陕西省宝鸡市扶风县法门高级中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析

法门高中2020-2021学年度高三第一次月考理科数学试题一、选择（每小题5分，共50分）1. 已知集合1124xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}2log 12B x x =-<，则A B 等于（ ）A. (),5-∞B. (),2-∞C. ()1,2D. ()2,5【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性化简集合A ，根据对数函数的单调性化简集合B ，根据集合的交集运算可得结果.【详解】由2111242x ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2x <，所以{|2}A x x =<， 由2log (1)2x -<得2012x <-<，所以15x <<，所以{|15}B x x =<<， 所以AB {|12}x x =<<.故选：C.【点睛】本题考查了指数不等式与对数不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A. 3y x = B. 1y x =+C. 21y x =-+D. 2x y -=【答案】B 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果． 【详解】根据函数的基本性质，逐项判定：对于A 中，函数y =x 3是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意； 对于B 中，函数y =|x |+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；对于C 中，函数y =-x 2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意； 对于D 中，函数y =2-|x |是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的奇偶性判定及应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题． 3. 下列四个命题：①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，2320x x -+≠”； ②“2x >”是“2320x x -+>”的必要不充分条件；③()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是()2,0-；④对于命题:p 存在x ∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝为：任意x ∈R ，均有210x x ++≥. 其中，错误．．的命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】 【分析】利用原命题与逆否命题的关系可判断①的正误；解不等式2320x x -+>，利用集合的包含关系可判断②的正误；利用参变量分离法结合二次函数的基本性质求得实数a 的取值范围，可判断③的正误；利用特称命题的否定可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，2320x x -+≠”，①正确；对于命题②，解不等式2320x x -+>，可得1x <或2x >，{}2x x > {1x x <或}2x >，所以，“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，②错误； 对于命题③，令()0f x =，可得2a x x =--，令()2g x x x =--，则实数a 的取值范围即为函数()g x 在区间()0,1上的值域，当()0,1x ∈时，()()2112,024g x x ⎛⎫=-++∈- ⎪⎝⎭，所以，当()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是()2,0-，③正确；对于命题④，由特称命题的否定可知，p ⌝为：任意x ∈R ，均有210x x ++≥，④正确. 综上所述，错误的命题个数为1. 故选：B.【点睛】本题考查逆否命题的改写、必要不充分条件的判断、利用二次函数有零点求参数以及特称命题的否定的判断，属于中等题.4. 已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( ) A. e - B. 1-C. 1D. e【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行求导，然后把1x =代入到导函数中，得到一个方程，进行求解． 【详解】对函数进行求导，得''1()2(1)f x f x=+把1x =代入得， ''(1)2(1)1f f =+直接可求得'(1)1f =-．【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是()1f '是一个实数．5. 下列四类函数中，具有性质“对任意的0,0x y >>，函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=”的是 A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数【答案】C 【解析】【详解】当函数为指数函数时，()xx yx y f x a a a a +=⇒=即()()()f x y f x f y +=，故C正确6. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ）A. (2,1)-B. (1,2)-C. (,1)(2,)-∞-⋃+∞D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，2()2f x x x =+所以0x ≥，()f x 单调递增，()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上单调递增．由2(2)()f a f a ->得22a a ->，即220a a +-<，解得21a -<<． 7. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像， 答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合， 答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题. 8. “33a b >”是“33log log a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先把两个语句进行化简，然后根据条件的判断方法进行判断. 【详解】33a b >等价于a b >，33log log a b >等价于0a b >>， 由于0,0a b a b a b a b >>⇒>>⇒>>，所以“33a b >”是“33log log a b >”的必要不充分条件， 故选：B.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，把语句进行化简是求解关键，属于容易题，侧重考查逻辑推理的核心素养.9. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由已知得函数的单调性，再根据零点存在定理可得选项.【详解】由于函数3()32x f x x =+-在区间(0,1)内为单调递增函数，且()010(1)2>0f f =-<=，，即()()010f f <，所以函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内只有一个零点，故选：A ．【点睛】本题解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，根据题意得出函数()f x 在区间(0,1)内为单调递增函数，且()()010f f <是解答的关键，属于中档题.10. 若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. (2,)-+∞ B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. (,2)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】将函数()12ax f x x +=+进行常数分离，结合反比例型函数的单调性，即可求出a 的取值范围． 【详解】因为()1(2)1212222ax a x a af x a x x x +++--===++++，又()f x 在区间()2,-+∞上是增函数，所以120a -<，所以12a >． 故选：C【点睛】本题主要考查由函数的单调性求参数的求值范围，关键是将反比例型函数将进行常数分离，属于中档题．二、填空（每小题5分，共25分）11. 命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】【解析】【详解】2230ax ax --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时，20{4120a a a <∆=+≤得30a -≤<；30a ∴-≤≤ 12. a ，b 为实数，集合,1b M a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{},0N a =，:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a b += . 【答案】1 【解析】试题分析：∵:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，∴1{0a b a==，∴1{0a b ==，∴1a b +=. 考点：映射的概念. 13. 已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数(3)f =______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用配凑法推导出2()+2f x x =，由此能求出f （3）的值．【详解】222111()()2f x x x x x x-=+=-+，所以2()+2f x x =．所以(3)f =23+211=． 故答案为：11 ．【点睛】本题考查配凑法求函数解析式，考查了函数值的求法，运算求解能力，属于基础题． 14. 若1a >，0b >，且22b b a a -+=，则b b a a --的值等于______. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据指数函数的单调性得到b b a a -->，再根据22()()4b b b b b b b b a a a a a a a a -----=-=+-⋅计算可得结果.【详解】因为1a >，0b >， 所以b b a a ->，所以0b b a a -->，所以22()()4b b b b b b b b a a a a a a a a -----=-=+-⋅2(22)4=-2=.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性比较大小，考查了根式的性质，属于基础题.15. 已知函数()()32,21,2x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则数k的取值范围是______.【答案】()0,1 【解析】 【分析】分类讨论代入解析式，求出()f x k =的两个根为2x k =，1x =+由22k≥且12<可解得结果.【详解】当2x ≥时，()f x k =即为2k x=，解得2x k =，当2x <时，()f x k =即为3(1)x k -=，解得1x =+因为关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，所以22k≥且12+<， 解得01k <≤且1k <， 所以01k <<. 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题.三、解答16. 已知0a >，设命题:p 函数x y a =在R 上单调递增；命题:q 不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立.若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.【答案】(][)0,14,+∞【解析】 【分析】先分析各命题为真时对应的a 的范围，然后根据复合命题的真假判断,p q 的真假情况，从而求解出a 的取值范围.【详解】解：∵函数xy a =在R 上单调递增，∴:1p a >.不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，∴0a >且240a a -<，解得04a <<，∴:04q a <<. ∵“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，∴p 、q 中必有一真一假.①当p 真，q 假时，14a a >⎧⎨≥⎩，得4a ≥. ②当p 假，q 真时，0104a a <≤⎧⎨<<⎩，得01a <≤.故a 的取值范围为(][)0,14,+∞.【点睛】本题考查指数函数单调性、一元二次不等式恒成立、根据含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数，综合型较强，难度一般.一元二次不等式在实数集上的恒成立问题，可转化为一元二次方程的∆与0的关系.17. 已知{13}A xx =-<≤∣，{13}B x m x m =≤<+∣． （1）当1m =时，且U =R ，求A B ；()()U U C A C B .（2）若RB A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{14}A B x x ⋃=-<<∣；()(){1U U C A C B x x ⋃=<∣或3}x >；（2）12mm ⎧≤-⎨⎩∣或}3m >. 【解析】 【分析】（1）先求出集合B ，再利用并集的概念求解即可；（2）先求集合A 的补集，由已知列出关于m 的不等式，求出不等式的解集，即可得到m 的范围.【详解】解：（1）1m =，{14}B xx =≤<∣，{14}A B x x ⋃=-<<∣，()(){1U U C A C B xx ⋃=<∣或3}x >. （2）R{1A x x =≤-∣或3}x >，当B =∅时，即13m m ≥+得12m ≤-满足RB A ⊆，当B ≠∅时，使R B A ⊆，即13131m m m <+⎧⎨+≤-⎩或133m mm <+⎧⎨>⎩，解得m ＞3，综上所述，m 的取值范围是12mm ⎧≤-⎨⎩∣或}3m >．【点睛】本题主要考查了集合的概念和交并补混合计算.属于基础题. 18. 已知函数1()||f x a x =-． （1）求证：函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数；（2）若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）(,3]-∞. 【解析】 【分析】（1）运用函数的单调性的定义证明，设120x x <<，判断()()12f x f x -的符号，可得证． （2）由已知转化为12a x x-<在(1,)+∞上恒成立，设1()2h x x x =+，则需()a h x <在(1,)+∞上恒成立．求导，判断()h x 在(1,)+∞上单调性，可求得a 的取值范围．【详解】解：（1）证明：当(0,)x ∈+∞时，1()f x a x=-， 设120x x <<，则120x x >，210x x ->．又()()121212*********x xf x f x a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=---=-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()()12f x f x ∴<，即()f x 在(0,)+∞上是增函数．（2）由题意12a x x-<在(1,)+∞上恒成立， 设1()2h x x x=+，则需()a h x <在(1,)+∞上恒成立．又2'2212()21x h x x x=-=-，当>1x 时，'()>0h x ，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 故(1)a h ≤，即3a ≤，∴a 的取值范围为(,3]-∞．【点睛】本题考查函数的单调性的证明，以及不等式的恒成立问题的解决，关键在于构造合适的函数，属于较难题．19. 若函数()2y lg 34x x =-+的定义域为M.当x M ∈时，求()x 2x f x 234+=-⨯的最值及相应的x 的值．【答案】当22x log 3=时，()f x 取到最大值为43，无最小值． 【解析】【分析】 先求出定义域M ，然后()f x 通过变形以及换元法转化为2ft 3t 4t =-+，求出t=x 2的值域，再结合二次函数的性质求函数最值，以及最值所对应的x 的值.【详解】已知()2y lg 34x x=-+，234x x 0∴-+>，解得x 1<或x 3>，M {x |x 1∴=<，或x 3}>， ()x 2x x x 2f x 234423(2)+=-⨯=⨯-⨯．令x 2t =，则()22f t 4t 3t 3t 4t =-=-+ x 1<或x 3>，t 8∴>或0t 2<<．∵ ()222434333f t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭ 由二次函数性质可知： 当0t 2<<时，()max 2433f t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 当t 8>时，()f t 单调递减，取值范围为()(),8f -∞ ，无法取最值， 故当x22t 3==，即22x log 3=时，max 4f (x)3=． 综上可知：当22x log 3=时，()f x 取到最大值为43，无最小值． 【点睛】本题考查了对数函数的定义域，考查了指数函数在区间内的值域，考查了二次函数在区间上的最值，体现了转化思想在解题中的运用，是一道综合题．20. 已知定义在R 上函数()22x x b f x a-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1a =，1b =；（2）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用(0)0,()()f f x f x =-=-，建立方程组，即可求出a 、b.（2）利用奇函数的性质，把()()22220f t t f t k -+-<，转化为()()()222222f t t f t k f k t -<--=-，再求出()f x 的单调性，即可求解.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()1001b f a -+==+， ∴1b =，()212x x f x a-+=+， 而()()1121222122x x x x x a x f x f x a a----⋅-+-===-=+++. 对比系数得1a =.即1a =，1b =.（2）()12211212x x x f x -==-++在R 上单调递减，又是奇函数. ∵()()()222222f t t f t k f k t -<--=-，∴2222t t k t ->-对任意t ∈R 恒成立，即221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭恒成立.∴13k <-.∴k 取值范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查奇函数的性质以及利用函数单调性解不等式,属于中档题.21. 已知函数2()ln f x x x ax =+-.（Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若()f x 在(0,1)上是增函数，求a 得取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设2()||(13)g x x x a x =+-≤≤，求函数()g x 的最小值.【答案】（Ⅰ）10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）a ≤（Ⅲ）当1a ≤时，()g x 的最小值为2a -；当1a <≤()g x 的最小值为a ．【解析】【分析】（Ⅰ）求出()'f x ，分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（Ⅱ）()f x 在(0,1)上是增函数等价于12a x x<+恒成立，求出12x x +的最小值求求a 得取值范围；（Ⅲ）分1a ≤，1a <≤()g x 的最小值.【详解】（Ⅰ）当3a =时，2()ln 3f x x x x =+-； 1()23f x x x '∴=+-； 由()0f x '>得，102x <<或1x >； 故所求()f x 的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （Ⅱ）1()2f x x a x=+-'． ()f x 在(0,1)上是增函数，120x a x ∴+->在(0,1)上恒成立，即12a x x <+恒成立．12x x +≥2x =时取等号）．所以a <当a =,易知()f x 在(0,1)上也是增函数,所以a ≤（Ⅲ） 由（Ⅱ）知a ≤当1a ≤时，2()g x x x a =+-在区间[1,3]上是增函数所以()g x 的最小值为()12g a =-．当1a <≤ 22(1)()(3)x x a x a g x x x a a x ⎧-+≤<=⎨+-≤≤⎩因为函数()g x 在区间[,3]a 上是增函数，在区间[1,]a 上也是增函数，所以()g x 在[1,3]上为增函数，所以()g x 的最小值为()1g a =．所以，当1a ≤时，()g x 的最小值为2a -；当1a <≤()g x 的最小值为a ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用导数求最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.。