湘教版初中数学知识点归纳复习课程

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最完整湘教版初中数学知识点归纳

最完整湘教版初中数学知识点归纳
一、整数和有理数
1.整数的概念和表示方法
2.整数的加法和减法运算
3.整数的乘法和除法运算
4.有理数的概念和表示方法
5.有理数的加法和减法运算
6.有理数的乘法和除法运算
二、代数式与等式
1.代数式的概念和表示方法
2.代数式的加减法运算
3.代数式的乘法运算
4.代数式的除法运算
5.等式的概念和性质
6.等式的变形与解方程
三、变量与函数
1.变量的概念和应用
2.一元一次方程的解法
3.一元一次方程组的解法
4.二次根式的概念和性质
5.二次根式的运算
6.一元二次方程的解法
四、图形的性质与变换
1.直线、线段和射线的概念
2.角的概念和性质
3.三角形的性质和分类
4.四边形的性质和分类
5.圆的概念和性质
6.图形的平移、旋转和对称
五、图形的计量
1.长度的计量和单位换算
2.面积的计算和单位换算
3.体积的计算和单位换算
4.直角三角形的边长关系
5.圆的周长和面积计算
六、相似与全等
1.相似图形的概念和性质
2.相似三角形的判定条件
3.相似三角形的性质和运用
4.全等图形的概念和判定
5.全等三角形的性质和运用
七、统计与概率
1.数据的收集和整理
2.数据的统计和分析
3.数据的表示和解读
4.概率的概念和计算
以上是湘教版初中数学知识点的一个精华版归纳。

在学习中应重点理解和掌握这些知识点，通过练习题巩固理解，并注重解题方法和思维的培养，以提高数学解题能力。

七年级数学湘教版知识点汇总

七年级数学湘教版知识点汇总七年级下册数学知识点概率一、事件:1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。

2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。

也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%(或1)。

3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。

也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。

4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。

二、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。

1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P(A)=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。

2、必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1;3、不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0;4、不确定事件发生的概率在0—1之间，记作0三、几何概率1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积(用SA表示)除以所有可能结果组成图形的面积(用S全表示)，所以几何概率公式可表示为P(A)=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。

2、求几何概率：(1)首先分析事件所占的面积与总面积的关系;(2)然后计算出各部分的面积;(3)最后代入公式求出几何概率。

初一数学学习方法一预习对于理科学习，预习是必不可少的。

我们在预习中,应该把书上的内容看一遍，尽力去理解，对解决不了的问题适当作出标记，请教老师或课上听讲解决，并试着做一做书后的习题检验预习效果。

二听讲这一环节最为重要，因为老师把知识的精华都浓缩在课堂上，听数学课时应做到抓住老师讲题的思路，方法。

有问题记下来，课下整理，解决，数学课上一定要积极思考，跟着老师的思路走。

三复习体会老师课上的例题，整理思维，想想自己是怎么想的，与老师的思路有何异同，想想每一道题的考点，并试着一题多解，做到举一反三。

四作业认真完成老师留的习题，适当挑选一些课外习题作为练习，但切忌一味追求偏题，怪题，更不要打“题海战术”。

湘教版数学七年级下册知识点归纳

湘教版数学七年级下册知识点归纳初中数学七年级下册知识点归纳（湘教版）第一章二元一次方程1.二元一次方程是含有两个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程。

2.由两个含有相同未知数的二元一次方程（或一个二元一次方程和一个一元一次方程）联立起来组成的方程组叫做二元一次方程组。

3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程左、右两边的值都相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。

4.代入消元法，即由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有另一未知数的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。

5.加减消元法，即当两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。

6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找等量关系。

第二章整式的乘法7.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即an.am=am+n(m,n是正整数)。

8.幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即(an)m=amn(m,n是正整数)。

9.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即(ab)n=anbn(n是正整数)。

10.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。

11.单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即a（m+n）=am+an。

12.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn。

13.平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

即（a+b）（a-b）=a2-b2.14.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

即（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.15.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2，（a+b）2-（a-b）2=4ab，a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab，（a+b）2=（a-b）2+4ab,（a-b）2=（a+b）2-4ab。

湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点

湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点教学目标1 使学生系统了解本章的知识体系及知识内容；2 进一步了解分式的基本性质、分式的运算法则以及整数指数幂，会熟练地进行分式的运算。

重点、难点重点：梳理知识内容，形成知识体系。

难点：熟练进行分式的运算。

教学过程一知识结构与知识要点1浏览第2章目录，阅读p 61---63 复习与小结 2 这章学习了哪些内容？（学生交流）教师投影本章知识结构图 3 你还记得下面知识要点吗？（1）什么叫分式？设f 、g 都是整式，且g 中含有字母，我们把f 除以g 所得的商记作f g ，把f g叫做分式。

（2）分式基本性质设h ≠0,则f f hg g h⋅=⋅即：分式的分子与分母同时乘以一个非零的多项式，所得分式与原分式相等；分式的分子分母同时约去公因式，所得分式与原分式相等。

（3）分式的符号变换法则是什么？,f f f f fg g g g g−−===−−− 形象的理解为：分式的分子分母的符号可以移动 ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩分式的概念约分分式的性质通分分式的符号变号法则分式乘除法分式的运算乘方加减法分式方程的解法分式方程分式方程的应用（4）分式的运算法则①分式的乘法：f u f ug v g v⋅⋅=⋅可以先把分子、分母分别相乘再约分，也可以先约分再分子、分母分别相乘。

②分式的除法：f u f v f vg v g u g u⋅÷=⋅=⋅，分式除以分式，把被除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式加减法：同分母：f h f hg g g±±=，分母不变，分子相加减。

异分母:先通分，化为同分母的分子然后相加减。

怎样找最简公分母？系数：取各分母的系数最少公倍数。

字母因式：取所有的，指数最高的。

（5）整数指数幂的运算法则①同底数的幂的除法：(n m n m n a a a m −÷=≠、都是正整数，m>n,a 0) ②零次幂和负整数指数幂：01(0)a =≠a ，1(0,n n a a n a−=≠是正整数），11(0a a a−=≠）③整数指数幂有哪些运算法则：设a ≠0,m,n 都是整数,则：()(),nnm n m n m mn n n a a a a a ab a b +⋅===，二例题精讲w W w .x K b 1.c o M 例1 填空：当x=_____,分式()3(5)(1)2x x x −−+无意义。

202X年初中数学湘教版七年级下册知识点归纳

千里之行，始于足下。

202X年初中数学湘教版七年级下册知识点归纳以下是202X年初中数学湘教版七年级下册的知识点归纳：
1. 等比数列：首项、公比、通项公式、求和公式
2. 多项式的乘法：多项式乘法的法则，常用乘法公式
3. 倍数和约数：倍数和最大公约数的概念及计算方法
4. 定比分和中心对称：定比分的概念及计算方法，中心对称的概念及性质
5. 解方程：一元一次方程的解法，解法的步骤及注意事项
6. 平面直角坐标系：平面直角坐标系的概念，点的坐标及坐标的运算
7. 合数与素数：合数和素数的概念及判断方法
8. 几何图形的相似与全等：相似的概念及性质，全等的概念及判定条件
9. 解一元一次方程：一元一次方程的解法及应用
10. 三角形：三角形的定义及分类，三角形的角度和边长关系
11. 向量：向量的概念及表示方法，向量的加法和减法
12. 一次函数：一次函数的定义及表示方法，一次函数的图像和性质
13. 概率：概率的基本概念，概率的计算方法及应用
14. 等腰三角形与等边三角形：等腰三角形的性质及判定条件，等边三角形的性质
15. 分式：分式的概念及表示方法，分式的运算法则
16. 数据的收集与整理：数据的收集方法和整理方法，构建统计图表
以上是202X年初中数学湘教版七年级下册的知识点归纳，希望能对你有所帮助。

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湘教版七年级数学知识点总结

湘教版七年级数学知识点总结第一章有理数与小数1. 有理数的概念与性质1）有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，可以表示为a/b的形式，其中a是整数，b是非零整数。

2）有理数的性质：有理数的四则运算封闭性、交换律、结合律等。

2. 小数的概念与性质1）小数的概念：小数是指小数点后有限位、或无限循环的无限位的数。

2）小数的性质：小数的大小比较、小数的加减法、小数与整数的运算等。

3. 有理数的加减法1）有理数的加法：同号相加、异号相减。

2）有理数的减法：减去一个有理数等于加上与被减数相反数的和。

4. 有理数的乘法与除法1）有理数的乘法：同号相乘得正，异号相乘得负。

2）有理数的除法：除以一个有理数等于乘以这个有理数的倒数。

5. 有理数的绝对值1）绝对值的概念：一个数a的绝对值是非负数，记作|a|，如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。

2）绝对值的性质：绝对值的非负性、非负数的绝对值等于该数自身、负数的绝对值等于该数的相反数等。

第二章平方根和立方根1. 平方数与立方数1）平方数的概念：一个数的平方等于它本身的积，这个数就是平方数。

2）立方数的概念：一个数的立方等于它本身的三次方，这个数就是立方数。

2. 平方根与立方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，记作√a。

2）立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作³√a。

3. 平方根与立方根的性质1）平方根与立方根的非负性：平方根和立方根都是非负数。

2）平方根与立方根的相等性：如果a≥0，那么a的平方根和a的立方根相等。

3）平方根与立方根的大小关系：如果a≥b≥0，那么√a≥√b，³√a≥³√b。

4. 平方根的运算1）平方根的开平方运算：利用平方根的非负性和加减法性质进行运算。

2）平方根的化简：求一个数的平方根的过程。

5. 立方根的运算1）立方根的开立方运算：利用立方根的非负性和加减法性质进行运算。

湘教版初中数学知识点归纳(总6页)

湘教版初中数学知识点归纳-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除湘教版初中数学知识点归纳七年级上册第一章有理数具有相反意义的量数轴、相反数与绝对值有理数大小的比较有理数的加法和减法有理数的乘法和除法有理数的乘方有理数的混合运算第二章代数式用字母表示数列代数式代数式的值整式整式的加法和减法第三章一元一次方程建立一元一次方程模型等式的性质一元一次方程的解法一元一次方程模型的应用第四章图形的认识几何图形线段、射线、直线角第五章数据的收集与统计数据的收集与抽样统计图七年级下册第一章二元一次方程组建立二元一次方程组二元一次方程组的解法二元一次方程组的应用三元一次方程组第二章整式的乘法整式的乘法乘法公式第三章因式分解多项式的因式分解提公因式法公式法第四章相交线与平行线平面上两条直线的位置平移平行线的性质平行线的判定垂线两条平行线间的距离第五章轴对称与旋转轴对称旋转图形变换的简单应用八年级上册第一章分式分式分式的乘法和除法整数指数幂分式的加法和减法可化为一元一次方程的分式方程第二章三角形三角形命题与证明等腰三角形线段的垂直平分线全等三角形用尺规作图第三章实数平方根立方根实数第四章一元一次不等式（组）不等式不等式的基本性质一元一次不等式的解法一元一次不等式的应用一元一次不等式组第五章二次根式二次根式二次根式的乘法和除法二次根式的加法和减法八年级下册第一章直角三角形直角三角形的性质与判定（1）直角三角形的性质与判定（2）直角三角形全等的判定角平分线的性质第二章四边形多边形平行四边形中心对称和中心对称图形三角形的中位线矩形菱形正方形第三章图形与坐标平面直角坐标系简单图形的坐标表示轴对称和评议的坐标表示第四章一次函数函数和它的表示法一次函数一次函数的图像用待定系数法确定一次函数表达式一次函数的应用第五章频数及其分布频数与频率频数直方图九年级上册第一章反比例函数反比例函数反比例函数的图像和性质反比例函数的应用第二章一元二次方程一元二次方程一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的应用第三章图形的相似比例函数平行线分线段成比例相似的图形相似三角形的判定与性质相似三角形的应用位似第四章锐角三角函数正弦和余弦正切解直角三角形解直角三角形的应用第五章用样本推断总体总体平均数与方差的估计统计的简单应用九年级下册第一章二次函数二次函数二次函数的图像与性质不共线三点确定二次函数的表达式二次函数与一元二次方程的连续二次函数的应用第二章圆元的对称性圆心角、圆周角垂径定理过不共线三点作圆直线与圆的位置关系弧长和扇形面积正多边形与圆第三章投影与视图投影直棱柱、圆锥的侧面展开图三视图第四章概率随机事件与可能性概率及其计算用频率估计概率。

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湘教版七年级数学下册知识点归纳第一章二元一次方程组一、二元一次方程组1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数〔即次数〕都是1的方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程组：两个二元一次方程〔或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个〕合在一起，就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等〔即等式成立〕的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组〔对〕数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解〔即无公共解〕。

二元一次方程组的解的讨论：二元一次方程组 a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2①、当a1/a2≠b1/b2时，有唯一解；②、当a1/a2=b1/b2≠c1/c2时，无解；③、当a1/a2=b1/b2=c1/c2时，有无数解。

例如：对应方程组：①、x+y=4②、x+y=3③、x+y=43x-5y=92x+2y=52x+2y=8例：判断以下方程组是否为二元一次方程组：①、a+b=2 ②、x=4 ③、3t+2s=5 ④、x=11b+c=3 y=5 ts+6=0 2x+3y=03、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X的代数式表示Y，就是先把 X看成数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，那么相当于把Y看成数，把X看成未知数。

例：在方程2x+3y=18中，用含x的代数式表示y为：___________,用含y的代数式表示x 为:____________。

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：1/22要抓住两个方面：①、未知数的指数为1，②、未知数前的系数不能为 0例：方程(a-2)x^(/a/-1) –(b+5)y^(b^2-24)=3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b 的值。

2024年湘教版初一数学知识点总结（3篇）

2024年湘教版初一数学知识点总结____年湘教版初一数学知识点总结一、数的认识1. 数的基础概念：整数、自然数、零、数轴2. 数的表示方法：数字符号、数位、数的读法3. 比较大小：比较两个整数大小的方法4. 数的分类：正数、负数5. 数的相反数和绝对值：相反数的概念、绝对值的概念与计算二、算术运算1. 四则运算：加法、减法、乘法、除法的计算与应用2. 运算律：加法结合律、乘法结合律、加法交换律、乘法交换律、分配律3. 小数的运算：小数的加减法、乘法、除法4. 分数的运算：分数的加减法、乘法、除法5. 括号的运算：带括号的四则运算6. 整数的运算：整数的加减法、乘法、除法三、比例与比例运算1. 比例的概念：比例与比例的意义2. 比例的性质：比例的等价性、比例的反比例性质3. 比例的应用：比例在实际问题中的应用4. 倍数与倍比：倍数的概念、倍比的意义四、数的倍数与公约数、公倍数1. 倍数的概念：倍数的定义与判断2. 公约数与公倍数：公约数的概念、公倍数的概念3. 最大公约数与最小公倍数：最大公约数的求法、最小公倍数的求法4. 分数的化简：约分与分数的最简形式五、分数的加减法与混合运算1. 分数的加法：同分母分数的加法、异分母分数的加法2. 分数的减法：同分母分数的减法、异分母分数的减法3. 带分数的加减法：带分数的加法、带分数的减法4. 分数与整数的加减法：分数与整数的加法、分数与整数的减法六、小数与百分数1. 小数与分数的关系：小数与分数的相互转换2. 小数与百分数的关系：小数与百分数的相互转换3. 百分数的意义与运用：百分数的定义、百分数在实际问题中的应用4. 百分数的计算：百分数的增减、乘除法七、实数的认识1. 无理数的概念：无理数与有理数的关系2. 实数的有序性：实数的大小比较、实数的大小性质3. 实数的运算：实数的加法、减法、乘法、除法4. 实数的应用：实数在实际问题中的应用八、图形的认识与表示1. 二维图形：点、线、线段、射线、角、平行线、垂直线、平行四边形、三角形、四边形、多边形、圆等的概念与性质2. 三维图形：立体图形的概念与种类3. 简单图形的绘制与测量：直线的绘制与测量、角的绘制与测量、实物对应的图形九、图形的运动1. 图形的平移：平移的概念与性质、平移的表示方法2. 图形的旋转：旋转的概念与性质、旋转的表示方法3. 图形的对称：对称的概念与性质、对称的表示方法4. 图形的相似：相似的概念与性质、相似的判定方法十、图形的应用1. 图形的投影：图形的正射投影与斜投影2. 图形的计算：图形面积的计算、图形周长的计算、体积的计算3. 图形的应用：图形在实际问题中的应用2024年湘教版初一数学知识点总结（2）2024年湘教版初一数学知识点总结（3）湘教版初一数学主要包括以下几个知识点：1. 小数与分数小数与分数之间的相互转换是初中数学的基础。

七年级知识点湘教版数学

七年级知识点湘教版数学七年级的数学学科是学生们接触到抽象化的数学概念的时候。

在这个学段，学生们不再单纯地对数字进行加减乘除的操作，而是开始学习到代数式，比例，几何等概念。

本文旨在总结七年级知识点湘教版数学的相关内容，帮助学生们更好地掌握该领域的知识。

一、数与代数式1.自然数的概念与性质，加减乘除的计算及其在实际生活中的应用。

2.整数的概念、运算法则及性质，以及负数的概念。

3.正数、负数的加减法则。

4.变量及其代数式的概念，一元一次方程的解法及应用。

二、比与比例1.比及其应用，比的性质及其运算，比的分离与合并。

2.比例的概念、性质及其应用，比例的倒数及其性质。

3.比例与百分数的关系，如何将一个比例转换成百分数，百分数的应用。

三、图形的认识与应用1.平面图形的基本概念与性质，形状、面积、周长的测量及其计算。

2.三角形的性质及其判定、面积计算及其应用；3.矩形、正方形、梯形、菱形、圆的性质及其判定、面积计算及其应用。

四、数据与统计1.数据及其统计方式的分类及其确定方法。

2.统计指标的计算方法。

3.对图表中的数据进行分析，并进行简单的信息统计与讨论。

以上仅是七年级知识点湘教版数学的一部分，但已经包括了主要的内容。

在学习过程中，我们可以利用多种学习资源，如老师的讲解、教材的学习、辅导书籍、线上视频等，以此来更深入，更系统化地学习。

我们还可以结合实际生活中的问题，通过小组讨论，老师引导等方式，来更好地将数学知识运用于生产生活中，使其更加接地气，让学生们更好地领悟到数学知识的实际用处。

总之，七年级数学学科的每个知识点都需要彻底掌握，才能在以后的学习中更好地理解和操作。

通过不断地练习和思考，相信学生们一定能够掌握好该学科，进一步提升自己的数学素养。

湘教版八年级数学上册知识点总结

湘教版八年级数学上册知识点总结湘教版八年级数学上册知识点总结第一章：分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复与测试第二章：三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复与测试第三章：实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第四章：一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复与测试第五章：二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复与测试知识点总结第一章：分式1.构建前的回顾在阅读教材P1-40之前，我们需要回顾一下相关的知识点。

2.分式的概念分式是指以分数形式表示的代数式，其中分母不为零。

3.分式的性质分式有以下基本性质：分式的分子与分母都乘以同一个非零数，所得分式与原分式相等。

分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

分式的符号可以通过改变分子、分母或分式本身的符号来改变，但分式的值不变。

最简分式是指分子与分母没有公因式的分式。

4.分式的运算分式的加减法：同分母分式相加减，分子相加减，分母不变；异分母分式相加减，先找到它们的最简公分母，然后将分子相加减，分母不变。

分式的乘除法：分式乘法就是将分子和分母分别相乘，然后约分；分式除法就是将除式的分子和分母颠倒位置，然后与被除式相乘。

5.分式方程分式方程是指含有分式的方程，可以通过将分式化为一元一次方程来解决。

第二章：三角形本章介绍了三角形的基本概念、命题与证明、等腰三角形、线段的垂直平分线、全等三角形和用尺规作三角形等知识点。

第三章：实数本章介绍了实数的概念，以及平方根和立方根的计算方法。

第四章：一元一次不等式（组）本章介绍了不等式的基本性质、一元一次不等式的解法和应用，以及一元一次不等式组的解法。

湘教版七年级上册数学知识点总结归纳

第一章知识归纳一、有理数基本概念1.正数与负数我们把以前学过的数大于零叫做正数。

有时在正数前面也加上“+”（正）号。

如+0.5、+3、+1/2……“＋”号可以省略。

我们把在以前学过的数（0除外）前面加上负号“-”的数叫做负数。

如－３、－０.５、-2/3……0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界。

正数与负数可以用来表示具有相反意义的量。

相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量。

与一个量成相反意义的量不止一个。

2．有理数正整数、0统称自然数；正整数、0、负整数统称整数；正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数整数可以看做分母为1的分数。

正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式。

可以这样说:有理数都能写成分数的形式；能写成分数（分子分母互质）形式的数是有理数.有理数的分类（两种）正整数整数零有理数负整数分数正分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负有理数负整数负分数3. 数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。

4.相反数一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的左右，表示－a和a，我们说这两点关于原点对称。

只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

在一个数前面添上“-”号,表示这个数的相反数。

5.绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

对任意有理数a ，总有0a ≥。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

（互为相反数的两个数的绝对值相等。

）6.比较大小（1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

初中数学湘教版知识点总结

初中数学湘教版知识点总结一、整数与有理数1. 整数的概念整数包括正整数、负整数和零，表示为......2. 整数的加法整数的加法包括同号数相加、异号数相加，以及加法交换律、结合律......3. 整数的减法整数的减法可以通过加法的逆运算来实现，例如a-b=a+(-b)......4. 整数的乘法整数的乘法也包括同号数相乘、异号数相乘，以及乘法交换律、结合律......5. 整数的除法整数的除法同样也可以通过乘法的逆运算来实现，例如a÷b=a×(1/b)......6. 有理数的概念有理数包括整数和分数，在数轴上可以表示为有限小数或循环小数......7. 有理数的比较有理数的比较可以通过数轴上的位置来确定大小关系，也可以通过化简、通分等方法来比较大小......二、整式与方程1. 代数式代数式是由变量和数的运算符号组成的符号串，可分为单项式、多项式、恒等式......2. 整式整式是由代数式经过加、减和乘运算得到的式子，根据乘法交换律和结合律可以进行展开和化简操作......3. 方程方程是表示两个代数式相等的式子，可以通过变形、消元等方法解得未知数......4. 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程......5. 二元一次方程组二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，通过消元、代入等方法可以解得未知数的值......三、图形的认识1. 点、线和面图形由点、线和面组成，可以通过这些基本要素来构建各种图形......2. 直线、射线和线段直线是由点无限延伸而成，射线是由点有一个方向延伸而成，线段是由有限个点构成的线段......3. 角角是由两条射线共同起点构成的几何图形，可以通过度数来表示大小......4. 三角形三角形是由三条边和三个角构成的图形，可以根据边长、角度大小等属性进行分类......5. 四边形四边形是由四条边和四个角构成的图形，可以根据边长、对角线长度等属性进行分类......四、比例1. 比例的概念比例是指两个量之间的对应关系，可以用等号表示为a:b=c:d......2. 比例的性质比例具有重要性质，如比例中各个比例项的积相等、比例中的对应项成比例、比例可逆等......3. 比例的应用比例广泛应用于实际生活中，如用比例来解决生活中的问题、制作比例尺模型等......五、数的运算1. 分数的加减分数的加减可以通过找到公共分母、通分等方法来实现，然后进行数的加减运算......2. 分数的乘除分数的乘除可以通过找到公共倍数、通分等方法来实现，然后进行数的乘除运算......3. 分数的化简分数的化简是指将分子分母的公因数约去，使得分数的值不变而更简便......六、数据的处理1. 平均数平均数是指一组数值的总和除以其个数所得的值，可以用来表示数值的集中趋势......2. 中位数中位数是指一组数值按大小顺序排列后正中间的数，可以用来表示数值的集中趋势......3. 众数众数是指一组数值中出现频次最多的数，可以用来表示数值的集中趋势......七、统计与概率1. 数据的收集与整理数据的收集与整理是指对一组数据进行采集、整理、分类、汇总等操作，以便后续的统计运算......2. 错误数据的处理错误数据是指在数据收集过程中产生的错误值，可以通过排除或更正的方式来处理......3. 概率的概念概率是指在一次试验中某一事件发生的可能性，可以通过频率、古典概率等方法来计算......八、平面与立体图形1. 平面图形平面图形是指位于同一平面中的图形，包括多边形、圆、椭圆、直线、曲线等......2. 立体图形立体图形是指具有厚度、体积的图形，包括立方体、长方体、正方体、棱锥、棱柱、圆柱、圆锥、球体等......3. 图形的相似与全等图形的相似是指对应角相等、对应边成比例，图形的全等是指对应边相等、对应角相等......九、乘法和因式分解1. 一次多项式一次多项式是指多项式中的最高次项的次数为一，可以表示为y=kx+b......2. 二次根式二次根式是指形如√a、√（a+√b）、（√a+√b）/c等形式的根式......3. 乘法定理乘法定理是指两个多项式相乘后展开的规律，可以化简为每一项与每一项相乘的和......4. 因式分解因式分解是指将一个多项式拆解为两个或多个因式的乘积，可以用来求多项式的零点、化简等......以上就是初中数学湘教版的知识点总结。

湘教版初中八年级下册数学第3章图形与坐标知识归纳

三、图形与坐标1.点的对称性：关于x轴对称的点，横坐标相反，纵坐标相等；关于y轴对称的点，横坐标相等，纵坐标相反；关于原点对称的点，横、纵坐标都相反。

若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。

解题方法：相等时用“=”连结，相反时两式相加=0。

·已知A、B两点的坐标分别是（-2,3）和（2,3），则下面四个结论：① A、B关于x轴对称；② A、B关于y轴对称；③ A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4。

其中正确的有个。

·已知点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于x轴对称，则m= ，n= 。

·已知点P（3，-1）关于y轴对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则b a的值是。

2.坐标平移：左右平移：横坐标右加左减，纵坐标不变；上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减。

例如：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h 个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b －h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）.·将四边形ABCD先向左平移3个单位，再想上平移2个单位，那么点A（3，-2）的对应点A 的坐标是＿＿＿＿＿.·已知点A（m，n），把它向左平移3个单位后与点B(4,-3)关于y轴对称，则m=＿＿,n=＿＿.·在平面直角坐标系中，点M的坐标为（b，-2b），将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，则b的取值范围是＿＿＿.3.在平面直角坐标系中会画轴对称、平移后的图形，并写出图形顶点的坐标。

·在平面直角坐标系中描出点A（3,5）、B（1,1）、C（5,3）的位置，连成△ABC.①作出△ABC关于x轴对称的ΔA B C，111并写出三个顶点的坐标；图3相帅炮②作出△ABC 关于原点O 成中心对称的222ΔA B C ，并写出三个顶点的坐标； ③将△ABC 向左平移6个单位长度，画出平移后的333ΔA B C ，并写出三个顶点的坐标； ④求出四边形123BB B B 的面积。

(完整word版)湘教版中考数学知识点总结归纳(必属)

初中数学知识点总结一、基本知识㈠、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/ 负整数②分数→正分数 / 负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就获取数轴。

②任何一个有理数都能够用数轴上的一个点来表示。

③假如两个数只有符号不一样，那么我们称此中一个数为此外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的双侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右侧的总比左边的大。

正数大于0，负数小于 0，正数大于负数。

绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是他的自己、负数的绝对值是他的相反数、0 的绝对值是 0。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：加法：①同号相加，取同样的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0 相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与 0 相乘得 0。

③乘积为 1 的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不可以作除数。

乘方：求 N个同样因数 A 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂， A 叫底数， N叫次数。

混淆次序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数无理数：无穷不循环小数叫无理数平方根：①假如一个正数X 的平方等于 A，那么这个正数X 就叫做 A 的算术平方根。

②假如一个数X 的平方等于 A，那么这个数 X 就叫做 A 的平方根。

③一个正数有 2 个平方根 /0 的平方根为 0/ 负数没有平方根。

④求一个数 A 的平方根运算，叫做开平方，此中 A 叫做被开方数。

立方根：①假如一个数 X 的立方等于 A，那么这个数 X 就叫做 A 的立方根。

(完整word版)湘教版初中数学知识点总复习资料

教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解第3讲分式第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程第8讲一元一次不等式(组)3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第三单元函数第9讲平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123OM （x,y）M1(x+a,y) M2(x+a,y+b)3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是()－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.y=k2x+by=k1x+b3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线知识点四：命题与证明9.命题与证明（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.例：下列命题是假命题的有(③)①相等的角不一定是对顶角；②同角的补角相等；③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题；④若某个命题是定理，则该命题一定是真命题.第15讲一般三角形及其性质一、知识清单梳理知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B ＝∠C ，则△ABC 是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°. 2.等边三角形（1）性质:①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB ＝AC ，且∠B ＝60°，则△ABC 是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB. 例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC ，BC=3，则△ABC 的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.第17讲相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；（b、d≠0）(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k.（b、d、···、n≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例：若35ab=，则a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于53. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则OA OBOD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.黄金点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝=5－12≈0.618，例：把长为10cm的线段进行黄金分21P COBAPCO BADABC abcDABC abcFEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBA分割那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．割，那么较长线段长为5(5－1)cm．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A＝∠D，AC ABDF DE=，则△ABC∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形FEDCBAFEDCBAFEDCBA。