人教版高中数学必修3,几何概型

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人教版高中数学必修三3.3几何概型教案(6)

例6在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)= ．
三、课堂练习（课本P140练习）
归纳小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
阅读课本P135-P136内容
二、新课教学
1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）= ；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
教学难点：难点是计算公式的应用
教学用具：投影仪
教学方法：讲练结合
教学过程：
一、课题：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

人教版高中数学必修三几何概型课件1

问题2：如图, 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆, 分别计算它落到阴影部分的概率.
人教版高中数学必修三第三章第 3节 3 . 3.1 几何概型课件 ( 共19张 PPT)_ 2
①
②
人教版高中数学必修三第三章第 3节 3 . 3.1 几何概型课件 ( 共19张 PPT)_ 2
基本事件的总数
(转盘游戏)：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏, 规定当指针指向B区域时, 甲获胜, 否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
B
N B
NB N
①
B BN NB
②
问题一：两个游戏问题中事件概率的求法一样吗？若不一样, 请问可能是什么原因导致的？
问题二：你是如何解决这个问题的？
①
②
人教版高中数学必修三第三章第 3节 3 . 3.1 几何概型课件 ( 共19张 PPT)_ 2
解析：记“小杯水中含有这个细菌” 为事件A, 事件A发生的概率
P( A)
取出水的体积杯中所有水的体积
0.1 1
0.1.
人教版高中数学必修三第三章第 3节 3 . 3.1 几何概型课件 ( 共19张 PPT)_ 2
问题四.古典概型与几何概型的区别？
人教版高中数学必修三第三章第 3节 3 . 3.1 几何概型课件 ( 共19张 PPT)_ 2
人教版高中数学必修三第三章第 3节 3 . 3.1 几何概型课件 ( 共19张 PPT)_ 2
下列概率问题中哪些属于几何概型？ ⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。 ⑵箭靶的直径为1m，靶心的直径为12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ ⑶随机地投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。 ⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。

人教版高中数学必修三几何概型课件PPT

.
解析:组成的点 P 共有 36 个,其中在直线 x+y=5 上的点有
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共有 4 个,
则点 P 在直线 x+y=5
1
答案:
9
4
上的概率为
36
=
1
.
9
4.一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30m,宽 20m 的长方形,求此刻
海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率.
应落在矩形区域
A 表示的范围是

0, 2 .

2
所以由几何概型求概率的公式,得 P(A)= =

1
.
2
1 一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随意地飞行,
若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个面的
距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,若始终保持与正方
体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的.假设蜜蜂在
时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 45 秒.当你到达路口时,恰好看到黄灯亮
的概率是(
)
A.
1
12
3
8
B.
1
16
C.
5
6
D.
解析:设看到黄灯亮为事件 A,构成事件 A 的“长度”等于 5,试验
5
80
的全部结果所构成的区域长度是 30+5+45=80,所以 P(A)=
答案:C
=
1
.
16
2.均匀分布
当 Χ 为区间[a,b]上的任意实数,并且是等可能的,我们称 Χ 服从
.
题型三
体积型的几何概型
【例题 3】有一杯 2 升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水

人教版高中数学必修三《几何概型》课件

老师提问： 1.类比古典概型,说明以上两个变式试验有什么共同点？ 2.变式 1、2 中事件的概率如何求？ 3.如图，圆半径相同，阴影部分面积相同，点落在阴影部分的概率是否相同？
几何概型：事件 A 理解为区域的某一子区域 A，如果事件 A 发生的概率只与构成该事件的子区域 A 的几何度量（长度，面积或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型。
A 几何概型的概率公式：P（A）=
，其中为区域
的几何度量， A 为子区域 A 的几何度量。
问题 3：在 500ml 的水中有一只草履虫，现从中随机取出 2ml 水样，放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。
应用举例例题 1.欧阳修《卖油翁》中写道： “乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。 ” 可见“行行出状元” ，卖油翁的技艺让人叹为观止。若铜钱的直径是 3cm 的圆，中间有边长为 1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油滴正好落入孔中的概率是多少？ (假设油滴的大小忽略不计）
1 的体积小于 3 v
1
的概率。
小结提升：概型特点公式古典概型几何概型
课后思考： 1. 取一根长度为 3 米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于 1 米的概率。 2. 取一根长度为 3 米的绳子，拉直后把绳子在任意位置剪成三段，求剪得三段的长能构成三角形三边的概率。
教学重点：
几何概型的概念及应用。
教学难点：
在应用几何概型的概率计算公式过程中，构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。
四、教法学法特点分析
1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题探究式”教学方法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入。利用引导发现和类比归纳相结合的方法，概括出几何概型的概念及其概率公式。过程中恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，来激发学生的学习兴趣，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。 2.学法分析学生在教师创设的问题情境中，通过积极参与课堂教学，培养了直观想象（转盘模型阴影部分的面积）、数学建模（概率问题转化成区域长度比）、逻辑推理（古典概型与几何概型之间的类比、归纳推理）、数学抽象（用图形解决概率问题的数学方法）这几个数学学科核心素养的能力，充分认识数学的价值。

高中数学人教版必修3课件：3.3几何概型(共20张PPT)

例1
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时（电台会在整点报时），求他等待的时间不多于10分钟的概率。
• 解：等待的时间最小为0，最多为60，所以基本事件构成的区域长度为60，
• A={等待的时间不多于10分钟}的区域长度为10
• 所以P（A）=（60-50）/60=1/6
例1
知识回顾
• 基本事件：
• 古典概型：
• 古典概型的概率公式现实生活中,有没有实验的所有可能结果
是无穷多的情况?相应的概率应该怎么算？
• 甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙获胜.用下列两种转盘时甲获胜的概率分别是多少？
(1)
(2)
• 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
• 每个基本事件出现的可能性相等 • 我们称这种试验模型为几何概率模型，简
称几何概型。
自我总结：古典概型与几何概型的区别
第三章概率
3.3 几何概型
• 甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙获胜.用下列哪种转盘时甲获胜的可能性比较大？
(1)
(2)
• 很明显地可以几何概型中每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例.
• 解：设报纸送到时间为x,设父亲离家时间为y，建立平面直角坐标系,
• 因为-----所以基本事件所构成的区域面积为1 • 因为-----所以A=“父亲在离开家前能得到报纸”
所构成的区域面积为7/8 • 所以P（A）=7/8
练习2
甲、乙两人约于 7 时到 8 时在公园见面，先到
者等候 20 分钟就离开，求两人能见面的概率。
练习1

人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_几何概型_基础

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想.【要点梳理】要点一：几何概型1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度. 说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积要点二：均匀随机数的产生1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数.(3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数.【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．取1根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1 m 的概率有多大？【思路点拨】从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有有限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关,符合几何概型的条件。

人教版高中数学必修3-3.3概念汇总：几何概型

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3.3 几何概型
1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
2. 几何概型的概率公式：P （A ）=
积）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3. 几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
4.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；。

课件_人教版高中数学必修三几何概型课件_课件PPT精品课件[完整版]

求他等待的时间不多于10分钟的
的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
基本事件的总数他打开收音机想听电台整点报时，转盘（1）的中奖概率： (2)每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型的特点: 记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A.
A包含的基本事件的个数思考：问题2的基本事件是什么？每个基本事件发生是等可能的吗？能把基本事件列出来吗？试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积)
A包含的基本事件的个数
加油
解：此试验是几何概型，正方形面积为S，区域A的面积为SA，
20元
8元
加油
10元
（1）
（2）
概念形成
几何概型：
(2)每个基定本事件义出现的：可能如性相等果每个事件发生的概率只与构成该事
A包含的基本事件的个数
件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
变式2 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 内任取一点P，求点P到点A的距离小于等于1的概率.
实际应用
例2.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.
: 设A= 等待的时间不多于10分钟
则事件A发生恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率公式得
解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A,则
PA杯取中出所水有的水体的积 01.体 1积 0.1
反思小结
古典概型
几何概型
共同点
基本事件发生的等可能性
基本事件发生的等可能性

人教版高中数学必修3备课资料3.3.1 几何概型

3.3.1 几何概型备课资料几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.1.与长度有关的几何概型例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=52103310=--. 2.与面积有关的几何概型这里有一道十分有趣的题目：例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个41×41的小正方形内（如上图）,这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的83.整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为41×41=161,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为1611161=. 例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？解：设甲到的时间为（9+x ）小时,乙到的时间为（9+y ）小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y ）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以（0,0）,（1,0）,（0,1）,（1,1）为顶点（如右图）.由于两人都只能停留5分钟即121小时,所以在|x-y|≤121时,两人才能会面.由于|x-y|≤121是两条平行直线x-y=121与y-x=121之间的带状区域,正方形在这两个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1-121)×(1-121)=(1211)2. 从而带形区域在这个正方形内的面积为1-(1211)2=14423,因此所求的概率为14423114423=. 3.与体积有关的几何概型例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率.解：“取出1升水,其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P(A)=51=所有水的体积取出的水的体积=0.2. 从而所求的概率为0.2.现在我们将这个问题拓展一下：例5 在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为51,含有病毒乙的概率也是51,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情况去掉. 解：记“取1升水,含有病毒甲”为事件A ；“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=25951515151=⨯-+=0.36. 4.与角度有关的几何概型例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解：设事件A 是“作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”.则μa =90°-30°-30°=30°,而μΩ=90°,由几何概型的计算公式得P （A ）=319030=︒︒=ΩμμA .注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.。

人教版高中数学必修三教案 3.3.1几何概型

3.3.1 几何概型为解决这个问题,我们学习几何概型.思路3在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P （正,正）=P （正,反）=P（反,正）=P （反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+.(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,于是事件A发生的概率P(A)=31.第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models ofprobability ）,简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A 发生.由几何概型的求概率公式得P （A ）=（60-50）/60=1/6，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.打开收音机的时刻X 是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2解：建立平面直角坐标系,如右图中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G .设晚餐在x （6≤x≤7）时开始,晚报在y （5.5≤y≤6.5）时被送到,这个结果与平面上的点（x,y ）对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图中的阴影区域g就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87,G 的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P （A ）=87 的面积的面积G g . 变式训练在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.所以取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率.解：由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=111. 2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m 的概率.解：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=62=31. 3.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定解析：由于取水样的随机性,所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 答案：C4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如右图所示,这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P （A ）=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(.拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.这是一个几何概率问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出（如下图）.所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g .2.（蒲丰(Buffon)投针问题）平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ（见下图左）.样本空间为Ω:{(φ,x),0≤φ≤π,0≤x≤a/2},为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x≤2l sinφ（见下图右).所求概率是P=的面积的面积Ωg ππφφπa l a d l 22/sin )2/(0=••=⎰.注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N 次,（或一次投针若干枚,总计N 枚）,统计与平行线相交的次数n,则P≈n/N.又因a 与l 都可精确测量,故从2l/aπ≈n/N,可解得π≈2lN/an.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.。

113.人教版高中数学必修三(教案)3.3几何概型(2课时)

第一课时 3.3.1 几何概型教学要求：结合已学过两种随机事件发生的概率的方法，更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题理解几何概型的定义与计算公式.教学重点：初步体会几何概型的意义.教学难点：对几何概型的理解.教学过程：一、复习准备：1. 回忆基本事件的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的。

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.2．回忆古典概型有两个特征：有限性和等可能性.3．提出问题：在现实生活中，常常遇到试验结果是无穷多的情况，那又怎样计算呢？二、讲授新课：1. 教学：几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）简称为几何概型.在几何概型中，事件A 概率计算公式为：()()()A P A =构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积几何概型的特点：在一个区域内均匀分布，只与该区域的大小有关.几何概型与古典概型的区别：试验的结果不是有限个.例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．可以认为人在任一时刻到站是等可能的．设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻，故3()5g P A ==Ω的长度的长度例2.某个人午觉醒来，他打开收音机。

想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：在0到60分钟任一时刻打开收音机是等可能的，但0到60分钟之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算，，因为是等可能的，所以他在哪一时段打开收音机的概率只与该时段的长度有关而与位置无关，这符合几何概型的要求.）3. 小结：如何利用几何概型事件和随机模拟方法来求一些求知量？三、巩固练习：1.（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率.答案：592.猪八戒每天早上7点至9点之间起床，求它在7点半之前起床的概率.（将问题转化为时间长度）1. 作业：P137，A 组第1题第二课时 3.3.2均匀随机数的产生教学要求：让学生知道如何利用计算机Excel 软件产生均匀随机数关利用随机模拟方法估计求知量.教学重点：体会随机模拟中的统计思想.教学难点：如何把求未知量的问题转化为几何概型概率的问题.教学过程：一、复习准备：1. 回忆：几何概型的定义，以及相关的古典概型中的随机模拟方法.二、讲授新课：1.教学：均匀随机数的产生操作方法与整数值随机数产生的方法相同，前面学生有了基础这里易掌握只要老师在课堂是带学生操作一次就行。