理论力学第七章 刚体的简单运动(Y)
第7章刚体的简单运动
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
刚体的简单运动
运动学
例 题 7- 1
第七章 刚体的简单运动
O1 l A O
（+）
O2 l M B
荡木用两条等长的钢索 平行吊起，如图所示。钢索 长为长 l ，度单位为 m 。当荡 木摆动时钢索的摆动规律 π t，其中 t 为 为 ϕ = ϕ 0 sin 4 时间，单位为s；转角φ0的单 位 为 rad ， 试 求 当 t=0 和 t=2 s 时，荡木的中点M的速度和加 速度。
这里ϕ 0和ω 0是t = 0 时转角和角速度。
13
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆 周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转 轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。 用自然法， 点在 Δ t时间内，走过的弧长为 Δs=Δϕ R 速度
d 2 rB d2 d 2 rA aB = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
4
运动学
第七章 刚体的简单运动
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论 平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样， 加速度都一样 各点的运动轨迹 形状相同。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
π s = ϕ 0 l sin t 4
ds π π = lϕ 0 cos t dt 4 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v=
7
运动学
例 题 7- 1
O1 O2
第七章 刚体的简单运动
再求一次导，得A点的切向加速度
φ l
A O
（+）
l M B
π dv π2 at = =− lϕ 0 sin t dt 16 4
哈工大版理论力学复习题
理论力学复习题一、是非题1. 若一平面力系向A，B两点简化的结果相同，则其主矢为零主矩必定不为零。
2. 首尾相接构成一封闭力多边形的平面力系是平衡力系。
3. 力系的主矢和主矩都与简化中心的位置有关。
4. 当力系简化为合力偶时，主矩与简化中心的位置无关5.平面一般力系平衡的充要条件是力系的合力为零。
二、选择题1.将平面力系向平面内任意两点简化，所得的主矢相等，主矩也相等，且主矩不为零，则该力系简化的最后结果为------。
①一个力②一个力偶③平衡2.关于平面力系的主矢和主矩，以下表述中正确的是①主矢的大小、方向与简化中心无关②主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关③当平面力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化结果为一合力④当平面力系对某点的主矩不为零时，该力系向任一点简化的结果均不可能为一合力3.下列表述中正确的是①任何平面力系都具有三个独立的平衡方程式②任何平面力系只能列出三个平衡方程式③在平面力系的平衡方程式的基本形式中，两个投影轴必须相互垂直④平面力系如果平衡，该力系在任意选取的投影轴上投影的代数和必为零4. 图示的四个平面平衡结构中,属于静定结构的是三、填空1. 图示桁架。
已知力1p 、 和长度a 。
则杆1内力=_________； 杆2内力=_________； 杆3内力=_________。
2. 矩为M =10k N .m 的力偶作用在图示结构上。
若 a =1m ，不计各杆自重，则支座D 的约束力=_________，图示方向。
3. 一平面汇交力系的汇交点为A ，B为力系平面内的另一点，且满足方程。
若此力系不平衡，则力系简化为_________。
4.若一平面平行力系中的力与Y 轴不垂直，且满足方程0y F =∑。
若此力系不平衡，则力系简化为_________。
答案：一、1、×2、×3、×4、√5、×二、1、② 2、① 3、④ 4、③三、1、0、P 1、0 2、=10KN(--)（提示：先从CB 及绳处断开，以右部分为研究对象，以B 为矩心，列力矩方程，则D 处竖直方向力为零，再以整体为研究对象以A 为矩心，列力矩方程可求出D 处）3.过A 、B 两点的一个力4、一个力偶第三章 练习题一、是非题1.力对点之矩是定位矢量，力对轴之矩是代数量。
运动学(刚体简单运动)
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体的简单运动习题及答案
刚体的简单运动习题及答案刚体的简单运动习题及答案刚体是物理学中的一个基本概念，它指的是在运动过程中形状和大小不发生改变的物体。
在学习刚体的运动时，我们可以通过一些简单的习题来加深对刚体运动的理解。
下面，我将为大家提供一些常见的刚体运动习题及答案。
习题一：平抛运动小明站在一个高处，手中拿着一个小球，以一定的初速度将球水平抛出。
假设空气阻力可以忽略不计，请问球的运动轨迹是什么形状？答案：球的运动轨迹是一个抛物线。
在平抛运动中，刚体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上受到重力的作用，所以球的轨迹是一个抛物线。
习题二：滚动运动一个圆柱体沿着水平面滚动，它的质心速度和边缘速度哪个更大？答案：质心速度和边缘速度相等。
在滚动运动中，刚体的质心沿着运动方向做匀速直线运动，而刚体的边缘点则具有线速度和角速度的叠加效果。
由于圆柱体的每个点都有相同的角速度，所以质心速度和边缘速度相等。
习题三：转动惯量一个均匀的圆盘和一个均匀的长方体，它们的质量和半径（或边长）相同，哪个的转动惯量更大？答案：圆盘的转动惯量更大。
转动惯量是刚体旋转时惯性的量度，它与刚体的质量分布有关。
由于圆盘的质量分布更加均匀，所以它的转动惯量更大。
习题四：平衡条件一个悬挂在绳子上的物体处于平衡状态，绳子与竖直方向的夹角是多少？答案：绳子与竖直方向的夹角等于物体所受的重力与绳子张力的夹角。
在平衡状态下，物体所受的重力与绳子张力必须保持平衡，即两者的合力为零。
因此，绳子与竖直方向的夹角取决于物体所受的重力与绳子张力的大小关系。
习题五：平移运动和转动运动一个刚体在平面上做平移运动时，它的转动惯量是多少？答案：在平移运动时，刚体的转动惯量为零。
平移运动是指刚体的质心沿直线运动，此时刚体没有绕任何轴心旋转，所以转动惯量为零。
通过以上习题的解答，我们可以更好地理解刚体的运动特性。
刚体的运动涉及到平抛运动、滚动运动、转动惯量和平衡条件等方面的知识，通过解答这些习题，我们可以加深对刚体运动的理解，提高解题能力。
理论力学复习总结(知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即F R=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
刚体的简单运动—转动刚体内各点的速度和加速度(理论力学)
设角加速度如图所示
A MO
O
切向加速度 at dv d (R) R d R (+)
dt dt
dt
R
an
v
at
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加 速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线
M
B
垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 t 2 4t ，单位为弧度。 求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不
可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d2 2
• ①滑轮3s内的转数； • ②重物B在3s内的行程；
• ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
• ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
• ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有
C aA 1m/s2
aCt 1 2 rad/s2
R 0.5
（ ）常数
vC
vA
1.5m /s， 0 vC
4.5m /s2
a (at )2 (an )2 12 4.52 4.61 m/s2
C
C
C
tan aCt 1 0.222， 12.5
aCn 4.5
⑤ t=3s 时，
at a
1m/s2，a n
R 2
2
0.5 9
40.5m/s2
a 12 40.52 40.51m/s2，tan 1 0.0247， 1.41 C
理论力学运动学知识点总结
运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
•刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
•刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
•角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，。
角速度也可以用矢量表示，。
•角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，，当α与ω同号时，刚体作匀加速转动；当α与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示，。
•绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
•传动比。
一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。
•绝对运动：动点相对于定参考系的运动；•相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。
2.点的速度合成定理。
•绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；•相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；•牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。
3.点的加速度合成定理。
•绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；•相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；•牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；•科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。
•当动参考系作平移或= 0 ，或与平行时， = 0 。
该部分知识点常见问题有问题一牵连速度和牵连加速度的意义。
问题二应用速度合成定理时要画速度矢量图。
理论力学第7章(点的合成运动)
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
理论力学07刚体的平面运动
\AB vBA / AB l /l （ ）
22
速度投影法 研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vA vB sin \vB vA / sin
l / sin 45o 2l()不能求出 AB
即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时
图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等．
26
加速度瞬心的确定．
将任一点加速度
和 aA，由方程
aA
分解为两个正交分量 aτA+anA
aAn
aB
aA
aBA
a
n BA
要使 aB 0 ，必须 aAn aBAn
a
A
a
BA
点A的加速度 aA 等值反向，其绝对加速度 aQ 0
Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心．
[注] 一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点． 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关
系式. 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度
aA AB aB AB
若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动, 则有 aAAB aB AB
指向与 转向一致．
根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
13
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，
也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法
由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系．由于恒有 vBAAB ，因此将上式在AB
理论力学 刚体的平动和定轴转动
§7-4 刚体内各点的速度和加速度的矢量表示
用矢量表示角速度与角加速度
z
三维定轴
转动刚体
x
考察三维定轴转动刚体
角速度矢量、角加速度矢量
ω k d k
dt
y
α
k
dω dt
d 2
dt 2
k
用矢积表示刚体上点的速度与加速度
vP ω rP
aP
dvP dt
dω dt
rP
ω drP dt
考察三维定轴转动刚体
刚体的转动方程： ＝f (t)
转动角速度： 转动角加速度：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
3. 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度：
v ω r, a α r, an ωv
解：板运动过程中， 其上任意直线始终平 行于它的初始位置。 因此，板作平移。
1、运动轨迹
C点的运动轨迹与A、
B两点的运动轨迹形状 相同，即以O点为圆心
l为半径的圆弧线。
例题2
已知：O1A＝ O1B ＝l；O1A杆的角速度 和角加速度 。
求： C点的运动轨迹、速度和加速度。
2、速 度
vC= vA= vB= l
dt dt 2
讨论
（1）匀速转动 =常量
＝ 0+ t
2 n n
60 30
（2）匀变速转动 =常量
0 t
0
t
1
2
t2
2
2 0
2
§7-3 刚体内各点的速度和加速度
速度
S＝R
M0
R
O
R——转动半径
M
v
v dS R d R
dt dt
07 刚体的简单运动Hxj
角位移
Δ d lim * lim Δt 0 Δt 0 Δt dt
说明： 角速度单位是rad/s,工程单位n rpm(r/min或转/分) 换算关系为:
2n n 0.105n rad/s 60 30
3、 角加速度 设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△ (1) 平均角加速度
R
0.4m/s
a
M t t 1
R
t 1
d 2 R 2 dt
t 1
d 2 t 2 4t R dt 2
t 1
v
0.4m / s 2
a
M n t 1
R
2 t 1
0.2 2 0.8m / s
2
2
A
aA
全加速度大小及方向
a a 2 a 2 0.4 2 0.82 0.894m/s2 t n t 1 t 1 2 t 1 arctan 2 arctan t 1 4
§7-1 刚体的平行移动
一、概念 刚体运动时，如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中 该直线段始终与其最初位置平行，这种运动称为平行移动 (translation),简称平移或平动。
河南理工大学力学系
理论力学
第七章 刚体的简单运动
二、刚体平行移动的性质 设刚体作平行移动，如图。在刚 体内任取两点A和B，设其矢径分别为 rA和rB，则两条矢端曲线就是两点的轨 迹。由图中几何关系可知
1、 转动方程 Ⅰ和Ⅱ夹角 ---转角（位 置角）,单位为弧度(rad)
• 定轴转动方程 对着z轴正向看
t
7 2
• 的正、负规定 逆为正 顺为负
哈尔滨工业大学 第七版 理论力学 第7章 课后习题答案
解
设轮缘上任 1 点 M 的全加速度为 a，切向加速度 a t = rα ，法向加速度 a n = ω r ，如图
2
7-11b 所示。
tan θ =
把
α=
dω ， θ = 60° 代入上式，得 dt
at α = 2 an ω
dω tan 60° = dt2
ω
分离变量后，两边积分：
∫ω
得
ω
0
dω
ω
2
=∫
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ sin ω t 0 θ = tan −1 ⎢ ⎥ ⎢ h − cos ω 0 t ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣r
故
50 π ⋅ 600 100π r ω1 = rad/s ⋅ = 100 − 5t 30 10 − 0.5t d dω 5 000 π d ⎛ 1 000π ⎞ α2 = 2 = ⎜ ⎟= dt dt ⎝ 100 − 5t ⎠ (100 − 5π )2
故得
h1 =
h4 = 2 mm 6
图 7-7
7-8 如图 7-8 所示，纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速 v 拉纸条。求 纸盘的角加速度（以半径 r 的函数表示） 。 解 纸盘作定轴转动，当纸盘转过 2π rad 时半径减小 a。设纸盘转过 dθ 角时半径增加 dr ，则
dθ =
y
B
t aB
α j
O
vA x
ω
(a) 图 7-12
aC
(b)
i 45° A n
C
t aC
解
由图 7-12b 得出
84
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
v A = 0.2 j m/s ， v A = ω × Ri ， ω × 0.1i = 0.200 j ， ω = 2k ，
第7章 刚体的简单运动
第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。
一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。
因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。
例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。
这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。
刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。
现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。
刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。
该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。
为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。
这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。
如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。
将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。
综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。
因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。
所以，刚体的运动可归结为点的运动。
§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。
(完整版)6刚体的简单运动
an
v2
1 R 2
R
R 2
方向：与速度垂直并指向轴线
4 速度与加速度分布图
1、定轴转动刚体上各点的速度和加速度的大小均与该点到转轴 的垂直距离成正比。
2、在任一瞬时，刚体上所有各点的加速度a与该点轨迹半径的 夹角θ都具有相同值而与该点位置无关。
v R
a at2 an2 R 2 4
tan at an 2
0 t
d (0 t)dt
0
0t
1 t 2
2
0
0t
1 2
t 2
计算机硬盘驱动器的马达以匀变速转动，启动后为了能
尽快达到最大工作转速，要求在3秒内转速从0增加到
3000r/min，求马达的角加速度及转过的转数。
解： 马达的初始角速度 0 0
3秒后
n
30
3000 100
30
rad
s
0 t
d
dt
——表征刚体转动的快慢和转向； 是代数量，单位为：rad/s
3)角加速度
d
dt
d 2
dt 2
——表征角速度随时间变化的快慢; 是代数量，单位：rad/s2
两种特殊情形
1）匀速转动
d 常数
dt
d dt
0 t
0 t
2）匀变速转动
d =常数
dt
d dt
0 dt
简化：刚体上任取一条直线A1A//z轴。 由于A1A作平动，取A代表直线运动。 即：刚体转动简化为与转轴垂直的平面
图形的运动；平面上各个点的运动代表了对应 的整个刚体的点的运动规律。
3、转动刚体的转动方程、角位移、角速度和角加速度
f ( t ) 转动方程
理论力学中的刚体运动规律解析
理论力学中的刚体运动规律解析理论力学是研究物体运动的规律和原理的学科，其中刚体运动是其重要的研究对象之一。
刚体是指形状不变的物体，它的运动规律是通过力学原理和数学分析来解析的。
本文将从刚体的定义、刚体的运动方程以及刚体的自由度等方面，对理论力学中的刚体运动规律进行解析。
首先，刚体是指形状不变的物体。
在理论力学中，刚体的定义是指物体内部各点之间的距离在运动过程中保持不变。
这意味着刚体在运动过程中不会发生形变，它的形状和大小始终保持不变。
这种性质使得刚体的运动规律相对简单，可以通过力学原理和数学分析来解析。
其次，刚体的运动规律可以通过刚体的运动方程来描述。
刚体的运动方程是刚体运动的基本方程，它描述了刚体在运动过程中的位置、速度和加速度之间的关系。
刚体的运动方程可以分为平动方程和转动方程两部分。
平动方程描述了刚体的质心运动。
质心是指刚体所有质点的质量加权平均位置，它相当于刚体的一个集中点。
平动方程可以通过牛顿第二定律来推导，即F=ma，其中F是作用在刚体上的合外力，m是刚体的质量，a是刚体的加速度。
根据牛顿第二定律，可以得到刚体的质心加速度与作用在刚体上的合外力之间的关系。
通过对刚体的质心加速度进行积分，可以得到刚体的质心速度和位置与时间的关系，从而得到刚体的平动方程。
转动方程描述了刚体的转动运动。
刚体的转动方程可以通过力矩和转动惯量来推导。
力矩是指力对物体产生转动效果的能力，它与力的大小和作用点到转轴的距离有关。
转动惯量是刚体对转动运动的惯性度量，它与刚体的质量分布和形状有关。
根据牛顿第二定律和力矩的定义，可以得到刚体的转动方程。
通过对刚体的转动方程进行求解，可以得到刚体的角加速度、角速度和角位移与时间的关系，从而描述刚体的转动运动。
此外，刚体的自由度也是理论力学中的重要概念。
自由度是指描述刚体运动所需的独立变量的个数。
对于平动的刚体，其自由度为3，分别是质心在三个坐标轴上的位移。
对于转动的刚体，其自由度为3，分别是绕三个坐标轴的转动角度。
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dt
(h2 v02t 2 )2
已知：一飞轮绕固定轴O 转动，其轮缘上任一点的全加速度
在某段运动过程中与轮半径的交角恒为 。60当 运动
开始时，其转角 等于0 零，角速度为 。 0
求：飞轮的转动方程以及角速度与转角的关系。
d
dt
d
dt
aτ Rα an Rω2
d
tan 600 a an
一、刚体的平动 二、刚体的定轴转动 三、转动刚体内各点的速度和加速度 四、轮系的传动比
一、刚体的平行移动
1、定义：如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直
线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行 移动，简称平动或移动。
o1
o2
A
B
直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线。 曲线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为曲线。
R2 R1
Z2 Z1
２、皮带轮和链轮传动
皮带轮（链轮）传动适用于两轴距离较远的情况。 （1）特点：
①皮带不可伸长（理想化）。 ②设皮带与轮之间无相对滑动。 ③皮带（链条）上各点的
v、相a同 。
（2）传动比 由上述皮带传动特点可知：
vA vA vB vB r11 r22
i12
1 2
r2 r1
f t ——刚体的转动方程
A B
z
3、角速度和角加速度
刚体转动的角速度
d
dt
刚体转动的角加速度
d d 2
dt dt 2
A
（1）匀速转动 = 常量
t
d dt
0
0
0 t
B
2 n n
（2）匀变速转动 = 常量
60 30
d
dt
0 t
0
t
1 2
t2
三、转动刚体内各点的速度和加速度
特点：不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂 直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。
1、点的运动方程
s R
R —— 转动半径
2、速度
M0 R O
M
v
速度的大小：
v ds R d R
dt dt
v
O
速度方向：沿圆周的切线而指向转动的一方。 速度分布图
3、加速度
s R v R
an O
aτ
dv dt
s
Rα
M
an
v2 ρ
1 Rω2
R
Rω2
a v
a
a2
a2 n
R
2 4
O
a
M
a
加速度分布图
tanθ
a an
2
（1）每一瞬时，刚体内所有各点的加速度的大小，
分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。
（2）每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间
的夹角都有相同的值。
已知：O1A＝ O2B ＝h， O1 O2 =AB ， O1A 杆的角速度ω 和角加速度 。
2、运动方程
刚体内任选两点A、B，此两点之间的距离保持不变。
由坐标原点向A、B 两点作矢径
r rB
r rA
uuur AB
rA、rB
B1
B
B2 B3
B4
AB 常矢量
大小：A、B之间的距离不变。 rB
A A1 A2 A3
A4
方向：平动刚体A、B保持平行。 rA
O
因此只要把A点的运动轨迹沿 AB方向平移一段距离AB，A、
1、定义：
刚体(包括扩展部分)上两点保持不动，则这种 运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：不动两点的连线 简称为：轴
皮带轮传动
2、刚体的转动方程
A ——固定平面。
B ——动平面，B与刚体固连在一起，随刚体一起转动。
开始A、B 两平面重合
z
刚体在空间的位置可用两个平面的夹角 确定。
——称为转角，是一个代数量。
0e 3
四、轮系的传动比
１、齿轮传动
机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的 （1）齿轮传动特点
①两轮接触点的速度大小相等、方向相同。 ②两轮接触点的切向加速度大小相等、方向相同。
（2）啮合2
vA vB
R11 R22
i12
1 2
OO1=O1O2=AB=CD=CM=DM=a
C
D
an M
M
C
A
B
B
A
O
O1
O2
( c)
(d)
已知：h，vo
y
A
求：OA杆的转动方程、角速 度和角加速度。
h
v0
O
解：建立图示坐标系
x
x
tan x v0t
hh
arctan(v0t )
h
d hv0
dt h2 v02t 2
d 2hv03t
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。
已知：OA＝l； ＝ t
A
M
求：T 型杆的速度和加速度。 O
Cx
B
解：T 型杆作平动，建立图示坐标系，取M点为研究
xM l sin l sint
vM
dxM dt
l cos t
aM
dvM dt
l 2 sint
二、 刚体绕定轴的转动
B两点的运动轨迹完全重合。 刚体平动时，其上各点的轨迹的形状完全一样。
3、速度和加速度分布
rrB
rrA
uuur AB
uuur
d AB
0
dt
r vB
r drB dt
r drA dt
r vA
rr
r aB
dvB dt
dvA dt
r a
A
vB vA
aB aA
刚体平动时，其上各点运动轨迹的形状相同；在每一瞬时，
求：C1 点的运动轨迹、速度和加速度。
v R
aτ Rα an Rω2
思考题
试计算杆M点的速度、加速度，并画出其方向。
AB=BC=CM=a
vC aM
M
A
an M
b
B
a
O
a
(b) (a)
思考题
试计算杆M点的速度、加速度，并画出其方向。
AB=BC=CM=a
AB∥OO1∥CD ∥O1O2
M
aM v M
2
dt
2
d 2dt
aτ an
d
d t
2 3dt 0 2 0 3dt
d t
3dt
0 2
0
11 3t
0
0 1 30t
d 0 dt 1 30t
t
d
0
dt
0
0 1 30t
1 ln 1 3 1 30t
——飞轮的转动方程
代入上式
0
1 30t
1 ln 3 0
已知：搅拌机由主动轴 O同1 时带动齿轮 O2、转O动3 ，搅杆
ABC用销钉A、B与 O轮2、相O连3 。若已知主动轮转
动角速度为 n 950， r / min各轮A的B 齿O2O3 ，
数如图所示， O3 A O2B r 25cm
求：搅杆端点C 的速度和轨迹。
解：Z 2 ，Z3轮 与O轮2
O3
的角速度大小相等，方向
相同，即， O2 O3
搅拌杆作平动，其上各点
轨迹的形状、速度均相同。
vA vB vC
则B点的轨迹是半径为r 的圆。 n 950 r / min
O1 O2
2n 950 2 99.48 rad / s O2
60
Z1 Z2
O1
60 20 99.48 39.79 50