第六章非线性回归分析预测法
回归分析预测方法
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8.1回归分析预测法概述
[阅读材料]
实际工作中，如何判定市场现象之间是否具有相关关系是预 测者必须首先解决的问题。市场现象之间是否存在相关关系 ，主要可以通过两种方法来判定。一种方法是根据经济理论 知识和实践经验，结合我国市场的具体表现，从定性的角度 判断市场现象之间是否存在相关关系。如根据马克思主义的 政治经济学理论，根据市场学理论，根据我国市场长期以来 的发展变化规律等，都可以判定两种或多种市场现象之间是 否存在相关关系。这种方法是判断市场现象相关关系的根本 方法。另一种方法是对市场现象之间的关系进行相关分析， 从定量的角度来判断市场现象之间是否存在相关关系。
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8.1回归分析预测法概述
函数关系与相关关系的区别，突出表现在变量之间的具体关 系值是否确定和随机。函数关系是相对于确定的、非随机变 量而言的;而相关关系则是相对于非确定的、随机变量而言的。 值得指出的是函数关系与相关关系虽然是两种不同类型的相 互关系，但彼此之间也具有一定的联系，一方面，由于在观 察和测量中存在误差等原因，实际工作中的函数关系有时通 过相关关系表现出来;另一方面，在研究相关关系时又常常借 用函数关系的形式近似地将它表达出来，以便找到相关关系 的一般数量特征，当随机因素不存在时，相关关系就转化为 函数关系。因此，函数关系是相关关系的特例。
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8.1回归分析预测法概述
2.按照相关的变动方向不同，可分为正相关回归分析预测和 负相关回归分析预测
《非线性回归分析》课件
封装式
• 基于模型的错误率和复 杂性进行特征选择。
• 常用的封装方法包括递 归特征消除法和遗传算 法等。
嵌入式
• 特征选择和模型训练同 时进行。
• 与算法结合在一起的特 征选择方法，例如正则 化（Lasso、Ridge）。
数据处理方法：缺失值填充、异常值 处理等
1
网格搜索
通过预定义的参数空间中的方格进行搜
随机搜索
2
索。
在预定义的参数空间中进行随机搜索。
3
贝叶斯调参
使用贝叶斯优化方法对超参数进行优化。
集成学习在非线性回归中的应用
集成学习是一种将若干个基学习器集成在一起以获得更好分类效果的方法，也可以用于非线性回归建模中。
1 堆叠
使用多层模型来组成一个 超级学习器，每个模型继 承前一模型的输出做为自 己的输入。
不可避免地存在数据缺失、异常值等问题，需要使用相应的方法对其进行处理。这是非线性回归 分析中至关重要的一环。
1 缺失值填充
常见的方法包括插值法、代入法和主成分分析等。
2 异常值处理
常见的方法包括删除、截尾、平滑等。
3 特征缩放和标准化
为了提高模型的计算速度和准确性，需要对特征进行缩放和标准化。
偏差-方差平衡与模型复杂度
一种广泛用于图像识别和计算机 视觉领域的神经网络。
循环神经网络
一种用于处理序列数据的神经网 络，如自然语言处理。
sklearn库在非线性回归中的应用
scikit-learn是Python中最受欢迎的机器学习库之一，可以用于非线性回归的建模、评估和调参。
1 模型建立
scikit-learn提供各种非线 性回归算法的实现，如 KNN回归、决策树回归和 支持向量机回归等。
非线性回归分析的入门知识
非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。
一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。
线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。
而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。
一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。
非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。
回归分析预测法
回归分析预测法(总25页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-什么是回归分析预测法回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系，因此，回归分析预测法是一种重要的市场预测方法，当我们在对市场现象未来发展状况和水平进行预测时，如果能将影响市场预测对象的主要因素找到，并且能够取得其数量资料，就可以采用回归分析预测法进行预测。
它是一种具体的、行之有效的、实用价值很高的常用市场预测方法。
[编辑]回归分析预测法的分类回归分析预测法有多种类型。
依据相关关系中自变量的个数不同分类，可分为一元回归分析预测法和多元回归分析预测法。
在一元回归分析预测法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预测法中，自变量有两个以上。
依据自变量和因变量之间的相关关系不同，可分为线性回归预测和非线性回归预测。
[编辑]回归分析预测法的步骤1．根据预测目标，确定自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确定了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。
通过市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。
2．建立回归预测模型依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。
3．进行相关分析回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。
因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。
进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。
4．检验回归预测模型，计算预测误差回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检验和对预测误差的计算。
非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)
非线性回归预测法前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。
一、非线性回归模型的概念及其分类非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。
常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型：i ii x y εββ++=121 (3-59) (2)二次曲线模型：i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60)(3)对数模型：i i i x y εββ++=ln 21 (3-61)(4)三角函数模型：i i i x y εββ++=sin 21 (3-62)(5)指数模型：i x i i ab y ε+= (3-63)i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64)(6)幂函数模型：i b i i ax y ε+= (3-65)(7)罗吉斯曲线：i x x i iie e y εββββ++=++1101101 (3-66)(8)修正指数增长曲线：i x i i br a y ε++= (3-67)根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。
第一类：直接换元型。
这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。
由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。
第二类：间接代换型。
这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。
由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。
第三类：非线性型。
6.1第六章回归分析
变量之间的联系
确定型的关系：指某一个或某几个现象的变动必然会 引起另一个现象确定的变动，他们之间的关系可以使 用数学函数式确切地表达出来，即y=f(x)。当知道x的 数值时，就可以计算出确切的y值来。如圆的周长与 半径的关系：周长=2πr。 非确定关系：例如，在发育阶段，随年龄的增长，人 的身高会增加。但不能根据年龄找到确定的身高，即 不能得出11岁儿童身高一定就是1米40公分。年龄与 身高的关系不能用一般的函数关系来表达。研究变量 之间既存在又不确定的相互关系及其密切程度的分析 称为相关分析。
（3）方差齐性检验
方差齐性是指残差的分布是常数，与预测变量或 因变量无关。即残差应随机的分布在一条穿过0点 的水平直线的两侧。在实际应用中，一般是绘制 因变量预测值与学生残差（或标准化残差）的散 点图。在线性回归Plots对话框中的源变量表中,选 择SRESID或ZRESID（学生氏残差或标准化残差） 做Y轴；选择ZPRED（标准化预测值）做X轴就 可以在执行后的输出信息中显示检验方差齐性的 散点图。
要认真检查数据的合理性。
2、选择自变量和因变量
3、选择回归分析方法
Enter选项，强行进入 法，即所选择的自变量 全部进人回归模型，该
选项是默认方式。
Remove选项，消去法， 建立的回归方程时，根
据设定的条件剔除部分
自变量。
选择回归分析方法
Forward选项，向前选择 法，根据在option对话框中 所设定的判据，从无自变 量开始。在拟合过程中， 对被选择的自变量进行方 差分析，每次加入一个F值 最大的变量，直至所有符 合判据的变量都进入模型 为止。第一个引入归模型 的变量应该与因变量间相 关系数绝对值最大。
得到它们的均方。
第六章非线性回归分析预测法
年份 零售额 x 流通费率 y 1991 10.2 7 1992 11.7 6.2 1993 13 5.8 1994 15 5.3 1995 16.5 5 1996 19 4.8 1997 22 4.6 1998 25 4.3 1999 28.5 4.2 2000 32 4.1
变量变换后的回归模型为
' ˆ y 2.64459 41.9742x
而
故
1 x x 1 ˆ 2.64459 41.9742 y x
'
§6.2 非线性回归模型应用
用原变量表示的回归模型为
1 ˆ 2.64459 41.9742 y x 预测：2001年该商品零售额为36.33进
2001年流通费用率预测为
1 ˆ 2.64459 41.9742 y 3.79946 36 .33
§6.2 非线性回归模型应用
三、不能化为线性回归的非线性回归的处理 一般用分段求和法
§5.2
多元线性回归预测法
二、检验模型 本例： m ＝3， n ＝10，取检验水平为0.05
F0.05 (m 1, n m) F0.05 (2,7) 4.74
Coefficients 标准误差 t Stat P-valueLower 95% Intercept 2.64459 0.12936 20.4443 3.4E-08 2.34629 X Variable 41.9742 1 2.05571 20.4183 3.5E-08 37.2337
§6.2 非线性回归模型应用
而 P 0.000276 满足 F F (m 1, n m) 或 P 故线性关系显著
F 32.874
数据预测—非线性回归
数据预测—非线性回归非线性回归是一种在数据预测中常用的方法，它适用于无法通过线性关系来准确预测的场景。
通过寻找非线性模型中的最佳拟合曲线，非线性回归可以帮助我们预测未来的数据趋势。
什么是非线性回归回归分析是一种统计方法，用于确定自变量与因变量之间的关系。
线性回归假设自变量与因变量之间存在线性关系，但在某些情况下，真实的关系可能是非线性的。
这时，我们就需要使用非线性回归来更准确地建立模型。
非线性回归用曲线来描述自变量与因变量的关系，常见的非线性模型包括指数模型、多项式模型、对数模型等。
通过调整非线性模型的参数，我们可以找到最佳的拟合曲线，从而预测未来的数据。
如何进行非线性回归进行非线性回归的一般步骤如下：1. 收集数据：首先，我们需要收集自变量与因变量之间的样本数据。
2. 选择合适的模型：根据数据的特点，选择适合的非线性模型来描述自变量与因变量之间的关系。
3. 参数估计：使用统计方法，估计非线性模型中的参数值，找到最佳的拟合曲线。
4. 模型评估：通过评估模型的拟合程度，确定模型的可靠性和预测能力。
5. 预测未来数据：使用已建立的非线性模型，预测未来的数据趋势。
非线性回归的优势和应用非线性回归相比线性回归具有以下优势：- 更准确的预测能力：非线性回归可以更好地拟合真实的数据模式，提供更准确的预测结果。
- 更强的灵活性：非线性回归可以适应各种复杂的数据模式和关系，允许我们探索更多的可能性。
非线性回归在各个领域都有广泛的应用，例如金融、医学、经济学等。
在金融领域，非线性回归可以用于股票价格预测和风险评估；在医学领域，非线性回归可以用于疾病发展趋势预测和药物效果评估。
总结非线性回归是一种在数据预测中常用的方法，适用于无法通过线性关系进行准确预测的场景。
通过寻找非线性模型中的最佳拟合曲线，非线性回归可以帮助我们更准确地预测未来的数据趋势。
非线性回归具有更准确的预测能力和更强的灵活性，在各个领域都有广泛的应用。
非线性回归分析(教案)
非线性回归分析(教案)第一章：非线性回归分析简介1.1 非线性回归的定义与意义1.2 非线性回归与线性回归的比较1.3 非线性回归分析的应用领域1.4 本章小结第二章：非线性回归模型建立2.1 非线性回归模型的形式2.2 非线性回归模型的建立方法2.3 非线性回归模型的参数估计2.4 模型检验与优化2.5 本章小结第三章：非线性回归分析软件介绍3.1 非线性回归分析软件的选择3.2 非线性回归分析软件的操作步骤3.3 非线性回归分析软件的应用案例3.4 本章小结第四章：非线性回归在实际问题中的应用4.1 非线性回归在生物医学领域的应用4.2 非线性回归在经济学领域的应用4.3 非线性回归在环境科学领域的应用4.4 本章小结第五章：非线性回归分析的扩展与改进5.1 非线性回归模型的扩展5.2 非线性回归分析方法的改进5.3 非线性回归分析的发展趋势5.4 本章小结第六章：非线性回归模型的选择与评估6.1 模型选择的原则与方法6.2 模型评估指标6.3 模型选择的实际案例6.4 本章小结第七章：非线性回归分析的编程实现7.1 非线性回归分析的编程基础7.2 常见非线性回归模型的编程实现7.3 非线性回归分析的编程实践7.4 本章小结第八章：非线性回归分析在数据挖掘中的应用8.1 数据挖掘与非线性回归分析8.2 非线性回归分析在数据挖掘中的案例分析8.3 非线性回归分析在数据挖掘中的挑战与应对8.4 本章小结第九章：非线性回归分析在多变量分析中的应用9.1 多变量分析与非线性回归分析9.2 非线性回归分析在多变量数据分析中的方法与应用9.3 非线性回归分析在多变量分析中的案例研究9.4 本章小结第十章：非线性回归分析的未来展望10.1 非线性回归分析的发展趋势10.2 非线性回归分析在科学研究中的潜在应用10.3 非线性回归分析的教育与培训10.4 本章小结重点和难点解析一、非线性回归的定义与意义：理解非线性回归的基本概念，掌握非线性回归与线性回归的本质区别，以及非线性回归在实际问题中的应用场景。
非线性回归分析
2．向前选择法（Forward Selection）
（1）算出因变量和每个自变量的相关系数，选择具有最大 相关系数的自变量进入回归模型；
（2）对回归系数进行检验，如果检验结果是回归系数为零 ，则放弃回归方程，否则进入下一步；
（3）在上一步的方程中选入的自变量作为控制变量，分别 计算因变量与其他自变量的偏相关系数，将具有偏相关系数 绝对值最大的自变量选入回归方程，并对相应回归系数进行 检验，如果检验结果是回归系数为零，则停止进一步选择， 有效方程为前一步所建的方程，否则进行下一步的选择；
（1）拟合优度检验 回归方程的拟合优度检验就是要检验样本数据 聚集在样本回归直线周围的密集程度，从而判断回 归方程对样本数据的代表程度。
回归方程的拟合优度检验一般用判定系数 R2
实现。该指标是建立在对总离差平方和进行分解的 基础之上。
（2）回归方程的显著性检验（F检验） 回归方程的显著性检验是对因变量与所有自变 量之间的线性关系是否显著的一种假设检验。一般 采用F检验，利用方差分析的方法进行。
回归参数显著性检验的基本步骤： ① 提出假设； ② 计算回归系数的t统计量值； ③ 根据给定的显著水平α 确定临界值，或者计算
t值所对应的p值； ④ 作出判断（t对应的显著性水平小于0.05或0.1，
认为其对应的系数不会显著为0）。
例一：已知10户居民家庭的月可支配收入和消费支出数据，试
采用一元线性回归分析方法，根据可支配收入的变化来分析
多元线性回归就是研究某一个因变量和多 个自变量之间的相互关系的理论与方法。
p
y b x a i
j ji
i
j 1
i 1, 2,.....n
多元线性回归方程中变量的选取
三种回归分析预测法
回归分析预测法回归分析预测法是通过研究分析一个应变量对一个或多个自变量的依赖关系，从而通过自变量的已知或设定值来估计和预测应变量均值的一种预测方法。
回归分析预测法又可分成线性回归分析法、非线性回归分析法、虚拟变量回归预测法三种。
(一)线性回归分析法的运用线性回归预测法是指一个或一个以上自变量和应变量之间具有线性关系(一个自变量时为一元线性回归，一个以上自变量时为多元线性回归)，配合线性回归模型，根据自变量的变动来预测应变量平均发展趋势的方法。
散点圈分析: 自变量和因变量具备线性关系最小二乘法来估计模型的回归系数回归系数的估计值：(相关系数R可根据最小二乘原理及平均数的数学性质得到：估计标准差：预测区间：a为显著水平，n-2为自由度，为y在x o的估计值。
2.预测计算根据上面介绍的预测模型，下面就先计算第一季度的预测销售量。
(X为时间，Y为销售量)。
n=16；；；；；根据公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有：(x i = 17)i0.025(14) = 2.145(二)非线性回归预测法的运用非线性回归预测法是指自变量与因变量之间的关系不是线性的，而是某种非线性关系时的回归预测法。
非线性回归预测法的回归模型常见的有以下几种：双曲线模型、二次曲线模型、对数模型、三角函数模型、指数模型、幂函数模型、罗吉斯曲线模型、修正指数增长模型。
散点图分析发现，抛物线形状，可用非线性回归的二次曲线模型来预测。
1.预测模型非线性回归二次曲线模型为：(10)令,则模型变化为：(11)上式的矩阵形式为：Y = XB + ε(12)用最小二乘法作参数估计，可设观察值与模型估计值的残差为E，则，根据小二乘法要求有：=最小值，(13)即：=最小值由极值原理，根据矩阵求导法，对B求导，并令其等于零，得：整理得回归系数向量B的估计值为：(14)二次曲线回归中最常用的检验是R检验和F检验，公式如下：(15)(16)在实际工作中，R的计算可用以下简捷公式：(17) 估计标准误差为：(18)预测区间为：·S (n<30)(19)·S (n>30)(20)2.预测计算根据上面介绍的预测模型，下面就先进行XT100-W的预测计算。
非线性回归分析
非线性回归分析
非线性回归分析是一种分析异种资料之间的、结果变量不能用简单线性回归方法分析
的关系的统计技术。
它弥补了线性回归分析不能有效应用于某些呈非线性关系的数据组合。
非线性回归分析用来描述两个或多个变量之间的相关关系，当这种关系不是以线性方式表
示出来而且也不容易转化成一个简单的线性模型时，就需要使用非线性回归分析来评估这
种关系。
非线性回归主要解决的是自变量和因变量之间的相互关系，它可以用来进行数据
分析，建立非线性模型，对模型的准确性进行验证，并且可以对系统带有非线性特征的数
据系统进行有效控制。
非线性回归分析非常有效，特别是在虚拟验证中，表现比线性回归分析要好。
它可以
解决多种形式，灵活性和可靠性都较高，适用于非线性数据分析，同时能够用于解决复杂
系统间的互动关系。
使用此方法，可以解释出复杂系统的新特征，可以提供基于数学的标
准化算法，以及定义具有可靠性的度量标准。
非线性回归分析比线性回归分析更灵活和实用，也更复杂。
但非线性回归分析也有一
些缺点，其中最大的缺陷是模型的复杂度对计算机压力要求较高，它数据精度、特征复杂
度要求较高，如果数据不够准确，它都会给出不准确的结果。
而且它也需要更多的参数来
计算，这也增加了计算量。
因此，要想使用这项技术来正确估算和预测复杂的非线性数据，应当选择性能更好的计算机，拥有更多内存，准确的数据特征和足够的参数分析等来支持
分析。
线性回归与非线性回归分析
线性回归与非线性回归分析随着数据科学的发展，回归分析成为一种常用的统计方法，用于预测和建立变量之间的关系模型。
在回归分析中，线性回归和非线性回归是两种常见的分析方法。
本文将就线性回归和非线性回归进行详细探讨，并对它们的应用领域进行比较。
一、线性回归线性回归是最简单、最常用的回归方法之一。
它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并试图找到一条直线来拟合数据点。
线性回归的数学表达式为：y = β0 + β1x + ε其中，y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε表示误差项。
通过最小二乘法，可以求得回归系数的估计值，进而进行预测和推断。
线性回归的优点在于计算简单，易于解释和理解。
它适用于自变量和因变量之间呈现线性关系的情况，比如销售额与广告投入的关系、学习时间与考试成绩的关系等。
然而，线性回归也有其局限性，它无法处理非线性的关系，对于复杂的数据模型拟合效果较差。
二、非线性回归与线性回归相反，非线性回归适用于自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。
非线性回归通过引入非线性项或函数来建立数学模型，使得模型能够更好地拟合实际数据。
非线性回归的数学表达式为：y = f(β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn) + ε其中，f()表示非线性函数，x1、x2、...、xn是自变量，y是因变量，β0、β1、...、βn是回归系数，ε表示误差项。
通过使用最小二乘法或最大似然估计等方法，可以求得回归系数的估计值，并进行预测和推断。
非线性回归的优点在于能够更准确地拟合复杂的数据模型，能够处理自变量和因变量之间的非线性关系。
它适用于许多实际问题，如生长模型、生态系统模型等。
然而，非线性回归的缺点在于计算复杂度高，模型选择的难度较大。
三、线性回归与非线性回归的比较线性回归和非线性回归在应用领域和适用性方面有所不同。
线性回归适用于自变量和因变量之间呈现线性关系的情况，适合用于预测、关联分析等领域。
而非线性回归适用于自变量和因变量之间存在非线性关系的情况，适合用于复杂模型的拟合和解释。
一元线性回归方程
2.F检：是对全部回归系数进行一次性显著性检验
（方程显著性检验）
其 表 达 式 为 ：F
Hale Waihona Puke S余S回 / m/（n m 1）
回归模型显著性检验步骤为：
(1) 根据α以及分子(m)和分母(n-m-1)的自由度，查
F分布表得临界值Fc ；
(2)作出判断
①当F>Fc(α,m,n-m-1),
则回归模型具有显著水平，x和y之间的变化是符
年 份
人均收入（元） 人均消费(元）
1980
480
420
1984
640
580
1981
510
450
1985
780
620
1982
545
490
1986
760
680
1983
590
530
在表中，x—人平均收入，y—人平均消费支出。
从表中可知，x和y呈现线性规律，设回归线性方程为：
ŷi=a+bx
(1)
由（1）可得到x和y之间的定量关系表示为：
其中：x xi —自变量的平均值； n
y yi —因变量的平均值。 n
（8）
五、可靠性检验
为了避免误差过大，确定a和b之后，在允许误差
的情况，进行可靠性检验。
1.R检验
检验x 与y之间的线性相关的程度。
其数学表达式为： R
n xy- x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
三、回归参数估计
由一组观察值 画出散点图,如右图所
示,这样的直线可画出很多条,而回归直 线只有一条，因为只有回归直线最接近 实际观察值。要拟合一条最理想的回归 直线，就要确定a和b。确定a和b的 方法有多种，其中应用最多的是最小二 乘法。
非线性回归
非线性回归一、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。
如下列模型。
εββ++=x e y 10-------（1） εββββ+++++=p p x x x y 2210--------（2） εe ae y bx =--------------------（3） ε+=bx ae y -------------（4）对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。
对于（4）式，当b 未知时，不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。
回归模型（3）可以线性化，而（4）不可以线性化，两个回归模型有相同的回归函数bx ae ，只是误差项ε的形式不同。
（3）式的误差项称为乘性误差项，（4）式的误差项称为加性误差项。
因而一个非线性回归模型是否可以线性化，不仅与回归函数的形式有关，而且与误差项的形式有关，误差项的形式还可以有其他多种形式。
乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。
回归分析预测法
变量回归模型。
2020/12/14
回归分析预测法
（二）应用回归分析预测法的条件
▪ 回归预测法是一种实用价值很高的预测方法，但必须在一定的条件下应用。应用 回归预测法要满足以下几方面的条件：
▪ 1.经济现象之间关系密切 ▪ 2.自变量的预测值必须比因变量的预测值精确或容易求得 ▪ 3.要正确地选择回归方程的形式
2020/12/14回Fra bibliotek分析预测法▪ 2.回归分析预测法的种类
▪ 应用回归模型进行市场预测，有很多种类，根据不同的条件可进行不同的分类。 主要的分类有：
▪ (1)按包含自变量个数的多少划分，回归分析预测法分为一元回归分析预测法和 多元回归分析预测法。
▪ (2)按自变量和因变量之间是否存在线性关系划分，回归分析预测法分为线性回 归分析预测法和非线性回归分析预测法。
市场调查与预测
回归分析预测法
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回归分析预测法
一、回归分析预测法概述
▪ 回归分析预测法的含义与种类 ▪ 应用回归分析预测法的条件 ▪ 回归分析预测法的程序
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回归分析预测法
（一）回归分析预测法的含义与种类
▪ 1.回归分析预测法的含义
▪ 回归分析预测法就是从各种经济现象之间的相互关系出发，通过对与预测对象有 联系的现象变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测法。所 谓回归分析，就是研究某一个随机变量(因变量)与其他一个或几个变量(自变量)之 间的数量变动关系，由回归分析求出的关系式通常称为回归模型(或回归方程)。
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第六章相关分析与回归分析
+
-
x+x0
+yy0
+
Ⅳ
－
0
x
x
第六章 相关分析与回归分析
STAT
coxv,y()0则r>0，说明x和y之间为正线性
相关；
coxv,y()0则r<0，说明x和y之间为负线性
相关；
coxv,y()0则r=0，说明x和y之间不存在线
性相关。
第六章 相关分析与回归分析
2、标准差 x 和 y 的作用
第六章 相关分222470， 64098 y26383 .48 ， 7 5x7y1114.448633 STAT
r
nxyxy
nx2(x)2 ny2(y)2
1011144.486133371.785276.127
三、相关表和相关图
STAT
相关表
将某一变量x按其数值大小顺序排 列，然后再将与其相关的另一个变量y 对应值平行排列，观察x由小到大变化 时，y的变化情况。
第六章 相关分析与回归分析
八个同类工业企业的月产量与生产费用
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8
月产量（千吨）X
1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0
联系
STAT
（1）有函数关系的变量间，由于有测 量误差及各种随机因素的干扰，可表 现为相关关系；
（2）对具有相关关系的变量有深刻了 解之后，相关关系有可能转化为或借 助函数关系来描述。
第六章 相关分析与回归分析
• 例：判断下列关系是什么关系？ • 1）物体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而STAT
第六章 相关分析与回归分析
正相关
非线性回归与预测分析
非线性回归与预测分析在现实生活中，我们常常需要通过一些已知的数据来预测未来的趋势或结果。
线性回归是一种常用的方法，它基于线性关系来建立预测模型。
然而，现实世界中的很多问题并不总符合线性关系，因此我们需要借助非线性回归来提高预测精度。
非线性回归是寻找自变量和因变量之间的非线性关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归模型的函数关系不是简单的一次多项式，而可以是指数、对数、幂函数等形式。
这种灵活的建模能力使得非线性回归在现实问题中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域，我们经常需要根据历史数据来预测股票的未来走势。
线性回归可能难以捕捉到股票价格的非线性波动，而非线性回归可以更好地模拟股票价格的涨跌规律。
通过引入指数、对数等非线性变换，我们可以更准确地预测股票价格的未来变化。
非线性回归在物理学、生物学、工程学等领域也有广泛的应用。
以生物学研究为例，科学家常常需要通过实验数据来建立生物体生长与时间的关系。
这种关系往往是非线性的，通过非线性回归可以得到更精确的生长模型，从而更好地理解和预测生物体的生长过程。
非线性回归的建模方法有很多种。
常用的方法包括多项式回归、指数回归、对数回归、幂函数回归等。
多项式回归通过引入多项式变量来拟合非线性关系，指数回归通过引入指数函数来拟合非线性关系，对数回归通过引入对数函数来拟合非线性关系，幂函数回归通过引入幂函数来拟合非线性关系。
不同的方法适用于不同的问题，选择合适的方法可以提高建模精度。
在进行非线性回归时，我们需要选择适当的目标函数和优化算法。
目标函数用于度量模型的预测误差，优化算法用于寻找使目标函数最小化的参数值。
常用的目标函数有平方误差函数、对数似然函数等，常用的优化算法有梯度下降法、牛顿法等。
选择合适的目标函数和优化算法可以提高模型的拟合精度和训练效率。
除了建立模型，评估模型的性能也是非线性回归分析中的重要任务。
常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数（R^2）等。
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而 P 0.000276 满足 F F (m 1, n m) 或 P 故线性关系显著
F 32.874
方差分析 df 回归分析 残差 总计 SS MS F Significance F 2 21.6006 10.8003 32.8784 0.000276 7 2.29944 0.32849 9 23.9
某商店商品流通率与商品零售额资料
年份 零售额 x 流通费率 y 1991 10.2 7 1992 11.7 6.2 1993 13 5.8 1994 15 5.3 1995 16.5 5 1996 19 4.8 1997 22 4.6 1998 25 4.3 1999 28.5 4.2 2000 32 4.1
§6.2 非线性回归模型应用
用变换后的数据进行回归计算
SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple 0.99054 R R Square 0.98117 Adjusted 0.97882 R Square 标准误差 0.13842 观测值 10 方差分析 df 回归分析 残差 总计 SS MS F Significance F 1 7.98772 7.98772 416.907 3.5E-08 8 0.15328 0.01916 9 8.141
8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 系列1
1 y 1 2 u x
§6.2 非线性回归模型应用
变量变换 数据变换
1 x x
'
y 1 2 x u
'
年份 零售额 x 流通费率 y 1/x 1991 10.2 7 0.09804 1992 11.7 6.2 0.08547 1993 13 5.8 0.07692 1994 15 5.3 0.06667 1995 16.5 5 0.06061 1996 19 4.8 0.05263 1997 22 4.6 0.04545 1998 25 4.3 0.04 1999 28.5 4.2 0.03509 2000 32 4.1 0.03125
§6.1 非线性回m-1个自变量x2，x3 …，xm，
假设因变量与自变量的关系非是线性的，这是
建立的回归模型为非线性回归模型
§6.1 非线性回归模型的形式及其分类
二、非线性回归模型类型P177
（一）可化为线性回归的非线性回归模型
（二）不可线性化的非线性回归模型
Coefficients 标准误差 t Stat P-valueLower 95% Intercept 2.64459 0.12936 20.4443 3.4E-08 2.34629 X Variable 41.9742 1 2.05571 20.4183 3.5E-08 37.2337
§6.2 非线性回归模型应用
2001年流通费用率预测为
1 ˆ 2.64459 41.9742 y 3.79946 36 .33
§6.2 非线性回归模型应用
三、不能化为线性回归的非线性回归的处理 一般用分段求和法
§5.2
多元线性回归预测法
二、检验模型 本例： m ＝3， n ＝10，取检验水平为0.05
F0.05 (m 1, n m) F0.05 (2,7) 4.74
§5.2
多元线性回归预测法
二、检验模型 根据有关计算结果进行显著性检验 （2）t检验（检验因变量与某个自变量的线性 关系是否显著）： t值越大，或P值越小，回 归效果越好。满足下列条件，则可认为线性 关系显著的，否则为线性关系不显著的
| t | t / 2 (n m)
或
P
m为回归系数个数， n为样本容量
§6.2 非线性回归模型应用
一、确定模型的形式 常用方法有 （1）经验法 （2）散点图法 二、可化为线性回归的非线性回归模型的处理 1、做变量代换：把非线性转化为线性 2、数据转换：按变量代换的结果转化数据 3、最小二乘估计：用转换后的数据计算，分 析，检验 4、用原变量表示预测模型
§6.2 非线性回归模型应用
变量变换后的回归模型为
' ˆ y 2.64459 41.9742x
而
故
1 x x 1 ˆ 2.64459 41.9742 y x
'
§6.2 非线性回归模型应用
用原变量表示的回归模型为
1 ˆ 2.64459 41.9742 y x 预测：2001年该商品零售额为36.33进