理论力学第12章 动量矩定理

§12.2 动量矩定理
1、质点的动量矩定理 设质点对定点 O 的动量矩为 M O (mv ) ，作用力F 对同一点的矩 为 MO (F )，如图 将动量矩对时间取一次导数，得
d d dr d (mv ) M O (mv ) r mv mv r dt dt dt dt
三、几种刚体的动量矩的计算 1、平动刚体对某固定点的动量矩： LO ri mv i i r i mv i C mi r i vC Mr C vC r C MvC 平动刚体的动量矩的计算与质点动量矩的计算公式相似，即 平动刚体在计算动量矩时，可以看成是一个质点，这个质点 集中了平动刚体的全部质量，位于刚体的质心，且与刚体的 质心一起运动。 2、绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩：
r
§12.1 质点和质点系的动量矩
r xi yj zk
i y j z k v vx i v y j vz k x
质点对点O 的动量矩可写为行列式形式：
i M O r mv x
j y
k z
mx my mz
运 动 演 示
§12.2 动量矩定理 例 题 12-3
解:此系统所受的重力和轴承的约束
a
z a a z a
l A l B
A
θ
θ
力对于转轴的矩都等于零，因此系统 对于转轴的动量矩守恒。 当θ=0时，动量矩 l
B l
Lz1 2 ma0 a 2ma20
当 θ≠ 0 时，动量矩
Lz 2 2m(a l sin )2
2
和
MOz mgl sin
§12.2 动量矩定理 例 题 12-2
d LOz mvl m(l )l ml dt
2
O
MOz mgl sin
从而可得

v
A
d d (ml 2 ) mgl sin dt dt
化简即得单摆的运动微分方程
d 2 g sin 0 2 dt l
d d d M x (mv ) M x ( F ), M y (mv ) M y ( F ), M z (mv ) M z ( F ) dt dt dt
2、质点系的动量矩定理 设质点系内有 n 个质点，作用在每个质点的力分为内力Fi (i ) 和 (e) F 外力 i 。根据质点的动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi (i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
§12.2 动量矩定理
这样的方程共有 n 个，相加后得
n n d (i ) (e) M ( m v ) M ( F ) M ( F ) O i i O i O i i 1 dt i 1 i 1 n
O
M

§12.2 动量矩定理 例 题 12-1
解：取小车与鼓轮组成质点系，视小车为 质点。以顺时针为正，此质点系对 O 轴的 动量矩为 LO J m2vR

O
FN
Fy
v
M
Fx
作用于质点系的外力除力偶 M 、重力 P 1 P2t 和P 外，尚有轴承 的反力 和轨 O F , F x y 2 道对小车的约束力 FN 。 其中 P 1, F x , Fy P2 对 O 轴力矩为零。将 P2 沿轨道及其垂直 P 方向分解为 P 2t 和 P 2 N ， 2 N 与 FN 相抵消。 而 P 2t = P 2 sin =m2g sin ，
dt
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导 数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。 d M O (mv ) M O ( F ) dt 将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量 及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩， 可得：
§12.1 质点和质点系的动量矩
二、质点系的动量矩 质点系中所有各质点的动量对某固定点O 的矩的矢量和称为该 质点系对 O 点的动量矩，即
LO M O mi vi LOi ri mi vi
i 1 i 1 i 1 n n n
质点系中所有各质点的动量对于任一轴的矩的代数和，称为质 点系对该轴的动量矩。质点系对 O 点的动量矩向通过 O 点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O 点的轴的动量矩：
M O (mv )
MO ( F )
z
F
d 根据质点的动量定理 mv F dt
mv
且
dr v dt
O
r
Q
y
则上式写成
d M O (mv ) v mv r F dt
x
因为 v mv 0, r F MO (F ) 于是得 d M (mv ) M ( F ) O O
P1
MR m2 gR2 sin a J m2 R2

P2 N
若 M m2 g sin R ，则 a 0 , 小车的加速度沿斜坡向上。
§12.2 动量矩定理 例 题 12-2
试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。
O

v
A
§12.2 动量矩定理 例 题 12-2
Lz M z (mi vi ) mi vi ri miri ri mi ri 2
2 令 mi ri J z ，称为刚体对 z 轴的转动惯量。 i 1 n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
于是 Lz J z 绕固定轴转动的刚体对转动轴的动量矩等于刚体的角速度与 刚体对该转动轴的转动惯量的乘积。
由于内力总是大小相等、方向相反成对出现，因此上式右端的 第一项 n
(i ) M ( F O i )0 i 1
上式左端为
d d n d M ( m v ) M ( m v ) LO O i i O i i dt i 1 dt i 1 dt
n
于是得
n d LO M O ( Fi ( e ) ) dt i 1
解： 把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 A，
设其质量为 m，摆线长 l 。又设在任一瞬时质点 A 具有速度 v ，摆线 OA 与铅垂线的夹角是 。 通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z O

v
A
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz M Oz dt
由于动量矩和力矩分别是
d LOz mvl m(l )l ml dt
§12.2 动量矩定理
质点系动量矩定理：质点系对于某固定点 O 的动量矩对时间 的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。 应用时，取投影式
n n n d d d Lx M x ( Fi ( e ) ), Ly M y ( Fi ( e ) ), Lz M z ( Fi ( e ) ) dt dt dt i 1 i 1 i 1
P1
P2 N
则系统外力对轴的矩为
M (e) M m2 g sin R
§12.2 动量矩定理 例 题 12-1
由质点系对O轴的动量矩定理，有

O
FN P2t P2
Fy
d J m2vR M m2 g sin R dt
因
v
M
Fx
v dv ， a ，于是解得 R dt
质点对某一固定点的动量矩是一个矢量，其方向垂直于由矢 径 r 和速度 v 所确定的平面，其大小等于由矢径 r 和动量mv 所构成的平行四边形的面积，指向由右手螺旋法则确定，且 质点对某定点的动量矩是一个定位矢量，应当画在矩心 O 上。
§12.1 质点和质点系的动量矩
质点对点 O 的动量矩投影到直角坐标轴上，根据矢量对点的 矩和对通过该点的轴的矩之间的关系可知，质点的动量对通 过 O 点的各坐标轴的矩分别为：
§12.2 动量矩定理 例 题 12-3
a
z a a z a l B l
小球 A ， B 以细绳相连。
θ
质量皆为 m ， 其余 构件质
l A l B
A
θ
量不计。忽略摩擦，系统
绕z轴自由转动，初始时系 统的角速度为 ω0 。当细绳
拉断后，求各杆与铅垂线
0

成θ角时系统的角速度ω 。
§12.2 动量矩定理 例 题 12-3
§12.1 质点和质点系的动量矩
一、质点的动量矩 设质点 Q 某瞬时的动量为 mv ，质点相对点 o 的位置用矢径 表示，如图
r
z
质点 Q 的动量对点 O 的矩，定义 为质点对点 O 的动量矩，即
M O (mv )
mv
O
MO (mv ) r mv
r
Q
y
x
以固定点 O 为原点建立直角坐标系 oxyz，质点 Q 的坐标 为 ( x, y, z ) ，则矢径 r 和质点速度 v 的解析投影式：
M Ox M O i m yz zy M Oy M O j m zx xz M Oz M O k m xy yx
即
M O M Ox i M Oy j M Oz k
动量对某一固定点的矩在经过该点的任一轴上的投影就等于 动量对于该轴的动量矩 动量对轴的矩是一代数量，其符号的规定与力对轴的矩的符 号的规定相同，在规定了轴的正向之后，可由右手螺旋法则 来确定其正方向。 动量矩在国际单位制中的单位是 kg m2 / s 或 N m s
必须指出，上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或 固定轴。对于一般的动点或动轴，其动量矩定理具有较复杂 的表达式。 3、动量矩守恒定律 （1）若作用于质点的力对于某固定点的矩恒等于零，则质点 对该点的动量矩保持不变，即 MO (mv ) 恒矢量
（2）若作用于质点的力对于某固定轴的矩恒等于零，则质点 对该轴的动量矩保持不变，即 M z (mv ) 恒量
第十二章 动量矩定理
主要内容
§12.1 质点和质点系的动量矩 §12.2 动量矩定理 §12.3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12.4 刚体对轴的转动惯量
§12.5 质点系相对于质心的动量矩定理
§12.6 刚体的平面运动微分方程
动量矩定理
前一章中讲的动量定理并不能完全描述出质点系的运动状态。 1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的 快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零， 可见动量不能表征或度量这种运动。 2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运 动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影 响。 因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。 动量矩定理正是描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质 心的运动状态的理论
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi
Lz LO k mi xi yi yi xi
且有
LO Lx i Ly j Lz k
§12.1 质点和质点系的动量矩
0

因为 Lz1=Lz2 ，得
a2 0 2 (a l sin )
§12.3 刚体绕定轴的转动微分方程
设定轴转动刚体上作用有主动力 F 1, F 2 ,..., F n 和轴承约 束力 FN1 , FN 2 ，如图，这些力都是外力。刚体对于 z 轴的转 动惯量为 J z ，角速度为 ，对于 z 轴的动量矩为 J z 。 如果不计轴承中的摩擦，轴承约束力对于 z 轴的力矩等于 零，根据质点系对于 z 轴的动量矩定理有 n z d ( J z ) M z ( Fi ) FN 1
§12.2 动量矩定理
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§12.2 动量矩定理 例 题 12-1
高炉运送矿石用的卷 扬机如图所示。已知鼓轮 的半径为R，质量为m1，轮 绕O轴转动。小车和矿石总 质量为m2 。作用在鼓轮上 的力偶矩为M，鼓轮对转轴 的转动贯量为J，轨道的倾 角为θ。设绳的质量和各处 摩擦均忽略不计，求小车 的加速度a。