高数期末考试复习题(考试重点分析)

高数下-章节复习

一 解析几何

向量的内积外积计算，几何意义

例填空 已知b a b a ,,2,1==夹角为4

π，求b a + 例填空 设{}{

}3,,1,1,2,y b x a -=-= ，当y x ,满足 时，两向量垂直，当y x ,满足 时，两向量平行。

例证明 设平面π与两个向量j i a +=3，k j i b 4-+=平行，

证明向量k j i c --=62与平面垂直。 直线方程的计算

例解答 求过点()1,1,1-M ，且与直线⎩

⎨⎧=++-=-+-093240632z y x z y x L 平行的直线方程 例解答 求过点()4,2,0，且平行于平面12=+z x ，23=-z y 的直线方程。

例解答 已知直线

451457-=-=-z y x 和平面0523=-+-z y x 的交点为0M ，在平面上求一条过0M 且和已知直线垂直的直线方程

平面方程的计算

例证明 证明直线p z z n y y m x x 000-=-=-落在平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件是0=++Cp Bn Am 且0000=+++D Cz By Ax

例解答 求过直线12011--=-=z y x 且平行于直线2

1111z y x =-=-+的平面方程 夹角（向量的夹角） 例()()1,1,0,0,1,1==，则两向量之间的夹角为 ，以两向量为邻边的平行四边形的面积为

距离（点到点，点到面，面到面，点到线）

例填空 已知两点()()2,0,3,1,2,421p p =

例解答 求点()1,1,2到平面01=+-+z y x 的距离

求旋转面方程，二次曲线，二次曲面的投影 例填空 曲面1222=--z y x 是由（）绕（）轴旋转而成

二 二元函数极限，求导

求极限

例解答 ()222300sin lim y x xy x y x ++→→

二元函数偏导数，二阶偏导数，全微分

例填空 函数()y x f z ,=在点连续是它在该点偏导数存在的 条件

例填空 设x

y xy u +=，则=∂∂22y u 例解答 22y x e z +=，求dz

例解答 已知⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=xy y x f z ,，求y z x z ∂∂∂∂, 例解答 设y e xy x z -+=3，则=∂∂∂y

x z 2 例证明 已知()u xf xy z +=，x y

u =，证明xy z y

z y x z x +=∂∂+∂∂ 隐函数求导

例解答 ()1sin 2=-yz x z ，求

y z x z ∂∂∂∂, 例解答 0sin 2=-yz x z ，求x

z ∂∂ 参数方程求导

应用，曲线的切向量，曲面的法向量，方向导数和梯度，极值

例解答 求曲面02222=-+z y x

在点()1,1,1-处的切平面和法线方程 例解答 求曲面622=-+xyz yz y x 在()2,2,1处的切平面和法线

例解答 求曲线⎩⎨⎧-=+-=-22234

253x x z y x z y 在点()1,1,1处的切线和法平面

例解答 求()y x y x f +=2,在条件1422=+y x 下的最大和最小值

例填空 函数222y x z

+=在点()1,1处的梯度为 例 函数

()32,y x y x f =在()1,1处沿 （）方向函数值变化最快 A ．()3,2 B ．()0,1 C ．()1,1 D ．()2,3

例解答 求函数22y x z +=在点()2,10p 处，沿0p 到点()32,21+p 的方向导数

三 二，三重积分

二重积分的直角坐标系法（选择积分顺序，改变积分顺序），极坐标法，对称性

例解答 dy y x dx x ⎰⎰--+24022

22

例填空 交换积分次序⎰⎰y

y fdx dy 2120，()⎰⎰=110

,x dy y x f dx 例解答 计算⎰⎰-+22

2210y y y x dx e dy

例解答 (){}2221,e y x y x D ≤+≤=，计算⎰⎰+D

d y x σ22ln

例解答 ⎰⎰D dxdy y ，1:22

22≤+b y

a x D

例 设D 为椭圆域1942

2≤+y x ，则()⎰⎰=D

dxdy

A.12π

B.10π

C.6π

D.36π

例 (){}10,11,1<<<<-=y x y x D ,(){}10,10,2<<<<=y x y x D ,

()⎰⎰+=121cos sin D d x y x I σ,()⎰⎰=2

22D d x I σ,则21,I I 的关系为

A 21I I =

B 212I I =

C 214I I =

D 215.0I I =

三重积分的投影法，切片法，球坐标法，对称性

例 设有空间闭区域(){}

0,,,2

2221≥≤++=Ωz R z y x z y x ,

(){}0,0,0,,,22222≥≥≥≤++=Ωz y x R z y x z y x ,则有

A ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xdV xdV

B ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=2

14ydV ydV

C ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214zdV zdV

D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=2

14xyzdV xyzdV

例填空 设Ω是2222R z y x =++围成的有界区域，则=⎰⎰⎰Ω

dv

例解答 计算()⎰⎰⎰Ω

+dv y x 22，Ω为22y x z +=与1=z 围成

例解答 求22y x z +=，4=z 围成立体的体积