第四章 时变电磁场
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电动力学期末考试复习知识总结及试题
电动力学期末考试复习知识总结及试题第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过渡。
二、知识体系：三、内容提要：1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）（3）电磁感应定律①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。
②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律,①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。
2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程其中：1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。
2当，过渡到真空情况：3当时，回到静场情况：4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。
介质中：3、介质中的电磁性质方程若为非铁磁介质1、电磁场较弱时：均呈线性关系。
向同性均匀介质：，，2、导体中的欧姆定律在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。
4．洛伦兹力公式考虑电荷连续分布，单位体积受的力：洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。
说明：①②5.电磁场的边值关系其它物理量的边值关系：恒定电流:6、电磁场的能量和能流能量密度：能流密度：三．重点与难点1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。
第4章 时变电磁场
⇒ ∇× H =
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得 即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令 （洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以 同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得 即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令 （洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以 同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案
第四章 电磁波的传播一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。
答案：S wv =3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。
答案：0x E e α-⋅ 。
6、 7、 9、 的贡10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。
若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。
答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctg n = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0t e σερρ-= 1、 ） ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. A ．6、 平面电磁波E 、B 、k 三个矢量的方向关系是（ ）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B ⨯沿矢量k 方向C.B E ⨯的方向垂直于kD. k E ⨯的方向沿矢量B 的方向答案：A7、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C. b a 11+μεπ D. a2μεπ 答案：A 8、 亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波答案：C9、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ） 1、 21E E →∂-21B B →∂-表明：电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在；222210E E B B v t ∂-⋅-⋅=∂ 一般随ω变化，存在色散（3）亥姆霍兹方程：(220,0E k E k E i B E ωεμω∇+==∇⋅==-∇⨯ 表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波模。
电动力学教程 第4章 时变电磁场
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的并不改变其实部和虚部的性质故在复数运算中对复数的微分和积分运算rererererererere其中l是实线性算子如等因此麦氏方程所有场变量都仅仅是空间的函数反映场的空间分布方程的解剩以时间因子e与含时的麦氏方程比较其复数形式实现了时空分离因此使方程的求解更简单
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt
第4章 时变电磁场
(2)
对方程（2）两边取旋度有 E H t 2 2 E H E E ( E ) E
E t
2
对于各向同性的介质，得
2 E 2 E 2 0 t (5)
E 0 t
t
同理可得
2 H 2 H 2 0 t (6)
第四章 时 变 电 磁 场
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在 空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 上两式为关于场量 E、H 的矢量波动方程，表示时变电磁场 以波的形式在空间存在和传播，其波速为
A E ex Am cos(t kz ) t
第四章 时 变 电 磁 场
§4.3 电磁能量守恒定律
能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物 质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 下面讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷 定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互联系。
其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度。
解：
Ax B A ey ey kAm cos(t kz ) z k H ey Am cos(t kz )
A 0 t
C
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。
电磁场与波课件教学PPT-第四章 时变电磁场
(ΕH) ΕJ
(1ΕD1HB)
t 2
2
第四章 时变电磁场
29
电磁场与电磁波
坡印廷定理及物理解释
微分形式（瞬时功率密度关系）：
(E H )(1 E D 1 H B ) E J t2 2
积分形式（瞬时功率关系） ：
S ( E H ) d S d d t V ( 1 2 E D 1 2 H B ) d V V E J d V
第四章 时变电磁场
25
电磁场与电磁波
4.3 电磁能量守恒定律
讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
第四章 时变电磁场
26
电磁场与电磁波
电磁能量定律
dW
dt V
S
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
问题：数学表示？
第四章 时变电磁场
27
电磁场与电磁波
V内存储的电磁能量
第四章 时变电磁场
42
电磁场与电磁波
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
第四章 时变电磁场
43
电磁场与电磁波
时谐电磁场的概念 物理量随时间按正弦规律变化的问题， 因此也叫正弦电磁场问题
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
20
电磁场与电磁波
面对的问题！ 分析方法： 利用时变电磁场特性 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
第四章 时变电磁场
21
电磁场与电磁波
问题：
在时变电磁场中 位函数的作用？
第四章 时变电磁场
22
电动力学第四章电磁波的传播
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
电磁场与电磁波课件之时变电磁场要点
E
H
能流密度矢量的瞬时值为
E
H
S (r , t ) E (r , t ) H (r , t )
S
可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度 和磁场强度的瞬时值的乘积。
只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻
电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上
等于求解 1 个标量方程。 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与磁矢势有关，不能
据此认为磁感应强度由磁矢势决定而与电标势无关。因为在时变情形
下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得 时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系。
由麦克斯韦方程组微分形式
D H J t B E t B 0 D
E H t
0 H E
J 0
H E t H 0
E 0
则此区域中麦克斯韦方程为
, ,
E
H
V
D H J t B E t ( H ) 0 ( E ) 0
利用矢量恒等式 ( E H ) H E E H ，将上式代入
2 H 2 H 0 2 t 2 H 2 H 2 J t
P175
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J 2 t
2 2 2 t
根据位函数定义式及麦克斯韦方程，得 2 A A J t 2 t A t
H
能流密度矢量的瞬时值为
E
H
S (r , t ) E (r , t ) H (r , t )
S
可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度 和磁场强度的瞬时值的乘积。
只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻
电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上
等于求解 1 个标量方程。 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与磁矢势有关，不能
据此认为磁感应强度由磁矢势决定而与电标势无关。因为在时变情形
下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得 时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系。
由麦克斯韦方程组微分形式
D H J t B E t B 0 D
E H t
0 H E
J 0
H E t H 0
E 0
则此区域中麦克斯韦方程为
, ,
E
H
V
D H J t B E t ( H ) 0 ( E ) 0
利用矢量恒等式 ( E H ) H E E H ，将上式代入
2 H 2 H 0 2 t 2 H 2 H 2 J t
P175
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J 2 t
2 2 2 t
根据位函数定义式及麦克斯韦方程，得 2 A A J t 2 t A t
时变电磁场
y, y,
z, z,
t) t)
Exm E ym
(x, (x,
y, y,
z) z)
cos[t cos[t
x (x, y (x,
y, y,
z)] z)]
Ez
(x,
y,
z,
t)
Ezm
(x,
y,
z)
cos[t
z
(
x,
y,
z)]
式中：Exm , Eym , Ezm 为电场在x,y,z方向分量的幅度
x， y，z 为电场x,y,z分量的初始相位
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
第四章 时变电磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的 形式从一个地方传递到另外一个地方
本章主要内容： ➢ 时变电场和磁场满足的方程——波动方程 ➢ 时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 ➢ 时变电磁场的能量守恒定律 ➢ 正弦规律变化的时变场——时谐电磁场
对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件
A
t
洛伦兹规范条件
思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？
15:54
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4.2.2 达朗贝尔方程
E (
H H
J
1
E
t A
A) 2
t
t
1 A J E
t
(
A)
Σ
J EdV
V
15:54
E, H
V
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于 体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
4 时变电磁场
10
4.1.3 全电流定律 问题的提出
∫
l
r r H ⋅ dl = I r r r r H ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS = i
S1
经过S 经过 1面
∫
交变电路用安培环路定律
l
经过S 经过 2面 思考
∫
l
r r r r H ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS = 0
S2
为什么相同的线积分结果不同？ 为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？ 原因所在？ 原因所在？ 11
实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回 实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化， 路中就有感应电动势。 路中就有感应电动势 。 与构成回路的材料性质 ε 无关（甚至可以是假想回路） 当回路是导体时， 无关（甚至可以是假想回路），当回路是导体时， 有感应电流产生。 有感应电流产生。
8
4.1.2 感应电场 麦克斯韦假设， 麦克斯韦假设 ， 变化的磁场在其周围激发着 一种电场， 该电场对电荷有作用力（ 一种电场 ， 该电场对电荷有作用力 （ 产生感应电 称之为感应电场 感应电场。 流），称之为感应电场。 在静止媒质中
4.2.1 电磁场基本方程组 r r r r ∂D r r r ∂D r ∇× H = J + ∫lH ⋅ dl = ∫S (J + ∂t ) ⋅ dS 全电流定律 ∂t 全电流定律： 麦克斯韦第一方程 ， 表明传导电流和 全电流定律 ： 麦克斯韦第一方程， 变化的电场都能产生磁场。 变化的电场都能产生磁场。 r r r r r ∂B ∂B r ∇× E = − ∫lE ⋅ dl = −∫S ∂t ⋅ dS 电磁感应定律 ∂t 电磁感应定律：麦克斯韦第二方程， 电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变 化的磁场都能产生电场。 化的磁场都能产生电场。 16
4.1.3 全电流定律 问题的提出
∫
l
r r H ⋅ dl = I r r r r H ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS = i
S1
经过S 经过 1面
∫
交变电路用安培环路定律
l
经过S 经过 2面 思考
∫
l
r r r r H ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS = 0
S2
为什么相同的线积分结果不同？ 为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？ 原因所在？ 原因所在？ 11
实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回 实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化， 路中就有感应电动势。 路中就有感应电动势 。 与构成回路的材料性质 ε 无关（甚至可以是假想回路） 当回路是导体时， 无关（甚至可以是假想回路），当回路是导体时， 有感应电流产生。 有感应电流产生。
8
4.1.2 感应电场 麦克斯韦假设， 麦克斯韦假设 ， 变化的磁场在其周围激发着 一种电场， 该电场对电荷有作用力（ 一种电场 ， 该电场对电荷有作用力 （ 产生感应电 称之为感应电场 感应电场。 流），称之为感应电场。 在静止媒质中
4.2.1 电磁场基本方程组 r r r r ∂D r r r ∂D r ∇× H = J + ∫lH ⋅ dl = ∫S (J + ∂t ) ⋅ dS 全电流定律 ∂t 全电流定律： 麦克斯韦第一方程 ， 表明传导电流和 全电流定律 ： 麦克斯韦第一方程， 变化的电场都能产生磁场。 变化的电场都能产生磁场。 r r r r r ∂B ∂B r ∇× E = − ∫lE ⋅ dl = −∫S ∂t ⋅ dS 电磁感应定律 ∂t 电磁感应定律：麦克斯韦第二方程， 电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变 化的磁场都能产生电场。 化的磁场都能产生电场。 16
4 时变电磁场
E内 JC I 2 ez a
根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续， 即：E内z＝E外z。因此，在内导体表面外侧的电场为：
E外 ( a) er
磁场强度仍为：
U I ez 2 a ln(b / a) a
13
三、例题 例1：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度 为 E e E cos( t kz ) (V / m) 求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均 坡印廷矢量
y 0
解：(1) E B t B E y E y ez ex ex kE0 sin( t kz ) t x z 1 B kE0 H t dt ex 0 cos(t kz ) 0
1 e 2 a
21
H外
a
则，内导体表面外侧的坡印廷矢量为：
S外
＝a
E外 H 外
a
e
I2 UI ez 2 3 2 a 2 a 2 ln(b / a )
10
将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得
we wm V ( E H) dV V( t t E J) dV d ( E H ) dS [ we dV wm dV] E JdV S V V dt V d ( E H ) dS ( We Wm) E JdV S V dt
2
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
3
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场 量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场 为电磁波。 建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空 间中电场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的 是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求 解。
根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续， 即：E内z＝E外z。因此，在内导体表面外侧的电场为：
E外 ( a) er
磁场强度仍为：
U I ez 2 a ln(b / a) a
13
三、例题 例1：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度 为 E e E cos( t kz ) (V / m) 求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均 坡印廷矢量
y 0
解：(1) E B t B E y E y ez ex ex kE0 sin( t kz ) t x z 1 B kE0 H t dt ex 0 cos(t kz ) 0
1 e 2 a
21
H外
a
则，内导体表面外侧的坡印廷矢量为：
S外
＝a
E外 H 外
a
e
I2 UI ez 2 3 2 a 2 a 2 ln(b / a )
10
将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得
we wm V ( E H) dV V( t t E J) dV d ( E H ) dS [ we dV wm dV] E JdV S V V dt V d ( E H ) dS ( We Wm) E JdV S V dt
2
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
3
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场 量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场 为电磁波。 建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空 间中电场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的 是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求 解。
04第四章-时变电磁场和时谐电磁场(1)
电磁场与电磁波_ 电磁场的边界条件
2.7.1 边界条件的一般形式
一、H 的切向分量的边界条件
取一小矩形回路，两个边 l 分别
位取于H分沿界此面闭两合侧回，路的h 线积0 分，，
由
CH
单位
电场强度
E
V/m
电的
电通量密度
D
C/m^2
（电位移矢量）
磁通量密度
B
T
磁的 （磁感应强度）
磁场强度
H
A/m
回顾以上矢量场量的引入
E是讨论自由空间中静电学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位试验电荷上的电作用力
F qE
D是研究电介质中的电场时引入的辅助量
D E 0E P
B是讨论自由空间中静磁学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位长度电流上的磁作用力
D →高斯定律。电场的一个源是静止电荷；电场有通量源
电动力学的基本方程：麦克斯韦方程 +
f
qv
B
+
f
m
dv
dt
电磁场的基本方程： 麦克斯韦方程 第16页
电磁场与电磁波 时变电磁场
2.6.3 媒质的本构关系(电磁场的辅助方程)
本构关系(组成关系、流量关系、特性方程)
SB dS 0
S D dS q
麦克斯韦方程组： 宏观电磁现象所电遵子循科学的与工基程本学院规律，周是俊 电磁场的基本方程。
电磁场与电磁波_ 2.6 麦克斯韦方程组
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式(点函数形式)
微分形式(麦克斯韦方程的不限定形式)：
所 不 因从 HE有符此18的，)6J。4宏 麦年Bt理观 克提Dt论→电 斯出变上→磁 韦到化也变场方目磁化没问程场前电有产题组为场找生被,止产到并电生认，场任且磁为麦；从何场是克位未真；2移斯J出正0、磁世韦J现值流d纪方是过得是磁之程电错挑场前可场误剔的最以的的(涡成或涡用流东流功与来源西源的实求。物验解 理 B学方0 程→,磁被通称连为续“性上。自帝然的界符不号存”在。磁荷；磁场无通量源
04第四章时变电磁场
H
( W/m2 )
r E
物理意义：
O
r
S 的方向 —— 电磁能量传输的方向
r H
S
S
的大小
——
通过垂直于能量传输方
能流密度矢量
向的单位面积的电磁功率
2020/6/15
18
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其 间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过 的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传
A e j[t (rr )] 0
Re[ A&(rr )ejt ]
其中
复振幅
A&(rr ) A0e j (rr )
复数表示法
空间相位因子
时间因子
2020/6/15
30
照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成
Ei (rr ,t) Re[E&i (rr )ejt ] Re
以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向 引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中 的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。
2020/6/15
23
4. 4 惟一性定理
惟一性问题 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初 始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条 件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦 克斯韦方程的解的惟一问题。
一的，那么至少存在两组解
rr E1、H1和
Er 2、Hr
满足同样的麦克斯韦
2
方程，且具有相同的初始条件和边界条件。
r rr
r rr
令
第04章 时变电磁场
L
1 ˆ 2 rB0 sin(t )， r a E 1 a 2 B sin(t )， r a ˆ 0 2r
4.2 全电流定律
一、位移电流 我们首先看一个引例。如图，一个 中间填充理想介质的电容器接在交流电 源两端， L 为一个与导线相交链的闭合 回路。若取一个以 L 为边界的曲面 S1与 导线相交，则由安培环路定律，有：
的感应电场也应关于 z 轴旋转对称。取与 圆柱同轴的回路 L ，在该回路上 Ein 处处
a
与回路相切且幅度处处相等。
4.1 法拉第电磁感应定律
ˆ B B0 sin(t ) z r a ra t 0
r 2 B0 sin(t )， r a B ε ds 2 S t a B0 sin(t )， r a ˆ E dl E 2 r
定律在时变条件下必须加以修正。 麦克斯韦认为，在时变情况下，高斯定律仍然适用，即：
D(r , t ) (r , t )
J
S
D(r , t ) ds Q(t )
这样，电流连续性方程可写成：
J t
( D) 0 t
4.2 全电流定律
对电磁感应现象精心研究之后，总结出电磁感应定律为：闭合导
体回路中的感应电动势 ε 与穿过此回路的磁通 m 随时间的变化 率
d m 成正比。 dt
4.1 法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律的数学表达式为：
ε d m d B ds dt dt S
式中，S 是由闭合导体回路 L 所限定的曲面，其正侧面与 L 的方 向成右手螺旋关系。 ε 的实际方向由楞次定律决定，即：感应电 动势总是力图阻止回路中磁通的变化。(负号体现的是阻碍作用) 二、感应电场(涡旋电场) 法拉第说明了“动磁生电”的现象，但并没有说明出现感应 电动势的真正原因，以及当时变磁场附近不存在导体回路时会发 生什么情况。麦克斯韦在对电磁感应现象进行深入分析后认识到： 导体中的电流必然由电场引起。
1 ˆ 2 rB0 sin(t )， r a E 1 a 2 B sin(t )， r a ˆ 0 2r
4.2 全电流定律
一、位移电流 我们首先看一个引例。如图，一个 中间填充理想介质的电容器接在交流电 源两端， L 为一个与导线相交链的闭合 回路。若取一个以 L 为边界的曲面 S1与 导线相交，则由安培环路定律，有：
的感应电场也应关于 z 轴旋转对称。取与 圆柱同轴的回路 L ，在该回路上 Ein 处处
a
与回路相切且幅度处处相等。
4.1 法拉第电磁感应定律
ˆ B B0 sin(t ) z r a ra t 0
r 2 B0 sin(t )， r a B ε ds 2 S t a B0 sin(t )， r a ˆ E dl E 2 r
定律在时变条件下必须加以修正。 麦克斯韦认为，在时变情况下，高斯定律仍然适用，即：
D(r , t ) (r , t )
J
S
D(r , t ) ds Q(t )
这样，电流连续性方程可写成：
J t
( D) 0 t
4.2 全电流定律
对电磁感应现象精心研究之后，总结出电磁感应定律为：闭合导
体回路中的感应电动势 ε 与穿过此回路的磁通 m 随时间的变化 率
d m 成正比。 dt
4.1 法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律的数学表达式为：
ε d m d B ds dt dt S
式中，S 是由闭合导体回路 L 所限定的曲面，其正侧面与 L 的方 向成右手螺旋关系。 ε 的实际方向由楞次定律决定，即：感应电 动势总是力图阻止回路中磁通的变化。(负号体现的是阻碍作用) 二、感应电场(涡旋电场) 法拉第说明了“动磁生电”的现象，但并没有说明出现感应 电动势的真正原因，以及当时变磁场附近不存在导体回路时会发 生什么情况。麦克斯韦在对电磁感应现象进行深入分析后认识到： 导体中的电流必然由电场引起。
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对于介电常数为 、电导率为 的导电媒质，有
其中c= -jσ/ω、称为导电媒质的等效介电常数。
第四章 时变电磁场 电介质的复介电常数
38
对于存在电极化损耗的电介质，有
耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质
，称为复介电
常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损
内
磁场则仍为
内导体表面外侧的坡印廷矢量为
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
第四章 时变电磁场
21
由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径 向分量，如图所示。 进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向
时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问 题的分析得以简化。 设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量， 它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变 量，它与时间的关系可以表示成
实数表示法或 瞬时表示法
式中的A0为振幅、 利用三角公式 其中 复振幅
为与坐标有关的相位因子。
应用。
第四章 时变电磁场
26
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示
复矢量的麦克斯韦方程
复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程
时谐场的位函数
平均能流密度矢量
第四章 时变电磁场 时谐电磁场的概念
27
如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化， 则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一
35
式中
试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。 解：（1）因为
故电场的复矢量为
第四章 时变电磁场
36
（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量
磁场强度瞬时值
第四章 时变电磁场 4.5.3 复电容率和复磁导率
37
实际的介质都存在损耗： 导电媒质——当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质——受到极化时，存在电极化损耗 磁介质——受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。 导电媒质的等效介电常数
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 终得到的电磁场矢量是相同的。 问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点? 的解也不相同，但最
第四章 时变电磁场
11
4.3 电磁能量守恒定律
讨论内容: 电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
44
第四章 时变电磁场
45
二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的
平均值，即
平均电场能量密度
平均磁场能量密度 平均能流密度矢量
在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计
算，有
第四章 时变电磁场 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出
表面进入每单位长度内导体的功率。
同轴线
第四章 时变电磁场
18
解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存
在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分 量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易
求得内外导体之间的电场和磁场分别为
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
电磁波动方程
第四章 时变电磁场
Hale Waihona Puke 3推证同理可得 问题 若为有源空间，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？
第四章 时变电磁场
4
4.2 讨论内容：
电磁场的位函数
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
第四章 时变电磁场
5
引入位函数的意义
引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
7
的散度使位函数满足的方程得
除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
第四章 时变电磁场 位函数的微分方程
8
第四章 时变电磁场
9
同样
第四章 时变电磁场
10
说明
达朗贝尔方程 应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标 量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需 解出 就可得到待求的电场和磁场。
第四章 时变电磁场
23
惟一性定理的证明
利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟 一的，那么至少存在两组解 、 和 、 满足同样的麦克斯 韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令
则在区域V 内 克斯韦方程
和
的初始值为零；在边界面S 上电场强度
的
切向分量为零或磁场强度
的切向分量为零，且
和
对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为：
磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为 的数，表示磁介质的磁化损耗。 ，其虚部为大于零
第四章 时变电磁场 损耗角正切
39
工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为
复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 电介质 磁介质 导电媒质
13
微分形式：
积分形式： 其中： —— 单位时间内体积V 中所增加 的电磁能量
—— 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；
在导电媒质中，即为体积V内的损耗功率 —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁总功率
第四章 时变电磁场 推证
14
由
将以上两式相减，得到
在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有
第四章 时变电磁场
19
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负 载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
第四章 时变电磁场 向的电场
内
20
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方
根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即 因此，在内导体表面外侧的电场为
33
为例，代入相应场量的矢量，可得
将
、
与
交换次序，得
上式对任意 t 均成立。令 t＝0 ，得 令ωt＝π/2 ，得 即
第四章 时变电磁场 从形式上讲，只要把微分算子 的麦克斯韦方程 用
34
代替，就可以把时谐电磁
场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量
～
略去“.”和下标m
第四章 时变电磁场 例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为
满足麦
第四章 时变电磁场 根据坡印廷定理，应有
24
根据
和
的边界条件，上式左端的被积函数为
所以，得 由于 和 的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得
第四章 时变电磁场
25
上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有
即
（证毕） 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场
问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的
位函数的定义
第四章 时变电磁场
6
位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数
一个电磁场问题。 为任意可微函数 即
和
能描述同
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位 函数之间的上述变换称为规范变换 原因：未规定 的散度
第四章 时变电磁场 位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 位函数的不确定性，可通过规定 以简化。 在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即 的散度。利用
式，不能将复数形式的场量直接代入。
设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为
第四章 时变电磁场
43
则能流密度为
如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有
先取实部，再代入
第四章 时变电磁场 使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子
引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中 的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。
第四章 时变电磁场
22
4. 4
惟一性问题
惟一性定理
在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初 始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条 件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦 克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性定理的表述 在以闭曲面S为边界的有界区域内V， 如果给定t＝0时刻的电场强度和磁场强度 的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面S 上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t > 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
复数表示法 空间相位因子
时间因子
第四章 时变电磁场
29
照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成
各分量合成以后，电场强度为 复矢量
有关复数表示的进一步说明 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场
真实场是复数式的实部，即瞬时表达式
由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量
第四章 时变电磁场
1
第四章 时变电磁场
4.1 4.2 4.3 1.4 1.5 波动方程 电磁场的位函数 电磁能量守恒定律 惟一性定理 时谐电磁场